2024-2025學年廣東省惠州市高三第二次調研考試（期中）數學

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.已知集合"=｛也"<5｝,集合”如,_4X<0｝,則/n8=（）

A（0,5）B[2,4）c.?A）口.（一叫°）32，+黨

2.已知復數z滿足2?+1=0,則匕+1|=（）

A.3B.2C.6D.1

3.己知等差數列｛%｝前9項的和為27,%。=8,貝|%。。=（）

A.100B.99C.98D.97

4.在正方體'88-44G2中，棱80,44的中點分別為￡,F,則直線跖與平面

所成角的正弦值為（）

V5275V6V30

A.5B.5C.6D.6

?=（百，1）忖="儂-6"=3,則向量B在向量,上的投影向

5.已知向量扇在滿足:

量為（）

fV31

建何

6.已知函數，（x）=bg2（x2-2ax）,aeR,則“°go,,是“函數/（x）在（1,+co）上單調遞增，,

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.己知“水滴”的表面是一個由圓錐的側面和部分球面（常稱為“球冠”）所圍成的幾

何體.如圖所示，將“水滴”的軸截面看成由線段“民/C和優弧8C所圍成的平面圖形，

其中點及0所在直線與水平面平行，48和NC與圓弧相切.已知“水滴”的“豎直高度”

與“水平寬度”（“水平寬度”指的是平行于水平面的直線截軸截面所得線段的長度的最大

4

值）的比值為3,則sin/A4c=（）

A

A.5B.5C.25D.25

8.在統計某學校所有選擇理科和文科的學生數據中，發現理科生多于文科生，女生多于

男生，則關于本次學生樣本的數據中，結論一定成立的是（）

A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生

C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生

二、多選題（本大題共3小題）

9.某公司為保證產品生產質量，連續10天監測某種新產品生產線的次品件數，得到

關于每天出現的次品的件數的一組樣本數據.3,43L5,3,2,5,1,3則關于這組數據的結論

正確的是（）

A.極差是4

B.眾數小于平均數

C.方差是2

D.數據的第80百分位數為4.5

/（x）=y4sin（cox+（p）\^4>0,<y>0,|^>|<—”\

10.函數I2J的部分圖象如圖所示，現將巧的圖

71

象向左平移％個單位長度，得到函數g（x）的圖象，則下列結論正確的是（）

B.。=2

y=xf\、+——

C.函數I12J是奇函數

g(x)=2cos2x--

D.I3J

ii,如圖，心形曲線￡：,+（尸即2=1與了軸交于48兩點，點尸是L上的一個動點,

則（）

A.點12）和（一11）均在工上

B.點P的縱坐標的最大值為6

C.的最大值與最小值之和為3

D.E+閥

三、填空題（本大題共3小題）

12.在（X+1F的二項展開式中，各項的系數和為.

—7

13.橢圓/b2（a>b>o）的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是

Fi，F2.若|AFI|,IF1F2I，|FIB|成等比數列，則此橢圓的離心率為

Inax

14.若關于x的方程有實根，則/+〃的最小值為

四、解答題（本大題共5小題）

f（x}=—x2-x-21nx

15.已知函數2

（1）求曲線了=/6）在點OJO））處的切線方程;

（2）求函數”無）在區間［1向上的最小值.

16.如圖，四棱錐中，底面〃CD,/O=C￡>=1,

/BAD=\2Q°,ZACB=90°

（2）若*6求平面PC。與平面尸C/夾角的余弦值.

17.已知雙曲線UX272=1及直線/：?=丘一1.

（1）若/與C有兩個不同的交點，求實數"的取值范圍；

（2）若/與C交于48兩點，°是坐標原點，且△CM3的面積為血，求實數后的值.

18.記V/8C的內角48,C的對邊分別為a,6,c,已知。<6<c且taM,tanS,tanC均為整

數.

（1）求taM，tanB,tanC的值；

（2）設NC的中點為。，求/。8的余弦值.

19.若數列｛%｝（14〃4月〃.,左。*）滿足％€｛0,1｝,則稱數列｛%｝為上項0-1數列,

由所有無項0T數列組成集合乂匚

⑴若｛%｝是12項OT數列，當且僅當"="（PCN,°'4）時，見=0,求數列

｛（T）%｝的所有項的和；；］

“（1/A）x=-々I

（2）從集合“女中任意取出兩個數列亞/，色J,記k

E（X｝>-

①求隨機變量X的分布列，并證明：2.

②若用某軟件產生后（后？2）項°-1數列，記事件/=”第一次產生數字1”，8="第二次

產生數字1”，且°〈尸⑷<1，°〈尸修）<1.若尸（即）〈尸（始），比較尸（川8）與尸（酸）的

大小.

答案

1.【正確答案】B

[詳解]因為合/={"2Wx<5},5=?x[-4x<。}={xO<x<4}

所以/c8={x[2Wx<4}

故選：B.

2.【正確答案】C

【詳解】因為i+l=0,所以z=±i,

所以卜+1|=|1土i|=J『+(±l)2=g.

故選：C.

3.【正確答案】C

9a.+36d=27

{1,

【詳解】試題分析：由已知，%+9"=8'所以

a\=-1,d=1,a］。。=q+991——1+99=98,故選c

【名師點睛】等差、等比數列各有五個基本量，兩組基本公式，而這兩組公式可看作多

元方程，利用這些方程可將等差、等比數列中的運算問題轉化為解關于基本量的方程(組)

，因此可以說數列中的絕大部分運算題可看作方程應用題，所以用方程思想解決數列問

題是一種行之有效的方法.

4.【正確答案】C

ABCD

【詳解】連接E8,在正方體-"SG2中，8cL平面ABBXAX,

棱8c的中點為E,則8E，平面ABBA,

而BFu平面故BE工BF,

則NEF8即為直線E尸與平面/8片4所成角，

設正方體棱長為2,則BE=I，BF=/k+4笈=VIZZ=",

貝I]EF=y]BF2+BE2=V6

1_展

sinZEFB=—TTT,

故EF

故選：C

5.【正確答案】A

【詳解】由斗旦儂與”=3,得2aA向2=2展3-2=3,即限6=5,

由己知得卜卜2,所以向量B在向量a上的投影向量為

5

故選：A

6.【正確答案】A

【詳解】若函數"無）在a+s）上單調遞增，則11一2。之0,解得“一5,

所以“4W0”是“函數/（X）在。，+句上單調遞增”的充分不必要條件.

故選：A.

7.【正確答案】D

【詳解】

設優弧2C所在圓的圓心為°,半徑為尺，連接。4。8,℃,如圖所示.

0A+R4

易知“水滴”的“豎直高度”為0N+R,“水平寬度”為2A,由題意知2R~3,解得

OA=-R

3,

因為48與圓弧相切于點8,所以。

R3

sin^BAO=——

0A

在RtA^150中,

ZBAOefo,^cosZBAO二8-sin?NBAO=-

又,所以5,

由對稱性知，/BAO=/CAO,則NA4C=24/O,

3424

sin/BAC=2sinNBAOcos/BAO=2又一x—=一

所以5525,

故選：D.

8.【正確答案】C

【詳解】根據已知條件設理科女生有多人，理科男生有超人；文科女生有乂人，文科

男生有力人；

根據題意可知：再+%>%+%，再+M>Z+%,

根據同向不等式可加的性質有：^+x2+xl+yl>yl+y2+x2+y^

即西>%,所以理科女生多于文科男生，

故C正確，其他選項沒有足夠證據論證.

故選：C.

9.【正確答案】AD

【詳解】數據從小到大排列為「，1，2,3,3,3,3,4,5,5

A項，該組數據的極差為57=4,故A正確；

1X2+2+3X4+4+5X2

B項，眾數為3,平均數為1。

所以眾數與平均數相等，故B錯誤；

1

[(1-3)2X2+(2-3)2X1+(3-3)2X4+(4-3)2X1+(5-3)2X2]=1.8

C項，方差為W

故C錯誤；

D項，由10x80%=8,8是整數,

則這組數據的第80百分位數為第8個數和第9個數的平均數,

4+5.

------=45

即2，故D正確.

故選：AD.

10.【正確答案】ABD

【詳解】由圖象可知：/(乃-=2,貝|/=2；

又"0)=2sm”l,故sis',又小：所以兀

(p-------

6,所以A項正確;

7兀7兀71_n7兀兀

2sin一CD——-U----CO=71

126,由五點作圖法可知：126,解得：。=2,所以B

項正確;

因此可得小）=2sin12x一.xf[x+n=2xsin2x

,則

71

h(x)=xfXH---=-2xsin2x

設12

貝“〃(-%)=2(-x)sin(-2x)=2xsin2x=/z(x)

k#x+1

所以函數是偶函數，故C項錯誤;

c?c兀)c71兀

g(x)=/[x+1J=2sin2(工+弓)一：—2sin2xH——2cos----2xH—

I62(6

由

=2cos[m-2x)=2cos(2x-；

所以D項正確;

故選：ABD.

11.【正確答案】ABD

【分析】點代入曲線判斷A,根據曲線分段得出函數取得最大值判斷B,應用三角換

元再結合三角恒等變換求最值判斷C,應用三角換元結合橢圓的方程得出恒成立判斷

D.

【詳解】令x=°,得出蚱±1,則

（I-、2

x=j_L—+y-------=1

一2時，2I2）,得y=0或k血，

尤=T時，1+&T）=1得k1,所以I2J和（T/）均在/上，故A正確;

因為曲線關于y軸對稱，當時，/+3-國）=1

所以V=無+Jl-r

y=7?+Vl-x2,y2=x2+(1-X2^+2^X2x(l-x2^<l+x2+(1-X2^=2

即2時，V最大，最大值為22,故B正確;

\OP\^^x2+y2因為曲線關于y軸對稱，當尤20時，設工=3/歹7=5皿6,

\OP^=x2+y2=cos20+(cos^+sin^)2=2cos20+sin20+2sin0cos6*

所以

=1+l+c°s2"+sin28=—+—cos26+sin2^=—+-sin(20+(p\

22222v7

因為夕可取任意角，

I3-V5_V5-1I3+V5=V5+1

所以UH取最小值"白一一一，|0尸|取最大值Y2—2,即和為石，故C

錯誤；

Ly2x2_,

四+附426等價為點?在橢圓了十萬一內，

/.、3(l+cos26>)

22

0n,-H-□Zfcos^+sin^)+3COS^<6日門2(l+sin2")+-"6

即滿足v7，即1

整理得4?2。+3。052"5,即sm(2e+￡)41恒成立，故D正確.

故選ABD.

12.【正確答案】32

【詳解】令x=l,則二項式展開式各項的系數和為25=32.

故32

V5

13.【正確答案】5

【詳解】本題著重考查等比中項的性質，以及橢圓的離心率等幾何性質，同時考查了函

數與方程，轉化與化歸思想.

利用橢圓及等比數列的性質解題.由橢圓的性質可知：|/周="一°,閨月1=2。，

|9|=a+c,又已知|回|,閨磯閨用成等比數列，故(a_c)(q+c)=(2c)2,即

_C_y/5V5

a2-c2=4c2,貝U/=502.故e-。-5.即橢圓的離心率為5.

【點評】求雙曲線的離心率一般是通過已知條件建立有關生。的方程，然后化為有關

”"的齊次式方程，進而轉化為只含有離心率e的方程，從而求解方程即可.體現考綱

中要求掌握橢圓的基本性質.,來年需要注意橢圓的長軸，短軸長及其標準方程的求解等

14.【正確答案】e2

Jx2+—Infax+&]=Jxg+—

Inax+—=,0

【詳解】設方程12)V4的實根為X。，則I°2；V°4；

b,京+；

v42一e后=0

aXr.+—=eaxa+

所以2，即2

rx+y-=°上

設點尸則點尸在直線'o

e*

id=I-----

,y

xxH---ev%=0的距離為"，貝I4卜°+L4,

設點。(0,0)到直線n2

t名

設則

-（，））爐

所以

—</<1—,1

當2一，/⑺<0,則/⑺在12J上單調遞減;

當”1時，仆）>。，則>（'）在1+°°）上單調遞增,

所以=/（1）=e,

則"=/（0汽又尸|2,由幾何意義可知|。尸|>",

所以/+產=|。尸吃屋Ne?.

X-J,_7_3

檢驗：當"1時，°一一2,

=e

【——6a-J\-----e二0n<'T

<22b=上

由&+/=e2，解得［一，，此時/+62=e2；

\bna=-e

-----a+——e=0<

<22b=%

由［a2+/=e2，解得I2，此時/+方2=己

所以/+〃最小值為e2.

故答案為

15.【正確答案】⑴4x+2y-3=°

（2）-2In2

【分析】（1）先確定切點，再求切線斜率，利用點斜式可得切線方程

（2）分析函數的單調性，可得函數的最小值.

/(1)=1-1-0=--

【詳解】（1）因為22,所以切點坐標為:

f'(x)=x-l--）二-即為所求切線的斜率，

又X,/'02,

*父必1）,化簡得：4x+2y-3=0；

所以切線方程為:

x2-x-2_(x-2)(x+l)

f'(x)=x-l--=

(2)xxx(x>0)

由/'(x)>°nx〉2；由/'G)<°n0<x<2,

所以/'(x)在［1,2］上單調遞減，在［2,e］上單調遞增，

故函數/(X)在區間Le］上的極小值為/(2)=-21n2,也是最小值.

16.【正確答案】(1)證明見解析

V5

⑵5

【詳解】(1)證明：己知產底面/BCD,且BCu底面/3CD,

所以尸/L8C.

由N4CB=90。,可得BC1AC

又PNcNC=4尸4NCu平面PAC,

所以3cL平面PNC.

(2)取CD的中點E,由48〃CD,ZBAD=120°,可得NADC=60°,

又因為40=8=1,所以三角形是正三角形，

在Rt^/C5中，^BAC=60°,AC=1所以/B=2.

可建立如圖所示的空間直角坐標系，

^(O,O,O),P(O,O,V3)CR-,-,O,D^,--,0,2(0,2,0)

求得I22JI22J,

BC=—,--,0

由(1)可知，<221是平面P/C的一個法向量，

DCn=O

<

設平面PQC的一個法向量為五=9力｛),則［PC?方二0,

［b=0

為小,。4

設平面PCD與平面PCA的夾角為e,

3

cosd=I|cos\/sC,n)力|=J網?"向=-5-----^叵~j==—5

所以2

所以平面尸8與平面PC/夾角的余弦值為5.

17.【正確答案】⑴卜"一1＞（7」"（1'板）

k=土星

⑵左=。或2

221

＜x-y=

【詳解】（1）直線/與雙曲線C有兩個不同的交點，則方程組履T有兩組不同

的實數根，

整理得（1-公〉+2丘-2=0.

1-rwo

*A=4A：2-4（l-A:2）-（-2）＞0

解得一/＜無＜也且后H±l,雙曲線C與直線,有兩個不同的交點時，上的取值范圍是

6后,-1＞

（2）解法一：設交點"（再，%MG，%）,

由（1）知雙曲線C與直線/聯立的方程為（1—〃卜+2米一2=0.

2k2

%+%=-------7，52---------r

由韋達定理得：1-左1-左，

則=J1+左之|x2-xj=[1+12,J（、2+西）2-4不工2

又。到直線’的距離

1也一左2

S^OAB=~-\AB[d=

2左二十_____

所以△045的面積解得左=0或__2,

k=+?

又因為-血＜左＜也且左N±l,所以左=0或一2

后=+逅

所以當在=°或一一三時，△ONB的面積為0.

解法二：設交點,6，乂），8a，％）,直線/與V軸交于點“（°，T）,

由（1）知雙曲線C與直線/聯立的方程為（1一〃卜+2辰一2=0.

2k2

由韋達定理得：%+%=-匚產5=-匚9,

\OBD（一民|）二；|再一回

—S=5|%|

=;（再|+同）=;忖1一司

△OBD

由已知得口加=;卜一司=也

故（再一%）2=8,即（再+々）2_4再/=8

-4f—-\]=8k=+—

所以I1一《JI1一左J,解得左=0或2,

人=+逅

又因為_g＜上＜&且左/±1,所以左二0或一一2.

*4娓

所以當左=0或一一2時，ASMB的面積為J2.

18.【正確答案】⑴taM=l,tanfi=2,tanC=3

Vw

⑵10

【詳解】(1)由a<6<c,貝l]/<8<C.

0<A<-

由4+5+。=兀，貝|/+B+C>34,故3,

所以0<taib4<百，

因為tarU為整數，所以taiU=l,

A=—B+C=-

由=可得4，4

3兀兀「3兀

—=B+C>2B—<B<——

因為4<8<C,所以4，則48，

in3兀

1<tanB<tan——

所以8

2tan^

3兀8

tan——二=-1

一37c73兀_3兀y_

41tan2tan-----2tan------1=0

由8,則88

371/r-

tan—=1+V2tan——=I-A/2

解得8或8（舍去），

故1<tariB<1+V2,

又2<1+夜<3,tanS為正整數，所以tanS=2,

taru4+tan5

tanC=-tan(4+B)=-

所以'1-taiL4tan5

綜上，taih4=1,tan5=2,tanC=3

3V10

sin5=—,cosC=—,sinC=

(2)由(1)可知,tanff=2,tanC=3則51010,

ab

.71sin5sinC

sin—

在V/3C中，由正弦定理4

asinB2A/10?asinC3^a

b=,c=

.兀5.兀5

sm—sin—

可得44

y[\Qa

CD=-b=

又NC的中點為。,所以25

在YABC中，由余弦定理得：BD2=CD2+CB2-2CDCB?cosC

\2

fVio+/-2x巫會.巫

-----a

5

J510=〃，所以a

cos/CDB=cosC=

所以