第05講第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)章節(jié)驗(yàn)收測(cè)評(píng)卷（考試時(shí)間：150分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（23-24高一下·湖南衡陽·期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)真數(shù)大于0得到不等式，解出即可.【詳解】由題意得，解得，則其定義域?yàn)椋蔬x：B.2．（24-25高一上·上海·單元測(cè)試）已知函數(shù)，其中，若，則實(shí)數(shù)a的值等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式即可求解.【詳解】，，∴，∴.故選：B.3．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義得出，求解出值，需要看是否在底數(shù)的取值范圍內(nèi)．【詳解】解：，所以，，所以，故選：C．4．（23-24高二下·廣西北海·期末）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即得.【詳解】依題意，，，而，所以.故選：A5．（23-24高二下·遼寧本溪·期末）已知一種物質(zhì)的某種能量與時(shí)間的關(guān)系為，其中是正常數(shù)，是大于1的正整數(shù)，若經(jīng)過時(shí)間，該物質(zhì)的能量由減少到，再經(jīng)過時(shí)間，該物質(zhì)的能量由減少到，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題根據(jù)已知條件先求出，再列出等式即可求得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，則，由，得，所以.故選:B.6．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】證明是上的偶函數(shù)且在上遞增，即可將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，即，然后解之即可.【詳解】由于的定義域?yàn)椋遥适桥己瘮?shù).而對(duì)，有，故.所以在上遞增.從而不等式等價(jià)于，即.此即，即，解得.故選：D.7．（23-24高一下·廣西南寧·期末）已知函數(shù)（且）在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)在各段單調(diào)遞增且在斷點(diǎn)左側(cè)函數(shù)值不大于右側(cè)函數(shù)值得到不等式組，解得即可.【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以有，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．8．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有7個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出函數(shù)的圖象如圖所示，利用十字相乘法因式分解，易知有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以必須有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，數(shù)形結(jié)合得到不等式，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍,【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示.，關(guān)于x的方程有7個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即有7個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，易知有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以必須有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由函數(shù)f(x)的圖象可知，所以.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．（23-24高二下·遼寧本溪·期末）對(duì)于函數(shù)，則（

）A．與具有相同的最小值B．與在上具有相同的單調(diào)性C．與都是軸對(duì)稱圖形D．與在上具有相反的單調(diào)性【答案】AC【分析】在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)，的圖像，進(jìn)而對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一作出判斷.【詳解】A選項(xiàng)，在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)，的圖像如圖所示，由圖可知與的最小值都為1，A項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，在上單調(diào)遞增，在上不單調(diào)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，C項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，與在上均單調(diào)遞減，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC10．（23-24高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋铝袧M足對(duì)任意的且，有，且在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用特殊值判斷A，根據(jù)所給定義及基本不等式判斷B、C，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可說明D.【詳解】對(duì)于A：在定義域上單調(diào)遞增，令，，則，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：在定義域上單調(diào)遞增，又，，當(dāng)時(shí)，則有，所以對(duì)任意且，有，故B正確；對(duì)于C：定義域?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，設(shè)且，則，，又當(dāng)且時(shí)，所以，則，故C正確；對(duì)于D：的定義域?yàn)椋趾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上不具有單調(diào)性，故D錯(cuò)誤.故選：BC11．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，則（

）A．若有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則B．當(dāng)時(shí)，有5個(gè)不同的零點(diǎn)C．若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是D．若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】BCD【分析】作出的圖象，由有2個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合圖象，可判定A錯(cuò)誤；由，令，得到，求得，結(jié)合圖象，可判定B正確；由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求得，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性得到，進(jìn)而判定C正確；由，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可判定D正確．【詳解】由函數(shù)，可得，作出的圖象，如圖所示．對(duì)于A中，由，可得，若有2個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合圖象知或，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，由，可得，令，則有，可得，結(jié)合圖像知，有3個(gè)不等實(shí)根，有2個(gè)不等實(shí)根，沒有實(shí)根，所以有5個(gè)不同的零點(diǎn)，所以B正確；對(duì)于C中，若有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則，且，則，由二次函數(shù)的對(duì)稱性得，則，結(jié)合B知，所以，所以的取值范圍為，所以C正確；對(duì)于D中，由，其中，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得在上為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，所以的取值范圍為，所以D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或方程解的個(gè)數(shù)與范圍問題的策略：1、先換元解“套”，令，則，再作出和的圖象；2、由函數(shù)的圖象觀察有幾個(gè)的值滿足條件，結(jié)合的值觀察的圖象，求出每一個(gè)被對(duì)應(yīng)，將的個(gè)數(shù)匯總后，即為的根的個(gè)數(shù)，即“從外到內(nèi)”.3、由零點(diǎn)的個(gè)數(shù)結(jié)合與的圖象特點(diǎn)，從而確定的取值范圍，進(jìn)而決定參數(shù)的范圍，即“從內(nèi)到外”，此法成為雙圖象法（換元+數(shù)形結(jié)合）.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（23-24高三上·陜西咸陽·階段練習(xí)）函數(shù)的值域是．【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，綜上，所以的值域是故答案為：13．（23-24高二下·黑龍江大慶·期末）已知偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，方程有10個(gè)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】先給出，故2為函數(shù)的周期，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以方程在上有5個(gè)根，結(jié)合圖象求解．【詳解】解：由題意知偶函數(shù)滿足，即，故2為函數(shù)的周期；因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以方程在上有5個(gè)根，作出函數(shù)在上的圖象，如圖：結(jié)合圖象可知需滿足，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：14．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)，可確定當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，繼而作出的大致圖像，考慮時(shí)的圖象情況，分類討論，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，即可解決.【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由，得，即，解得或，即在上有2個(gè)零點(diǎn)；若，，其圖象對(duì)稱軸為，函數(shù)的大致圖像如圖：則此時(shí)，即，則，即無解，則無零點(diǎn)，此時(shí)無零點(diǎn)，不符合題意；故需，此時(shí)函數(shù)的大致圖像如圖：由得或，要使得函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，需滿足在上有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)只有一個(gè)解，故只需與函數(shù)在y軸左側(cè)圖象無交點(diǎn)，則需，解得，結(jié)合，可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題為復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題，解答時(shí)采用數(shù)形結(jié)合的方法去解決，即作出函數(shù)的大致圖像，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，即可解決.四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本題滿分13分）（23-24高一下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期中）計(jì)算：(1)；(2).【答案】(1)0(2)2【分析】（1）利用指數(shù)運(yùn)算法則及指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化計(jì)算即得.（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求解即得.【詳解】（1）.（2）.16．（本題滿分15分）（23-24高二下·山東青島·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)k的值；(2)若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由求出參數(shù)并檢驗(yàn)即可得解；（2）分離參數(shù)并通過換元法可得，故只需求出不等式右邊的最小值即可得解.【詳解】（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，解得，此時(shí)符合題意．（2）原問題即為，即恒成立，則，設(shè)，則，，∴當(dāng)時(shí)，y取得最小值26，要使不等式在上恒成立，則，17．（本題滿分15分）（23-24高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知且是指數(shù)函數(shù).(1)求；(2)求關(guān)于的不等式的解集；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)的定義可知，解出的值；（2）原式等價(jià)于，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解（注意定義域）；（3），令，則，所以，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得值域.【詳解】（1）由指數(shù)函數(shù)定義，得，而且且，解得，則，故；（2）不等式，即，而函數(shù)在上遞增，因此，即，則，解得，所以原不等式的解集為（3），當(dāng)，令，則，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?18．（本題滿分17分）（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域和的值域.(2)證明：為偶函數(shù)并判斷的單調(diào)性和奇偶性.(3)求關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1)定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋?2)證明見解析，的遞減區(qū)間是，非奇非偶函數(shù)；(3)答案見解析.【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)定義列出不等式組求出的定義域；利用參變分離法求出的值域.（2）利用定義證明為偶函數(shù)；借助反比例函數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，利用定義判斷奇偶性.（3）分類討論解對(duì)數(shù)不等式.【詳解】（1）在函數(shù)中，，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋缓瘮?shù)，而，，因此，所以函數(shù)的值域?yàn)?（2）由（1）知，函數(shù)的定義域?yàn)椋院瘮?shù)是偶函數(shù)；函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，由于在函數(shù)的定義域內(nèi)，而2不在函數(shù)的定義域內(nèi)，即定義域關(guān)于0不對(duì)稱，所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù).（3）當(dāng)時(shí)，，不等式，當(dāng)時(shí)，，即，而，解得，當(dāng)時(shí)，，而，解得，所以當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.19．（本題滿分17分）（23-24高二下·福建三明·期末）若對(duì)定義域內(nèi)任意，都有，則稱函數(shù)為“距”增函數(shù).(1)已知，判斷是否為“1距”增函數(shù)，并說明理由；(2)已知是“距”增函數(shù)，求的最小值；(3)已知是“2距”增函數(shù)，求的最小值.【答案】(1)是“1距”增函數(shù)，理由見解析(2)(3)答案見解析【分析】（1）由，因?yàn)椋裕傻煤瘮?shù)是“1距”增函數(shù).（2）由恒成立，可得恒成立，則由，得或，又，所以.（3）由已知，討論當(dāng)時(shí)，時(shí)，恒成立的條件，得到，所以，討論得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【詳解】（1）函數(shù)是“1距”增函數(shù).理由如下：因?yàn)椋裕梢驗(yàn)椋裕春愠闪ⅲ允恰?距”增函數(shù).（2）因?yàn)槭恰熬唷痹龊瘮?shù)