專題3圓錐曲線中的長度問題

一、考情分析

圓錐曲線中的長度問題是直線與圓錐曲線中最基本的問題,一般出現在解答題第2問,常見的

有焦半徑、弦長、兩點間距離、點到直線距離、三角形周長等，求解方法可以用兩點間距離

公式、弦長公式、點到直線距離公式、函數求最值等.

二、解題秘籍

(一)利用兩點間距離公式求線段長度

若直線與圓錐曲線的交點坐標已知或可求,可直線利用兩點間距離公式求線段長度.

【例1】(2022屆山西省呂梁市高三上學期12月月考)在平面直角坐標系xQy中，已知橢圓

222

C:=+多=1(。>6>0)的右準線為/：X=4(定義：橢圓C的右準線方程為x=2,其中

abc

C=da2—t>2)?點尸是右準線上的動點，過點p作橢圓c的兩條切線,分別與y軸交于M,N兩

點.當尸在x軸上時,1。尸

(1)求橢圓C的方程；

(2)求|A〃V|的最小值.

【解析】(1)由題意可知,當尸點坐標為(4,0)時,|OP1=11=4,

不妨設點M在點N上方，則M(0,2),N(0,-2),

1c

y=-x-2,

12

所以直線=2與橢圓。相切，將直線NP與橢圓方程聯立,22

2%-1

二十”T

消去%整理得(4/+)尤2—+166—4。%2=0,

則A=64a4-4(4從+叫(16/-)=0,整理得.+/=m,

2

又幺=4,/52+02,解得片=4或/=16(舍去)，所以1=3,

C

22

即橢圓C的方程為工+匕=1；

43

(2)設尸(4/),切線方程為y=左(無-4)+，=辰一4左+/,

y=kx-4k+t,

將切線方程與橢圓聯立2

—+—=1,

[43

2*4

消去又整理得(4左2+3)X+8k(t-4k)x+4(f-4左『-12=0,

貝ijA=64k2(t-4k)2-4(4fc2+3)[4。-—12]=0,

整理得12左2—8法+/一3=0,

設切線PM斜率為K，直線PN斜率為k2,

則M（0，?4.）,N（OJ_4魚），且勺+&='?他=彳/，

所以|MN|=4W—周=4,（%+自I-4.履,

1

將人+心=],柩2=K代入上式'整理得MN1=|#+9>4,

當t=0時,上述等號成立，即IMN|的最小值為4.

（二）利用y11+k2|西-三|求距離

設斜率為網存0）的直線/與圓錐曲線C相交于力⑺刈網血?）兩點，則|"|=[1+的龍2—卻.

其中求咫一對通常使用根與系數的關系，即作如下變形：咫一為|=J（X]+電）2-4%%,

22

【例2】（2022屆陜西省安康市高三下學期聯考）已知橢圓C』+方=1（a>6>1）長軸的頂點

與雙曲線D:《-力■=：!實軸的頂點相同，且C的右焦點廠到。的漸近線的距離為叵.

4b'7

⑴求C與。的方程；

（2）若直線/的傾斜角是直線y=（0-2卜的傾斜角的2倍，且/經過點尸,/與C交于A、3兩

點，與￡）交于M、N兩點，求U,

【解析】（1）由題意可得a?=4,則a=2.

b

因為。的漸近線方程為y=±1x,即法±2y=0,

b^-b1

橢圓c的右焦點為產（"工^o）,由題意可得二號,Qb>l,解得b=6,

故橢圓C的方程為?+回=1,雙曲線。的方程為1-1=1.

4343

（2）設直線y=（君-2）尤的傾斜角為a,

,八2tana2（A/5-2）」

所以，直線/的斜率為人tan2a=匚能

所以直線/的方程為y=g(x-l),

聯立<"5(1)得4/一2X一11=0,貝1」4=4+4x4xll>0,

3^2+4y2=12

111

設4(%，%)、3（芍,%）廁%+%=尸二；

3x2-4y2=12

聯立1，、可得2d+2x-13=0A=4+4x2xl3>0.

y=?T）

設點〃(工,%)、四了4，%),則三+匕=-1,三龍4=一彳，

所以河［+出小+/4*=半，故居4島二萼

(三)利用求距離

設斜率為秘邦)的直線/與圓錐曲線C相交于A(xi,yi)I(X2,y2)兩點，則四|=注+頡一m

當消去x整理方程為關于y的一元二次方程常用此結論.其中求M—yil時通常使用根與系數

的關系，即作如下變形：\y2~yi\=J(M+%)2-4必當.

22

【例3】(2023屆重慶市巴蜀中學校高三上學期月考)已知橢圓c：j+2=1(。>6>0)的離

ab

心率e=叵;上頂點為A,右頂點為B,直線AB與圓O:/+y=1相切.

2

(1)求橢圓C的標準方程；

⑵設與圓。相切的直線/與橢圓相交于MN兩點，。為弦肱V的中點,0為坐標原點.求

IOQMMNI的取值范圍.

【解析】（1）由e=￡=知Q=sj2b=42c,

a2

原點。到直線AB的距離為"=/"=贈=$=\電=

=A/3,

G+b?Y3bJ3

___-1

故橢圓C的標準方程為33一.

2

(2)左MN=0時：。(0,1),加(一1,1)3(1,1),或0(0,-1),"(一1,-1)小(1,一1),故|04|肱\仁2；

直線MN斜率不存在時,Q(1,O)M1」),N(1,-1),或2(-l,0),M(-l,l),7V(-l,-l).故

|(?e|-|w|=2；

直線MN斜率存在且不為0時：設直線/的方程為x=〃y+f(加70),

由直線/與圓爐+產=1相切，所以d=7^=l,即產=/+1,

+1

(22

尤+y-1

3|得)瘦

聯立(1+2/+2y+/-3=0,

x=my+t,

設加（七,%）,陽%2，%）,

It

療+2'

2gm2，6+3療-2?

m2+2m2+2

22

m+lUm+4m21

故|OQ|?|肱V|=2?1=21+4/2“=21+

2m+4m+4一24；

m+2m+F+4

m

m2+3+422.m2?二■+4=8,當且僅當療4

2，m=±^2時等號成立,

mVmm

2<21+------\——

244

陰+F+41

m7

綜上：|。。|回|的取值范圍是2卷.

（四）利用點到直線距離公式求垂線段的長

1.若已知定點尸,點。在動直線上，求|尸最小值，常利用點到直線距離公式;

2.若點尸在定直線上，點。為曲線上，求最小值，有時可轉換為與定直線平行的切線的切點

到定直線的距離.

【例4】（2023屆上海市華東師范大學第二附屬中學高三上學期考試）設有橢圓方程

22

「二+當=l（a>b>0）,直線/：x+y-6=0,「下端點為A,左、右焦點分別為

ab

耳(-1,0)、鳥(1,O),M在/上.

⑴若a=&,AM中點在X軸上，求點”的坐標;

3

⑵直線I與y軸交于8,直線AM經過右焦點F2，且cosZBMA=二，求人；

⑶在橢圓r上存在一點P到/距離為d,使缶+d=4A/2，當。變化時，求d的最小值.

【解析】(1)因為左焦點E(T。),所以c=l,由題知"血,所以6=1,4(。,-1),

又因為AM中點在x軸上,所以點M的縱坐標為1,代入x+y-6=0中的x=5,

所以點M坐標為(5,1).

(2)

如圖，設直線/與x軸交點為C,

3兀

因為直線/為工+y-6=0,所以直線/的傾斜角為邛，

4

cosNBMA=COS^ZMF2C+(cosNMF2c-sinNMF2C)①，

由題意知,|。4|=6,|。R|=1,|4詞=7^71,所以在用A。6中，

1b

cosZAF2O=cos/MF2c=/sinZAF2O=sin/MF2c=/

一yjb2+1'yjb2+1'

所以COSBM4=^-一^==3,整理可得7〃一50萬+7=0,解得匕=!或匕=7,

2揚+157

又因為c。s即以=乎?一^==j,所以方＜l,b=7舍去,b=:.

27^7157

y=—x+m

(3)設直線/平移后與橢圓相切的直線/'方程為＞=-％+和聯立/2,

~r+一=1

"2b1

得(〃+廿卜2-2mtz2x+形2/_a2^2=Q

A=4/4一4.2+人2)(蘇口2_〃2。2)=4a2b2(2/一病一1)=0,所以加=2/_1,

因為橢圓上存在點P到直線/的距離為d,"z+d=4后，即d=4友-缶

所以叵n<4后-缶<莊二小①,同時1<.<4，

V2A/2

又因為l<a<4,所以①式右側肯定成立，左側可以整理為6-亞—<8-2a,

解得上

22

因為d=4&-缶，所以當。取得最小值上池時,d有最大值，最大值為2及+6

2

（五）利用函數思想求距離最值

求圓錐曲線上的動點到一定點距離的最值，有時可設出動點坐標,利用距離公式把問題轉化為

函數求最值.

22

【例5】已知橢圓C:]+方=l（a>6>0）的長軸長為4后點（"佝在C上.

（1）求C的方程；

（2）設C的上頂點為A,右頂點為8,直線/與A3平行，且與C交于M,N兩點，而=木，點尸

為C的右焦點，求刊的最小值.

【解析】（1）因為C的長軸長為4豆，所以2a=46,即a=2若.

又點（6網在C上,所以9+怖=1,代入a=26解得〃=8,

22

故C的方程為上+匕=1.

128

（2）由（1）可知4,5的坐標分別為（0,20）,（26,0）,

直線A3的方程為伍+益-2#;0,

設/:后x+百>+加=0（加w-2后）,

聯乂<128得4x2+2\/2mx+療-24=0,

y/2x+y/3y+m=0

由A=8>—16（>—24）=384-8m2>0,得“<48,

設yj,N?，%）,。（%0,%）,因為而=品，所以。為MN的中點，

貝字，

因為A/ZX0++"z=0,所以%=—“利，

又尸的坐標為（2,0）,

所以|￡>F|=]5一2）2+￥=夜改+4+皆=J號+應及+4

m=-竽時,仞川取得最小值，且最小值為強.

（六）利用圓錐曲線定義求長度

與圓錐曲線焦點弦或焦半徑有關的長度計算可利用圓錐曲線定義求解.

【例6】（2022屆湖南省長沙市寧鄉市高三下學期5月模擬）已知拋物線G:/=4x的焦點

22

與橢圓E:左+方=1（。>b>0）的右焦點F重合橢圓E的長軸長為4.

⑴求橢圓E的方程；

⑵過點F且斜率為k的直線/交橢圓E于A8兩點，交拋物線G于兩點,請問是否存在

2t

實常數心使西+畫為定值？若存在，求出f的值；若不存在，說明理由.

【解析】⑴因為拋物線G:+=4x的焦點為（1,0）,

所以。=1,又〃=2,則"=々2一=3,

22

故橢圓E的方程為：—+^=1；

43

（2）設4（%,%）、磯%⑼、/（三，%）、NN，%）,

設直線/的方程為y=k（x-1）,與橢圓E的方程聯立43

y=Z:（x—1）

得（3+4左2）%2一&k2%+4左2-12二0,

4V-12

?vIr_812

.?西+馬一互花,占尤2

3+4公

.**|AB\=J1+左2?](再+入2『-4取2=12("0J),

y2=4x

設直線/的方程y=k(x-l),與拋物線G的方程聯立

y=笈(％_1)'

得上2/一(2左2+4)元+左2=0,

23+4,%3%4=L

??x3+x4=

42+1

+%+2=-

2t_3+4〃永2_(8+3"+6

\AB\+\MN\~6[k2+1)+4[k2+1)~12(/+1)

212

要使畫+而河為常數，則8+3'=6，解得，=-§，

2211

故存在使得由+畫為定值1

【例7】(2023屆江蘇省南京市高三上學期測試)已知點B是圓心(》-1)2+〉2=16上的任意

一點，點/(-1,0)，線段的垂直平分線交BC于點P.

(1)求動點P的軌跡E的方程；

(2)設曲線E與x軸的兩個交點分別為4,4,。為直線x=4上的動點，且Q不在無軸上,。4與E

的另一個交點為M,Q42與E的另一個交點為N,證明：A的周長為定值.

【解析】(1)因為點P在8尸垂直平分線上,所以有PE=PB,

所以：P/+PC=PB+PC=BC=r=4,即尸產+PC為定值4>2,

所以軌跡E為橢圓，且。=2,c=l,所以從=3,

22

所以軌跡E的方程為：工+乙=1.

43

(2)由題知：A")，4(2,0),

設。(4，。，yj,N&,%)

則％%=(%=5

所以Q4方程為：y=；(x+2),QA2方程為：y=^x-2),

62

y=#+2)

(54-2?18?

聯立方程：22，可以得出〃：

、27+產'27+/

——x+—y=1,

143

"2T-6-6t'

同理可以計算出點N坐標:

、3+產’3+產y

~~6t

當kMN存在，即rw%即fH±3時,kMN=

所以直線MN的方程為：＞+獸方=-犬

即：丫=-瑞龍+瑞=一為GT），所以直線過定點（1，°），

即過橢圓的右焦點工，所以△W0N的周長為4a=8.

當％不存在，即產=9,即，=±3時，

可以計算出再=%=1,周長也等于8.

所以△FMN的周長為定值8.

三、跟蹤檢測

22

1.（2023屆北京市高三上學期入學定位考試）已知橢圓C：[+當=1（其中。＞6＞0）的

ab

離心率為*，左右焦點分別為F}（-1,0）,5（1,0）.

⑴求橢圓C的方程；

（2）過點可作斜率為k的直線與橢圓C交于不同的A,B兩點，過原點作AB的垂線，垂足為D若

點。恰好是耳與A的中點,求線段AB的長度.

2.（2023屆福建省部分名校高三上學期9月聯考）已知兩點M（0，-4）,N（0,4）,動點P在x軸

的投影為Q,且PMPN=3尸。2,記動點P的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程.

（2）過點F（2A/6,0）的直線與曲線C在丁軸右側相交于A,B兩點，線段AB的垂直平分線與x

軸相交于點”，試問當是否為定值？若是,求出該定值；若不是，請說明理由.

FH\

22

3.（2023屆四川省巴中市高三上學期考試）已知橢圓C：1T+方=1（。＞6＞0）的左、右頂

點分別為A、B,點小山在橢圓C上,且直線上4的斜率與直線PB的斜率之積為

⑴求橢圓C的方程；

（2）若圓尤2+/=1的切線/與橢圓C交于P、Q兩點，求盧Q|的最大值及此時直線/的斜率.

22

4.（2023屆安徽省部分校高三上學期摸底考）已知。為坐標原點，橢圓C:二+匕=1過點

1612

M,N,P,記線段的中點為Q.

⑴若直線的斜率為3,求直線。。的斜率;

⑵若四邊形OMPN為平行四邊形，求IMN|的取值范圍.

22

5.（2023屆遼寧省朝陽市高三上學期9月月考）已知雙曲線C:，-￡=l（a>0,b>0）的離

心率為后，點尸（3,-1）在雙曲線C上.

⑴求雙曲線C的方程；

⑵點A,B在雙曲線C上，直線上4,PB與y軸分別相交于M,N兩點，點Q在直線AB上,若坐標

原點。為線段的中點,PQ，4?,證明：存在定點R,使得|。因為定值.

22

6.（2023屆北京市房山區高三上學期考試）已知橢圓C:J+「=l（a>b>0）的長軸的兩個

ab

端點分別為A（—2,0）,8（2,0）離心率為等.

（1）求橢圓C的標準方程；

Q）M為橢圓C上除A,B外任意一點，直線AM交直線x=4于點N,點。為坐標原點，過點O且

與直線垂直的直線記為/,直線交y軸于點尸,交直線I于點、。，求證：黑^為定值.

7.（2022屆浙江省“數海漫游”高三上學期模擬）已知斜率為左的直線/與拋物線V=4x交于

兩點,y軸上的點P使得△ABP是等邊三角形.

（1）若Q0,證明：點P在y軸正半軸上；

（2）當I。尸I取到最大值時，求實數上的值.

22

8.（2022屆上海市建平中學高三上學期考試）設實數ZH0,橢圓Z）：二+乙=1的右焦點為

62

￡過F且斜率為k的直線交。于P、0兩點,若線段PQ的中為N點O是坐標原點，直線ON

交直線x=3于點M.

（1）若點尸的橫坐標為1,求點Q的橫坐標；

（2）求證：MFLPQ.

（3）求謁\PQ的\最大值.

r2v2

9.（2022屆江蘇省南京高三上學期12月聯考）已知橢圓C鼻+今=1（〃>人>0）的離心率

為巫，右頂點為A,過點33,1）的直線I與橢圓C交于不同的兩點M,N,其中點M在第一象限

2

當點關于原點對稱時，點M的橫坐標為血.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點N作x軸的垂線,與直線AM交于點P,Q為線段NP的中點，求直線AQ的斜率，并求

線段A。長度的最大值.

10.（2022屆廣東省華南師范大學附屬中學高三上學期綜合測試）己知橢圓

C:）+/=1（°＞匕＞0）經過點M（0,3）,離心率為5.

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線/：'=履-1與橢圓C相交于48兩點，求四?修|的最大值.

11.（2022屆百校聯盟高三上學期11月質監）在平面直角坐標系中，動點P（x,y）,滿足

+y2—+/=4，記點P的軌跡為E.

（1）請說明E是什么曲線，并寫出它的方程；

（2）設不過原點。且斜率為g的直線，與E交于不同的兩點A,8,線段A3的中點為T,直線

OT與E交于兩點C,請判斷|酬?附與|比|?四|的關系，并證明你的結論.

22

12.（2022屆河南省縣級示范性高中高三上學期11月尖子生對抗賽）已知橢圓C：=+二=1

ab

（a〉b〉0）與過原點的直線相交于A,B兩點,上頂點”（0,1）滿足%?％=-；（其中女表

示直線的概率）.

（1）求橢圓C的標準方程；

⑵若與直線A3平行且過橢圓C的右焦點工的直線/交橢圓C于P,。兩點,證明：粵為

r

定值.

22

13.（2022屆江蘇省泰州市高三上學期12月階段性測試）已知橢圓c：^+春=1（。＞＞＞0）,

短軸長為2挺，離心率為手.過右焦點廠且不與坐標軸垂直的直線/交橢圓于A、3兩點,A2

的中垂線交了軸于點Af,交直線x=2近于點N.

（1）求C的方程；

⑵求局\A的B\大小;

（3）證明：A、M、8、N四點共圓.

14.（2022屆上海市黃浦區高三一模）設常數〃?>0且加片1,橢圓「：J+y2=i,點尸是「上

m

的動點.

（1）若點尸的坐標為（2,0）,求r的焦點坐標；

（2）設7"=3,若定點A的坐標為（2,0），求|上4|的最大值與最小值；

（3）設根=g,若「上的另一動點。滿足OP，。。（。為坐標原點），求證：。到直線尸。的

距離是定值.

15.（2022屆重慶市巴蜀中學高三上學期月考）已知圓［：（尤+iy+y2=16，E（L0）,M為圓

片上的動點，若線段崢的垂直平分線交町于點P.

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）已知7（1%）（%>°）為C上一點，過T作斜率互為相反數且不為。的兩條直線7X,7B分

別交曲線C于A,兄求I蜴的取值范圍.

專題3圓錐曲線中的長度問題

一、考情分析

圓錐曲線中的長度問題是直線與圓錐曲線中最基本的問題,一般出現在解答題第2問,常見的

有焦半徑、弦長、兩點間距離、點到直線距離、三角形周長等，求解方法可以用兩點間距離

公式、弦長公式、點到直線距離公式、函數求最值等.

二、解題秘籍

(一)利用兩點間距離公式求線段長度

若直線與圓錐曲線的交點坐標已知或可求,可直線利用兩點間距離公式求線段長度.

【例1】(2022屆山西省呂梁市高三上學期12月月考)在平面直角坐標系xQy中，已知橢圓

222

C:=+多=1(。>6>0)的右準線為/：X=4(定義：橢圓C的右準線方程為x=2,其中

abc

C=da2—t>2)?點尸是右準線上的動點，過點p作橢圓c的兩條切線,分別與y軸交于M,N兩

點.當尸在x軸上時,1。尸

(1)求橢圓C的方程；

(2)求|A〃V|的最小值.

【解析】(1)由題意可知,當尸點坐標為(4,0)時,|OP1=11=4,

不妨設點M在點N上方，則M(0,2),N(0,-2),

1c

y=-x-2,

12

所以直線=2與橢圓。相切，將直線NP與橢圓方程聯立,22

2%-1

二十”T

消去%整理得(4/+)尤2—+166—4。%2=0,

則A=64a4-4(4從+叫(16/-)=0,整理得.+/=m,

2

又幺=4,/52+02,解得片=4或/=16(舍去)，所以1=3,

C

22

即橢圓C的方程為工+匕=1；

43

(2)設尸(4/),切線方程為y=左(無-4)+，=辰一4左+/,

y=kx-4k+t,

將切線方程與橢圓聯立2

—+—=1,

[43

2*4

消去又整理得(4左2+3)X+8k(t-4k)x+4(f-4左『-12=0,

貝ijA=64k2(t-4k)2-4(4fc2+3)[4。-—12]=0,

整理得12左2—8法+/一3=0,

設切線PM斜率為K，直線PN斜率為k2,

則M（0，?4.）,N（OJ_4魚），且勺+&='?他=彳/，

所以|MN|=4W—周=4,（%+自I-4.履,

1

將人+心=],柩2=K代入上式'整理得MN1=|#+9>4,

當t=0時,上述等號成立，即IMN|的最小值為4.

（二）利用y11+k2|西-三|求距離

設斜率為網存0）的直線/與圓錐曲線C相交于力⑺刈網血?）兩點，則|"|=[1+的龍2—卻.

其中求咫一對通常使用根與系數的關系，即作如下變形：咫一為|=J（X]+電）2-4%%,

22

【例2】（2022屆陜西省安康市高三下學期聯考）已知橢圓C』+方=1（a>6>1）長軸的頂點

與雙曲線D:《-力■=：!實軸的頂點相同，且C的右焦點廠到。的漸近線的距離為叵.

4b'7

⑴求C與。的方程；

（2）若直線/的傾斜角是直線y=（0-2卜的傾斜角的2倍，且/經過點尸,/與C交于A、3兩

點，與￡）交于M、N兩點，求U,

【解析】（1）由題意可得a?=4,則a=2.

b

因為。的漸近線方程為y=±1x,即法±2y=0,

b^-b1

橢圓c的右焦點為產（"工^o）,由題意可得二號,Qb>l,解得b=6,

故橢圓C的方程為?+回=1,雙曲線。的方程為1-1=1.

4343

（2）設直線y=（君-2）尤的傾斜角為a,

,八2tana2（A/5-2）」

所以，直線/的斜率為人tan2a=匚能

所以直線/的方程為y=g(x-l),

聯立<"5(1)得4/一2X一11=0,貝1」4=4+4x4xll>0,

3^2+4y2=12

111

設4(%，%)、3（芍,%）廁%+%=尸二；

3x2-4y2=12

聯立1，、可得2d+2x-13=0A=4+4x2xl3>0.

y=?T）

設點〃(工,%)、四了4，%),則三+匕=-1,三龍4=一彳，

所以河［+出小+/4*=半，故居4島二萼

(三)利用求距離

設斜率為秘邦)的直線/與圓錐曲線C相交于A(xi,yi)I(X2,y2)兩點，則四|=注+頡一m

當消去x整理方程為關于y的一元二次方程常用此結論.其中求M—yil時通常使用根與系數

的關系，即作如下變形：\y2~yi\=J(M+%)2-4必當.

22

【例3】(2023屆重慶市巴蜀中學校高三上學期月考)已知橢圓c：j+2=1(。>6>0)的離

ab

心率e=叵;上頂點為A,右頂點為B,直線AB與圓O:/+y=1相切.

2

(1)求橢圓C的標準方程；

⑵設與圓。相切的直線/與橢圓相交于MN兩點，。為弦肱V的中點,0為坐標原點.求

IOQMMNI的取值范圍.

【解析】（1）由e=￡=知Q=sj2b=42c,

a2

原點。到直線AB的距離為"=/"=贈=$=\電=

=A/3,

G+b?Y3bJ3

___-1

故橢圓C的標準方程為33一.

2

(2)左MN=0時：。(0,1),加(一1,1)3(1,1),或0(0,-1),"(一1,-1)小(1,一1),故|04|肱\仁2；

直線MN斜率不存在時,Q(1,O)M1」),N(1,-1),或2(-l,0),M(-l,l),7V(-l,-l).故

|(?e|-|w|=2；

直線MN斜率存在且不為0時：設直線/的方程為x=〃y+f(加70),

由直線/與圓爐+產=1相切，所以d=7^=l,即產=/+1,

+1

(22

尤+y-1

3|得)瘦

聯立(1+2/+2y+/-3=0,

x=my+t,

設加（七,%）,陽%2，%）,

It

療+2'

2gm2，6+3療-2?

m2+2m2+2

22

m+lUm+4m21

故|OQ|?|肱V|=2?1=21+4/2“=21+

2m+4m+4一24；

m+2m+F+4

m

m2+3+422.m2?二■+4=8,當且僅當療4

2，m=±^2時等號成立,

mVmm

2<21+------\——

244

陰+F+41

m7

綜上：|。。|回|的取值范圍是2卷.

（四）利用點到直線距離公式求垂線段的長

1.若已知定點尸,點。在動直線上，求|尸最小值，常利用點到直線距離公式;

2.若點尸在定直線上，點。為曲線上，求最小值，有時可轉換為與定直線平行的切線的切點

到定直線的距離.

【例4】（2023屆上海市華東師范大學第二附屬中學高三上學期考試）設有橢圓方程

22

「二+當=l（a>b>0）,直線/：x+y-6=0,「下端點為A,左、右焦點分別為

ab

耳(-1,0)、鳥(1,O),M在/上.

⑴若a=&,AM中點在X軸上，求點”的坐標;

3

⑵直線I與y軸交于8,直線AM經過右焦點F2，且cosZBMA=二，求人；

⑶在橢圓r上存在一點P到/距離為d,使缶+d=4A/2，當。變化時，求d的最小值.

【解析】(1)因為左焦點E(T。),所以c=l,由題知"血,所以6=1,4(。,-1),

又因為AM中點在x軸上,所以點M的縱坐標為1,代入x+y-6=0中的x=5,

所以點M坐標為(5,1).

(2)

如圖，設直線/與x軸交點為C,

3兀

因為直線/為x+y-6=0,所以直線/的傾斜角為?，

4

cosZBMA=cos[/MF2c+^=^(cos/MF2c-sinZMF2C)①,

由題意知,|。4|=6|。6|=1,恒閶=7^71所以在放工。工中，

1b

cosZAFO=cos/MF2c=「=sinZAFO=sin/MF2c=/

2+1，2+]，

J91-b31

所以cos5MA=一?^^==二,整理可得7/_50〃+7=0,解得匕==或匕=7,

257

J?1-b31

又因為35即以=3-丁==彳,所以〃<1/=7舍去,6=亍.

y=一尤+m

(3)設直線/平移后與橢圓相切的直線/'方程為y=-x+〃?,聯立d2,

—+ZT=1

得(4+萬2)x?-2ma2x+nra2-a2b2=0,

A=4療/_4(/+k)(療/_合⑹=4a2b2(2/一/一1)=0,所以療=2/_1,

因為橢圓上存在點P到直線/的距離為小近〃+1=4四,即1=4&-缶

所以叵n<4后-缶<莊二小①,同時1<.<4，

V2A/2

又因為l<a<4,所以①式右側肯定成立，左側可以整理為6-亞—<8-2a,

解得上

22

因為d=4&-缶，所以當。取得最小值上池時,d有最大值，最大值為2及+6

2

（五）利用函數思想求距離最值

求圓錐曲線上的動點到一定點距離的最值，有時可設出動點坐標,利用距離公式把問題轉化為

函數求最值.

22

【例5】已知橢圓C:]+方=l（a>6>0）的長軸長為4后點（"佝在C上.

（1）求C的方程；

（2）設C的上頂點為A,右頂點為8,直線/與A3平行，且與C交于M,N兩點，而=木，點尸

為C的右焦點，求刊的最小值.

【解析】（1）因為C的長軸長為4豆，所以2a=46,即a=2若.

又點（6網在C上,所以9+怖=1,代入a=26解得〃=8,

22

故C的方程為上+匕=1.

128

（2）由（1）可知4,5的坐標分別為（0,20）,（26,0）,

直線A3的方程為伍+益-2#;0,

設/:后x+百>+加=0（加w-2后）,

聯乂<128得4x2+2\/2mx+療-24=0,

y/2x+y/3y+m=0

由A=8>—16（>—24）=384-8m2>0,得“<48,

設yj,N?，%）,。（%0,%）,因為而=品，所以。為MN的中點，

貝字，

因為A/ZX0++"z=0,所以%=—“利，

又尸的坐標為（2,0）,

所以|￡>F|=]5一2）2+￥=夜改+4+皆=J號+應及+4

m=-竽時,仞川取得最小值，且最小值為強.

（六）利用圓錐曲線定義求長度

與圓錐曲線焦點弦或焦半徑有關的長度計算可