第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年四川省內江市某中學高二（上）期末數學試卷一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在平面直角坐標系xOy中，直線x4?y8=1在A.?8 B.8 C.?18 2.已知平面四邊形OABC用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為1的正方形O′A′B′C′，則原圖形OABC中的AB=(

)A.2

B.22

C.33.已知雙曲線y212?x2bA.y=±12x B.y=±2x C.y=±4.已知a,b,cA.若xa+yb+zc=0，則x=y=z=0

B.a,b,c兩兩共面，但a,b5.過點P(4,1)的直線l與圓(x?3)2+y2=4相交于A，B兩點．記p：直線l的斜率等于0，q：|AB|=23A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件6.已知F1，F2是橢圓x224+y249=1的兩個焦點，A.24 B.26 C.222 7.平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，∠A1AD=∠A1AB=πA.0B.32

C.128.過雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)左焦點F的直線l與C交于M，N兩點，且A.2 B.7 C.3 D.9.記直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，命題p：“若k1=k2，則l1//A.p∧q B.p∧?q C.?p∧q D.?p∧?q二、多選題：本題共2小題，共12分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。10.如圖，棱長均為2的正三棱柱ABC?A1B1C1中，M、N分別是AB、A.B1C1//平面A1CM

B.AN⊥A1C

C.B1到平面A11.1694年瑞士數學家雅各布?伯努利描述了如圖的曲線，我們將其稱為伯努利雙紐線，定義在平面直角坐標系xOy中，把到定點F1(?a,0)，F2(a,0)距離之積等于a2(a>0)的點的軌跡稱為雙紐線，已知點P(x0,yA.雙紐線C的方程為(x2+y2)2=2(x2?y2)

B.?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(0,2,0),b=(1,?1,0)，則a在b13.若一個圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，則這個圓錐的側面積為

．14.拋物線有一條重要性質：從焦點出發的光線，經過拋物線上一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.已知點F為拋物線C：y2=2px(p>1)的焦點，從點F出發的光線經拋物線上一點反射后，反射光線經過點(10,1)，若入射光線和反射光線所在直線都與圓E：(x?116)四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，四邊形ABCD是一個菱形，∠DAB=60°，∠DAB=60°，點P為BC1上的動點．

(1)證明：DP//平面16.(本小題12分)

已知過點(2,22)的拋物線方程為y2=2px(p>0)，過此拋物線的焦點的直線與該拋物線交于A，B兩點，且|AB|=12．

(1)求該拋物線的方程、焦點坐標、準線方程；

17.(本小題12分)

已知a>0，三條直線l1：ax?y+a=0，l2：x+ay?a(a+1)=0，l3：(a+1)x?y+a+1=0兩兩相交，交點分別為A，B，C．

(1)證明：△ABC是直角三角形，且有一個頂點為定點；

(2)求18.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，PC=PD=2，點E在棱PB上，且PD//平面ACE．

(1)求證：E為PB中點；

(2)求二面角E?AC?D的余弦值；

(3)在棱PD上是否存在點M，使得AM與平面ACE所成角的正弦值為23？若存在，求出PM19.(本小題12分)

在平面直角坐標系xOy中，點P(x1,y1)，Q(x2,y2)，若以x軸為折痕，將直角坐標平面折疊成互相垂直的兩個半平面(如圖所示)，則稱此時點P，Q在空間中的距離為“點P，Q關于x軸的折疊空間距離”，記為Z(PQ)．

(1)若點A，B，C在平面直角坐標系xOy中的坐標分別為A(1,2)，B(?2,3)，C(3,?4)，求Z(AB)，Z(AC)的值；

(2)若點D，P在平面直角坐標系xOy中的坐標分別為D(0,?1)，P(x,y)，已知點P滿足Z(DP)=2，求點P在平面直角坐標系xOy中的軌跡方程；

(3)若在平面直角坐標系xOy中，點E(?1,3)是橢圓y212+x24=1參考答案1.A

2.C

3.C

4.C

5.A

6.A

7.A

8.B

9.C

10.BCD

11.ABD

12.(?1,1,0)

13.2π

14.3215.解：(1)證明：由題知，由BB1/?/DD1，BB1=DD1，則四邊形BB1D1D為平行四邊形，

所以BD/?/B1D1，

又因為BD?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，

所以BD/?/面AB1D1，

同理可證，BC1/?/面AB1D1，

由BD?面BDC1，BC1?面BDC1，BD∩BC1=B，

所以面BDC1/?/面AB1D1，

又PD?面BDC1，

所以DP/?/面AB1D1；

(2)取BC中點E，連接DE16.解：(1)已知過點(2,22)的拋物線方程為y2=2px(p>0)，

則(22)2=2×2p，

所以p=2，

所以拋物線的方程為y2=4x，焦點F(1,0)，準線方程為：x=?1；

(2)過此拋物線的焦點的直線與該拋物線交于A，B兩點，

顯然直線AB不垂直y軸，

設直線AB方程為：x=my+1，

聯立x=my+1y2=4x，

消x得：y2?4my?4=0，

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

則有y1+17.證明：(1)記l1，l2的交點為A，記l1，l3的交點為B，記l2，l3的交點為C，

∵l1：ax?y+a=0的斜率為k1=a，l2：x+ay?a(a+1)=0的斜率為k2=?1a，

又∵k1k2=?1，

∴l1⊥l2，即△ABC是直角三角形，其中A=90°，

又∵l1：ax?y+a=0?y=a(x+1)，

∴過定點(?1,0)，l3：(a+1)x?y+a+1=0?y=(a+1)(x+1)，

∴過定點(?1,0)，△ABC有一個頂點B為定點(?1,0)；

(2)解：△ABC的面積為S=12|AB||AC|，

其中AB為B(?1,0)18.解：(1)證明：連結BD交AC于點F，連結EF，

因為底面ABCD是矩形，所以F為BD中點，

因為PD/?/平面ACE，PD?平面PBD，平面PBD∩平面ACE=EF，

所以PD/?/EF，

又因為F為BD中點，所以E為PB中點．

(2)取CD的中點O，連結PO，FO，

因為底面ABCD為矩形，所以BC⊥CD，

因為PC=PD，O為CD中點，所以PO⊥CD，OF/?/BC，

所以OF⊥CD，

又因為平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PO?平面PCD，PO⊥CD，

所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OF，所以OF，OC，OP兩兩垂直，

如圖，建立空間直角坐標系O?xyz，則由題意可得：

A(1,?1,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，P(0,0,1)，E(12,12,12)，D(0,?1,0)，

則AC=(?1,2,0)，AE=(?12,32,12)，OP=(0,0,1)，

由上可知OP=(0,0,1)為平面ACD的一個法向量，

設平面ACE的法向量為n=(x,y,z)，

所以AC?n=?x+2y=0AE?n=?12x+32y+12z=0，

令y=1，則x=2，z=?1，所以n=(2,1,?1)，

所以cos<OP,n>=OP?n|OP||n|=?11×22+12+(?1)19.解：(1)若點A，B，C在平面直角坐標系xOy中的坐標分別為

A(1,2)，B(?2,3)，C(3,?4)，

如圖建立空間直角坐標系，

則點A，B，C在空間中的坐標分別為A′(0,1,2)，B′(0,?2,3)，C′(4,3,0)，

∴Z(AB)=(0?0)2+(?2?1)2+(3?2)2=10；

Z(AC)=(4?0)2+(3?1)2+(0?2)2=26．

(2)證明：由題意可知，點D在空間中的坐標為D′(1,0,0)，對P點分類討論，

①當點P在x軸的上半平面，即y≥0時，點P在空間中的坐標為P′(0,x,y)，

∴Z(DP)=(0?1)2+(x?0)2+(y?0)2=2，化簡得：x2+y2=1，(y≥0)，

因此，在平面直角坐標中，點P在x軸的上半平面的軌跡為以為圓心，以1為半徑的半圓．

②點P在x軸的下半平面，即y<0時，點P在空間中的坐標為P′(?y,x,0)，

Z(DP)=(