專題九平面直角坐標系與函數（綜合測試）——中考數學一輪復習

備考合集

【滿分：120】

一、選擇題：（本大題共12小題，每小題4分，共48分，給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.銅仁市少數民族眾多，如圖是帶有苗族元素的刺繡花,它是一個軸對稱圖形，將其放置在平面直

角坐標系中，如果圖中點Z的坐標為（-3,〃），其關于y軸對稱的點8的坐標為（m,2），則m-n的值

為（）

A.-5B.-lC.5D.1

2.向一個容器內均勻地注入水，液面升高的高度了與注水時間x滿足如圖所示的圖象，則符合圖

象條件的容器為（）

3.在函數>=4三中，自變量x的取值范圍是（）

X

A.x>3B.x>-3C.x23且xwOD.x>-3Mx^0

.已知那么點尸（）關于>軸的對稱點。在（

4,a<0,-/,2"i)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.尸TC是一種新型的半導體陶瓷材料，它有一個根據需要設定的溫度，稱為“居里點溫度”，低

于這個溫度時，其電阻值隨溫度的升高而減小，高于這個溫度時，電阻值則隨溫度的升高而增

大用尸TC材料制成的電熱器具有發熱控溫雙重功能，應用十分廣泛.如圖1是某款家用電滅蚊

器，它的發熱部分就使用了PTC發熱材料，其電阻值R（KC）隨溫度7（C）變化的關系圖象如

圖2所示，下列說法不正確的是（）

M/KC

02040""60""80100120本C

圖1圖2

A.由圖2可知，該尸TC發熱材料的“居里點溫度”是30℃

B.當T=80℃時，該PTC發熱材料的電阻值為14kQ

C.當R=10kQ時，T=60℃

D.發熱部分的電阻值隨溫度的升高而增大

6.如圖，將正方形48。先向右平移，使點8與原點。重合，再將所得正方形繞原點。順時針方向

旋轉90。,得到四邊形HQC。,則點Z的對應點H的坐標是（）

A.(-1,-2)B.(一2,-1)C.(2,l)D.(l,2)

7.如圖，關于x的函數y的圖象與x軸有且僅有三個交點，分別是(-3,0),(-1,0),(3,0),

對此，小華認為：

①當y〉0時，一3<x<—1；

②當x>-3時，y有最小值；

③點尸(切，-加-1)在函數y的圖象上，符合要求的點尸只有1個;

④將函數y的圖象向右平移1個或3個單位長度經過原點.

其中正確的結論有()

A.①②③B.②③④C.②④D.③④

8.在平面直角標系中，將橫、縱坐標之和為6的點稱為“吉祥點”，現有以下結論:

①第一象限內有無數個“吉祥點”；

②第三象限內不存在“吉樣點”；

③已知點4(-2,1),5(-2,-3),若點尸是“吉祥點”且在坐標軸上，則點尸到直線48的距離為

8；

④已知點C(-1,-1),D(3,-1),若點。是第一象限內的，吉祥點”三角形。CD的面積記為S,則

2<S<14.其中正確的是（）

A.①②B.①②③C.③④D.①②④

9.如圖，在平面直角坐標系xOy中，04=8,48=3,0C=5,如果在梯形04BC內有一點

D（x,y）,使得二SABCD9SMBD=SMCD，那么孫的值為（）.

10.在平面直接坐標系中，點/（私0）,3（2加+3,0）P（2m+l,0）,尸軸，點0的縱坐標

為利則以下說法錯誤的是（）

A.當用=-5,點8是線段4P的中點

B.當加2-1,點尸一定在線段48上

C.存在唯一一個機的值，使得48=P。

D.存在唯---個機的值，使得48=2尸。

11.如圖1,點。在△4SC邊ZC上，點E是AD上的一動點，點尸是CE的中點，連接//,設

BE=x,=y，圖2是點E運動時y隨x變化的關系圖像,其中點H是函數圖像的最低點，則〃

的值為（）

圖1圖2

A.24B.26C.28D.30

12.如圖,在平面直角坐標系中，48，y軸,垂足為點瓦將△450繞點A逆時針旋轉到△4801

3

的位置，使點8的對應點與落在直線y=-上，再將△480］繞點用逆時針旋轉到△Z4Q

的位置，使點a的對應點&也落在直線v=-上，如此下去，……，若點8的坐標為

（0,3）,則點名7的坐標為（）.

A.(180,135)B.(180,133)C.(-180,135)D.(-180,133)

二、填空題(每小題3分，共15分)

13.在平面直角坐標系中，若點M（a-2,a+3）在y軸上，則點N（a+2,a-3）在第象限.

14.如圖1,在AABC中,動點尸從點幺出發沿折線ABfBCfCA勻速運動至點/后停止.設點產

的運動路程為x,線段4尸的長度為、圖2是了與x的函數關系的大致圖象，其中點尸為曲線OE

的最低點，則△48C的高CG的長為.

15.如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整數點，其順序按圖中“一”方向排列，如（1,0）,

（2,0）,（2,1）,（3,2）,（3,1）,（3,0）,（4,0）……，根據這個規律探索可得第2021個點的坐標

是.

,?(5,4)

/士

23)?(5,3)

(:P工4,2±(5,2)

(2，1)；】(3,吸(4,1)?(5,1)

O\(6)*2*0)(3,0)(4,0)(5,0*~x

16.小華和小蘭兩家相距2400米，他們相約到兩家之間的劇院看戲，兩人同時從家出發勻速前

行，出發15分鐘后，小華發現忘帶門票，立即以原來速度的1.5倍返回家中，取完東西后仍以

返回時的速度去見小蘭；而小蘭在出發30分鐘時到達劇院，等待10分鐘后未見小華，于是仍

以原來的速度，從劇院出發前往小華家，途中兩人相遇.假設小華掉頭、取票時間均忽略不計.

兩人之間的距離y(米)與小華出發時間x(分鐘)之間的關系如圖所示，則當兩人相遇時，

小蘭距離劇院有米.

斗

2400\

1400—\一小

->

%

17.如圖，在平面直角坐標系中，點8坐標(8,4),連接。瓦將08繞點。逆時針旋轉90。，得

到OB'，則點B'的坐標為.

三、解答題(本大題共6小題，共計57分，解答題應寫出演算步驟或證明過程)

18.(6分)如圖,△48C三個頂點的坐標分別為4(1,1),5(4,2),。(3,4).

⑴請寫出△48。關于x軸對稱的△4^G的各頂點坐標;

(2)請畫出△45。關于j軸對稱的；

⑶在x軸上求作一點尸，使點尸到Z、B兩點的距離和最小,請標出P點.

19.(8分)閱讀下列材料

材料一：我們知道，求數軸上兩點之間的距離，可借助這兩個點所表示的數來求.

例如：如圖1,數軸上點A表示的數是苞，點B表示的數是9,則點48之間的距離為

AB=|xj-x2|.

問題：如何求在平面直角坐標系中任意兩點之間的距離？

AB

0X1為

圖I

探究：如圖2,，(占,%),%)是平面直角坐標系中任意兩點，過幺乃兩點分別向x軸、y軸作

垂線，過Z垂直于y軸的直線與過8垂直于x軸的直線相交于點C在RtA^C

22

中,?rNC=ki_q,80=|凹-刃,4爐=力。2+BC,:.AB-=(%1-x2)+(%_%)>

AB=

結論：平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式為：

22

AB=yj（xl-x2）+（yl-y2）.

材料二：如圖，在平面直角坐標系中,以點尸（。力）為圓心，以r為半徑的圓上有任一點。（xj）,由

材料一:及圓上任一點到定點（圓心）的距離都等于定長（半徑）”可得r=PQ=，（iy+（一）2

整理得：｛x-a）1+（y-bY=r2.

我們稱此等式為以點尸（。力）為圓心，以r為半徑的圓的方程.

⑴填空：以點（2,-3）為圓心，以3為半徑的圓的方程是；

（2）求點M（2,-6）,N（-1,8）之間的距離；

⑶判斷f+V+Sx—8了+16=0是否是表示圓的方程？如果是，求出圓的圓心坐標與半徑；如果

不是,請說明理由.

20.（8分）閱讀與思考

在函數的學習過程中，我們利用描點法畫出函數的圖象，并借助圖象研究該函數的性質,最后運

用函數解決問題.現我們對函數y=|x-l|（x的取值范圍為任意實數）進行探究.

(1)請將下面的表格補充完整.

X-3-2-10123

y=\x-i\4—210—2

(2)請根據上表中的數據，在如圖所示的平面直角坐標系中畫出這個函數的圖象，并填寫：當x〉l

時J的值隨x值的增大而.

⑶請在如圖所示的平面直角坐標系中畫出正比例函數y=x的圖象，并直接寫出不等式

x<|x-l|的解集.

，「6

4

一;

一」一2343一6%

21.(10分)問題背景：某農戶要建進一個如圖①所示的長方體無蓋水池，其底面積為1平方

米，深為1米.已知底面造價為上千元/平方米，側面造價為0.5千元/平方米.

圖①

⑴設水池底面一邊長為x米，水池總造價為y千元，可得：水池底面另一邊長為米，可得y

與x的函數關系式為：.

(2)若底面造價為1千元，則得y與x的函數關系式為.

問題初探：某數學興趣小組提出：一次函數^=》+左的圖像可以由正比例函數y=x的圖像向

上(下)平移出個單位得到：受此啟發，給定一個函數：了=》+l+《(》〉0)為了研究它的圖象與

性質，并運用它的圖象與性質解決實際問題，對〉=》+工+1（》〉0）進行如下圖象探索：

圖②

⑶請直接寫出機，〃的值：

（4）請在平面直角坐標系中描出剩余兩點，并用平滑的曲線畫出該函數的圖象.

⑸請結合函數的圖象，寫出當x=，了有最小值為;

學以致用

根據以上信息，若底面造價為3千元，請回答以下問題：

（6力與x的函數關系式為.

（7）當水池底邊長分別為米時，水池總造價的最低費用為千元；

⑻若該農戶預算不超過5.5千元，請直接寫出x的值應控制在什么范圍？

22.（12分）杠桿原理在生活中被廣泛應用（杠桿原理：阻力x阻力臂=動力x動力臂），小明利

用這一原理制作了一個稱量物體質量的簡易“秤”（如圖（1））.制作方法如下：第一步：在一

根勻質細木桿上標上均勻的刻度（單位長度1cm）,確定支點。，并用細麻繩固定，在支點。

左側2cm的Z處固定一個金屬吊鉤，作為秤坨；

第二步：取一個質量為0.5kg的金屬物體作為秤蛇.

（1）圖（1）中，把重物掛在秤鉤上，秤蛇掛在支點。右側的5處，秤桿平衡，就能稱得重

物的質量.當重物的質量變化時，08的長度隨之變化.設重物的質量為xkg,08的長為ycm.

寫出y關于x的函數表達式；若0<y<48,求x的取值范圍.

圖⑴圖⑵

（2）調換秤坨與重物的位置，把秤蛇掛在秤鉤上，重物掛在支點。右側的8處，使秤桿平衡，

如圖（2）.設重物的質量為xkg,08的長為”m,寫出了關于x的函數表達式，完成下表,

畫出該函數的圖象.

x/kg0.250.5124

y/cm

—————

23.（13分）對于平面直角坐標系xOy中的點Z和點P,若將點尸繞點幺逆時針旋轉90。后得

到點Q,則稱點Q為點P關于點A的“垂鏈點”，圖1為點尸關于點A的“垂鏈點”0的示意圖.

x

圖3

（1）已知點/的坐標為（0,0）,點尸關于點幺的“垂鏈點”為點0;

①若點尸的坐標為（2,0）,則點0的坐標為

②若點Q的坐標為(-2,1),則點P的坐標為；

(2)如圖2,已知點。的坐標為(1,0),點。在直線了=gx+l上，若點。關于點C的，垂鏈點”

在坐標軸上，試求出點。的坐標；

(3)如圖3,已知圖形G是端點為(1,0)和(0,-2)的線段，圖形〃是以點。為中心，各邊分

別與坐標軸平行的邊長為6的正方形，點/為圖形G上的動點，點N為圖形〃上的動點，若

存在點7(0,7),使得點M關于點T的“垂鏈點”恰為點N,請直接寫出t的取值范圍.

答案以及解析

L答案：D

解析：???點Z的坐標為(-3,〃),其關于了軸對稱的點3的坐標為(九2),

??,加=3,〃=2,

???加一〃=3—2=1.

故選：D.

2.答案：B

解析：由圖象可知有兩個階段，相比較而言，后一個階段用時較少，高度增加較快,那么上面的物

體應較細.

所以符合圖象條件的容器為B.

故選：B.

3.答案：D

解析：由題意得：x+320且xwO,

解得：x>-3<x*0,

故選：D.

4.答案：C

解析：：”。，

/>o,2a—1<0,

???點尸(—CI3,2”1)位于第四象限，

.??點0(-/,2a-1)關于了軸的對稱點在第三象限.

故選：C.

5.答案：D

解析：A、由圖2可知，該尸TC發熱材料的“居里點溫度”是30℃,說法正確，不符合題意；

B、由題圖2可知，當7=80。(2時，該尸TC發熱材料的電阻值為14kQ,說法正確，不符合題

思；

C、由題圖2可知，當R=10kQ,T=60℃說法正確，不符合題意；

D、當高于30℃時，發熱部分的電阻值隨溫度的升高而增大，故說法錯誤，符合題意，

故選：D.

6.答案：A

解析：由正方形48co先向右平移，使點8與原點。重合,

得￡(2,-1),

由再將所得正方形繞原點。順時針方向旋轉90°

解析：由函數圖象可得：

當y〉0時，-3<x<-1或x>3；故①錯誤；

當x>-3時，y有最小值；故②正確；

點尸(加，-機-1)在直線y=-x-l上，直線y=-x-l與函數圖象有3個交點，故③錯誤;

將函數y的圖象向右平移1個或3個單位長度經過原點，故④正確;

故選：C.

8.答案：D

解析：由橫、縱坐標之和為6的點稱為“吉祥點”，

則①第一象限內有無數個“吉祥點”，故說法①正確;

②?.?第三象限的橫、縱坐標都為負數，

??.第三象限內不存在“吉樣點”，故說法②正確；

③?.7(-2,1),5(-2,-3),

48/加軸，

?.?點P是“吉祥點”且在坐標軸上，

.?.點P(0,6)或尸(6,0),

則尸到直線N5的距離為2或8,故說法③錯誤；

￡>(3,-1),

,CZ)//x軸，0)=4,

???點0是第一象限內的“吉祥點”，

.,.設Q(6—a,a),則有：0<a<6,

根據題意可知：SA”"=,xCZ)x(a+l)=2a+2,

則：2<S<14,故說法④正確；

綜上可知，說法①②④正確；

故選：D.

9答案:D

解析：如圖，過點。作。于點E,

梯形CMBC的面積為：：（N5+OC）.CM=gx（3+5）x8=32,

??V-V

.°AABD_G4OCD，

/.-AB-AE=-OCOE，AB（OA-OE\=-OC?OE，

222v72

/.一x3x（8—x）=—x5x,

2v72

解得x=3,

S^ABD=S^OCD--X5x3=—,

S^OAD=S4BCD=；x132_2x￡）,

SMAD=—04,DE,

117

..—x8oy——,

22

解得片u,

■8

.—17_51

?.xy—3x—=—，

'88

故選D.

10.答案：D

解析：\?點/（加,0）,8（2加+3,0）,P（2m+l,0）,

當加=一5,則2（—5,0）,5（-7,0）,尸（一9,0）,

0=_7,即點8是線段N尸的中點，故A選項正確;

2

???點/（私0）,5（2加+3,0）,尸（2加+1,0）,

當加2-1,則2加+12-1,則點尸在4點的右側，

又2加+3>2加+1,即點尸在店5的左側，

??.當加2-1,點尸一定在線段45上，故B選項正確；

Q2_Lx軸，點。的縱坐標為加，尸（2加+1,0）

AB=12m+3—m|=|m+3|,PQ=同，

當48=尸0時，

則加+3=加（無解）或m+3=—m

解得：m=—,故C選項正確；

2

當48=2尸0時，則m+3=2機或機+3=—2加

解得：m=3或加=-1,故D選項錯誤，符合題意,

故選：D.

11.答案:C

解析：如圖，

取8C中點P,取CD中點°,連接PQ,AP,

由圖2可知，當x=0時,y=13,

.?當BE=0時,4尸=13,即當E與3重合時,AF=13,

???此時E馬B重合下為EC的中點，即尸為8C的中點,

.-.AP=\3,

同理當E與。重合時，即BD=〃時,4F==15,

-.P,Q分別為BC,CD的中點，

???2尸為△BCD的中位線，

：.PQHBD,PQ=；BD,

同理可證QF是△EOC的中位線，

:.EDHQF,QF=；ED,

???點尸在尸。上，

??.當4F±PQ時,AF的值最小，即此時的y值最小，

過點Z作尸。于P,連接。7'并延長交AD于由圖2可知NP=12,

22

F'Q=[A。2_AF'2=9,F'P=^AP-AF'=5,

???尸。=14,

BD=28,

???點E與點。重合時,BE取得最大值n,

*'?n=BD=28,

故選：C.

12.答案:C

解析：???48J.y軸，點8的坐標為（0,3）,

??.OB=3,則點Z的縱坐標為3,代入y=-

得：x=-4,則點Z的坐標為（-4,3）.

OB=3,AB=4,

CM=打+42=5,

由旋轉可知，OB=OXBX=O2B2=...=39OA=OXA=O2AX=...=5,

AB=ABX=A[B]=A2B2=…=4,

.?.081=04+481=4+5=9,用用=3+4+5=12,

BiB3=B3B5=…=B35B37=12,

/.OB31=OB1+=9+-----x12=225.

設點27的坐標為,

貝I]0Bv=J/+D=225,

解得a=-180或180（舍去），則-1。=135,

4

???點員?的坐標為（T80J35）.

故選C.

13.答案：四

解析：?.?點(a-2,a+3)在y軸上,

二.Q—2=0

Q=2,

.?.點N(a+2,a—3),即(4,—1),

.??點N在第四象限，

故答案為：四

14.答案：拽

22

解析：如圖過點/作于點。，當點尸與。重合時，在圖2中尸點表示當48+80=12

時，點P到達點0,此時當產在8C上運動時,4?最小,

：.BC=1,BQ=A,QC=3

在Vi^ABQ中,=8,80=4

：.AQ=^AB2-BQ2=A/82-42=4G

■■S^,=-ABXCG^-AQXBC,

ZA?!-￡R>(_C/22

“BCxAQ7x4737G

CCJ=-----------=----------=------,

AB82

773

故答案為:

2

15.答案:（64,4）

解析：把第一個點（1,0）作為第一列，（2,1）和（2,0）作為第二列，

依此類推，則第一列有一個數，第二列有2個數，

第〃列有〃個數.則〃列共有30個數，并且在奇數列點的順序是由上到下，偶數列點的順

2

序由下到上.

因為1+2+3+...+63=2016,則第2021個數一定在第64歹U，由下到上是第5個數.

因而第2021個點的坐標是（64,4）.

故答案為：（64,4）.

16.答案:120

解析：由題意得15V華=1.5v華家，

???小華從發現沒帶門票到返回家中拿到票所用時間為10分鐘，

當小華拿到門票時，小蘭用25分鐘走了2400-1400=1000（米），

.,?小蘭的速度：v蘭=1000+25=40（米/分），

.,?小蘭家與劇院的距離為40x30=1200（米），

.?.小華家與劇院的距離為2400-1200=1200（米）；

又???他們從家出發15分鐘后，兩人相距1200米，

,15“華+v蘭）=1200,即15（v華+40）=1200,

解得，y=40（米/分），

???小華后來的速度為v=L5x40=60（米/分）；

設小華再次從家出發到兩人相遇所用時間為/分，

則40（7-10）+607=1400,

解得，:18,

??.兩人相遇時，小蘭與劇院的距離為1200-60x18=120（米）.

故答案為：120.

17.答案：（-4,8）

解析：如圖，過點8作氏軸于點/,過點5'作夕軸于點C,

5

<

H

4

/

???將0B繞點0逆時針旋轉90°,得到OB，,

ZBOB'=90°,BO=B'O,

:.NBOC+NCOB'=90°,

ZAOB+ZBOC=90°,

NAOB=NCOB',

又：NOAB=ZOCB'=90°,

..△0/8之△OCB'(AAS),

OC=OA=8,B'C=AB=4,

.?.9(-4,8).

故答案為：(-4,8).

18.答案:(1)4。,—1)，4(4,一2)，G(3,—4)

(2)圖見解析

(3)(2,0)

解析：(1)「△48。與△44。關于軸對稱,2(1,1),5(4,2),。(3,4)

???4(1,—1),片(4,—2)6(3,—4)；

(2)如圖，點4,反，G分別為點4民c的對應點，

連接482,32。2,4。2，

則△48C,即為所作；

(3)如圖，作點Z關于X軸的對稱點4，連接4B，與X軸交于點P,連接AP,

：.AP+BP=A/+BP=AXB,

此時點尸到Z、8兩點的距離和最小，則點P即為所作，且點P的坐標為(2,0).

故答案為：(2,0).

19.答案：(l)(x—2>+3+3)2=9

(2)MN=2)2+(8+6)2=

(3)是，圓心坐標為［-q4；圓的半徑為g

解析：⑴根據題意,得以點(2,-3)為圓心,以3為半徑的圓的方程是(尸2)2+3+3)2=9,

故答案為：(x—2)2+(y+3)2=9.

(2)根據題意，得MN=+(8+6/=0區.

⑶是，

■:f+y2+5x—8jv+16=0,

4臼+(-)、］［,

故是圓的方程，

且圓心坐標為圓的半徑為今

20.答案：(1)見解析

(2)圖見解析，增大

(3)圖見解析,解集為x<；

解析：(1)由題意，填表得,

X-3-2-10123

歹=|x-1|4321012

⑵根據題意，畫圖象,如圖；

由圖象可知，當x>l時/的值隨x值的增大而增大.

故答案為：增大；

(3)如圖，畫出直線y=x的圖象，

由圖象可知，

當x<l時/=1一X,

當］_X=X時,X=—,

2

(3)機=一，n=一

23

(4)見解析

(5)1,3

(6)=x+—+3(%>0)

(7)L5

(8)1<x<2

解析：(1)、?水池底面一邊長為x米，底面積為1平方米，

水池的另一邊長工米；

X

1.1底面造價為k千元/平方米，側面造價為0.5千元/平方米，

y=(x+—)x2xlxO.5+lxA:=x+—+A:.

xx

17

y—xH---Fk

.x

故答案為：—,y=x+—+k；

xx

(2>.?底面造價為1千元/平方米，側面造價為0.5千元/平方米,

y—(xH—)x2x1x0.5+1x1—x1.

XX

故答案為：y=x+—+l；

x

(3)當x=1■時，冽=3.5；

故答案為：1,3；

(6)v底面造價為3千元/平方米，側面造價為0.5千元/平方米，

y—(xH—)x2x1x0.5+1x3—xF3.

xx

故答案為：y=x+—+3；

x

⑺由函數平移的性質可得：函數>=》+1+3是由函數y=、+1+1向上平移2個單位得到的,

XX

函數y=》+1+1的最低點的坐標為(1,3),

x

：.函數y=x+'+3的最低點的坐標為(1,5).

x

?.?該農戶預算不超過5.5千元，函數y=x+l+3是由函數y=x+'+l向上平移2個單位得到

xx

的，

???找到函數>='+工+1圖象上縱坐標不超過3.5千元的點對應的x的值即可.

X

—<x<2.

2

22.答案：(1)見解析

(2)見解析

解析：(1)?.?阻力x阻力臂=動力x動力臂,

重物重力xOA=秤花重力xOB.

?.tOA=2cm,重物的質量為xkg,08的長為ycm,秤蛇的質量為0.5kg,

2x