題型匯編

題型一拆角與湊角

知織點

(1)正弦定理的應用

①邊化角，角化邊u*atbic=sinA:sinB:sinG

②大邊對大角大角對大邊

Q>boA>BQsinA>sinBocosA<cosB

而人八卬.____a+6+c_______a+b_6+c_a+c_Q_b_c

口刀?sinA+sinB+sinCsinA+sinBsinB+sinCsinA+sinCsinAsinBsin。

(2)AABC內角和定理(結合誘導公式)：A+B+。=兀

①sinC=sin(A+R)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+bcosA

同理有:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②一cosC=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB;

an

③斜三角形中，—tan。=tan(A+B)='人士'an2=tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC

1—tanA-tanB

介.(A+B\C(A+B\.C

④smv2/=cosy；書2)=smy

一?，—?一?一?一?一，—?—?一?一,一?一

類型一出現(xiàn)了3個角(拆角)

1.在△4BC中，%一凈=仝與，求人的值

V3acosA

2.△48。的內角A8,。的對邊分別為a,b,c,且b=2csin(A+(■),求C.

3.（湛江一模）在△ABC中，內角4B,。的對邊分別為a,b,c,已知羽=2cos管—

求4

類型二湊角

4.在△48。中，角A,B,。的對邊分別為Q,b,c,已知2Qcosyl?cos_B+bcos2A=，^c—6,求角A

5.（2024屆?廣州?階段練習）已知△ABC中角A,B,。的對邊分別為a,段c,滿足^cosB+2cosc=

aa

3cosC,求sin。的值

6.在△MC中,角43,。所對的邊分別為a,b,c,且上+.—g―-+3a,求

cosAcosBcosC

tanBtanC.

7.V^asin=csinA,求角。的大小.

8.已知△4BC的內角4,8,C的對邊分別為a,b,c,且mbcos/芋=csinB,求。

9.在△ABC中，內角A,B,。所對邊的長分別為a,b,c,且滿足bcos°=asin_B,求4

類型三拆角后再用輔助角公式合并求角

10.(深圳一模)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b+c=2asin(c+*),求4

11.在△ABC中，J^sinC+cosC=sinB+?nC，求人

sin力

12.銳角△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知acosC+V3csinA=b+c,求4

13.已知a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,。的對邊，且QCOSC+，^asinC=b+c,求角A的大小;

類型四通過誘導公式統(tǒng)一函數(shù)名

14.在AABC中，內角AB,C所對的邊分別為a,b,c.已知asinB=6cos（A—求A的值

15.已知△ABC中，角4B,C所對邊分別為a,b,c,若滿足

a(sin2A—cosBcosC)+bsinylsiiiC=0,求角A的大小.

16.在△48。中，內角AB,。所對的邊分別為a,b,c.已知asinB=bcos（A—春），bcosC=ccosB,求A的

值.

題型二利用余弦定理化簡等式

余弦定理

公式。2=〃+《2—2bccosA;

b2=c2+a2—2accosB;

c2=a2-bb2—2abeosC.

b2+c2—a2

COSAA=2bc；

“c2+a2-b2

常見變形cosB=門；

2ac

ca2+b2-c2

2ab

類型一出現(xiàn)了角或邊的平方

17.已知ZVIB。內角所對的邊長分別為a,6,c,2V2a2cosB+62=2abcosC+a2+c?,求B.

18.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題)在△ABC中，內角所對的邊分別為.也0,若6=看，〃=

O

?ac,則sinA+sinC=()

4

A29V39門°n3g

A-BR-?虧D-

19.記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知底=3/+o2,則也嗎=

tanC---------

20.(2023年北京高考數(shù)學真題)在△48。中，(Q+c)(sinA—sinC)=&(sinA—sinB),則Z.C=()

A.B.c.娶D.要

464336

21.在AABC中，角4BC的對邊分別為a,b,c,已知c=2A/52czsinCCOSB=asinA—fesinB+專~bsinC,

求b；

22.（2024屆.湖南四大名校團隊模擬沖刺卷（一））在△ABC中，內角所對的邊分別為a,b,c,已知

△ABC的面積為S,

且2s（普+需）=（展+的小求。的值i

___________F

23.（2024廣東省六校高三第四次聯(lián)考）已知△ABC的角4B,。的對邊分別為a,b,c,且

sinA(ccosB+bcosC)—csinB=csinC+bsinB,求角A

24.記A4BC的內角A,8,C的對邊分別為a,b,c.已知〃—a?=2c?,求更吟的值

tanA

類型二出現(xiàn)角的余弦（正弦走不通）

25.記△48。的內角A>8、。的對邊分別為a、b、c,已知bcosA—acosB=b—c,求4

26.已知a,b,c分別為△ABC三個內角的對邊，且sin（A—B）=2sin。,證明:Q2=〃+2C2.

27.在△4B。中，內角ABC的對邊分別為a,b,c,°=26,2$i1124=351112。,求5111。.

28.記△48。的內角AB,。的對邊分別為a,b,c,B=與'，且(sinA+sinB)sinC+cos2C=1,求證5a=3c

o

29.已知△48。的內角A>。的對邊分別為Q、b、c,sin（已一8）tanC=siriylsiiLB,求°.

b2

30.△48。的內角A,B,。的對邊分別為Q,b,c.已知（b—c）sin8=bsin（A—。），求角A.

題型三周長與面積相關計算

知火點

設計周長和面積的相關計算一般會用到余弦定理還有可能需要用到完全平方公式

_______W

對于完全平方公式：（a+b）2=0?+〃+2ab,其中兩邊之和Q+b對應周長，兩邊平方和Q?+〃在余弦定理中，兩

邊之積ab在面積公式和余弦定理中都會出現(xiàn)

類型一面積相關計算

31.已知△48。中角。的對邊分別為a,b,c,sinC=23,a=b+c=,求△ABC的面積.

o

32.（2024新高考一卷?真題）記△48。的內角4夙。的對邊分別為a,b,c,已知smC=V2cosB,a2+b2

—c2=V2ab

⑴求B；（2）若△ABC的面積為3+四，求c.

33.記△ABC的內角AB,C的對邊分別為a,b,c,B=冬，且5a=3c,若4ABC的面積為1573,求c

O

34.在△ABC中，內角48,。的對邊分別為a,b,c,已知A=亭，△ABC的面積為心￡,b=2,求a.

62

35.記△ABC的內角4,8,C的對邊分別為a,b,c,已知B=2A,當a=4,b=6時，求△4BC的面積S.

36.（2024屆.廣東省六校第二次聯(lián)考）已知△ABC中角A,B,。的對邊分別為a,b,c,sinC=23,a=b

o

+2,c=32,求△ABC的面積.

37.記△ABC的內角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知B=24當a=4,b=6時，求△4BC的面積S.

類型二周長的相關計算

38.已知在AABC中，角AB,。的對邊分別是a,b,c,且人=C,若B=AABC的面積為4,求4ABC的

6

周長.

_______________________________~

39.在△4B。中，內角A,B,。所對的邊分別為Q,b,c,且(6+c)(sinB+sinC)=asinA+36sinC.

(1)求角A的大小；(2)若a=血,且△48。的面積為V3,求△ABC的周長.

40.(2024.新高考二卷?真題)記△ABC的內角4B,。的對邊分別為Q,b,c,已知sinA+V3cosA=2.

⑴求4⑵若a=2,，^bsinC=csin2B,求△ABC的周長.

41.ZVIBC的角A,及C的對邊分別為a,b,c,存?/=—1,/VLBC的面積為杳，若a=,求△ABC的周

長.

42.在△ABC中，已知2方?最=4,a=5,NR4C=60°,則△ABC周長為

43.在△ABC中，AB,。所對的邊為a,b,c，人=看，a=2,3=手，求△ABC的周長.

O4

44.在△ABC中，內角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且(b+c)(sinB+sinC)=asinA+3bsinC.

(1)求角A的大小；(2)若a=血,且△ABC的面積為V3,求△ABC的周長.

題型四倍角關系

知織點

1、二倍角公式：sin2A=2sinAcosyl,cos2A=2cos2A—1=1—2sin2A=cos2A—sin2A

,a.2C1+cosC.oC1—cosC

2、擴角降拳：cos2--=-----------.,sin2--=------------

忘記了可以用二倍角公式推導：記，=力，則cosC=cos2t=2cos2力—1=1—2sin2t

故cos2t=2cos2右一10cos2t=1+號s2*,cos2力=1—2sin2tosin2t=――苧、"

3、倍角關系證明的方法技巧

解三角形中的關系，主要涉及到正弦、余弦等三角函數(shù)的倍角公式。這些公式允許我們通過已知的一個角的大

小，來求解其兩倍角的大小所對應的三角函數(shù)值，從而在解三角形問題時提供更多的信息和靈活性。

__________由

4、圉形中出行二倍角條件時可以考息梅造?聯(lián)三角形

類型一倍角關系的證明和應用

45.（黃岡中學?三模）在銳角△A8C中，內角48,。所對的邊分別為a,b,c,滿足包吟-1=

smC

包尤上迦色，且求證：B=2C.

sin2B

22

46.在△48。中，角A、B、。的對邊分別為a、6、c,若A=2B,求證：a-b=6c；

47.（2024.吉林長春模擬預測）ZVIB。的內角4B、。所對的邊分別為a.b,c,a=V3,b=1,A=28,則c=

（）

A.2B.V3C.V2D.1

48.（2024?全國?模擬預測）在△4BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c（a,b,c互不相等），且滿足bcos。

=（2b—c）cos_B,求證：A=2B；

49.在△ABC中，內角48,。所對的邊分別為a,6,,且6=4.若/=2B,且△ABC的邊長均為正整數(shù),

求a.

50.（2024?全國.模擬預測）在△ABC中，角A,B,。的對邊分別為Q,b,C（Q,b,c互不相等），且滿足bcos。

=（26—c）cosB.

（1）求證：A=2B；

（2）若c=A/2a，求cosB.

51.已知Q,b,c分別是△ABC的角AB。的對邊，bsinB—asinA=sinG（2bcos2B—c）.

（1）求證：A=28；

（2）求9的取值范圍.

a

類型二擴角降塞

52.（2023?重慶八中二模）記A4BC的內角A,B,。的對邊分別為a,b,c,已知acos2-^-+ccos2j^=

證明：sinA+sinC=2sinB

___________F

53.在AABC中，內角A,_B,C所對的邊分別a,b,c,且(acos2-^-+ccos2j^(a+c—b)=■|~ac,求角B的

大小;

類型三圖形中二倍角的處理

54.（廣東省六校2024屆第一次聯(lián)考）在入450中，AB=4,。為AB中點，CD=。，2ZACD,求

AC的長.

55.（2024屆.江蘇揚州.高三統(tǒng)考）在△4BC中，且反7邊上的中線AD長為1.

⑴若BC=248,求△ABC的面積；（2）若乙48。=2/ZMC,求的長.

題型五角平分線相關計算

知織點

△ABC中，AD平分ABAC.

策喀一：角平分線定理：桀=BD

CD

SxsoBD-hiAB-h2浮ABBD

證法1（等面積法）\-------=----------=-------，-侍--應=

SACDCD*hiACCD

注：自為A到的距離，殳為。到AB,4C的距離.

證法2（正弦定理）

ABBOAC

如圖，，而sinZl=sinZ2,sinZ3=sinZ4

sinZ3sinZl'sinZ4si°n。Z2

整理得靠=BD

~CD

策?喀二:利用兩個小三角形面積和等于大三角形面積處理

11A1A

SRABC=S&ABD+LADC了XABxACXsin/1=-xABxADxsin——F-XABxADXsin-^-,

集喀三：角互補：

/.ABD+/.ADC=兀=cosZ.ABD+cosAADC=0,

___________F

在△4BD中，cosZABD=加之于二產

在/\ADC中，cos/ADC=

2DAXDC

56.（2024?遼寧丹東?二模）在△ABC中，點。在邊上，入。平分NH4C,NR4C=120°,AB=2四,AD

=乎,則人。=（）

B.V3D.2V3

57.已知△ABC中，角ABC所對的邊分別為a,b,c,a2=3b2+c?,且sinC=2sinB.

（1）求角4的大小；

（2）若b+c=6,點。在邊BC上，且AD平分NBA。,求AD的長度.

58.（2023年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題-T16角平分線相關計算）在△ABC中，ABAC=^°,AB=2,BC

=V6,NBAC的角平分線交于。，則4D=.

59.（2024.廈門第四次質檢）記LABC的內角4BC的對邊分別為a,b,c,已知B=冬，若b=。，c=2a,

D是AC上一點,BD為角B的平分線,求BD.

60.已知△ABC的角4,8,。的對邊分別為a,b,c,且A=磊兀,若4D平分/R4C交線段8C于點。，且

O

AD=1,BD=2CD,求△ABC的周長.

61.在△ABC中，內角4B,C的對邊分別為a,b,c,。=3四，4=冷，作角人的平分線與交于點

O

且AD=V3，求b+c.

62.（2024屆.云南省昆明市五華區(qū)高三上期中）△ABC的內角ABC的對邊分別為a,b,c,AO平分NBAC且

交于點。.已知AD=1,ZV1CD的面積為1,若。0=28。,求上@11乙艮4。.

題型六中線相關計算

知颯點

如圖，4ABC中，人。為BC的中線，已知AB,AC,及乙4,求中線AD長.

A

B

巢喀一：如圖，倍長中線構造全等，再用余弦定理即可

第用二:向量法，AD=y(AB+AC),等式兩邊再進行平方

策略三：兩次余弦定理，鄰補角余弦值為相反數(shù)，即cosZADB+cosAADC=0

補充：若或將條件“AD為BC的中線”換為“保=》'也適用，此時需要倍長等分線構造相似

01-7

II■■■■■■

63.在△ABC中，內角A,B,。所對邊的長分別為a,b,c,且滿足A=冬，a=，瓦，麗?芯=3,AD是

o

△ABC的中線，求AD的長.

64.(2023年新課標全國II卷真題：已知中線長)記AABC的內角C的對邊分別為a,b,c,已知4ABC的

面積為為口。中點，且40=1.

(1)若Z.ADC=-T-，求tanB；

O

（2）若〃+=8,求b,c.

65.（2024.安徽滁州.三模）在△ABC中，角的對邊分別為a,b,c,2bcosC—c=2a.

（1）求口的大小；（2）若a=3,且人。邊上的中線長為平，求△ABC的面積.

66.在△48。中，內角ABC的對邊分別為a,b,c,sinG=―-—,2sinA=3sin2a

若△ABC的面積為手，求AB邊上的中線CD的長.

67.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A=冬，〃—+c?+3c=0,ZVlBC的面積為

o

生應，求邊的中線入。的長.

4

___________團

68.△4BC的內角A,B,。的對邊分別為a,b,c,a=2,。為AB的中點，且CD=2.

(1)證明：c=⑵若乙4cB=￡,求△ABC的面積.

69.記△ABC的內角A,8,。的對邊分別為a,6,c,已知8=卷，若。=3a，。為人。中點，60=，*,求

O

△4BC的周長.

70.448。的內角人，8,C的對邊分別為a,b,c.已知8=粵，c=2,。為AC的中點，BZA=弓反7,求

O4

△ABC的面積.

題型七高線線相關計算

知識點

R

策略一：等面積法：A。?BC=AB?4。sinZBAG

策略二：AD=AB-sinAABD=AC-sinZAGD

策略三：a=c-COSB+b-COSC

71.(2024.山東青島.三模)設三角形4BC的內角A.B,。的對邊分別為a、b、c且sin(B+C)=

2V3sin2j^-.

(1)求角4的大小；

⑵若b=3,邊上的高為^求三角形ABC的周長.

72.已知△4BC的內角A,B,。的對邊分別為a,b,c,a=6,6sin2A=4V5sinB.

⑴若b=l,證明：C=A+^-；

（2）若邊上的高為手，求△A8C的周長.

O

73.已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且c—V3bsinA=稼+廣”_b

2c

⑴求4

（2）若b=：c,且邊上的高為2通，求a.

題型八其它中間線

74.如圖，在△ABC中，角AB,。的對邊分別為a,b,c.已知A=（■.若。為線段延長線上一點，且

O

2021新ili考一卷T20:三等分畿相關計算

75.記△ABC是內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知〃=加,點。在邊AC±,BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

（2）若人。=2DC,求cos/ABC.

76.如圖，在△ABC中，若AB=AC,D為邊BC上一點、，BD=2DC,AD=2,‘叱叱？=總則口。=

smAACD

77.(2024?安徽蕪湖■三模)已知a,b,c分別為△4BC三個內角ABC的對邊，且bcosA+V3bsinA=a+c

⑴求8；

⑵若b=2AABC的面積為，。為AC邊上一點，滿足CD=2AD,求BD的長.

78.記AABC的內角A、8、C的對邊分別為或6、o,已知人=看，點。在BC邊上，且CD=2BD,cosB=

o

W，求tan/RAD

o

79.已知△ABC的三內角A,B,。所對邊分別是a,b,c,且滿足a=b，若點。是邊AC上一點，動=

(/+卷說”=，訪，|麗|=2四,求邊&的大小.

oo

80.已知△ABC的內角對應的邊分別為a,b,c,△ABC的面積為sinA=3sinB,點。在邊BC上，若

DC=DA=-^-BC,求cosA.

o

81.如圖，在△48。中，若=。為邊8C上一點，口。=2。。，AD=2,乙”?="，則口。=

smZAGD

82.已知&,6,。分別為448。三個內角4口,。的對邊，且（12=〃+202,若4=冬，￡1=3,萬方=3血,求

O

人又的長度.

83.在△ABC中，內角A8,。所對的邊分別為a,b,c.已知A=看，若點。為邊上的一個點，且滿足

O

cosABAD==，求AABD與△ACD的面積之比.

5

題型九三角形解的個數(shù)問題

知織點

三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形

具有不唯一性，通常根據三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷.

解三角好多解情況

在4ABC中，已知a,b和人時，解的情況如下:

A為銳角A為鈍角或直角

C

ccc

Mx-AX

圖形

AB；---BA''……-BAB

AB

關系式a=bsinA5sinA<.a<.ba>ba&b

解的個數(shù)一解兩解一解一解無解

--------■---?—?—?---?---?一

84.在XABC中，c=2,QCOSC=csirM,若當a=g時的△ABC有兩解,則g的取值范圍是.

85.設在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,若滿足a=四,6=巾,6=《的△ABC不唯一，則

7n的取值范圍為()

A.B.(O,V3)C.D.e,1)

86.若滿足AABC=譽，4。=3,=巾的A4BC恰有一解，則實數(shù)小的取值范圍是

O

87.△ABC中，已知AABC=-^,AC=3,BC=m(m>0).

o

(1)若△ABC恰有一解，則實數(shù)小的取值范圍是；

(2)若△4BC有兩解，則實數(shù)小的取值范圍是；

(3)若△ABC無解,則實數(shù)m的取值范圍是；

88.在AABC中，a,b,c分別為角的對邊，若b=10,A=《，且/\ABC有唯一解，則a的取值范圍

6

是.

89.在△ABC中，已知=及7=22，。=與，若存在兩個這樣的三角形ABC,則①的取值范圍是

4

90.已知A4BC的內角4口、。所對的邊分別是a,b,c,人=60°,若a=v^,b=m(ni>0),當AABC有且

只有一解時，求實數(shù)小的范圍及AABC面積S的最大值.

題型十解三角形的實際應用

知織點

（1）仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖

①）.

⑵方位角：從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如口點的方位角為&（如圖②）.

⑶方向角：相對于某一正方向的水平角.北偏東即由指北方向順時針旋轉a到達目標方向（如圖③）.北偏西

a,即由指北方向逆時針旋轉a到達目標方向.南偏西等其他方向角類似.

（4）坡角與坡度:坡角指坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角。為坡角）.坡度指坡面的鉛直高度與水平

長度之比（如圖④，i為坡度，i=tan6*）.坡度又稱為坡比.

類型一距離問題

91.一游客在A處望見在正北方向有一塔在北偏西45°方向的。處有一寺廟,此游客騎車向西行1km后

到達D處,這時塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔B與寺廟C的距離為km.

92.（2024.陜西西安.模擬預測）在100m高的樓頂人處，測得正西方向地面上8、。兩點（B、。與樓底在同

一水平面上）的俯角分別是75°和15°,則B、。兩點之間的距離為（）.

_______________即

A.200V2B.240V2C.180V3D.200V3

93.山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標（如圖1）,其主體建筑采用與地形吻合的矩形設計,將數(shù)學

符號“8”完美嵌入其中，寓意無限未知、無限發(fā)展、無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2,為了測量科技館

最高點A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離,無人機在點。測得點A和點口的俯角分別為75°,30°，

隨后無人機沿水平方向飛行600米到點。，此時測得點人和點8的俯角分別為45°和60°（A,C,。

在同一鉛垂面內），則A,口兩點之間的距離為米.

94.如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在人處測得燈塔底部。在北偏東15°方向上，勻速向北航行20分鐘到

達8處，此時測得燈塔底部。在北偏東60°方向上，測得塔頂P的仰角為60°,已知燈塔高為2V3km.

則巡邏船的航行速度為km/h.

P

類型二高度問題

95.（2024?廣東?二模）在一堂數(shù)學實踐探究課中，同學們用鏡而反射法測量學校鐘樓的高度.如圖所示，將小

鏡子放在操場的水平地面上,人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置,此時測量人和小鏡子的距離為出

=1.00m,之后將小鏡子前移a=6.00m,重復之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為a2=0.60m,已

知人的眼睛距離地面的高度為九=L75m,則鐘樓的高度大約是（）

A.27.75mB.27.25mC.26.75mD.26.25m

96.如圖，某中學某班級課外學習興趣小組為了測量某座山峰的高度，先在山腳A處測得山頂。處的仰角

為60°,又利用無人機在離地面高300m的M處（即上刃=300m）,觀測到山頂。處的仰角為15°,山腳A

處的俯角為45°,則山高BC=m.

97.中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流

芳后世.如圖，某同學為測量鸛雀樓的高度VN,在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物入瓦高約為

37m,在地面上點。處（B,C,N三點共線）測得建筑物頂部鸛雀樓頂部河的仰角分別為30°和45°,

在A處測得樓頂部M的仰角為15°,則鸛雀樓的高度約為m.

98.中國古代數(shù)學名著《海島算經》記錄了一個計算山高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊,高三丈，前

后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻

行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何？假設古代有類似的一個問題,

如圖2,要測量海島上一座山峰的高度AH,立兩根高48丈的標桿BC和DE,兩竿相距=800步，。,

BH三點共線且在同一水平面上，從點B退行100步到點尸，此時A,C,尸三點共線，從點。退行120

步到點G,此時A,E,G三點也共線，則山峰的高度AH=步.（古制單位:180丈=300步）

解三角形十類題整樂總

近4年考情(2021-2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2024年/卷第15題，13分

年〃卷第題，分高考對本節(jié)的考查不會有大的

20241513(1)正弦定理、余弦定理及其變形

變化，仍將以考查正余弦定理的

2024年甲卷第11題，5分

基本使用、面積公式的應用為(2)三角形的面積公式并能應用

2023年/卷〃卷第17題，10分主.從近五年的全國卷的考查

2023年甲卷第16題，5分情況來看，本節(jié)是高考的熱點，(3)實際應用

主要以考查正余弦定理的應用

2023年乙卷第18題，12分(4)三角恒等變換

和面積公式為主.

2022年/卷〃卷第18題，12分

2021年/卷〃卷第20題，12分

熱點題型解讀

題型一拆角與決角.........................................................................2

類型一出現(xiàn)了3個角(拆角).............................................................2

類型二類角............................................................................3

類型三拆角后再用輔助角公式合并求角...................................................5

類型可通過誘導公式統(tǒng)一語數(shù)名.........................................................6

題型二利用余費定理化俺等式..............................................................7

類型一出現(xiàn)了角或邊的平方.............................................................7

美型二出現(xiàn)角的余強(正弦走不通).......................................................9

題型三周長與面積相關計算...............................................................11

類型一面積相關計算...................................................................11

類型二周長的相關計算................................................................13

題型四倍角關系..........................................................................16

類型一倍角關系的證明和應用..........................................................16

類型二擴角降搴.......................................................................19

類型三圉形中二倍角的處理............................................................19

題型五角平分假相關計算.................................................................22

題型六中畿相關計算.....................................................................26

題型七方得假相關計算....................................................................31

題型人其它中間線........................................................................33

題型九三角形解的個數(shù)問題...............................................................39

題型十解三角形的實際應用...............................................................42

類型一距離問題......................................................................43

類型二高度問題......................................................................45

題型匯編

題型一拆角與湊角

知織點

（1）正弦定理的應用

①邊化角，角化邊<=>a:b:c=sinA:sinB:sinC

②大邊對大角大角對大邊

Q>boA>RQsinA>sinBQcosA<cosB

Q+6b+c_a+c_a

—--=---=2R

③合分比:sin＜矍；sin。sinA+sinBsinB+sinGsinA+sinCsinAsinBsin(7

（2）AABC內角和定理（結合誘導公式）：A+B+。=兀

①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=c=acosB+bcosA

同理有:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

(2)—cos。=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB;

③斜三角形中，—tan。=tan(A+B)=tanA}‘、"義=tanA+tanB+tan。=tanA?tanB?tan。

1—tanA-tanB

.(A-\~B\C(A~\-B\.C

⑷Sin(---)=cosy;cos(---)=smy

類型一出現(xiàn)了3個角（拆角）

1.在△ABC中，2*=當岑，求A的值

V3acosA

【答案吟

cosC

【詳解】因為"一四=空岑，所以由正弦定理可得2sinq二

V3acosAV3sinAcosA

2sinBcosA=V3sin?lcosC+V3sinCcosA=A/3sin(A+C)=V3sinB

因為sinBW0,所以cosA=，因為Ae(0,兀)，所以A=看.

_____________眇

2./\ABC的內角A8,C的對邊分別為a,b,c,且b=2csin(A+哼)，求C.

【答案】？

0

解：因為b=2csin(A+3),在△ABC中，由正弦定理得，

\0f

sirLB=2sinCsin(_A+~^),又因為sin_B=