江西省宜春市豐城九中等五校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月第一次聯(lián)考（期中考試）數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線l1：ax?y?1=0，l2：ax+(a+2)y?1=0.若lA．0或?3 B．?3 C．0 D．?1與02．已知雙曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)為6，且與橢圓y249+A．3x±4y=0 B．4x±3y=0 C．4x±5y=0 D．5x±4y=03．已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0,|φ|<πA．f(x)=sin(2x+π6)C．f(x)=sin(2x+π3)4．PA,PB,PC是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線，每?jī)蓷l射線的夾角均為60°，則直線A．45 B．34 C．235．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)且在(?∞,0)上為增函數(shù)，若a=f(A．c>a>b B．b>a>c C．c>b>a D．b>c>a6．已知點(diǎn)P為直線y=x+1上的一點(diǎn)，M，N分別為圓C1：(x?4)2+(y?1)2=4A．4 B．5 C．6 D．77．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，且(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y),A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．a(chǎn)<c<b D．c<b<a8．△ABC中，A=3B=9C，cosAA．14 B．?14 C．1二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知m，n是不同的直線，A．若m//αB．若m⊥α，n⊥βC．若α//βD．若α//β10．某中學(xué)高二學(xué)生500人，首選科目為物理的300人，首選科目為歷史的200人，現(xiàn)對(duì)高二年級(jí)全體學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科質(zhì)量檢測(cè)，按照分層抽樣的原則抽取了容量為50的樣本，經(jīng)計(jì)算得到首選科目為物理的學(xué)生該次質(zhì)量檢測(cè)的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?5分，方差為154，首選科目為歷史的平均成績(jī)?yōu)?5分，所有樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為16，下列說(shuō)法中正確的是（）A．首選科目為歷史的學(xué)生樣本容量為20B．所有樣本的均值為87分C．每個(gè)首選科目為歷史的學(xué)生被抽入到樣本的概率為2D．首選科目為歷史的學(xué)生的成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為1311．如圖，已知直線l與拋物線y2=2px(p>0)交于A,BA．若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1)B．直線l恒過(guò)定點(diǎn)(pC．點(diǎn)D的軌跡方程為xD．△AOB的面積的最小值為4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ>0且λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓．”后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（－2，0），B（2，0），點(diǎn)P滿足PAPB＝3，則PA·PB的最小值為13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x>y>0，且x+y=2，M=3x+2y+14．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2且傾斜角為60°的直線l四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．“疫苗猶豫”，即盡管疫苗可及，卻遲遲未接種或拒絕接種疫苗的現(xiàn)象.成人接種新冠疫苗的猶豫，主要原因是對(duì)感染新冠肺炎的風(fēng)險(xiǎn)缺乏了解，心存僥幸，認(rèn)為即使不接種也未必會(huì)感染，對(duì)感染的后果也認(rèn)識(shí)不足.現(xiàn)從某小區(qū)未接種的人群中隨機(jī)選出100人，并將這100人按年齡分組：第1組[18,28)，第2組[28,38（1）求出樣本的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）現(xiàn)先從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求第2組中抽到2人的概率.16．如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面ACC1A（1）證明：AC1//（2）求平面AB1C17．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b=4，2bcos（1）求角B的大小；（2）已知直線BD為∠ABC的平分線，且與AC交于點(diǎn)D，若BD=22318．已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，設(shè)復(fù)數(shù)z1=2a?3i，z2（1）若z1?z（2）若復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，且①是否存在實(shí)數(shù)a，b，使向量OB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后與向量OA重合，如果存在，求實(shí)數(shù)a，b的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若O，A，B三點(diǎn)不共線，記△ABO的面積為S(a,b)，求19．已知橢圓C:x2a2（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，若斜率為k（其中k≠0）的直線l過(guò)點(diǎn)F，且與橢圓交于點(diǎn)A，B，弦AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓交于點(diǎn)C，D，求四邊形ACBD面積S的取值范圍.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵l1//l2，∴a(a+2)?(?1)×a=0當(dāng)a=?3時(shí)，直線l1：3x+y+1=0，直線l2：當(dāng)a=0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意；綜上，a=0.故答案為：C【分析】依據(jù)直線平行的公式計(jì)算可求出a的值，注意檢驗(yàn)直線重合.2．【答案】A【解析】【解答】解：橢圓y249+x2而其實(shí)半軸長(zhǎng)為3，則虛半軸長(zhǎng)為52?3所以雙曲線E的漸近線方程為3x±4y=0.故答案為：A【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再求出雙曲線方程即可求得漸近線方程.3．【答案】D【解析】【解答】解：由圖可知，T=π，則ω=2π由圖知，f(x)在x=π6取得最大值，且圖象經(jīng)過(guò)(?π所以?π6+φ=2kπ又因?yàn)閨φ|<π2，所以函數(shù)又經(jīng)過(guò)(0,1)，故f(0)=Asin所以函數(shù)f(x)的表達(dá)式為f(x)=2sin故答案為：D.

【分析】通過(guò)三個(gè)連續(xù)零點(diǎn)的值可以求出函數(shù)f(x)的周期，根據(jù)最小正周期公式可以求出ω的值，將特殊點(diǎn)代入解析式中，可以求出φ，A的值，進(jìn)而確定函數(shù)解析式.4．【答案】D【解析】【解答】解：把PA,PB,PC放在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則P(1所以PC=設(shè)平面PAB的法向量n=(令x=1，則y=1,z=?1，所以所以cos?設(shè)直線PC與平面PAB所成角為θ，所以sinθ=所以cosθ=故答案為：D．【分析】將PA,5．【答案】C【解析】【解答】解：f(x)是定義在R上的偶函數(shù)且在(?∞,0)a=f(lolog23>log22=1故答案為：C【分析】根據(jù)奇偶性和單調(diào)性確定f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，計(jì)算6．【答案】C【解析】【解答】求得C2(0，2)關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為則n?2m=?1n+2由對(duì)稱(chēng)性可得|PC|=|PC則|PC由于|PM|≤|PC∴|PM|?|PN|≤|PC|PM|?|PN|的最大值為6，故答案為：C.【分析】先得C2(0，2)關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C(1，1)，由對(duì)稱(chēng)性可得|PC|=|PC2|7．【答案】A【解析】【解答】解：已知(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y)令x=y=12，代入可得f(1)=1令x=y=1，代入可得2f(2)=f2(1)=令x=1,y=2，代入可得3f(3)=2f(1)f(2)=2e×e由e≈2.71828???可得±2e<e故答案為：A【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)滿足的表達(dá)式以及f(1)=e，利用賦值法即可計(jì)算出a,8．【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC中，A=3B=9C,A+B+C=π，則∴===又sinsinsinsinsinsin上述各式相加得，sin故cos2π故原式=?1故答案為：B．【分析】首先求出C=π9．【答案】B,C【解析】【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)：若m//α，n?α，則m與n可能平行也可能異面，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：若m⊥α，n⊥β，m//n，則α//10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：設(shè)歷史類(lèi)學(xué)生抽取人數(shù)為n，則n200=50設(shè)物理類(lèi)學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為x，方差為s12，歷史類(lèi)學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)為y，方差為s22，所以樣本的平均數(shù)為則由題意可得x=95，s12=154，所以所有樣本的均值z(mì)=每個(gè)首選科目為歷史的學(xué)生被抽入到樣本的概率為20200由方差的計(jì)算公式可得256=3050×[154+所以歷史類(lèi)學(xué)生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為169=13故答案為：ABD【分析】根據(jù)分層抽樣的抽樣比可判斷A；根據(jù)分層抽樣的平均數(shù)計(jì)算公式可判斷B；利用古典概型概率公式判斷C；根據(jù)分層抽樣的方差計(jì)算公式可判斷D.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，∵D(2,∵OD⊥AB，∴kAB=?2,∴有y2+py?5p=0，記A(x由OA⊥OB，得kOA∴p=5對(duì)于B：可設(shè)lAB:x=my+t，聯(lián)立y2=2px則y1+y2=2pm∴t=2p,∴l(xiāng)C選項(xiàng)，∵OD⊥AB，∴D在以O(shè)M為直徑的圓：(x?pD選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知lAB:x=my+2py1S△AOB=1故答案為：ACD.【分析】A選項(xiàng)，求出kOD=12，由垂直關(guān)系得到lAB:y=?2x+5，與拋物線方程聯(lián)立，得到兩根之積，求出kOA?kOB=4p2y112．【答案】-3【解析】【解答】解：已知如圖所示：

設(shè)點(diǎn)P(x,y)，由|PA||PB|=3可得化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得(x?5因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，所以，PA?記圓心為M(52,0)，當(dāng)點(diǎn)P為線段|PO|取最小值，此時(shí)，所以，PA?故答案為：?3.【分析】設(shè)點(diǎn)P(x,y)，利用已知條件求出點(diǎn)P的軌跡方程，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出PA?PB=13．【答案】8【解析】【解答】解：M=3x+2y+12x?y=93x+6y+12x?y，x+y=2，x>y>0；

而且3x+6y+2x?y=5x+5y=10(定值)；

所以3x+6y+2x?y×110=1

所以M=93x+6y+12x?y14．【答案】2【解析】【解答】解：已知如圖所示：

由△AF1F2的面積是不妨設(shè)|AF2|=2x，|BF2|=x，在△AF1F2中，得4x2+4c在△BF1F2中，得x2+4c2①+②×2得x=3a2整理得c2?a2+3c(a故答案為：2【分析】由△AF1F2的面積是△BF1F2面積的2倍，得到|AF15．【答案】（1）解：由10×(0平均數(shù)為：23×0.設(shè)中位數(shù)為x，則10×0.得x≈45（2）解：第1，2組的人數(shù)分別為200×0.1=20人，從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，抽取的人數(shù)分別為2人，3人，分別記為a設(shè)從5人中隨機(jī)抽取3人，為：(a1,a2,b1)，(a1,a2,b2第2組中抽到2人的情況有(a1,b1,b2)，(a【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和為1計(jì)算得到a=0.（2）根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到第1，2組抽取的人數(shù)分別為2人，3人，列出所有情況，統(tǒng)計(jì)滿足條件的情況，得到概率.16．【答案】（1）證明：連接AB1與A1B∵ABC?A1B1C1為三棱柱，又∵D為B1C1又∵OD?平面A1BD，AC1（2）解：解法1：∵CA⊥AB，CA⊥AA1∵AB1?面∴A∵AB=2，AB1以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AB1，AC分別為A(0∴∵AB⊥A∴AB⊥面AB1C，則平面設(shè)平面AA1D的法向量為n2令x=1設(shè)平面AB1C與平面A∴cosθ=∴平面AB1C與平面A解法2：設(shè)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，連接DE交B1C于點(diǎn)Q，連接設(shè)點(diǎn)P為AQ的中點(diǎn)，連接EP∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為B1∴EQ//BB1且EQ=1∵ACC1又∵AC⊥AB，AB∩AA1∴在△ACB1中，AC⊥A∴△AB1而點(diǎn)Q為B1C的中點(diǎn)，∴AQ⊥∵點(diǎn)P為AQ的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)∴FP//B1C又∵在Rt△ABC中，AB=AC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴AE=∴在△AEQ中，AE=EQ=AQ=2，且點(diǎn)P為AQ∴EP⊥AQ且EP=∴∠EPF即為平面AB1C∴在△EFP中，EF=∴cos∠EPF=E∴平面AB1C與平面A【解析】【分析】（1）連接AB1與A1B交于點(diǎn)O，連接OD，通過(guò)AC1//OD，證明AC1//平面A1BD；

（2）解法1：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AB1，AC分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求平面AB1C與平面AA1D的夾角的余弦值．

解法2：取BC中點(diǎn)E，AC中點(diǎn)F17．【答案】（1）解：由已知，得2bcos根據(jù)正弦定理，得2sin即2sin即2sin由于0<B<π，sinB>0所以cosB=1（2）解：因?yàn)镾△ABC所以12因?yàn)橹本€BD為∠ABC的平分線，所以∠ABD=∠CBD=1所以12則3ac=22由余弦定理得b2=a所以16=(a+c)2?3ac=故△ABC的周長(zhǎng)為2【解析】【分析】（1）由正弦定理和sin(A+C)=sinB（2）由三角形面積公式和余弦定理得到a+c=2618．【答案】（1）解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z1所以z1而z1?z2為純虛數(shù)，因此又因?yàn)閦3=a+bi，且|z由a2+b2=1所以z3=?2（2）解：①存在，理由如下：法一：由題意知：|OA|=|OB解得a=?12b=?因?yàn)镺B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后與OA重合，所以a=?1法二：設(shè)|OA|=|OB所以rcos(α+π所以?r?1r=2a且a=?12,所以a=?②因?yàn)閺?fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量分別是所以設(shè)向量OA,OB的夾角為θ，0≤θ≤π，設(shè)復(fù)數(shù)z則OA=(2a,?3)因此△AOB的面積S(a,b)=1=====|a+3設(shè)n=(1,3)當(dāng)且僅當(dāng)b=3a且a2+b所以S(a,b)=|a+3【解析】【分析】（1）計(jì)算z1?z2，然后使其實(shí)部為零，虛部不為零，再結(jié)合|z（2）①方法一：由題意可得|OA|=|OB|OA?OB=0|②設(shè)向量OA,OB的夾角為θ，