2024-2025學(xué)年遼寧省高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷

一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.不選、多選、錯(cuò)選均不得分.

1.已知正方體ABCD—481Goi的棱長(zhǎng)為1,則直線4°與AC所成角的正弦值為()

￡V2

A.0B.2C.2D.2

【正確答案】D

【分析】由正方體可得4。"8。，可得/gcz是異面直線直線4。與NC所成的角，進(jìn)而

求解即可.

在正方體中，可得CD,A{B{=AB=CD

所以四邊形481co是平行四邊形，所以4。"B[C,

所以f是異面直線直線4。與NC所成的角,

又易得△與C"是等邊三角形,所以/與口=60。

sinZJ81G4=—An——

所以2,所以直線4"與NC所成角的正弦值為2.

故選：D.

2.在空間直角坐標(biāo)系°師中,已知a=(1/,0)力=(0,1,1),c=(2,1,z),若a,ac共面,則

z的值為()

A.-1B.0C.1D.2

【正確答案】A

【分析】由空間向量共面定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

由空間向量共面定理可得存在實(shí)數(shù)X/,使得￡=口+,，

1

x=-

2

,1

l=2y]y=2

T=x+yz=_[

即（l,l,0）=（0,x,x）+（2y,y/z）,所以|o=x+yz,解得

故選：A

3.直線gx+3>+4=°的傾斜角為。

A.150°B.120。c60°D.30°

【正確答案】A

【分析】求出斜率，進(jìn)而可得傾斜角

__立_i

由直線后+3〉+4=0得7—_7》一§

故直線的斜率為3,又傾斜角范圍為[°」80）

所以傾斜角為150°.

故選：A.

4,圓x2+V+2x-4y+l=0和圓x2+j?_4x-2y+l=0的公切線有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【正確答案】B

【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合圓心距判斷兩圓位置關(guān)系，進(jìn)而求解.

由題意得，圓x2+V+2xf+l=0=（x+l）2+d）2=22,即以G（T2）為圓心,

6=2為半徑的圓，

圓/+/-4—>1=0=（一）2+&一1）2:22,即以=（2,1）為圓心，4=2為

半徑的圓,

故0=2-2<|C]G]<2+2=4

因此兩圓相交，則有2條公切線.

故選：B.

5,已知x，"R且/+「=i,則4x-3y的最大值為（）

A.1B.療C.叵D,5

【正確答案】D

【分析】由三角換元代入計(jì)算，結(jié)合正弦型函數(shù)的值域，即可得到結(jié)果.

人x=cos0,y=sin0,0e[0,2^1

,_3

則4x—3y=4sin8—3cose=5sin（9—0）其中匕“0=^

因?yàn)閟in（"9）e[Tl],則5single[-5,5],

所以4x-3丁的最大值為5.

故選：D

二+廣=1立

6.若橢圓2m的離心率為2,則加=（）

A.1B.4C.1或4D,以上都不

對(duì)

【正確答案】C

【分析】分焦點(diǎn)在1軸和焦點(diǎn)在y軸兩種情況分別計(jì)算.

d2—mV2

e---------------

當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，亞2,解得m=l；

V2

yejm—_—_2____—

當(dāng)焦點(diǎn)在歹軸上時(shí)，品2,解得冽=4.

故選：C

7.已知大，月是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過片且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于48兩點(diǎn)，若

是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（）

無在包

A.3B.3c.2D.2

【正確答案】A

【分析】由正三角形特點(diǎn)信片用。表示，結(jié)合橢圓的定義，即可求得離心率.

??/BF■?-MF2|=^|F1F2|=^C

?“"%是正三角形，33

AFX\=2\AF2\=^-C,\AFX\+\AF2|=2V3c=2a

故選.A

本題考查橢圓離心率的求解問題，涉及到橢圓的橢圓的定義；關(guān)鍵是能夠利用正三角形的特

點(diǎn)求出㈤M盟］

8.曲線卜一^二『I團(tuán)所圍成圖形的面積為（）

3兀

A.2B.2拒C.4D.2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意,分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后畫出圖形，結(jié)合圖形即可求得結(jié)果.

x=-lA

產(chǎn)；(f-l)

由,2一4=1-3可得1T即僅歸1,所以T<y<i,

又1=卜2一”+回斗2一了+”=12卜必，即_]0<],

當(dāng)>€[°，1]且/—>“°時(shí)，則方程為》2—了+>=1,即》2=1,所以x=±l,

_x2+l

當(dāng)》‘[0,1]且―一”。時(shí)，則方程為了――+^=1,即'2,

_x2-l

當(dāng)ye[T°)時(shí)，則》2-y〉0,所以方程為Y-yr=l,即'2,

畫出如圖所示圖像，其中弓形48與弓形°相等，

由割補(bǔ)法可知，圍成圖形的面積為2x1=2.

故選：A

二.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知xj/eR且/+/+丫=i,則(％—1)2+(y―i)2+Q_2)2的值可能是。

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】CD

【分析】由(X—1)2+3—1)2+(2—2)2的幾何意義可求得其范圍，即可得答案.

因/+/+22=1,則(/HZ)表示以原點(diǎn)為球心，半徑為1的球表面上的點(diǎn).

則(x-I)2+3-1)2+(Z-2)2表示(xJ,Z)到(1,1,2)距離的平方.

類比點(diǎn)到圓上距離的范圍，可得

(X-1)2+(J-1)2+(Z-2)2<^/12+12+22+1J=7+2指

(X-1)2+(J-1)2+(Z-2)2>^/12+12+22+1J=7-276

結(jié)合力a1.414,6a1.732,可得指“2.449,則7+2后711.898,7-276?2.102

故2<(x—Ip+(了一廳+(2—2)2<12,則只有CD滿足條件.

故選：CD

10.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，己知〃=(1」/)，點(diǎn)41，°，°),點(diǎn)尸(X)*),且p,o不

重合，P,A不重合，則()

A.若5口=1,則x,y,z滿足：x+了+2=1

B.若萬(wàn),屋則x,y,z滿足：%+了+2=1

C.若屋則x,y,z滿足：xT=J=z

D.若〈麗2〉=45°,貝人,y,z滿足：X2+/+Z2-4XJ-4J；Z-4ZX=0

【正確答案】BCD

【分析】A由空間向量模長(zhǎng)公式可判斷選項(xiàng)正誤；B由空間向量垂直坐標(biāo)表示可判斷選項(xiàng)正

誤；C由空間向量共線坐標(biāo)表示可判斷選項(xiàng)正誤；D由空間向量夾角坐標(biāo)公式可判斷選項(xiàng)正

誤.

~AP-（x-AV7、LiP=1=>（x—1Y+V2+z2=1=>X2+V2+z2=2x

A由題，4〃一口因1|IJ,“，貝°A

錯(cuò)誤；

B因石,"，則“尸,〃=x-l+y+z=°nx+y+z=l,故B正確；

x-1yz1

—?------=-=—^>x-l=y=z

C因4P//",則III,故C正確；

cos。，&=「:+Fy+/z）［l

一=正==

D因〈。尸,〃〉=45°,則V3jx2+/+z223（x+y+z）2.

2222222

sp3（x+y+z）=2（x+y+z）^x+y+z-4xy-4yz-4zx=0^故口正確.

故選：BCD.

II.現(xiàn)有圓錐頂點(diǎn)為尸，底面所在平面為母線PM與底面直徑MN的長(zhǎng)度都是2.點(diǎn)A是

PM的中點(diǎn)，平面廠經(jīng)過點(diǎn)A與a所成二面角（銳角）為30°.已知平面廠與該圓錐側(cè)面的交

線是某橢圓（或其一部分），則該橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)可能是（）

V33

A.2B.IC.2D.2

【正確答案】ABC

【分析】當(dāng)平面與圓錐的旋轉(zhuǎn)軸所成角度大于母線與旋轉(zhuǎn)軸所成角度，小于直角時(shí)，圓錐被

平面所截得的截線形狀為橢圓。本題中可以通過軸截面做出橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的最大值和最小值,

從而確定答案.

如上圖，做出過點(diǎn)A的軸截面尸73,由已知條件可知，平面用與軸截交得到的線段最短為

最長(zhǎng)為NW,當(dāng)平面廠與圓錐面所截得的橢圓的長(zhǎng)軸落在平面R3內(nèi)時(shí)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)

/A----------------r-

2a="4或2a=2兒，根據(jù)已知的幾何關(guān)系可以計(jì)算出'2,幺〃=43.當(dāng)夕與圓錐

所截得的橢圓的長(zhǎng)軸不在圖中所作的軸截面尸"N內(nèi)時(shí)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)度滿足."4<2"<“初

V3

對(duì)于A選項(xiàng)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)度可以為2；

對(duì)于B選項(xiàng)，2,長(zhǎng)軸長(zhǎng)度可以為；

V33/T3

—<一<A/3一

對(duì)于C選項(xiàng)，22,長(zhǎng)軸長(zhǎng)度可以為2；

對(duì)于D選項(xiàng)，2〉行，長(zhǎng)軸長(zhǎng)度不可能為2.

故選：ABC

方法點(diǎn)睛：過A點(diǎn)做出軸截面可以得出橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的取值范圍，與選項(xiàng)進(jìn)行對(duì)照求解即可.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.直線經(jīng)過點(diǎn)尸（L百）且與直線后一了+5=°垂直，則直線的方程是.

【正確答案】x+43y-4=0

【分析】先根據(jù)兩直線垂直求出斜率，再寫出點(diǎn)斜式方程.

直線Gx-y+5=°的斜率為6，所以直線的斜率為3,

所以的方程為：,一"——々"GT),即x+Kv—4=0.

故x+Cy-4=0

13.已知點(diǎn)/(5，°),點(diǎn)B,C是直線工=1與圓/+/=5的交點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)A,B,C的圓

的方程是.

【正確答案】Y+V-5x=0

【分析】由題設(shè)圓的方程為：5+“XT)=0,代入2(5,0),即可求得方程.

因點(diǎn)B,C是直線x=l與圓X+y=5的交點(diǎn)，

則設(shè)過B,C的圓的方程為：”+-7+4(XT)=0,代入2(5,0),

則25—5+42=°n2=—5,則過過點(diǎn)A,B,C的圓的方程是：

J+「一5-5(1-1)=00/+/-51=0

故X?+丁-5%=0

c：《+J1

14.已知點(diǎn)〃在精圓'169上，點(diǎn)尸(-3,0)、0(3,0),則1叱1+也。1的取值范

圍是.

【正確答案】【8,6拒］

2222

xyxy廠12/1

【分析】構(gòu)造橢圓—189，橢圓2,167分別與橢圓,169有相同

的短軸和長(zhǎng)軸，同時(shí)尸(一3，0)、°(3,°)是兩橢圓的焦點(diǎn)，利用圖形關(guān)系可求

四什也的取值范圍.

C《+J1G：《+J1

由橢圓169與橢圓189有相同的短軸,

167有相同的長(zhǎng)軸,

.--------1-------1-c-—+^—=1

又橢圓167與橢圓，，189有相同的焦點(diǎn)耳（一3,°），630）,

即點(diǎn)尸（一3,0）、0（3,0）,

c：^+￡=1C］：^+￡=1

由橢圓方程可知橢圓169在橢圓'189上及其內(nèi)部,

C2Z+￡=1U二+J1

橢圓一167在橢圓169上及其內(nèi)部，

cZ+￡=i廠

當(dāng)點(diǎn)尸在-189］上時(shí)JW|+|Pg|=2a=6夜，

C:—+^=1C,：—+^=1

因橢圓方程可知橢圓169在橢圓189上及其內(nèi)部，

所以也P+也Q國(guó)0不+1PF,\=6^2，當(dāng)點(diǎn)在短軸的端點(diǎn)時(shí)取等號(hào),

C工+、

當(dāng)點(diǎn)尸在2167上時(shí)，|呷+叱|=2"8,

c2：^+/=1U二+片=1

因橢圓方程可知橢圓2167在橢圓169上及其內(nèi)部，

所以也門+也。閨尸"+1%1=8,當(dāng)點(diǎn)p在長(zhǎng)軸的端點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，

所以||+||的取值范圍是［8,6行］.

故答案為.［8,6行］

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，重點(diǎn)在于構(gòu)知橢圓G，G與原橢圓分別共長(zhǎng)軸與短

軸，并以p，0為焦點(diǎn)，利用橢圓的定義可求解.

四.解答題：本題共5小題，共7分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知橢圓°的長(zhǎng)軸端點(diǎn)是4一2亞，°）和8（2行,0）,離心率是2

（1）求橢圓°的方程；

（2）若點(diǎn)尸在橢圓°上，求點(diǎn)尸到點(diǎn)“（°』）的距離的取值范圍.

22

工+2=1

【正確答案】（1）82

【分析】（1）利用已知條件可求得。力，進(jìn)而可求得橢圓方程;

1PM空

（2）設(shè)尸（x，y）是橢圓上￡為任意一點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公可得113

可求得點(diǎn)尸到點(diǎn)MQ1）的距離的取值范圍.

【小問1詳解】

a=2母

cV3

<—=---

a2a=2V2

<

a1=b2+c2解得.〔'=后

由題意得：、

x2匚1

---F

故橢圓C的方程為：82

【小問2詳解】

設(shè)尸（X/）是橢圓上的任意:一點(diǎn)，所以一=8-4匕

r_1/1Y28

\PM\=^x2+（y-iy

V13J3,其中ye[-后,0].

所以

V2-1<|PM|<^

所以3

\/2—1,

故點(diǎn)P到點(diǎn)M（0J）的距離的取值范圍是-

16.如圖，正四棱錐P-48co中，AB=41,側(cè)棱尸/與底面48C。所成的角為60°.

（1）求側(cè)面尸4§與底面4BC。所成的二面角（銳角）的余弦值；

（2）在線段可上是否存在一點(diǎn)E,使得NE，PC?若存在，確定點(diǎn)￡的位置；若不存在

說明理由.

V7

【正確答案】（1）7

—?1—.

BE=-BP

（2）在線段用上存在點(diǎn)￡,點(diǎn)￡滿足3，使得4ELPC.

【分析】（1）設(shè)°為底面4SC。的中心，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，°伐℃,0尸分別為無軸，歹軸，

z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)尸（°，。，”），利用側(cè)棱總與底面

所成的角為60°,結(jié)合線面角的向量求法，求出參數(shù)力，再利用面面角的向量求法即

可求解.

（2）設(shè)BE=4BP,驗(yàn)證是否存在力使得NE?。尸=0.

【小問1詳解】

設(shè)°為底面的中心，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，°民℃,0/5分別為無軸，》軸，2軸正方向,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

ZJ

由題意知，/（°，一1，0），3（1，°，0），c（o,1，0）,

設(shè)P（0,0,/z）,其中〃〉0,貝/0=（0,1,〃），向量〃1=（°，°，1）是平面N8C。的法向量

AP-n

COS，尸,〃]x=cos30°

國(guó),同

由題意得，，解得

設(shè)平面PAB的法向量為〃2=（%，乂,Z2）.

因?yàn)椋?次=（1,1,0）,

__x2=-1

4P?〃2=。|^2+V3z2=0<也

所以〔而?心0,即%+%=。，令%=1,則卜=一丁

故側(cè)面尸48與底面“BCD所成的二面角（銳角）的余弦值為7

【小問2詳解】

由⑴知方=（1,1,0）,取=（-1，0,6）,

設(shè)礪=2而，則次=礪+屜=（1,1,0）+4。,0,6）=。-

麗=如1,6）

因?yàn)閈,

若NECC,則冠丘=0T1，履)(OTG)=O

2=-

即—1+32=0,解得3,

—■1-.

BE=-BP

故在線段所上存在點(diǎn)E,點(diǎn)￡滿足3,使得NE,PC.

17.如圖，在三棱柱4sC—481G中，點(diǎn)。是棱AC的中點(diǎn).側(cè)面底面ABC,底

面ABC是等邊三角形，"B=AAI，4B_L4C.

B

（1）求證：4°，平面ABC；

（2）求平面與平面所成銳二面角平面角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

3

(2)5

【分析】（1）由側(cè)面N4GC，底面ABC結(jié)合面面垂直性質(zhì)可證結(jié)論；

（2）.以點(diǎn)。為原點(diǎn)，°區(qū)℃,04分別為x軸歹軸Z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

Oxyz,求出平面“448與平面℃目避法向量，后由空間向量知識(shí)可得答案.

【小問1詳解】

連結(jié)OB.

B0=AC

在V/5C中，BA=BC,AO=OC,所以BO_L/C,且2

又因?yàn)樗訸CL平面43。.

從而

又因?yàn)槠矫鎊'C'C1平面ABC,AC是平面441cle與平面ABC的交線,

所以'平面ABC

B【小問2詳解】

在90中，N&Q/=90°,44=240,所以“。二三幺。

設(shè)ZC=2,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，°民℃,。4分別為X軸歹軸z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

Oxyz,如圖所示.

有Z(0,-l,0),5(V3,O,O),C(O,1,O)；4(0,0,V3),A5=(V3,1,0),CB=(V3,-1,0)；

數(shù)=函=(0,1,也)

設(shè)平面四穌8的法向量為〃1=G"1，Z1),平面的法向量為〃2=。2/2/2),

44]?耳=必+A/3ZJ=0BBX-?2=y2+V3z2=0

<__kk一

由題意得,4=Gx]+必=0CB-?2=V3X2—v2=0

則取平面池田田的法向量為〃1=(1,-6,1),平面℃48的法向量為〃2=(1,G,-1).

1-3-13

[cos%-H2|=

則一75x755

3

AABB

故平面''與平面CCiKB所成銳二面角平面角的余弦值是5

18.已知點(diǎn)尸（加，〃）與點(diǎn)Q（x。/。）關(guān)于直線3"對(duì)稱.

（1）求點(diǎn)尸的坐標(biāo)m,n（用x。/。表示）；

7373

y——x-\----

（2）若點(diǎn)P（加，〃）在曲線3X上，求點(diǎn)°（XJ）所在曲線的方程.

瓜0一%

【正確答案】（1）

22

土.匕=]

（2）62

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用對(duì)稱特性列出方程組求解即得.

GV3

71——mH-------

（2）由（1）的結(jié)論，與3m聯(lián)立消去犯〃即可得解.

【小問1詳解】

y0+n=x0+m“瓜。-y°

依題意，1232,解得〔2

【小問2詳解】

22

&__汽_]

(其中XO+K%)HO),

整理得：62

22

土—匕=1

所以點(diǎn)Q(x,y)所在曲線的方程為62.

19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)片。期O,點(diǎn)尸滿足后附日明.記尸的軌跡

為C.

(1)求°的方程；

(2)已知點(diǎn)“(1/)，設(shè)點(diǎn)M,N在°上，點(diǎn)M,N與點(diǎn)A不重合，且直線MN不與％軸垂

直，記配片2分別為直線AM,AN的斜率.

(i)對(duì)于給定的數(shù)值入九(XeR且無力1),若《色=',證明：直線MN經(jīng)過定點(diǎn);

(ii)記(i)中的定點(diǎn)為Q,求點(diǎn)°的軌跡方程.

【正確答案】(1)/+/=2

(2)(i)證明見解析，(ii)點(diǎn)。的軌跡方程為直線y=-x(除去點(diǎn)(L-D)

【分析】⑴根據(jù)/戶用=盧閭，代入兩點(diǎn)間距離公式即可求解；

1+2/71\

rL_；m=----(4+1)

(2)(i)聯(lián)立直線“N與°的方程，結(jié)合々*2="