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專題08平面向量與復數(shù)

o----------題型歸納?定方向-----------?>

目錄

題型01用基底表示向量.........................................................................I

題型02平面向量共線定理推論...................................................................2

題型03向量數(shù)量積（幾何意義法）...............................................................3

題型04向量數(shù)量積（自主建系法）...............................................................4

題型05向量數(shù)量積（極化恒等式法）............................................................5

題型06向量投影（投影向量）...................................................................6

題型07向量模（含最值范圍）...................................................................8

題型08向量夾角（含最值范圍）.................................................................9

題型09復數(shù)的四則運算.........................................................................9

*>----------題型探析,明規(guī)律-----------令

題型01用基底表示向量

【解題規(guī)律?提分快招】

如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這個平面內任意向量有且只有一對實數(shù)4，4，

使〃=4,+l2e2.

*窕祠m72023%言年否三稹3而囪丁歪工4面市17萬萬萬己正正西幣殯;碧7百茄而市百「而正二

1—?3—?

B.——AB——AC

44

1—?5―?1—?3—?

C.-AB——ACD.-AB——AC

4444

【典例1-2】（2023?北京海淀?一模）在ZUgC中，ZC=90°,ZB=30°,/A4C的平分線交于點。.若

2

AD=AAB+juAC（^,AeR）.則一=（）

A.-B.vC.2D.3

32

【變式1-1］（2023?北京西城?一模）已知尸為ZUBC所在平面內一點，BC=2CP,則（）

A.AP=--AB+-ACB.AP=-AB+-JC

2233

―>3—>1—>―>2—>1—>

C.AP=-AB一一ACD.AP=-AB+-AC

2233

【變式12］（23-24高三上?北京?階段練習）如圖，在△/BC中，。是5C的中點.若第=￡,刀=加，則就=

（）

__1_1_一___

A.3a—2bB.—+—^C.—a+2t）D.a-2b

【變式1-3］（23-24高一下?北京豐臺?期末）在"SC中，點。是邊45的中點.記田=3，CD=b,貝U而二

（）

A.-a-2bB.-a+2bC.a-2bD.a+2b

題型02平面向量共線定理推論

【解題規(guī)律?提分快招】

OA=XOB+/JOB（2,〃為實數(shù)），若N,B,。三點共線=幾+〃=1

【典例1-1】（2024?浙江寧波?模擬預測）己知A42C是邊長為1的正三角形，*="『是BN上一點、

—?—?2—?一

^AP=mAB+-AC,則力尸（）

212

A.—B.—C.-D.1

993

【典例1-2】（2023高三?全國?專題練習）已知△Z5C的重心為G,經(jīng)過點G的直線交45于。，交4。于

叱_>一——.11

E,右AD=AAB，AE=JL/AC,則:+—=______?

2//

【變式1?1】（2024?河北?模擬預測）已知點4瓦。是直線/上相異的三點，。為直線/外一點，且

2OA=3OB+AOC則幾的值是（）

11

A.—1B.1C.—D.—

22

【變式1-2]（2024?天津河北?二模）△4BC是等腰直角三角形，其中48，五=1,尸是△4BC所在平

面內的一點，若岳=25+〃而（丸20,〃20且彳+2〃=2）,則而在而上的投影向量的長度的取值范

圍是（）

【變式1-3]（2025高三?北京?專題練習）已知G是△4BC的重心，過點G作一條直線與邊48,NC分別

交于點E,F（點”與所在邊的端點均不重合），設力麻，"方,則汨的最小值是一

題型03向量數(shù)量積（幾何意義法）

【解題規(guī)律?提分快招】

已知兩個非零向量￡與石，我們把數(shù)量|ZM|cos。叫做Z與B的數(shù)量積（或內積），記作7B，即

<2-=|<211S|COS。，

彳觀麗nii一（-2o5了無京潮而二二■橙一）一如酉廠jir方天m麗的開接囪廠7萬二屋-75二%;一方為孜萬不的申舌;

貝1J粉?萬=（）

A

A.26B.13C.10D.5

【典例1-2】（2024?北京門頭溝?一模）已知。是邊長為2的正△/3C邊8c上的動點，則冠萬的取值范

圍是（）

A.[6,4]B.[A2]

C.[0,2]D.[2,4]

【變式1-1]（23-24高三下?北京西城?開學考試）如圖，圓/為△4BC的外接圓，4B=4,AC=6,N為

邊BC的中點，則前.禮=（）

A

B

N

C

M

A.10B.13C.18D.26

【變式1-2］（23-24高一下?北京海淀?期中）如圖，已知四邊形/BCD為直角梯形，AB1.BC,ABHDC,

27r_______

AB=1,40=3,ZBAD=—,設點尸為直角梯形48cz＞內一點（不包含邊界），則益.萬的取值范圍是

()

-I1C.°4D.°4

【變式1-3］（23-24高一下?江蘇揚州?期中）在2022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪

花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國、各地區(qū)代表團的91朵“小雪花"匯聚成一朵代表全人類"一起

走向未來"的"大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形

（如圖②）.已知正六邊形的邊長為1,點M滿足旃=|■（斕+#,則=；若點P是其內部一

點（包含邊界），則后.您的最大值是.

圖②

題型04向量數(shù)量積（自主建系法）

【解題規(guī)律?提分快招】

海據(jù)靛建豆適當兩巫標系：

I

用坐標表示點

建立函數(shù)關系I

根據(jù)函數(shù)關系求值I

i而機工ii~Go24：正翥三澳廠巨威忘后冠及后蘇2雨東吳揚花二二%詢五王二扁/茬揚工又王「而‘

B.卜4,4+2回

C.卜2后,4+2行]D.[-2A4]

【典例1-2]（2024?北京昌平?二模）已知正方形N2CD的邊長為1,點尸滿足力=幾方。>0）.當

時，~AC-Jb=;當彳=時，定.麗取得最大值.

【變式1-1]（2024?北京朝陽?一模）在△4BC中，AB=AC=2,BC=24,點尸在線段8C上.當強.而

取得最小值時，PA=（）

6V737

A.—B.—C.-D.-

2244

【變式1-2]（2024?北京東城?一模）已知正方形/BCD的邊長為2,P為正方形N8CD內部（不含邊界）

的動點，且滿足莎?麗=0，則萬?麗的取值范圍是（）

A.（0,8]B.[0,8）C.（0,4]D.[0,4）

【變式1-3]（2024?北京通州?一模）在矩形/BCD中，AB=2,BC=C,點尸在45邊上，則向量而在

向量史上的投影向量的長度是—，屈?麗的最大值是.

題型05向量數(shù)量積（極化恒等式法）

【解題規(guī)律?提分快招】

_____*------*]------>-2------（-2

①平行四邊形形式：若在平行四邊形48CD中，則4BZQ=—（ZC-DB）

4

---?---?-----2----2-----21------>2

②三角形形式：在A45c中，M為8c的中點，所以=-MB=AM——BC

4

【典例1-1】（2024高三?全國?專題練習）如圖，是圓。的一條直徑且48=2,E/是圓。的一條弦，且

E尸=1,點P在線段所上，則強.麗的最小值是（）

【典例1-2]（24-25高三上?安徽六安?階段練習）已知棱長為2的正方體-4用G",點尸是其表面

上的動點，該正方體內切球的一條直徑是MN,則痂?麗的取值范圍是.

【變式1-1]（2024高三?全國?專題練習）已知正六邊形的邊長為4,圓。的圓心為該正六邊形的

中心，圓。的半徑為2,圓。的直徑CD,點尸在正六邊形的邊上運動，則而\麗的最小值為（）

【變式1-2]（24-25高一上?浙江杭州?階段練習）在△4BC中，尸在ZUBC的三邊上運動，是△4BC外

接圓的直徑，若/B=2,BC=3,AC=4,則同乙麗的取值范圍是.

題型06向量投影（投影向量）

【解題規(guī)律?提分快招】

①定義：在平面內任取一點。，作。祝=Z,西=5.過點M作直線ON的垂線，垂足為M],則啊"就

是向量Z在向量B上的投影向量.

②投影向量計算公式：

當。為銳角（如圖（1））時，函與工方向相同，2=|OA^|=|a|cos^,所以

OMX=|OMX|e=同cosde；

--------"——TC

當。為直角（如圖（2））時，2=0,所以。弘=0=同cos,e；

當。為鈍角（如圖（3））時，西與工方向相反，所以

2=-1OMX|=-1tz|cos/MOM】=-\a\cos（乃-0）=\a\cos0，即OMX-\a\cos。e.

當9=0時，X=|M，所以0Mi=|a|e二|a|cos0e；；

當。=兀時，丸=一同，所以0Mi=Ta|e=|a|cos兀e，；

綜上可知，對于任意的。￡[0,兀],都有兩=R|cos。鼠!

【典例1-1]（23-24高一下?北京大興?期中）已知Z3是夾角為120。的兩個非零向量，且忖=W，若向量￡+宓

在向量々上的投影向量為37，則彳=（）

A.-4B.一述

3

C.4D.

3

【典例1-2]（23-24高二上?北京通州?期中）在空間直角坐標系。中z中，已知方=（2,0,0）,前=（0,2,0）,

AD=（0,0,2）.則函與法的夾角的余弦值為；麗在在的投影向量a=.

【變式1-1]（2024?北京?模擬預測）已知向量0=（1,-百），￡在否上的投影向量為;九|“+可=近，則

【變式1-2]（23-24高一下?北京?期中）已知向量3=（1,-1）,5=（-2,1）,則%+5=;向量￡在加上

的投影向量的坐標為

【變式1-3］（23-24高一下?北京門頭溝?期中）設向量1與B的夾角為60。，且同=2a,忖=百，貝陵在B

方向上的投影數(shù)量為

題型07向量模（含最值范圍）

【解題規(guī)律?提分快招】

|a|=y）a-a=Jx；

【典例1-1］（23-24高三上?北京豐臺?期中）已知向量滿足同=2吊=1,且￡%=1，則B+2+（）

A.12B.2>/3C.4D.2

【典例1-2］（23-24高三上?北京海淀?階段練習）已知平面向量b,滿足Z=（l,3）,|昨1,則口-陷的

取值范圍是

【變式1-1］（23-24高一上?北京西城?期末）如圖，N8為半圓的直徑，點C為冠的中點，點M為線段N8

上的一點（含端點/,B）,若AB=2,則|就+碉的取值范圍是（）

A.［1,3］B.建,3］

C.〔3,廊］D.［V2,VTO］

【變式1-2］（23-24高三上?北京昌平?期末）已知向量5滿足|力=4,5在4方向上的投影為2,則|￡+2g

的最小值為（）

A.2B.2V2C.8D.10

【變式1-3］（24-25高三上?北京西城?期末）折扇，古稱聚頭扇、撒扇等，以其收攏時能夠二頭合并歸一而

得名.某折扇的扇面是一個圓臺的側面展開圖，如圖所示.設=2,ZAOB=^,則扇面（圖中扇環(huán)）

部分的面積是,\OD-CB\=.

題型08向量夾角(含最值范圍)

【解題規(guī)律?提分快招】

cos"，L=尸+產

【典例1-1】(2024?北京?模擬預測)平面向量￡,刃滿足口=3即且**4,貝壯與夾角的正弦值

的最大值為()

1112

A.-B.—C."D.一

4323

【典例1-2】(2024高三?北京海淀?專題練習)已知平面向量Z]滿足同=道,問=1,則向量￡+5與1一％夾

角的最大值是.

【變式1-1](2024?遼寧?模擬預測)向量同=忖=1,同=6且。+很+己=0,貝底與汗-B的夾角為()

7127157171

A.—B.—C.—D.一

6362

【變式1-2](2024?貴州遵義?二模)已知單位向量刃滿足卜-同=6,貝￡與￡+族的夾角為()

71715兀71

A.—B.-C.—D.一

63122

【變式1-3](23-24高三上?北京?期中)設向量2=(3,-4),向量B=(2,x),向量工=(2/),若々/后且

a_Lc,則〃一3否與Q+2c的夾角大小為.

題型09復數(shù)的四則運算

【解題規(guī)律?提分快招】

(1)我們規(guī)定，復數(shù)乘法法則如下：設為=。+加，Z2=c+dz,是任意兩個復數(shù)，那么它們的乘積為

Az2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi1=(ac-bd)+(ad+bc)i,

即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(2)規(guī)定復數(shù)的除法是乘法的逆運算，即把滿足(。+山)(x+W)=a+4(

c+diwO)的復數(shù)x+W叫做復數(shù)。+加除以復數(shù)c+dz.的商，記作(a+加)+(c+由)或”土

c+di

復數(shù)的除法法則

a+bi(a+bi)(c—di)(ac+bd)+(be-ad)iac+bdbe-ad.

(a+bi)+(c+di)=------------=-----------=-----1----1(c+成w0)

c+di(c+dz)(c—di)c2+d2c?+d?c2+d2

由此可見，兩個復數(shù)相除(除數(shù)不為0),所得的商是一個確定的復數(shù).

z+1

【典例1-1】（2024?北京?模擬預測）若「=上則|刃=（）

z-1

/y1

A.J2B.—C.1D.-

22

【典例1-2]（2024?北京海淀?二模）若（x+T=2i（xeR）,貝”=.

i-2_

【變式1-1]（2024?北京?三模）已知復數(shù)l+i=——，貝匹在復平面上對應的點位于（）

z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【變式1-2]（2024?北京通州?二模）在復平面內，復數(shù)z對應的點的坐標為（1,-1）,則芻=（）

Z

A.-1+iB.-2+2iC.1-iD.2-2i

【變式1-3]（2024?北京?三模）若答是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為________.

1-（71

*>----------題型通關?沖高考------------*>

一、單選題

1.（2024?北京西城?二模）在復平面內，復數(shù)z對應的點的坐標是（6,T）,貝心二=（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2024?北京?模擬預測）復數(shù)z滿足i.z=2+i,則復數(shù)z的虛部為（）

A.1B.iC.-2iD.-2

3.（2023?北京海淀?二模）已知：石是平面內兩個非零向量，那么“￡〃5"是"存在幾片0,使得

|￡+4|=內+|焉I”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2024?北京海淀?一模）已知向量21滿足0=2,3=（2,0）,且0+8=2,貝|&花〉=（）

7T712兀5兀

A.-B.-C.—D.——

6336

5.（2024?黑龍江二模）己知忖=5,S=（-l,2）,"在加上的投影向量為三=（-2,4）,則向量"與g夾角余

弦值為（）

A.垣B.旦C.-D.一旦

5555

6.（2024?北京門頭溝?一模）在△4BC中，AB=4,AC=?>,且讀+園=君-狗，則萬及=

()

A.16B.-16C.20D.-20

7.（2023?北京豐臺?二模）已知4,B,。是單位圓上的三個動點，則在.就的最小值是（）

A.0C.-1D.-2

8.（2024?湖北黃岡?模擬預測）已知非零向量混滿足同=3