2024-2025學(xué)年吉林省吉林市高新區(qū)九年級上期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共12分）

1.（2分）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在他所著《勾股圓方圖注》中，運(yùn)用弦圖（如圖所示）巧妙地證明了勾股

定理.下列關(guān)于“趙爽弦圖”說法正確的是（）

A.是軸對稱圖形

B.是中心對稱圖形

C.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

D.既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形

2.（2分）二次函數(shù)y=-（x-1）2+4的最大值是（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2分）若反比例函數(shù)y=9圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2,3）,則左的值為（）

A.-6B.6C.-3D.3

4.（2分）若關(guān)于x的方程式，-x+a=（）有實(shí)數(shù)根，則。的值可以是（）

A.2B.1C.0.5D.0.25

5.（2分）已知與△NLBICI相似，且相似比為1：3,則△NBC與△/避1。的周長比為（）

A.1：1B.1：3C.1：6D.1：9

6.（2分）如圖，為。。的直徑，圓周角//5C=40°,CD為。。的切線，則/BCD度數(shù)為（）

二、填空題（每小題3分，共24分）

7.（3分）方程$+2工=0的根是.

8.（3分）反比例函數(shù)y=領(lǐng)圖象位于象限.

第1頁（共24頁）

9.（3分）在句子aIlovemycountry.n中，字母"o”出現(xiàn)的概率是.

10.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,0）.以。4OC為

邊作矩形。48C,若將矩形CU8C繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到矩形CM'B'C,則點(diǎn)夕的坐標(biāo)

11.（3分）如圖，四邊形內(nèi)接于。。，過點(diǎn)/作/￡〃BC,交CD于點(diǎn)E.若/4EO=50°,則/

BAD=.

12.（3分）已知拋物線了="2+加+。與x軸交于/（-1,0）,B（4,0）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的一元二次方程

ax2+bx+c=0的解是.

13.（3分）一個(gè)滑輪起重裝置如圖所示，滑輪的半徑是12c機(jī),當(dāng)重物上升時(shí)，滑輪的一條半徑ON

繞軸心。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的度數(shù).

14.（3分）在距離地面2加高的某處把一物體以初速度vo（加/s）豎直向上拋物出，在不計(jì)空氣阻力的情

況下，其上升高度s（m）與拋出時(shí)間/（s）滿足：s=vo/—方於（其中g(shù)是常數(shù)，通常取10根/$2）.若vo

=10TM/S,則該物體在運(yùn)動(dòng)過程中最高點(diǎn)距地面m.

三、解答題（每小題5分，共20分）

15.（5分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋簒2-4x+3=0.

16.（5分）2025年是蛇年，生肖蛇在中國文化中被視為神秘、智慧與變革的象征.如圖，現(xiàn)有三張正面

印有不同蛇圖案的不透明卡片4B,C,卡片除正面圖案不同外其余均相同，將三張卡片正面向下洗

第2頁（共24頁）

勻，小明從中隨機(jī)抽取1張卡片，記下圖案并放回，重新洗勻后再從中隨機(jī)抽取1張.請用畫樹狀圖或

列表的方法，求小明兩次抽出的卡片圖案相同的概率.

ABC

17.（5分）已知y是x的反比例函數(shù)，并且當(dāng)x=2時(shí)，y=6.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)x=4時(shí)，求y的值.

18.（5分）如圖，A,B,。是OO上的三點(diǎn)，NCAO=25°,ZBCO=35°,0C=3.

（1）ZAOB=.

（2）求陰影部分的面積.

四、解答題（每小題7分，共28分）

19.（7分）圖①，圖②均是8義8的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長

均為1,在每個(gè)正方形網(wǎng)格中標(biāo)注了6個(gè)格點(diǎn)，這6個(gè)格點(diǎn)簡稱為標(biāo)注點(diǎn).

（1）在圖①，圖②中，以4個(gè)標(biāo)注點(diǎn)為頂點(diǎn)，各畫一個(gè)中心對稱圖形.（兩個(gè)中心對稱圖形不全等）

（2）圖①中所畫的中心對稱圖形的面積為.

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圖①圖②

20.（7分）據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部

立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來測量金字塔的高度.如圖，如果木桿M長2加，

第3頁（共24頁）

它的影長ED為3%,測得CU為201加，求金字塔的高度80.

21.（7分）如圖，反比例函數(shù)y=1的圖象與直線在第一象限交于點(diǎn)尸（1,3）,/是反比例函數(shù)上

的點(diǎn)，且點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為3,過點(diǎn)/作軸，與直線的交點(diǎn)為3,連接E4.

（1）直接寫出k,m的值.

（2）求△R13的面積.

22.（7分）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系，

其“勾股”中記載了一個(gè)數(shù)學(xué)問題：“今有戶高多于廣六尺，兩隅相去適一丈，問戶高，廣各幾何？”

譯文為：“已知有一扇矩形門的高比寬多6尺，門的對角線長為1丈（1丈=10尺），那么門的高和寬各

是多少？”（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：痕=5.66,回=6.16,V41=6.40）

五、解答題（每小題8分，共16分）

23.（8分）如圖，點(diǎn)尸在OO外，點(diǎn)/在OO上，連接E4,OA.過點(diǎn)尸的直線與。。交于C,8兩點(diǎn),

半徑ODLBC,垂足為點(diǎn)￡,AD交PB于點(diǎn)F.當(dāng)衛(wèi)4=尸尸時(shí)，解答下列問題.

（1）乃是否為。。的切線？請說明理由.

第4頁（共24頁）

（2）若尸是P3的中點(diǎn)，EF=15,則尸C的長為

24.（8分）【綜合與探究】數(shù)學(xué)課上，李老師布置了一道題目：如圖①，點(diǎn)E,尸分別在正方形的

邊4S,5C上，ZEDF=45°,連接￡尸，求證：EF=AE+CF.

【思路梳理】（1）“勤奮”小組的同學(xué)給出了如下的思路分析過程，請你補(bǔ)充完整：

,:AD=CD,.?.將繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CDG,可使/。與C￡（重合，

：./A=/DCG,ZADE^ZCDG,4E=CG,DE=DG,

:NDCB=N4=90°,AZ-FCG=180°,即點(diǎn)凡C,G共線，

NEDG=ZEDC+ZCDG^ZEDC+ZADE=ZADC^9Q°,

VZEDF=45°,：,ZGDF=ZEDF=45°,

又,：DF=DF,：.沿4DEF,（）（寫依據(jù)）

：.EF=FG=CG+CF=AE+CF.

【類比引申】⑵“智慧”小組的同學(xué)在“勤奮”小組同學(xué)的基礎(chǔ)上，改變了條件：如圖②，在四邊形

ABCD，AD=DC,ZADC=90°，點(diǎn)￡,/分別在邊/瓦8C上，ZEDF=45°,連接￡足若N4,

NC都不是直角，且N/+/C=180°,則（1）中的結(jié)論是否還成立？并說明理由.

【聯(lián)想拓展】（3）“創(chuàng)新”小組的同學(xué)提出了下面的問題：如圖③，在△N3C中，ZABC=90°,AB

=BC,點(diǎn)、D,E均在邊/C上，且/D2E=45°.當(dāng)4D=1,CE=2時(shí)，直接寫出。E的長度.

六、解答題（每小題10分，共20分）

25.（10分）如圖，在△A8C中，ZC=90°,N/=30°,BC=.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，沿折線N2-

5c方向以百cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作尸。，/瓦交射線NC于點(diǎn)。.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

xs（x>0）,△4P。與△/8C重合部分圖形的面積為ye//?.

（1）當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，求x的值.

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

第5頁（共24頁）

(3)當(dāng)直線P。經(jīng)過線段5C的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出x的值.

26.(10分)小強(qiáng)利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，其程序圖如圖①所示，輸入x的

值為1時(shí)，輸出y的值為1；輸入x的值為-1時(shí)，輸出〉的值為1;輸入x的值為-2時(shí)，輸出歹的值

為2,根據(jù)以上信息解答下列問題.

5

4

3

2

1

x

圖②

(1)求左，Q,b的值.

(2)圖②中，根據(jù)程序圖請你畫出一次函數(shù)和二次函數(shù)的大致圖象.

(3)當(dāng)歹隨x的增大而減小時(shí)，求x的取值范圍.

(4)當(dāng)關(guān)于x的方程a/+b久+2=t(—義乂+1)(xWO,t為實(shí)數(shù))只有一個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，直接寫出/

的取值范圍.

第6頁(共24頁)

2024-2025學(xué)年吉林省吉林市高新區(qū)九年級上期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

題號(hào)123456

答案BDADBB

一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共12分）

1.（2分）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在他所著《勾股圓方圖注》中，運(yùn)用弦圖（如圖所示）巧妙地證明了勾股

定理.下列關(guān)于“趙爽弦圖”說法正確的是（）

A.是軸對稱圖形

B.是中心對稱圖形

C.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

D.既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形

【解答】解：“趙爽弦圖”是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形.

故選：B.

2.（2分）二次函數(shù)y=-（x-1）2+4的最大值是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：由條件可知。=-1<0,

...二次函數(shù)y=-（x-1）2+4的圖象開口向下，函數(shù)有最大值，

...當(dāng)x=l時(shí)，y有最大值，最大值為4,

故選：D.

3.（2分）若反比例函數(shù)y=（圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2,3）,則左的值為（）

A.-6B.6C.-3D.3

【解答】解：??,反比例函數(shù)歹=（的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2,3）,

：.k=-2X3=-6,

故選：A.

第7頁（共24頁）

4.（2分）若關(guān)于x的方程式/-X+Q=O有實(shí)數(shù)根，則。的值可以是（）

A.2B.1C.0.5D.0.25

【解答】解：根據(jù)題意得△=（-1）2一4心0,

解得a<

故選：D.

5.（2分）已知△ABC與△451C1相似，且相似比為1：3,則△45C與△451。的周長比為（）

A.1：1B.1：3C.1：6D.1：9

【解答】解：???△43C與△4/1G相似,且相似比為1：3,

AABC^AAiB\Ci的周長比為1：3,

故選:B,

6.（2分）如圖，45為。。的直徑，圓周角N45C=40°,CO為。。的切線，則N5CZ）度數(shù)為（）

【解答】解：45為。。的直徑，圓周角N45C=40°,CD為。。的切線，如圖，連接OC,

AOC=OB,ZOCB=ZABC=40°,OCLCD,

：.ZBCD+ZOCB=90°,

；?/BCD=900-ZOCB=50°,

故選：B.

二、填空題（每小題3分，共24分）

7.（3分）方程/+2%=0的根是xi=0,%2=-2.

【解答】解：x（x+2）=0,

第8頁（共24頁）

x=0或x+2=0,

xi=0,X2=~2,

故答案為xi=0,X2--2.

8.（3分）反比例函數(shù)v=］的圖象位于一，三象限.

【解答】解：?反比例函數(shù)>=,中，k=2>0,

函數(shù)的圖象位于一、三象限.

1

9.（3分）在句子aIlovemycountry.??中，字母"o”出現(xiàn)的概率是/.

【解答】解：根據(jù)題意得：句子"Ilovemycoimtry”中共14個(gè)字母，字母“。”出現(xiàn)2次，

21

即字母“0”出現(xiàn)的概率是7T=

147

故答案為:y.

10.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,0）.以。4OC為

邊作矩形。48C,若將矩形CU8C繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到矩形CM'B'C,則點(diǎn)夕的坐標(biāo)

【解答】解：由條件可知。N=2,OC=1,

，4B=OC=1,OA=BC=2,NOAB=NABC=NBCO=90°,

;將矩形。NBC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形CM'B'C',點(diǎn)、B'在第二象限，

：.A'B'=48=1,B'C=BC=2,ZOA1B'=//'B'C=/B'C0=90°,

:.點(diǎn)、B'的坐標(biāo)為（-2,1）,

故答案為：（-2,1）.

11.（3分）如圖，四邊形4BCQ內(nèi)接于過點(diǎn)4作交CD于點(diǎn)、E.若/AED=50°,則N

BAD=130°.

第9頁（共24頁）

B

A

cx^

【解答】解：由條件可知/C=N/￡D=50°,

:四邊形48co內(nèi)接于。。，

：.ZC+ZBAD=}SOa,

AZBAD=UOa,

故答案為：130°.

12.(3分)已知拋物線y=ax2+6x+c與x軸交于N(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn)，則關(guān)于x的一元二次方程

ax2+bx+c—0的解是xi=-1,X2=4.

【解答】解：:?拋物線與x軸交于/(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn)，

，方程。X2+6X+C=0的解是XI=-1,X2=4,

故答案為：XI=-1,X2=4.

13.(3分)一個(gè)滑輪起重裝置如圖所示，滑輪的半徑是12c%,當(dāng)重物上升4w加時(shí)，滑輪的一條半徑。/

繞軸心。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的度數(shù)60°.

【解答】解：???滑輪的半徑是12制，

滑輪的半徑是12cm,

設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度是〃。，

由題意得：=4兀，

180

解得：〃=60,

滑輪的一條半徑。/繞軸心。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角度約為60°,

故答案為：60°.

14.(3分)在距離地面2機(jī)高的某處把一物體以初速度vo(mis)豎直向上拋物出，在不計(jì)空氣阻力的情

第10頁(共24頁)

況下，其上升高度s（m）與拋出時(shí)間/（s）滿足：s—vo（—（其中g(shù)是常數(shù)，通常取10小扇）.若w

=10m/s,則該物體在運(yùn)動(dòng)過程中最高點(diǎn)距地面7m.

【解答】解：把g=10,V0=10代入5=辿—分於得:

s=-5?+10；=-5（/-1）2+5,

它是開口向下的一條拋物線，

所以最大值為5,此時(shí)離地面5+2=7機(jī).

三、解答題（每小題5分，共20分）

15.（5分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋簒2-4x+3=0.

【解答】解：--4x+3=0,

（x-3）（x-1）=0,

x-3=0或x-1=0,

XI=1jX2=3.

16.（5分）2025年是蛇年，生肖蛇在中國文化中被視為神秘、智慧與變革的象征.如圖，現(xiàn)有三張正面

印有不同蛇圖案的不透明卡片4B,C,卡片除正面圖案不同外其余均相同，將三張卡片正面向下洗

勻，小明從中隨機(jī)抽取1張卡片，記下圖案并放回，重新洗勻后再從中隨機(jī)抽取1張.請用畫樹狀圖或

列表的方法，求小明兩次抽出的卡片圖案相同的概率.

ABC

【解答】解：根據(jù)題意列表如下:

ABC

AAABACA

BABBBCB

CACBCCC

共有9種等可能結(jié)果，其中兩次抽出的卡片圖案相同有3情況,

31

...兩次抽出的卡片圖案相同的概率為W

y3

17.（5分）己知y是x的反比例函數(shù)，并且當(dāng)x=2時(shí)，y=6.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;

第11頁（共24頁）

（2）當(dāng)x=4時(shí)，求y的值.

【解答】解：（1）＞是x的反例函數(shù),

所以，設(shè)y=［（々。。），

當(dāng)x=2時(shí)，y=6.

所以，k=xy=12,

所以，y=~

（2）當(dāng)x=4時(shí)，＞=3.

18.（5分）如圖，A,B,。是。。上的三點(diǎn)，ZCAO=25°,ZBCO=35°,0C=3.

（1）ZAOB=120°

（2）求陰影部分的面積.

【解答】解：（1）由條件可知2N4C5=N5Q4,ZACO=ZOAC=25

,：ZACO+ZOCB=ZACB,ZACO=25°,ZOCB=35°,

AZACB=60°,

?：2/ACB=/BOA,ZACB=60°,

AZBOA=120°；

故答案為：120。；

（2）陰影部分的面積為S=嚅=I2翳32=3兀.

四、解答題（每小題7分，共28分）

19.（7分）圖①，圖②均是8X8的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長

均為1,在每個(gè)正方形網(wǎng)格中標(biāo)注了6個(gè)格點(diǎn)，這6個(gè)格點(diǎn)簡稱為標(biāo)注點(diǎn).

（1）在圖①，圖②中，以4個(gè)標(biāo)注點(diǎn)為頂點(diǎn)，各畫一個(gè)中心對稱圖形.（兩個(gè)中心對稱圖形不全等）

（2）圖①中所畫的中心對稱圖形的面積為小.

第12頁（共24頁）

r-

L_

圖①圖②

【解答】解：（1）在圖①，圖②中，以4個(gè)標(biāo)注點(diǎn)為頂點(diǎn)，各畫一個(gè)中心對稱圖形，如圖即為所求;

圖①圖②

（2）圖①中所畫的中心對稱圖形的面積為：2X3=6.

20.（7分）據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部

立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來測量金字塔的高度.如圖，如果木桿跖長2〃?，

它的影長陽為3%,測得CM為201%,求金字塔的高度80.

ABAO=NEDF,

又；NAOB=/DFE=90°,

/\ABO^/\DEF,

：.BO：EF=OA：FD,

:.BO：2=201：3,

即20=134（m）.

21.（7分）如圖，反比例函數(shù)y=《的圖象與直線在第一象限交于點(diǎn)P（1,3）,/是反比例函數(shù)上

第13頁（共24頁）

的點(diǎn)，且點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為3,過點(diǎn)N作48〃x軸，與直線y=%x的交點(diǎn)為3,連接我.

（1）直接寫出k,m的值.

（2）求△為3的面積.

【解答】解：（1）將點(diǎn)P（1,3）分別代入反比例函數(shù)y=5與直線y=/x中,

則3=亨,3=m,

:?m=3,左=3；

（2）由條件可知乃=可=1,A（3,1）,

??7B〃x軸，

?,?點(diǎn)5的縱坐標(biāo)為1,

1=3?％小

?,?—_可1，

AB=3—可二?

■:APAB的高為股-肥=3-1=2,

188

:■△R4B的面積為5x-x2=

22.（7分）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系，

其“勾股”中記載了一個(gè)數(shù)學(xué)問題：“今有戶高多于廣六尺，兩隅相去適一丈，問戶高，廣各幾何？”

譯文為：“已知有一扇矩形門的高比寬多6尺，門的對角線長為1丈（1丈=10尺），那么門的高和寬各

是多少？”（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：博=5.66,回=6.16,V41=6.40）

第14頁（共24頁）

【解答】解：已知有一扇矩形門的高比寬多6尺，門的對角線長為1丈（1丈=10尺），設(shè)門的寬為x

尺，則門的高為（x+6）尺，

由題意得：x2+（x+6）2=1（）2,

解得：的=-3+俯=3.4,冷=-3-V41=-9.4（舍去），

門的圖為（—3+141）+6=3+，41=9.4（尺），

答：門的高和寬各是9.4尺和3.4尺.

五、解答題（每小題8分，共16分）

23.（8分）如圖，點(diǎn)尸在。。外，點(diǎn)/在。。上，連接以，OA.過點(diǎn)尸的直線與。。交于C,8兩點(diǎn)，

半徑OD_L8C,垂足為點(diǎn)E,AD交PB于點(diǎn)、F.當(dāng)E4=P9時(shí)，解答下列問題.

（1）為是否為。。的切線？請說明理由.

（2）若尸是P3的中點(diǎn)，EF=15,則尸C的長為3.

【解答】解：（1）我是。。的切線，理由如下：

:半徑0D_L3C,垂足為點(diǎn)￡,AD交PB于點(diǎn)、F,PA=PF,

：.BE=CE,NOE尸=90°,/PFA=NPAF,

：.ZADO+ZEFD=90°,

/EFD=NPFA,

：.ZEFD=ZPAF,

'：OA=OD,

：.ZODA=ZOAD,

：.ZODA+ZEFD=90°^ZOAD+ZPAF,

第15頁（共24頁）

：.OA±PA,

'：OA是半徑，

，我是。。的切線；

（2）?.,半徑0DJ_2C,尸是網(wǎng)的中點(diǎn)，

：.BE=CE,BF=PF,

：.BE+EF=CF+PC^CE-EF+PC,即2EF=PC,

:EF=1.5,

：.PC=3,

故答案為：3.

24.（8分）【綜合與探究】數(shù)學(xué)課上，李老師布置了一道題目：如圖①，點(diǎn)E,廠分別在正方形N2C。的

邊48,5c上，NED尸=45°,連接昉，求證：EF=AE+CF.

【思路梳理】（1）“勤奮”小組的同學(xué)給出了如下的思路分析過程，請你補(bǔ)充完整：

'：AD=CD,.?.將△，￡）￡繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CDG,可使/。與CD重合，

:.NA=/DCG,ZADE^ZCDG,AE=CG,DE=DG,

:NDCB=N4=90°,：.ZFCG=180°,即點(diǎn)凡C,G共線，

/EDG=ZEDC+ZCDG^ZEDC+ZADE^/ADC=9Q°,

VZEDF=45°,：.ZGDF=ZEDF=45°,

5L'：DF=DF,；.叢DGF沿ADEF,（SAS）（寫依據(jù)）

：.EF=FG=CG+CF=AE+CF.

【類比引申】⑵“智慧”小組的同學(xué)在“勤奮”小組同學(xué)的基礎(chǔ)上，改變了條件：如圖②，在四邊形

ABCD，AD=DC,ZADC=90°，點(diǎn)￡,/分別在邊/瓦5C上，NED尸=45°,連接EE若乙4,

NC都不是直角，且N/+/C=180°,則（1）中的結(jié)論是否還成立？并說明理由.

【聯(lián)想拓展】（3）“創(chuàng)新”小組的同學(xué)提出了下面的問題：如圖③，在△/5C中，ZABC=90°,AB

=BC,點(diǎn)。，E均在邊/C上，且/DAE=45°.當(dāng)4D=1,CE=2時(shí)，直接寫出。E的長度.

:.將△/￡）￡1繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△CDG,可使AD與CD重合,

第16頁（共24頁）

:./A=/DCG,NADE=/CDG,AE=CG,DE=DG,

VZDCB=ZA=90°,

/.ZFCG=180°,

即點(diǎn)尸，C,G共線，

???ZEDG=ZEDC+ZCDG=/EDC+NADE=ZADC=90°,

VZEDF=45°,

:?/GDF=/EDF=45°,

在△。尸G和△。尸E中，

DG=DE

乙FDG=乙FDE,

.DF=DF

:?△DGFqADEF(SAS)f

???EF=FG=CG+CF=AE+CF；

故答案為：△DGF,,SAS；

(2)?：AD=CD,

???將△4QE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△COG,可使4。與CO重合，如圖②,

則N4=NDCG,

又???//+/。。/=180°,

AZDCG+ZDCF=180°,

即/月CG=180°,F,C,G三點(diǎn)共線，

VZADC=90°,ZDEF=45°,

AZADE+ZCDF=45°,

由旋轉(zhuǎn)可知：NADE=NCDG,DE=DG,

：.ZCDG+ZFDC=45°,

即NFZ)G=45°,

ZFDG=/FDE,

在△上）尸G和△。尸￡中,

第17頁（共24頁）

DG=DE

Z.FDG=乙FDE,

、DF=DF

:.4DFG經(jīng)XDFE(SAS)f

：.EF=FG,

,:FG=FC+CG,CG=AE,

：.EF=AE+CF；

(3)?:AB=BC,

???將△A4D繞點(diǎn)5逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△5CG,可使45與5c重合，連接EG,如圖③,

由旋轉(zhuǎn)可知，NABD=/CBG,NA=/BCG,BD=BG,

VZABC=90°,NDBE=45°,

；?/ABD+/EBC=45°,

：.ZCBG+ZEBC=45°,

即NE5G=45°,

???/EBD=NEBG,

?：BE=BE,

:?ABED義ABEG(SAS)f

■:DE=EG,

■:BA=BC,ZABC=90°,

：.ZA=ZBCA=45°,

ZBCG=ZA=45°,

；?/ECG=/BCA+/BCG=90°,

在RtAECG中，EG1=CE1+CG1,

?：EG=DE,CG=AD=1,CE=2,

：.DE=VCE2+AD2=V4T1=V5.

六、解答題(每小題10分，共20分)

25.(10分)如圖，在△45。中，ZC=90°,ZA=30°,BC=百61.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)4出發(fā)，沿折線45-

第18頁（共24頁）

3C方向以百cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)尸作交射線NC于點(diǎn)。.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

xs(x>0),△4P0與△/BC重合部分圖形的面積為ye//?.

(1)當(dāng)點(diǎn)0與點(diǎn)C重合時(shí)，求x的值.

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

(3)當(dāng)直線P。經(jīng)過線段3c的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出x的值.

【解答】解：(1)當(dāng)點(diǎn)0于點(diǎn)C重合時(shí)，如圖1,

:.AB=2BC=2?NC=VXB2-BC2=J(2V3)2-(V3)2=3,

'JPCLAB,

：.ZAPC=90°,

"C=14C=j,

'.AP—y/AC2—PC2=J32—('I')2=—

9?AP=y/3x,

：.x=f;

(2)①當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)。在/C上時(shí)，如圖2,0<x<I，ZX/P。與△43C重合部分圖形是△/P。,

圖2

第19頁(共24頁)

RtZ\/尸0中，ZA=30°,AP=Wx,

.\PQ=x,

11

.?.尸^AP-PQ=|?V3x?x=

3

②當(dāng)點(diǎn)尸在上，點(diǎn)。在/C的延長線上時(shí),5<rW2,Z\4P。與△/5C重合部分圖形是四邊形ZCQP,

設(shè)尸。與BC交于點(diǎn)。，如圖3,

同理知：PQ=x,AQ=2x,

：.CQ=AQ-AC=2x-3f

RtZkCQQ中，ZCDQ=30°,

：.CD=V3C0=V3(2x-3),

??y=S^APQ-S^CDQ

=等—號(hào)(2x-3)2

3①2_i_rns9遮

=----2~x3x----；

③當(dāng)點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)。在4c的延長線上時(shí)，2<xW3,設(shè)尸。_L4B于K,如圖4,此時(shí)△力尸0與4

ABC重合部分圖形是△4PC,

■:AB+PB=V3x,

：.PC=AB+BC-V3x=2V3+V3-V3x=3V3-V3x,

y=S/\APC=^*AC*PC=(3V3—y/3x)=-9「Z；

(0Vx43)

綜上，y與x的函數(shù)解析式為：y=，—竽d+6舊％—竽(|〈久w2)；

----2-xH-2—(2(xW3)

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（3）分兩種情況:

?.?。是3C的中點(diǎn)，

：.BD=CD=^,

中，/BDP=3Q°,

：.PB=：BD=*，

?：AB=2y[3,

.../尸=28一字=苧,

,07V3

??V3x=,

?,_?、一7不

???尸是8C的中點(diǎn)，

F5

?,?5尸=。尸二號(hào)，

,岳=275+亭

._5

??x-2，

75

綜上，X的值是了或不