2024-2025學年湖南省新邵縣高一上學期第一次聯考數學檢測試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，集合，則（）A B.C. D.2已知命題，，命題，，則（）A.是真命題，是假命題 B.是假命題，是真命題C.和都是真命題 D.和都是假命題3.使成立的一個充分不必要條件的是（）A. B. C. D.4.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5.設集合M，N，P均為的非空真子集，且，，則（）A.M B.N C. D.6.已知集合滿足，且，則滿足條件的集合有（）A.2個 B.4個 C.8個 D.16個7.已知正實數滿足，則的最小值為（）A.9 B.8 C.3 D.8.已知集合，，，則，，之間的關系是（）A. B.C. D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知不等式的解集為，則下列結論正確的是（）A.B.C.D.解集為10.已知，，且，則下列說法正確的是（）A. B.C.的最小值為 D.11.對任意，，記，并稱為集合，的對稱差.例如：若，，則.下列命題為真命題的是（）A.若，，則{或}B.若，且，則C.若，，則D.若，，，則三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知集合，且，則值為_________.13.若命題：“，不等式成立”為假命題，則實數的取值范圍是______.14.設集合，，若，則實數的取值范圍是______.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知集合，，其中實數.（1）若，求集合；（2）若，求實數的取值范圍.16.已知集合和非空集合，.（1）若命題“，都有”為真命題，求實數的取值；（2）若“”是“”的必要條件，求實數的取值范圍.17.如圖，長沙湘江新區有一塊半徑為10米的圓形景觀，圓心為，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路.最初規劃在拐角處（圖中陰影部分）只有一塊綠化地，后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路.規劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓相切的小道.設點到道路2的距離為米，點到道路1的距離為米.（1）當，求的值；（2）求面積的最大值，并求此時，的值.18.已知函數，.（1）若，當時，求的最小值；（2）求關于不等式的解集；（3）當時，已知，，若，求的取值范圍.19.已知二次函數，對，都有，且當時，.（1）求，的值；（2）存在，對任意，都有，求正實數的最大值；（3）若，是否存在正整數，使得為正整數？2024-2025學年湖南省新邵縣高一上學期第一次聯考數學檢測試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】利用交集的定義直接求解即可.【詳解】因為，，所以，故A正確.故選：A2.已知命題，，命題，，則（）A.是真命題，是假命題 B.是假命題，是真命題C.和都是真命題 D.和都是假命題【正確答案】B【分析】舉出反例得到為假命題，舉出實例得到為真命題.【詳解】對于命題：當時，，故為假命題；對于命題：當時，，故為真命題.故選：B.3.使成立的一個充分不必要條件的是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】首先解不等式得到，根據題意找到的一個真子集即可.【詳解】由得，對于A，因為是的真子集，所以是的必要不充分條件，故A錯誤；對于B，因為是的真子集，所以是的充分不必要條件，故B正確；對于C，因為是的真子集，所以是的必要不充分條件，故C錯誤；對于D，因為與不是包含關系，所以是的既不充分也不必要條件，故D錯誤.故選：B.4.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【正確答案】D【分析】對A，B，C舉反例說明，對D，作差法求解判斷.【詳解】若，取，，則，故A錯誤；若，當時，則，故B錯誤；若，取，，則，故C錯誤；若，則，故D正確.故選：D.5.設集合M，N，P均為的非空真子集，且，，則（）A.M B.N C. D.【正確答案】D【分析】利用文氏圖，表示集合的關系，求解.【詳解】如圖，中間的陰影和左邊的空白是集合，中間的陰影和右邊的空白表示集合，如圖，表示兩邊空白區域，則表示集合的空白區域，即表示為故選：D6.已知集合滿足，且，則滿足條件的集合有（）A.2個 B.4個 C.8個 D.16個【正確答案】B【分析】根據子集和真子集的概念求解即可.【詳解】由題意可知，集合中一定包含元素1，2，一定不包含元素3，且是的真子集，所以或或或，即滿足條件的集合有4個.故選：B.7.已知正實數滿足，則的最小值為（）A.9 B.8 C.3 D.【正確答案】C【分析】利用“1”的代換，結合基本不等式進行求解即可【詳解】由條件知，，當且僅當時取等號.故選：C8.已知集合，，，則，，之間的關系是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】先將集合結構化為一致，然后根據集合關系即可判斷.【詳解】，，，故選：B.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知不等式的解集為，則下列結論正確的是（）A.B.C.D.的解集為【正確答案】BC分析】根據題意，由條件可得，，，即可判斷ABC，將不等式化簡可得，求解即可判斷D.【詳解】由不等式的解集為，得所以，，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；因為，所以，則，解得，故解集為，故D錯誤.故選：BC.10.已知，，且，則下列說法正確的是（）A. B.C.的最小值為 D.【正確答案】BD【分析】根據基本不等式及其變形可判斷A；利用常值代換可判斷B；利用消元法可判斷C；根據重要不等式得到，代入即可判斷D.【詳解】對于A，，即，當且僅當，即，時等號成立，故A錯誤；對于B，因為，當且僅當，即，時等號成立，故B正確；對于C，因為，所以，因為，，所以，則，所以，當時，取最小值，故C錯誤；對于D，由得，即，所以，當且僅當，即，時等號成立，故D正確.故選：BD.11.對任意，，記，并稱為集合，的對稱差.例如：若，，則.下列命題為真命題的是（）A.若，，則{或}B.若，且，則C.若，，則D.若，，，則【正確答案】ACD【分析】A選項，求出，根據定義得到A正確；B選項，舉出反例；CD選項，可利用韋恩圖進行說明.【詳解】A選項，，，故{或}，A正確；B選項，，不妨設，則，故，但不滿足，B錯誤；C選項，當且A與B不是包含關系時，如圖1，①為集合且，②為集合且，③為集合，④為集合，表示集合①④的并集，表示集合①③④的并集，為集合①，故為集合③④的并集，為集合①②的并集，故為集合③④的并集，故；當時，如圖2，①為集合，表示集合①和集合的并集，表示集合①和集合的并集，為集合，故為集合①，為集合的并集，故為集合①，故；如圖3，當時，表示集合①，集合，故為集合①和集合的并集，為集合的并集去掉的交集，即集合②部分，故為集合①和集合的并集，故；如圖4，當時，②為且，①為，表示集合①和②的并集，，表示集合②，故為集合①和集合的并集，為集合的并集去掉的交集，即集合②部分，故為集合①和集合的并集，故.綜上，C正確；D選項，畫韋恩圖，如下：情況較多，我們就第一個圖進行說明，①為且且，②為且且，③為且，④為，⑤為且，⑥為，⑦為且，⑧為且且，表示集合①⑤②⑦的并集，故表示集合①②⑥⑧的并集，表示集合②③⑤⑧的并集，表示集合①②⑥⑧的并集，故，當滿足其他關系時，經檢驗，也滿足，故D正確.故選：ACD.方法點睛：當集合之間的關系較為復雜或解決容斥原理的題型時，常常使用韋恩圖來進行求解，其直觀易懂，可減少思維量.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知集合，且，則的值為_________.【正確答案】0【分析】根據集合相等，列出關于m的方程，結合集合元素的互異性，即可得答案.【詳解】因為，所以，解得或，當時，，而集合的元素具有互異性，故，所以，故013.若命題：“，不等式成立”為假命題，則實數的取值范圍是______.【正確答案】{或}【分析】由題可知命題的否定為真命題，根據一元二次不等式在R上恒成立求解即可.【詳解】由題意得：，不等式成立為真命題，所以，即，解得或.所以實數的取值范圍是{或}.故{或}.14.設集合，，若，則實數的取值范圍是______.【正確答案】【分析】由可知，因此當時，不等式恒成立，分類討論并數形結合求解即可.詳解】由知，即當時，不等式恒成立，設，①當時，的大致圖象如圖1所示，因為，所以，得，矛盾；②當時，恒成立，符合要求；③當時，的大致圖象如圖2所示，當，即時，因為，所以，得，矛盾；當，即時，因為，所以，得；當時，由圖有則.綜上，的取值范圍是.故四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知集合，，其中實數.（1）若，求集合；（2）若，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）（2）.【分析】（1）根據集合的交集和補集運算求解；（2）根據集合的交集的定義及空集的概念求解.【小問1詳解】當時，集合，{或}，又集合，所以.【小問2詳解】因為，所以，則集合非空，因為，所以或，解得或，又，所以，故實數的取值范圍是.16.已知集合和非空集合，.（1）若命題“，都有”為真命題，求實數的取值；（2）若“”是“”的必要條件，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）1（2）.【分析】（1）由題意得到，分或或三種情況，得到方程，求出；（2）由題意得到，從而得到不等式，求出的取值范圍.【小問1詳解】由命題“，都有，”為真命題知，因為集合非空，所以或或.當時，，解得；當時，，無解；當時，，無解.綜上，實數的取值是1.【小問2詳解】因為“”是“”的必要條件，所以，所以，解得.故實數的取值范圍是.17.如圖，長沙湘江新區有一塊半徑為10米的圓形景觀，圓心為，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路.最初規劃在拐角處（圖中陰影部分）只有一塊綠化地，后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路.規劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓相切的小道.設點到道路2的距離為米，點到道路1的距離為米.（1）當，求的值；（2）求面積的最大值，并求此時，的值.【正確答案】（1）（2）最大值為平方米，米.【分析】（1）根據題意分別設出切點坐標，利用切線長定理和勾股定理得到關系式，將代入即可求出的值；（2）利用（1）中得到的關系式結合基本不等式求出的范圍即可求出面積的最大值以及此時，的值.【小問1詳解】設圓與道路1、道路2、直線的切點分為，，，連接，，，由切線長定理可知，，則，由題知且，，，即，化簡得.①把代入①，解得；【小問2詳解】由題有，，因為，所以，令，則，解得，所以，當且僅當時等號成立，即，解得，此時，，則，所以的面積的最大值為平方米，此時米.18.已知函數，.（1）若，當時，求的最小值；（2）求關于的不等式的解集；（3）當時，已知，，若，求的取值范圍.【正確答案】（1）7（2）答案見解析（3）.【分析】（1）變形后，利用基本不等式求出最小值；（2）因式分解，得到，分，和三種情況，得到不等式的解集；（3）化為，根據，轉化為函數不等式恒成立問題，結合二次函數的開口方向，得到不等式，求出答案.【小問1詳解】當時，，當且僅當，即時取等號，故當時，的最小值為7.【小問2詳解】由題知，當，即時，解原不等式得或，當，即時，解原不等式得或，當，即時，解原不等式得.綜上，當時，原不等式解集為或；當時，原不等式解集為或；當時，原不等式解集為.小問3詳解】不等式可化為，因為，所以不等式在時恒成立，又，結合二次函數圖象知，，解得.故的取值范圍是.19.已知二次函數，對，都有，且當時，.（1）求，的值；（2）存在，對任意，都有，求正實數的最大值；（3）若，是否存在正整數，使得為正整數？【正確答案】（1）（2）8（3）不存在，證明過程見解析【分析】（1）根據根的判別式和時，，得到方程組，求出，的值；（2）結合二次函數的開口方向，只需在，處都成立即可，從而得到不等式，求出，，求出最大值為8，從而得到答案；（3）反證法，假設為正整數，得到也為完全平方數，但，即介于兩個相鄰的完全平方數之間，得到