第一章集合與常用邏輯用語章節驗收測評卷（考試時間：150分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（貴州省銅仁市2023-2024學年高二下學期7月期末質量監測數學試題）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出集合，再根據交集含義即可得到答案.【詳解】由題意得，則.故選：C.2．（24-25高一上·上海·課后作業）下列集合關系表述正確的是（

）（其中：自然數集，整數集）A． B．C． D．【答案】A【分析】由各數集的含義可得【詳解】為自然數集，為整數集，因為整數集包含自然數集與負整數集，所以；為整數集，為有理數集，因為有理數集包含整數集和小數集，所以為有理數集，為實數集，因為實數集包含有理數集與無理數集，所以為實數集，復數集，因為復數集包含實數集和虛數集，所以，綜上，所以，故選：A.3．（23-24高二下·黑龍江·期末）命題“，”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由否定的定義判斷即可.【詳解】命題“，”的否定為“，”.故選：D4．（23-24高二下·重慶·期末）若命題“，”為假命題，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據命題的否定為真命題，利用判別式即可求解.【詳解】由于“，”為假命題，故其否定為“，”為真命題，則，得，故選：D5．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）命題“對，”為真命題的一個充分不必要條件可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出原命題為真命題的充要條件，再根據題意，找到為其范圍真子集的選項即得.【詳解】由命題“對，”為真命題，可知在上恒成立，當時可得，當時不等式可化為：，設，①因在上單調遞減，故，則，故得；②又因在上單調遞減，在上單調遞增，故，則有，故得.綜上，可得，即命題“對，”為真命題等價于，依題意需使選項的范圍是的真子集，故C正確.故選：C.6．（23-24高一上·安徽安慶·階段練習）對于，用表示不大于的最大整數，例如：，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據取整函數的定義，對兩個條件進行正反推理，即可求解.【詳解】當時，如，，不能得到，由，則，又，所以一定能得到，所以“”是“”成立的充分不必要條件.故選：.7．（23-24高三下·天津南開·階段練習）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】根據絕對值的定義和分式不等式的解法，求得不等式的解集，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，可得，所以，解得，又由，可得，解得，因為是的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8．（19-20高三上·北京海淀·期中）設集合是集合的子集，對于，定義，給出下列三個結論：①存在的兩個不同子集，使得任意都滿足且；②任取的兩個不同子集，對任意都有；③任取的兩個不同子集，對任意都有；其中，所有正確結論的序號是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【分析】根據題目中給的新定義，對于或，可逐一對命題進行判斷，舉實例例證明存在性命題是真命題，舉反例可證明全稱命題是假命題．【詳解】∵對于，定義，∴對于①，例如集合是正奇數集合，是正偶數集合，，，故①正確；對于②，若，則，則且，或且，或且；；若，則，則且；；∴任取的兩個不同子集，對任意都有；正確，故②正確；對于③，例如：，當時，；；；故③錯誤；∴所有正確結論的序號是：①②；故選：A．【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．（2024·廣東·模擬預測）已知全集，集合，若有4個子集，且，則（

）A． B．集合有3個真子集C． D．【答案】ACD【分析】解一元二次不等式化簡集合，結合已知得出，由此即可逐一判斷各個選項.【詳解】依題意，，而有4個子集，，故，故集合有7個真子集，B錯誤，，，，ACD均正確.故選：ACD.10．（23-24高一下·湖南郴州·階段練習）在整數集中，被6除余數為的所有整數組成一個“類”，記為，即．則下列結論中正確的是（

）A．B．C．D．整數屬于同一“類”的充要條件是“”【答案】ACD【分析】根據題意，由所給定義，逐項分析判斷即可求解.【詳解】因為余，故A正確；因為，所以，故B錯誤；任意整數被6除必余其中之一，所以，故C正確；整數屬于同一“類”，則，所以，故，反之也成立，故D正確；故選：ACD11．（23-24高一上·重慶·階段練習）若“”為假命題，則的值可能為（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】BC【分析】首先根據“”為假命題，將問題轉化為“”恒成立問題，然后通過對分類討論求解；【詳解】“”為假命題，則“”為真命題，當時，，符合題意，當時，，解得，故的值可能為，故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（23-24高一上·青海海東·階段練習）命題“”的否定為．【答案】“”.【分析】由全稱命題的否定為特稱命題即可得出答案.【詳解】命題“”的否定為:“”.故答案為：“”.13．（2024高三下·全國·專題練習）已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】解一元二次不等式化簡集合A，再分類求解不等式化簡集合B，并利用集合的包含關系列式求解即得.【詳解】由“”是“”的必要不充分條件，得，依題意，集合，，當，即時，，則，解得；當，即時，，則，解得，當，即時，，滿足，因此，所以實數的取值范圍為.故答案為：14．（24-25高一上·上海·課堂例題）已知集合，在下列集合中：（1）；（2）；（3）；（4）；與相同的集合有．（填序號）【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）中變形得到，故，，一一對應，（1）正確，同理判斷（2）和（3）；對于（4），可舉出反例.【詳解】對于（1），由，可得，，一一對應，則，故（1）符合；對于（2），由，可得，，一一對應，則，故（2）符合；對于（3），由，可得，，一一對應，則，故（3）符合；對于（4），，但方程無實數解，則與不相同，（4）不符合.故答案為：（1）（2）（3）四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（2024高一·全國·專題練習）已知全集，集合．(1)若，求集合；(2)若，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)若時，求出，計算；（2）若，可得,分類討論求出的取值范圍.【詳解】（1）當時，，又，所以．（2）因為，所以，又，方程的根為，當時，，由，得；當時，，符合，則；當時，，符合，則；綜上，實數的取值范圍是．16．（24-25高一上·上海·課堂例題）已知集合．(1)若為整數，試判斷是否為集合中的元素；(2)求證：若，則．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據集合的表示方法，以及元素與集合的關系，即可求解.（2）若，則，，且，計算的形態，從而確定它與集合的關系.【詳解】（1）是．∵，∴，其中，，∴整數．（2）證明：∵，∴可設，，且，∴．又，，∴．17．（2024高一·全國·）已知集合，或．(1)當時，求實數的取值范圍；(2)當時，求實數的取值范圍．【答案】(1)或(2)【分析】（1）分類討論解出不等式后，結合集合并集的定義即可得解；（2）由題意可得，分及、討論計算即可得.【詳解】（1）由，若無解，即，不滿足，若，因為，所以；若，，因為，所以；綜上知或；（2），即，若滿足；若或，可得或，與矛盾，無解；若，或，可得或，與矛盾.綜上可得：.18．（22-23高一上·江蘇宿遷·期中）已知集合．(1)求，；(2)若集合，且，求實數的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由一元二次不等式化簡集合，由函數值域化簡求出，結合交并補混合運算即可求解；（2）由，可得，分和解不等式即可求解.【詳解】（1），解得，即，當，，故，則，，故；（2）因為，所以，當時，，解得；當時，，解得，綜上所述，.19．（23-24高二下·廣東梅州·期末）設集合，且P中至少有兩個元素，若集合Q滿足以下三個條件：①，且Q中至少有兩個元素；②對于任意，當，都有；③對于任意，若，則；則稱集合Q為集合P的“耦合集”．(1)若集合，求集合P1的“耦合集”；(2)集合，且，若集合存在“耦合集”．（i）求證：對于任意，有；（ii）求集合的“耦合集”的元素個數．【答案】(1)或或(2)（i）證明見詳解；（ii）5【分析】（1）根據題意直接運算求解即可；（2）（i）根據②可得的可能元素，再結合③分析證明；（ii）根據題意分析可知，同理可得，結合題意分析求解即可.【詳解】（1）由已知條件②得：的可能元素為：6，8，10；檢驗可知均滿足條件③，所以，檢驗可知：或也符