2025高考數學考點剖析精創專題卷二-函數與導數

一、選擇題

x—4x〉1I-

1.已知aeR,函數/(x)=|''若/(/(逐))=4,則a的值為()

|x-3|+a,x<1,

A.3B.lC.-4D.2

2.已知函數/（x）在R上單調遞減，且為奇函數.若/⑴=-1,則滿足-lW/（x-2）＜1

的x的取值范圍是（）

A.[-2,2]B.[-l,l]C.[0,4]D.[l,3]

3.在平面直角坐標系內，將函數/（x）=/+i-2（。〉0,。71）的圖象向左平移1個單

位長度，再向上平移1個單位長度，則所得新函數g（x）的圖象恒過定點（）

A.(-2,0)B.(0,l)C(2,-l)D.(0,-l)

03

4.=log20.3,b=log[0.4,c=O.4,則a,b,c的大小關系為().

2

Ka<b<cB.c>a>bC.b<c<aD.a<c<b

5.我國的5G通信技術領先世界，5G技術的數學原理之一是著名的香農（Shannon）

公式，香農提出并嚴格證明了在被高斯白噪聲干擾的信道中，計算最大信息傳送速率。

的公式C=^」og21l+*],其中”是信道帶寬（Hz）,5是信道內所傳信號的平均功

率（W）,/V是信道內部的高斯噪聲功率（例，其中號叫做信噪比.根據此公式，在不

N

改變〃的前提下，將信噪比從99提升至2,使得C大約增加了60%,則2的值大

約為（參考數據：10°葭1.58）（）

A.1559B.3943C.1579D.2512

log,x,x>0,

2

6.已知函數/(x)=〈函數g(x)=/.若函數y=/(x)-g(x)有3個

11S

aXH--一…,

2

零點，則實數a的取值范圍為()

B.4C.吟

A.(-oo,3)口?吟

7.已知定義在R上的函數/(x)的導函數為/'(X),且滿足/'(x)-/(x)〉0,則不等式

e47(3x-4)>e2V(x)的解集為()

A.(2,+8)B.(e,+oo)C.(-oo,e)D.(—叫2)

8.若對任意的小%e(加,+oo),且為＜馬，』”一31呻〉i,則實數6的取值范

xx-x2

圍是()

2

A.-,eB.-,+ooC.[e,+oo)D.|e5+Go

e

二、多項選擇題

9.已知函數/(x)=|log“(x+l)|(a>l),則下列說法正確的是()

A.函數/(%)的圖象恒過定點(0,0)

B.函數/(x)在(0,+00)上單調遞減

C.函數/(X)在-上的最小值為0

D.若對任意xe[1,2],/(%)>1恒成立,則實數a的取值范圍是(1,2)

10.中國傳統文化中很多內容體現了數學的“對稱美”，如圖所示的太極圖是由黑白兩

個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現了一種相互轉化，相對統一的和諧美.

定義：圓。的圓心在原點，若函數的圖象將圓。的周長和面積同時等分成兩部分，則

這個函數稱為圓。的一個“太極函數”.下列說法正確的有()

A.對于圓。，其“太極函數”只有1個

B.函數/(刈="；x,x-0,是圓。的一個“太極函數”

-X-x,x＜0

C.函數/(X)=7—3x是圓。的“太極函數”

D.函數/(xhlnH?TT+x)是圓。的一個“太極函數”

11.設函數/(》)=2/_3狽2+1,貝女)

A.當。＞1時，/(x)有三個零點

B.當。＜0時，x=0是/(x)的極大值點

C.存在a,6,使得x=b為曲線y=/(x)的對稱軸

D.存在a,使得點(1J。))為曲線y=/(x)的對稱中心

三、填空題

12.設QGR,對于任意實數x,記/(1)=111111{|'|一2/2一4%+34一5},若/(x)至少

有3個零點，則實數a的取值范圍為.

13.已知函數/(x)的定義域為R,其圖象關于直線x=2對稱，且/(I+x)+/(I-x)=2,

/(x)在［0』上單調遞減，則/(x)VI在［0,4］上的所有整數解的和為.

x+3x<］

14.已知/(x)=12,一'則使/(x)-e*-加W0恒成立的6的范圍是_____.

—X+2x+3,x>1,

四、解答題

15.已知函數/(x)的定義域為R,對任意的a,beR,都有/(a)/(6)=/(a+b).當x<0

時，f(x)>1,且/(0)w0.

(1)求/(0)的值，并證明：當x>0時，0</(x)<l.

(2)判斷并證明/(%)的單調性.

(3)若"2)=g,求不等式/(5「—6。〉士的解集.

16.已知幕函數/(x)=(2m2+9加-4)/在(-叫0)上為減函數.

(1)試求函數/(x)解析式；

(2)判斷函數/(x)的奇偶性并寫出其單調區間.

17.已知函數/(x)=log2(%2-ax+2),tzeR.

(1)若/(x)是偶函數，求實數a的值及函數/(x)的值域；

(2)若函數/(x)在區間［2,3］上單調遞增，求實數a的取值范圍.

18.已知函數/(x)=ln—-——f-+b(x-1)3.

2-x

(1)若6=0,且/'(x)20,求a的最小值;

(2)證明：曲線y=/(x)是中心對稱圖形；

(3)若/(x)〉—2當且僅當l<x<2,求b的取值范圍.

19.已知函數/(x)=e'—分一小.

(1)當。=1時，求曲線y=/(x)在點。/⑴)處的切線方程;

C2)若/(x)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

參考答案與詳細解析

一、選擇題

1.答案：D

解析：由題意，可得/(痛)=(6)2—4=1,則/(/(V5))=/(I)=|1-3|+?=2+?=4,

解得a=2.

2.答案：D

解析：因為函數/(x)為奇函數，所以/(—1)=—/⑴=1.由—1W/(X—2)<1,得

/⑴W/(x-2)</(-1).又函數/(x)在R上單調遞減，所以-2<1,解得

xe[l,3].

3.答案：A

解析：方法一：將函數/(x)的圖象向左平移1個單位長度，得到/(x+1)的圖象，再

向上平移1個單位長度，得到/(X+1)+1的圖象，即8(%)=/0+1)+1=/+2_1.令

x+2=0,得x=—2,g(-2)=0,故g(x)的圖象恒過定點(-2,0).

方法二：因為2(a>0,awl),令x+l=0,得x=-1,

/(—1)=/—2=—1,所以/(x)的圖象過定點(-1,-1).將點(-1,-1)向左平移1個單位

長度，再向上平移1個單位長度，得到點(-2,0),所以g(x)的圖象恒過定點(-2,0).

4.答案：D

解析：因為log2().3〈log21=0,所以a<0,因為

log10.4=-log,0.4=log2—>log,2=1,所以b>l.

5'-2

因為0<0.4°3<0.4°=1,所以所以

5.答案：C

解析：由題意得印1空式1土⑷一郎1空2(1+90工60%，則座式1上少?1.6,

FFlog2(l+99)log2100

l+A?10016=l032=103xlO0-2?1580,％。1579.故選C.

6.答案：B

解析：如圖，當x>0時，函數/(x)=log]x與g(x)=/的圖象有1個交點.

2

1

要使y=/(x)-g(x)有3個零點，則當x<0時，/(X)=?XH---與g(X)=X2的圖

2

象有兩個交點即可，若。<0,則當x<0時，/(x)W-兩函數圖象沒有交點，所

以。>0.

畫出/(、)，g(x)的大致圖象，如圖所示,

由圖象可知，函數/(x),g(x)的圖象在上,0內至多有一個交點.

若函數/(X)與g(x)的圖象在［-8,-上有兩個交點，則在1-go上沒有交點，

即直線y=-"-；”措與曲線y=/在［一叫一；］上有兩個交點，且函數/(x),g(x)

的圖象在(-±o］上沒有交點，即方程—+辦+工。+”=o在上有兩個解,

I2」2412；

且/(x)=g(x)在［-g,0上沒有解?

設//（X）=X?+axH—ClH--JELO-0+---<0

24

解得5<a<一；

2

若在［-8,-上函數/(x)與g(x)的圖象只有1個交點，則在1-go上函數/(x)與

g(x)的圖象有1個交點，即：=0在1―co,—上只有1個解，且

a>0,

/(乃=8(幻在1-3,0上只有1個解，又［-；］=4〉0,則<

△=〃20

0+--—>0,此時無解.

24

綜上，要使函數/(x)與g(x)圖象在(-叫。)上只有兩個交點，則5<。<萬.

7.答案：A

解析：令g(x)=4，，貝iJg'(x)=/'(x)―/(x)〉0,所以g(x)在R上單調遞增.

由e"(3x-4)〉e2，/(x)，得竺3〉華，即g(3x-4)〉g(x),

ee

又g(x)在R上單調遞增，所以3x—4〉x,解得x〉2,

即不等式eV(3x-4)〉e2，/(x)的解集為(2,+oo).故選A.

8.答案：D

解析：由題可知，m＞0,因為史巴二也五〉1,且0＜西＜/，

再-x2

所以％]In%-x2InXj＜xr-x2,

兩邊同時除以工也得生目—皿＜L—工，即生旦——

x2再x2x1x2x2x1玉

設函數/(x)=g—工，其中xe(0,+oo),

XX

因為當加＜西＜/時，/(%2)＜/(再)，所以/(X)在(加,+8)上單調遞減，因為

r(x)=2一?”，令r(x)=O,得X=e2,當xe(0,e2)時，/'(x)〉0,即/(x)在(O,e?)

上單調遞增，當XG卜2,+00)時,f(x)＜0,即/(X)在卜2,+00)上單調遞減,所以加＞e2.

故選D.

二、多項選擇題

9.答案：ACD

解析:

/(0)=0,所以f(x)的圖象恒過定

AV

點(0,0).

當（0,+8）時，X+1€（1,+8）,又

Q〉1,所以

/（X）=log“（X+1）=log“（X+1）,由

BX

復合函數單調性可知，xe（0,+oo）

時，/（X）單調遞增.

當xe--,1時，x+1e—,2,

L2」12」

CV

所以

/(x)=loga(x+1)>loga1=0.

因為對任意xe[1,2],

/(X)=log"(x+1)=log”(X+1)>1

DV

恒成立，且。>1,所以log〃2〉l,

得1<Q<2.

10.答案：BD

解析：對于A選項，圓。的“太極函數”不止1個，故A錯誤；

’2

對于B選項，函數/（%）=「2X"—'當x>0時，/（一%）=-，+工=一/（工），當x<0

-x-x,x<0,

時，/（-x）=x2+x=-/（x）,

故/（X）為奇函數，畫出函數/（X）的簡圖如圖所示，可知函數/（X）為圓。的一個“太

極函數”，故B正確;

對于C選項，函數的定義域為R,/(-X)=-X3+3X=-/W-也是奇函數，畫出函數

/(x)的簡圖如圖所示，當且僅當函數圖象與圓。只有兩個交點時，/(x)為圓。的一

個“太極函數”，故C錯誤；

對于D選項，函數的定義域為R,

/(-x)=Infr+1-x)=In/2——=+1+xj=-/(x),故為奇函數，

y=Inx,y=A/X2+1?y=x在(0,+co)上均單調遞增，所以/(x)=ln(J/+1+x)在

R上單調遞增，畫出函數/(x)的簡圖如圖所示，可知函數/(x)=ln(G_7T+x)是圓

。的一個“太極函數”，故D正確.

故選BD.

/(%)=ln(>/t2+i+x)

11.答案：AD

解析：由題可知,f\x)-6x(x-a).

對于A,當a>l時，由/'(x)<0得0<x<a,由f'(x)〉0得x<0或x>a,則/(x)在

(-oo,0)上單調遞增，在(0,a)上單調遞減，在伍,+oo)上單調遞增，且當X--8時，

f(x)—>-co,/(0)=1,/(a)=-a3+1<0,當x—>+co時，f(x)—>+co,故/(x)有

三個零點，A正確;對于B,當a<0時，由/'(x)<0得a<x<0，由/'(工)〉0得%>0

或x<a,則/(x)在(-叫。)上單調遞增，在(a,0)上單調遞減，在(0,+co)上單調遞增,

故x=0是/(x)的極小值點，B錯誤；

對于C,當X—>+co時，f(X)—>4-CO,當xf-00時，f(x)—>-co,故曲線y=/(x)必

不存在對稱軸，C錯誤；

對于D,解法一：f(x)=2x3-3ax2+1=2一ga2-+1-,，令fx—￡,

則/(X)可轉化為g(7)=2〃—5。2(+1一三，由y=2/3—/為奇函數，且其圖象關于

(3、/3\

原點對稱，可知g(7)的圖象關于點0,1-—對稱，則/(X)的圖象關于點-,1--對

、2J122,

稱，故存在a=2,使得點(1J⑴)為曲線y=/(x)的對稱中心，D正確.故選AD.

解法二：任意三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(aw0)的圖象均關于點

(b_、

13一,1成中心對稱，D正確.故選AD.

三、填空題

12.答案:[10,+oo)

解析：令8(])=，一。1+3。-5=0,貝!)關于〉的方程12—。工+3。-5=0的判另1」式

△=〃-12(2+20.

(1)當△<()時，函數g(x)=，—ax+3a-5無零點，從而/(x)不可能有3個及以上

的零點.

(2)當△=()時，a=2或a=10,

①當a=2時，/(x)=min(|x|-2,x2-2x+1|=|x|-2,如圖L有2個零點，不符合

要求;

(3)當△>()時，a<2或。>10,

①當。>10時，函數g(x)=/—ax+3a-5圖象的對稱軸為直線x="|〉5〉2,函數

y=|x|和y=g(x)的圖象如圖3,若/(%)至少有3個零點，則g(2)=tz-l>O,BPtz>l,

所以a>10；

圖3

②當。<2時，函數g(x)=X2—ax+3a—5圖象的對稱軸為直線x=￡<l,此時/(x)只

有2個零點.綜上所述，a>10.

13.答案：6

解析：因為函數/(x)的定義域為R,且/(l+x)+/(l-x)=2,所以函數/(x)的圖象

關于點(1,1)對稱，且/⑴=1.由/(x)在［0,1］上單調遞減，且/(x)的圖象關于點(1,1)和

直線x=2對稱，可畫出/(x)在［0,4］上的大致圖象，如圖所示，可得/(x)在［0,2］上

單調遞減，在［2,4］上單調遞增.由對稱性可得〃1)=/(3)=1,所以/(x)Wl在［0,4］上

的所有整數解為1,2,3,其和為1+2+3=6.

14.答案：［2,+8)

解析：因/(x)-ex-m<0<^m>/(x)-e*,令g(x)=/(x)-e'xeR,依題

意,X/xeR,加之g(x),當x時,g(x)=x+3-e"求導得g'(x)=l-e*,當x<0

時,g'(x)〉0,當0<x<l時,g'(x)<0,

因此g(x)=x+3-e2在(-00,0)上單調遞增，在(0,1)上單調遞減,當x=0時,g(x)取得

極大值g(0)=2；當x>1時,g(x)=-x2+2x+3-ex，求導得g(x)=-2x+2-ex,g'(x)

在(l,+oo)上單調遞減,g'(x)<0,于是得函數g(x)=-x2+2x+3-F在(1,+co)上單調遞

減,g(x)<g⑴=4一e<2,因止匕g(x)max=2,則加22,所以/77的取值范圍是[2,+co).故答

案為:[2,+00).

四,解答題

15.答案：(1)/(0)=1,證明見解析

(2)/(x)在R上單調遞減.證明見解析

⑶H-2)

解析：⑴令。=6=0,則"(0)『=/(0),又/(0)10,所以/(0)=令

當x>0時，-x<0,所以/(-x)〉l.

又/(x)/(-x)=/(x-x)=/(0)=l,

所以/(x)="1，即0</(x)<L

/(-x)

(2)/(x)在R上單調遞減.證明如下：

設X]<々，則/(再)—/(%2)=/(再一/+/)—/(%)

=/(%1-x2)/(x2)-/(x2)=/(x2)[/(x1-x2)-l].

又西<》2，所以西一刀2<0，所以/(國一了2)>L

又當x<0時，/(x)>1,當x>0時，0</(x)<l,/(0)=1,所以/(x)〉0恒成立,

即/(%)>0,所以/(xj—/(Z)>0,即/(再)>/(%)，

所以/(x)在R上單調遞減.

(3)因為〃2)=：,所以/⑻=/(2)/⑹=〃2)/(2)力4)=[/(2)r=J，

216

所以/(5產—6。〉看，即/(5(一6/)>/(8).

4

又/(X)在R上單調遞減，所以5/2—6/<8,解得-]<2,

所以不等式/(5〃—67)〉'的解集為1-g".

16.答案：(1)/(x)=x-5

(2)奇函數，其單調減區間為(-叫0),(0,+s)

解析：(1)由題意得，2〃/+9〃?—4=1,解得加=!或加=—5,

2

11

經檢驗當加=萬時，函數/(x)=/在區間(-00,0)上無意義，

所以加二一5,貝!!/(%)=%一5.

(2)/(%)=-=3，.?.要使函數有意義，則xwO,

x

即定義域為(-*0)(0,+s),其關于原點對稱.

,該幕函數為奇函數.

當x>0時，根據幕函數的性質可知/(乃=獷5在(o,+oo)上為減函數,

函數/(x)是奇函數，.,.在(-叫0)上也為減函數,

故其單調減區間為(-叫0)，(0,+oo).

17.答案：(1)。=0；函數/(X)的值域是口,+oo)

(2)(-oo,3)

解析：(1)若/(x)是偶函數，則/(-%)=/(%),

即log2(x?+ax+2)=log2優—辦+2),

貝"+ax+2=x2-ax+2,

即2ax=0恒成立，所以a=0.

經驗證，a=0時，/(x)=log2(x2+2)為R上的偶函數，符合題意.

2

因為V+222,所以/(x)=log2(x+2)>log22=l,

故函數/(X)的值域是［1,+00).

(2)因為函數/(x)在區間［2,3］上單調遞增，且y=log2/為定義域上的增函數,

所以/=/—ax+2在［2,3］上單調遞增，且xe［2,3］時，x2-ax+2>0,

fc<2,

所以2一'解得a<3.

22-2a+2>0,

故實數a的取值范圍是(-*3).

18.答案:(1)-2

(2)證明見解析

2

(3)——,+00

3

解析：(1)/(x)的定義域為(0,2),

若6=0,貝ij/(x)=ln———bax,f\x)=-——~+a=——----\-a,

2-xx(2-x)2x(2-x)

當xe(0,2)時,x(2-x)e(0,l],f'(x)mio=2+a>0,則心―2,

故a的最小值為-2.

2—X

(2)f(2-x)=ln——+a(2-x)+b(l-x)3

x

——In-----ax—Z?(x—I)，+2a

2—x

=-f(x)+2a,

故曲線y=/(x)關于點(1,a)中心對稱.

(3)由題知/(I)=a=-2,

此時/(x)=In----2x+b(x-I)3，

2-x

r(x)=三.—2+3g—1)2

x，('2-岑x)

--------2+3b(x-1)2

x(2-x)

=(1)2---+3b.

x(2-x)

2

記g(x)=-------+3Z?,XG(0,2),易知g(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,2)上單調遞

x(2-x)

增，g⑴=2+36,

2

當62—§時，g(x)>0,f\x)>0,/(x)在(0,2)上單調遞增,

又/(1)=-2,故符合題意.