2024-2025學年九年級下學期開學摸底考試卷數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置

上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號

涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，

將答案寫在答卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題（本大題共6小題，每小題4分，滿分24分.在每個小題給出的四

個選項中，只有一項符合題目要求的）

1.庖的平方根是（）

A.±3B.3C.±9D.9

2.下列運算正確的是（）

327

A.（~af-a=-aB.a3b2-a=a4b2

C.+1）=a~+1D.（a-1）2=a2-l

3.對于二次函數y=-（x-2y+5的圖象的特征,下列描述正確的是（）

A.開口向上B.頂點坐標（-2,5）

C.對稱軸是直線x=2D.在x>2時，夕隨x的增大而增大

4.如圖，直線加，"與直線a,b,B,C,點DE,F,其中AB:BC=3:1,

則DE:DF=()

C.2:3D.3:5

試卷第1頁，共6頁

5.下列說法正確的是（）

A.有兩條邊和一個角對應相等的兩個三角形全等

B.平分弦的直徑垂直于這條弦

C.正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

D.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

6.如圖，在△/5C中，點。、E分別在邊43、NC上，點尸、G在邊上，四邊形OEGF

是平行四邊形，AN〃DF交BC于點、N.甲、乙兩位同學在研究這個圖形時：

黑+注=1；②罷+冬=1.那么下列說法中，正確的是（）

BNCNBCAN

BFNGC

A.①正確②錯誤B.①錯誤②正確

C.①、②皆正確D.①、②皆錯誤

第n卷

二、填空題（本大題共12小題，每小題4分，滿分48分）

7.分解因式：3a3-12a=.

8.方程：J尤-12=x的解為

9.將二次函數y=5x2的圖象向上平移3個單位長度，得到的函數的解析式是.

10?點8（4,%）是二次函數了=（》-1）2圖象上的兩個點，則％%（填

">,,,或"=

11.如圖，某小區計劃用總長為20m的鐵柵欄圍成一個兩邊靠墻的矩形車棚/BCD（墻足

夠長），為了方便存車，在8c（BC>2m）邊上開了一個2m寬的門￡尸（門不是用鐵柵欄做成

的），設邊的長為xm,車棚面積為yn?,則了與x之間的函數關系式是.

試卷第2頁，共6頁

JD

叫做乙4的鄰弦,

記作thM=".解決問題：在A/8C中，NC=30。，thL4=百，3C=12,貝|J/C=

AB

13.如圖，。方。的頂點都在這些小正方形的頂點上，那么sin//C3的值為

14.如圖，標明了甲地、乙地與丙地的大致位置，請用規范的數學用語指明：丙地在甲地的

方向上.

15.如圖，已知正方形/8CZ）的邊長為30,點￡是4B的中點，DHLCE于H,BD交CE

16.如圖，在A/BC中，點G是重心，過點G作GO〃8C,交邊/C于點D,聯結8G,如

果^AABC=36,那么S四邊形BG0C=

試卷第3頁，共6頁

A

17.RtAASC中，已知4c=90。，48=50。，點。在邊BC上，BD=2CD(如圖).把A48C

繞著點。逆時針旋轉加(0<?7<180)度后，如果點2恰好落在初始RtA42c的邊上，那

18.半徑為2的正六邊形最長對角線長為.

三、解答題(本題共8小題，共72分.其中：17-21每題8分，22-23題每題10

分，24題12分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

19.計算:

1+tan60°

20.解方程組：4.

x2=-(y+3)

21.如圖，半徑為5的。。經過ZUBC的頂點4B,與邊8C相交于點。，BD=8,

AB=AD.

⑴求42的長;

4

(2)如果tanC=],判斷直線N3與以點C為圓心、9為半徑的圓的位置關系，并說明理由.

試卷第4頁，共6頁

22.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的長度的比值叫做頂角的正對.如圖，在△/BC中,

AB=AC,頂角/的正對記作pre/,這時pre/=^=空.仔細閱讀上述關于頂角的正

腰AB

對的定義，解決下列問題（第（1）（2）不必寫出過程）

A.vB.1C.—D.2

22

（2）對于0°<180°,//的正對值pre/的取值范圍是.

O

（3）如果4B=/C,sin/=萬，其中//為銳角，試求pre/的值.

23.如圖所示，在平行四邊形N8CZ）中，點E是邊CZ）上一點，點尸是邊4D的中點,

⑴求證：EF1BF；

⑵如果BE平分NCAF,求證：DFAD=CDCE.

24.在平面直角坐標系X。'中，已知拋物線>=--+加+,經過點/（3,0）和點8（0,3）,其頂

點為C.

試卷第5頁，共6頁

1-

____IIIII.

~O1X

(1)求拋物線的解析式和頂點C的坐標;

⑵求的正切值;

(3)點尸在第一象限的拋物線上，且=求點P的坐標.

25.如圖1,梯形43CD中，AD//BC,44=90。,AD=2,AB=4,BC=5,M在邊CD

上，連接8",BMVCD.

⑴求CD的長;

(2)如圖2,作NEMF=90。，ME交4B于點E,MF交BC于點、F,^AE=x,BF=y,求y

關于x的函數解析式，并寫出定義域;

(3)在(2)的條件下，若尸是等腰三角形，求/E的值.

試卷第6頁，共6頁

1.A

【分析】本題主要考查了求一個數的算術平方根和平方根，對于兩個實數。、6若滿足

a-=b,那么。就叫做6的平方根，若。為非負數，那么。就叫做6的算術平方根，據此求

解即可.

【詳解】解：781=9,

???9的平方根為±3,

二病的平方根是±3,

故選：A.

2.B

【分析】本題考查了哥的乘方，同底數募的乘法，單項式乘單項式，單項式乘多項式，完全

平方公式，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵.

根據塞的乘方，同底數塞的乘法，單項式乘單項式，單項式乘多項式，完全平方公式逐項判

斷即可.

【詳解】解：A、故該選項不符合題意；

B、a3b2-a=a4b2,故該選項符合題意；

C、a(a+l)-a2+a,故該選項不符合題意；

D^(a-1)2=a2-2a+l,故該選項不符合題意；

故選：B.

3.C

【分析】本題主要考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵;

根據二次函數的圖象及性質逐一判斷即可求解.

【詳解】解：A、-K0,拋物線的開口向下，則該選項錯誤，故不符合題意；

B、頂點坐標為(2,5),則該選項錯誤，故不符合題意；

C、對稱軸是直線x=2,則該選項正確，故符合題意；

D、當無＞2時，V隨x的增大而減小，則該選項錯誤，不符合題意；

故選：C

4.B

【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，掌握定理的內容、找準對應關系是解題的

答案第1頁，共18頁

關鍵.根據平行線分線段成比例定理即可得到結論.

【詳解】解：:48:尤=3:1,

：.AB:AC^3:4,

??,直線a〃b〃c,

:.DE\DF=AB:AC=3A,

故選：B.

5.C

【分析】根據全等三角形的判定、垂徑定理、正方形的性質、平行四邊形的判定定理判斷即

可.

【詳解】解：/、有兩條邊和其夾角對應相等的兩個三角形全等，原命題是假命題；

8、平分弦（非直徑）的直徑垂直于這條弦，原命題是假命題；

C、正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，是真命題；

。、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題；

故選：C.

【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判

斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理.

6.C

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，證明三角形相似是解題

的關鍵.由平行線分線段成比例和相似三角形的性質可得/=與，整=罷，

BNABNCAC

ADAEDEADDFBD-⑺

ABACBCABANBA

【詳解】解一?四邊形。EGb是平行四邊形，

DE//BC.DF//EG,

??.AN//DF,

??.AN//EG//DFf

BFBDNGAE

??麗一行而一就’

-DE//BC,

???△ADEsdABC,

ADAE

??下一就‘

答案第2頁，共18頁

BFNGBDAEBDADAB

?____?____=____?____=____?____—___=]A

''BNCNABACABABAB'

??,LADEs/\4BC,

DEAD

,?茄-IP

??.AN//DF,

???/\BDFS/\BAN,

DFBD

DEDFADBD

.------1------=_____?------=]A

"BCANABAB'

故選：C.

7.3a(a+2)(a-2)

【分析】本題主要考查了因式分解中的提取公因式法和公式法的綜合運用.先提取公因式%,

然后利用平方差公式繼續分解因式即可.

【詳解】解:3/-12。

=3a(a1—4)

=3a(a+2)(a-2),

故答案為：3a(a+2)(a-2).

8.x=4

【分析】本題考查解無理方程，需要注意對解進行檢驗.

把方程兩邊平方去根號得一元二次方程，解得后將解代入方程檢驗.

【詳解】解：Jx+12=x,

兩邊同時平方可得：x+12=x2,可化為：X2-X-12=0,

可解得：》=4或工=-3；

經檢驗無=-3不符，

故答案為：x=4.

9.y=5x2+3##y=3+5x2

【分析】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，根據“上加下減”的法則解答即可.

【詳解】解：將二次函數夕=5/的圖象向上平移3個單位長度，得到的函數的解析式是

答案第3頁，共18頁

y=5x2+3.

故答案為：y=5x2+3

10.<

【分析】本題考查了二次函數值的大小比較.將/（TM），8（4,%）代入〉=口-1）2,求出必

和%,比較即可；

2

【詳解】解：當x=-l時，71=（-1-1）=4；

當x=4時，%=（4-1『=9,

V4<9,

???%<%,

故答案為：<.

11.y=-x2+22x

【分析】本題主要考查根據實際問題列二次函數關系式，先求出4。的長，由矩形的面積公

式可求》與x之間的函數關系式.

【詳解】解：,??/5=xm,

AD=（20+2）-x=（22-x）m

:.y=AB-AD=x（22-x）=-x2+22x,

故答案為：y=-/+22x.

12.86或4扣

【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，根據新定義得出/8=46，如圖所示，過

點A作于點。，設/C=x，則4D=1x,在RtAWB中，根據勾股定理建立方程,

解方程，即可求解.

【詳解】解：???thM=gg=VLBC=n,

AB

■■AB=4如

如圖所示，過點A作4012C于點D,設/C=x,則

2

答案第4頁，共18頁

??C=/CxcosC=旦，DB=\CD-BC\=^-x-n

22

在RtZUDB中，AD1=AB2-DB~

解得：x=8V3或4A回

故答案為：8G或4G.

【分析】本題考查了網格與勾股定理，求正弦；取格點。，連接勾股定理求得

AC,進而根據正弦的定義，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，取格點。，連接

?1?AC=y]AD2+CD2=5

AF)4

???sinZACB=sinZACD=—=—,

AC5

4

故答案為：—.

14.南偏東偏。

【分析】本題考查了用方位角表示位置，掌握方位角的定義是解題關鍵.根據方位角的定義

寫出即可.

【詳解】解：由題意可知，丙地在甲地的南偏東30。方向上，

答案第5頁，共18頁

故答案為：南偏東30。.

15.4A污

【分析】本題主要考查了正方形的性質，勾股定理，相似三角形的性質與判定，根據正方形

的邊長為30,利用勾股定理得到CE=^BE2+BC2=15石，證明△BEG^/XDCG得到

CG=|c￡=10V5,再證明,求出C〃=6。，則HG=CG-CH=4追，

據此可得答案.

【詳解】解：,??正方形的邊長為30,

...AB=BC=CD=30,ZABC=ZBCD=90°,AB//CD,

???點E是的中點，

：.BE=-AB=\5,

2

???CE=YJBE2+BC2=15VL

■：AB//CD,

:.△BEGsMDCG,

CGDCc

???-=-----=2,

EGBE

CG=-C^=10A/5,

3

?:DH工CE,

???ZDHC=ZDCB=ZCBE=90°,

ZHCD+/HDC=90°=ZHCD+/BCE,

??.ZHDC=/BCE,

:?XHDCsWCE,

CHCD目口CH30

：,=,即=■—T=,

BECE1515V5

:-CH=6#,

■■HG=CG-CH=4y/5,

故答案為：4A/5.

16.16

【分析】本題主要考查了三角形的重心，三角形的面積，相似三角形的判定與性質，連接

答案第6頁，共18頁

AG,延長/G交2c于點H,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解.

【詳解】解：連接4G,延長4G交于點H,并延長至尸，使得=延長3G交ZC

于點￡,連接CG,3G

點G是重心，

分別為8C,4C的中點，

BH=CH,

四邊形CGBF是平行四邊形,

.-.CF//BE

AGAE,

---=---=I

FGEC

:?AG=GF=2GH

v

S叢ABC=36,

???SAABH=S4ACH=5SAZBC=18,

48G=12,SABGH=6,

-GD//BC,

：?"GDs“HC,

S"GD+$四邊形GHCQ==18,

???S"GD=8,S四邊形G“CQ=10,

???§四邊形3GZ)C=S&BGH+S四邊形G"C。=6+10=16,

故答案為：16.

答案第7頁，共18頁

17.80。或120°

【分析】本題可以圖形的旋轉問題轉化為點B繞D點逆時針旋轉的問題，故可以D點為圓

心，DB長為半徑畫弧，第一次與原三角形交于斜邊AB上的一點B，，交直角邊AC于B”,

此時DB，=DB,DB"=DB=2CD,由等腰三角形的性質求旋轉角NBDB，的度數，在RSB"CD

中，解直角三角形求NCDB",可得旋轉角NBDB"的度數.

【詳解】解：如圖，在線段AB取一點使DB=DB，，在線段AC取一點B",使

DB=DB",

???①旋轉角m=zBDB,=180o-zDB,B-zB=180°-2zB=80°,

②在RdB"C'D中，???DB"=DB=2CD,

.?zCDB"=60。，

旋轉角ZBDB"=18()o-NCDB”=120。.

故答案為80。或120°.

【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線

段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.運用含30度的直角三角形三邊的關系也是

解決問題的關鍵.

18.4

【分析】本題考查正多邊形和圓，解題的關鍵是掌握正多邊形和圓的相關概念和性質.據此

解答即可.

【詳解】解：如圖，六邊形/BCD斯為正六邊形，點。是正六邊形外接圓的圓心，半徑為

2

???正六邊形/BCD跖為中心對稱圖形，

它的一條最長對角線AD過點O,

AD=2OA=2x2=4,

???半徑為2的正六邊形最長對角線長為4.

故答案為：4.

答案第8頁，共18頁

19.3

【分析】本題主要考查了實數混合運算、特殊角的三角函數值、零指數幕和負整數指數幕等

知識，熟練掌握相關運算法則是解題關鍵.根據二次根式的性質、特殊角的三角形函數值、

零指數募和負整數指數累運算法則進行運算，然后相加減即可.

【詳解】解:原式=2石--1+2

=26_(2百_211+2

=3.

x=2x=-2x=0

20.尸。或…或

>=一3

【分析】本題考查了解二元二次方程組，先整理方程組，再利用代入消元法求解方程即可;

熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

9/+4/=36①

【詳解】解：方程組整理得

9/=12〉+36②

②代入①得：12^+36+4/=36,BPy2=—3y,

解得：>=0或尸-3,

將y=0代入②得：9/=36,

解得：％=2或X=-2,

將y=-3代入②得：9x2=0,

解得：x=0,

答案第9頁，共18頁

綜上，方程組的解為:

21.(1)475;

(2)直線與。。相交，理由見解析.

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角函數，三角形的面積，直線和圓的位置關系，

正確作出輔助線是解題的關鍵.

(1)連接/0并延長交于點E,連接ND、OB,由=可得4E_L8D,進而得

NAEB=N4EC=90°,BE,BD=4,利用勾股定理得OE=3,得到，再由勾股定理即可

得到N2的長；

A4

(2)直線與0c相交.過點C作于H,由三角函數得々=三，得到CE=6,

進而得5c=10,再根據三角形的面積得C"=46<9,即可求證.

【詳解】(1)解：連接/。并延長交BC于點E,連接OB,

：■AEVBD,

；.NAEB=N4EC=9Q°,BE=-BD=4,

2

???OE=4OB--BE1=452—42=3，

.?.2E=/O+OE=5+3=8,

???AB=y/AE2+BE2=7§2+42=475；

(2)解：直線與0c相交，理由如下:

過點C作CH42于

答案第10頁，共18頁

A

ZE_4

一，

CE3

8_4

CE3

CE—6,

??.BC=BE+CE=4+6=10,

5=-2BC-AE=-2ABCH,

.-.-X10X8=-X4V5XC/7,

22

???CH=4y/5<9,

直線NB與0c相交.

22.(1)B

(2)0<preA<2

f,2a

(3)pre/=一^廠

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角函數，勾股定理以及三角形的三邊關系等知識.

(1)先判斷△/BC為等邊三角形，得到43=8(3,最后根據新定義求解即可；

(2)先根據三角形的三邊關系和等腰三角形的性質得到BC<2/8,最后根據新定義求解即

可；

(3)過點8作8OL/C于點D,則/4DB=90。，設AB=17k,BD=8k,然后用勾股定理

求出BC,最后根據新定義求解即可.

【詳解】(1)解：在△/BC中，AB=AC,AA=60°,

△A8C為等邊三角形，

AB=BC,

答案第11頁，共18頁

,pre60°=-1,

AB

故選：B；

(2)在ZUBC中，根據三角形的三邊關系得：BC<AC+AB,

???AB=AC,

「?BC<2AB,

“re人好<2,

AB

preA>0,

0<preA<2f

故答案為：0<preZ<2；

(3)如圖，過點5作于點。，則4408=90。,

???sin八些8

AB17

二設/5=17左，BD=8k,

在中，AD7AB2-BD?二J(17左,一(8)『15左，

???△/3C是等腰三角形,

*'-AB=AC=17k,

CD=AC-AD=llk-15k=2k,

在RtA5CZ>中，BC=ylBD2+CD2=1(8汗+(2kj=2后k,

.,BC2后k2717

一preA------

AB\7k17

23.(1)見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、相

似三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

(1)延長EF交BA的延長線于加，證明AMFA為EDF(ASA),得出EF=“,

答案第12頁，共18頁

DE=AM,由題意得出=+=再由等腰三角形的性質即可得出答案；

(2)由角平分線的定義結合等腰三角形的性質得出乙磔尸=/￡2尸=/E?C,由平行四邊

Dr-?

形的性質得出NC=NB4F,AD=BC,AB=CD,證明ABCESA"尸，得出一=一,

BAAF

結合/尸=。尸，即可得證.

【詳解】(1)證明：如圖，延長E方交加的延長線于〃，

???四邊形ABCD是平行四邊形，

CD//AB,

???/D=ZMAF,

??,點/是邊40的中點，

???AF=DF,

???ZMFA=ZDFE,

??.△ME4g△￡/)尸(ASA),

EF=MF9DE=AM,

???BE=DE+AB,

BE=AB+AM=BM,

；?EFtBF；

(2)證明：WE平分NC5廠，

ZEBC=ZEBF,

?:BM=BE,EF=MF,

??.ZMBF=ZEBF,

??.ZMBF=ZEBF=ZEBC,

??,四邊形ABCD是平行四邊形,

NC=NBAF,AD=BC,AB=CD,

???ABCES^BAF,

答案第13頁，共18頁

BCCE

,?,點/是邊4。的中點，

???AF=DF,

ADCE

??而一而‘

；,DFAD=CDCE.

24.(1)J/=-X2+2X+3,C(l,4)

(2)3

⑶尸一,三]

【分析】(i)利用待定系數法求解即可；

(2)先根據兩點坐標距離公式求得/8、AC,BC,然后可利用勾股定理的逆定理得到

448c=90。，進而利用正切定義求解即可；

(3)設點尸+2"?+3),m>0,過尸作P”J_x軸于“，tanZPOA=tanZ.ACB=3

求解加值即可求解.

【詳解】(1)解：將點N(3,0)和點以0,3)代入y=f2+&+c中,得

[-9+36+c=0仿=2

[c=3[c=3

二拋物線的解析式為y=-x2+2x+3,

3^.***y=—x~+2x+3=—(x—1)+4,

???頂點C的坐標為(1,4)；

（2）解：???/（3,0）、8（0,3）、C（l,4）,

AB=劣。+3?=3V2>

AC=^（3-1）2+（0-4）2=2A/5，

BC=J（l-0y+（4-3]=V2，

■■AB2+BC2=AC2,

.?.△4BC是直角三角形，且//8C=90。,

答案第14頁，共18頁

4R

???tan乙4cB=——=3；

BC

(3)解：由題意，設點尸(機,-/+2加+3),m>0,

過P作尸軸于“，貝IJ/7/二—機2+2冽+3,OH=m,ZOHP=90°,

??.ZPOA=ZACB,

/.tanZPOA=tan/ACB=3,

PH-m2+2m+3.

-----=------------------=3,

OHm

解得g=士電，啊=土巫（舍去）,

氣292

.??滿足條件的點P坐標為］—六,一片J.

【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了待定系數法求函數解析式、解直角三角形、勾股

定理的逆定理、兩點坐標距離公式、解一元二次方程等知識，解題的關鍵是理解題意，學會

用數形結合和方程思想解決問題，是中考壓軸題型.

25.(1)CZ)=5

3

(2)y=~^x+2(。x<4)

2

⑶/E=0或1或8

【分析】(1)過點。作。尸，8c于點E,證明四邊形/8尸。為矩形，則3尸=4D=2,

DP=AB=4,再根據勾股定理定理即可求出CO；

(2)連接AD,先用等面積法求出期=4,再證明RtA/5O-RtAM3D(HL),從而得出

AD=DM=2,最后證明△MBESAMC尸，根據相似三角形的性質即可求解；

(3)根據/可得為等腰三角形，根據題意進行分類討論，當點E在線