2024-2025學年甘肅省蘭州市高三上學期第三次診斷考試數學

檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.設集合4=f一4工+3<o},B={x|2x—3>0},則（）

A.（1,3）B.C.UD.（1,+cc）

x

2.已知命題p：3x0GN,e0<sinx0+l.則命題〃的否定是（）

Gex>sinx+1B.3xeN,ex<sinx+l

C.X/xN,ex<sinx+lD.HxeN,ex>sinx+1

2252

3.^?=-,/,=m-,c=s1n-,則（）

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<c<a

4.已知q>0,Z?>0,且a+26=l,則—H：的最小值為（）

ab

1

A.B.-C.3-2V2D.3+2V2

5.基本再生數與世代間隔是新冠肺炎的流行病學基本參數，基本再生數指一個感染

者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間，在新冠肺炎疫情

初始階段，可以用指數模型：/?）=/描述累計感染病例數/?）隨時間/（單位：天）

的變化規律，指數增長率廠與凡，7近似滿足q=1+".有學者基于已有數據估計

出&=3.28,7=6.據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加3倍需要

的時間約為（In2土0.69）（）

A.3.6天B.3.0天C.2.4天D.1.8天

6.在V/2C中，內角4民C所對的邊分別為上?則下列條件能確定三角形有兩解

的是（）

71

A.a=5,b==一

6

B.a=4,b=5,A=一

4

C.a=5,b=4,A=^~

D.a=4,b=5,A=—

7.若存在常數。也使得函數〃x）對定義域內的任意x值均有f（x）+/'（2ar）=26,

則〃x）關于點（a,6）對稱，函數〃x）稱為“準奇函數”.現有“準奇函數”g（x）,對于

VxeR,g（x）+g（r）=4,則函數/z（x）=sinx+x+2g（尤）-1在區間［-2023,2023］上的最

大值與最小值的和為（）

A.4B.6C.7D.8

8.已知數歹-1+占抱,=空/，若對任意的"€4,（2-4）,一，）＜0,則實數

2n—l2

2的取值范圍是（）

二、多選題（本大題共3小題）

9.已知x＞0,y＞0且3x+2y=10,則下列結論正確的是（）

A.刈的最大值為郎B.你+7^7的最大值為

C.鄉+冬的最小值為I?D./+/的最大值為當

xy213

10.將函數/（x）=2sin,x-1的圖像向左平移g個單位，所得圖像關于原點對稱.

若0＜。＜1,則下列說法正確的是（）

A./（X）的最小正周期為4兀

B.7（x）的對稱中心為（2阮+年,（）］（左eZ）

C.對任意的xeR,都有/'（x）=f［年-x；

D.g（x）=2sin［ox+"與/（X）的公共點的縱坐標為百或

11.對于定義域為［0,+句的函數＞=/（無），若同時滿足下列條件：①Vxe［0,+⑹,

/(x)20；?Vx>0,J>0,/(x+y)>/(x)+/(y),則稱函數f(x)為“//函數”.下列結

論正確的是（）

A.若/'（x）為函數”，則其圖象恒過定點（0,0）

1,XGQ「\

B.函數/(x)=；:在0,+8上是函數，，

C.函數/'（x）=［x］在［0,+oo）上是函數”（卜］表示不大于X的最大整數）

D.若/'(x)為““函數”，則/(尤)一定是[0,+⑹上的增函數

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知logb=—,貝!]3a+b=.

aa

13.已知aeR,設函數〃x)=依-Inx的圖象在點處的切線為/,則/與y軸

交點的坐標為.

14.已知函數/(x)是定義域為R的奇函數，當x>0時，r(-x)>2/(x),且

/(3)=0,則不等式/'(切〉。的解集為.

四、解答題(本大題共5小題)

15.在V/BC中，角4SC的對邊分別為a,6,c.

(1)若C=2/,。=2,6=3,求。；

(2)若。2+：加=，，求證.3tarU=2tanC

16.黨的十九大以來，恩施州深入推進精準脫貧，加大資金投入，強化對接幫扶，

州委州政府派恩施高中到楊家莊村去考察和指導工作.該村較為貧困的有200戶農

民，且都從事農業種植，據了解，平均每戶的年收入為0.3萬元.為了調整產業結

構，恩施高中和楊家莊村委會決定動員部分農民從事白茶加工，據估計，若能動員

x(x>0)戶農民從事白茶加工，則剩下的繼續從事農業種植的農民平均每戶的年收入

有望提高4尤％,而從事白茶加工的農民平均每戶收入將為0.3，-*](。>0)萬元.

(1)若動員x戶農民從事白茶加工后，要使從事農業種植的農民的總年收入不低于動

員前從事農業種植的農民的總年收入，求x的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，要使這200戶農民中從事白茶加工的農民的總收入始終不高于

從事農業種植的農民的總收入，求。的最大值.

17.如圖，在三棱柱N8C-48c中，側面44cC,底面側面44。。是菱形，

AAXAC=60°,4c8=90°,AC=BC=2.

(2)求二面角4的正弦值.

18.橢圓C:1+/=l(a>6>0)的離心率是且過點尸(2,1).

⑴求。的方程；

(2)過點尸的直線44與。的另一個交點分別是42,與V軸分別交于W,N,且

荻=麗,尸。，48于點。，是否存在定點及使得|尺。|是定值？若存在，求出點衣的坐

標與|尺。|的值；若不存在，請說明理由.

19.設函數/(無)=xlnx,g(x)=「j.

⑴若直線y=；x+b是曲線/(x)的一條切線，求6的值；

(2)證明：①當0<x<l時，g(x)-/(x)>^-x(x-l)；

2

②Vx>0,g(x)-〃x)<—.(e是自然對數的底數，e?2.718)

e

答案

1.【正確答案】D

【詳解】解：由X?-4x+3<0,BP(x-3)(x-l)<0,解得l<x<3,

所以/={x|x2-4x+3<0}={x11<x<3},

又8={x|2尤_3>0}=|x］尤

所以/U3=(l,+s)；

故選：D

2.【正確答案】A

【詳解】根據存在量詞命題的否定,

x

命題p的否定是：VxGN,e>sinx+1.

故選：A.

3.【正確答案】C

【詳解】由不等式弓卜〉sinx可得[〉sin[,即〃>c；

21-2c

設〃上山(1+2))-0<x<—j,

2211+2c1+2/

因為0<x<；/（x）>0,所以〃x）在（0。）上單調遞增，

所以當尤40,￡|,/（》）>/（0）=0,所以即b>a.

所以6>a>c.

故選：C

4.【正確答案】D

【詳解】因為。>0,b>0,且。+26=1,

所以，+。=（工+；）（〃+26）=3+改+：23+20，當且僅當竺即

abababab

a=時等號成立,

2

故選：D.

5.【正確答案】A

R-1328-1

【詳解】因為凡=3.28,7=6,且凡=1+4,貝k=--=^^=0.38,于是得

T6

/?)=e°w

設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加3倍需要的時間為乙，則有

/(/+4)=4/(%)

即*38($)=產吆°3防=?。38"所以產1=4，0.3甑=In4=21n2

而In2?0.69,解得tx?3.6

所以在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加3倍需要的時間約為3.6天

故選：A.

6.【正確答案】B

【詳解】對于A：由正弦定理可知，*="-nsinB=2

sinAsin55

TT

9：a>b,:.B<A=—,故三角形V/BC有一解；

6

對于B：由正弦定理可知，」=_^_nsin8=述，

sinAsin58

jr

\'b>a,：.B>A=-,故三角形V48c有兩解；

4

對于C：由正弦定理可知，上一=-nsinB=2

sinAsmB5

；A為鈍角，一定為銳角，故三角形V/3C有一解；

對于D：由正弦定理可知，-^=-^-=>sinfi=—>1,故故三角形V/8C無解.

sinAsin58

故選：B.

7.【正確答案】B

【詳解】令(x)=2g(x)-l,貝h(一無)+t(x)=2g(-x)-l+2g(無)-1=6,

.?/(X)關于點(。,3)中心對稱;

令=sinx+x+3,則+=-sinx-x+3+sinx+x+3=6,

.5(x)關于點(0,3)中心對稱；

,//z(x)=m(x)+Z(x)-3,/.〃(x)+3=m(x)+^(x),

設〃(x)在x=/處取得最大值，則在X=-%處取得最小值

〃(％0)+3+〃(一％0)+3=m(x0)+m(-x0)+/(x0)+(-x0)=12,

)+"-%)=6,即〃(％)的最大值與最小值的和為6.

故選：B.

8.【正確答案】B

QQ

【詳解】當%〉〃“+1，有〃-1+>n+----,由〃￡N*,解得〃42；

2n-\2n+l

QQ

當。〃<4+1，有〃-1+T；---<n+-----,由〃cN*,解得〃23，

2n-l2n+l

11IO1o

a

a2=y,3=—>%>%，所以%的最小值為。3=《.

當b”>b"#,有3〃黃一7〉學372—4，由〃eN*,解得〃24；

當……有》<號，由〃eN*,解得“43,

“=■!，a二，所以”的最大值為“=■!.

82o

所以。“的最小值大于，的最大值，即%>“恒成立,

所以（彳-見）（4-4）<0解得6,<4<%,對任意的〃eN*,恒成立，則有

518

…<。即實數的取值范圍是

3,285y

故選：B

9.【正確答案】BC

【詳解】vx>0,?>0且3x+2y=10,：.0<x<—,0<y<5

對于A,利用基本不等式得不=3x+2y>2j3xx2y,化簡得孫

當且僅當3%=2九即X=：5,歹=5時，等號成立，所以中的最大值為2胃5，故A錯誤；

326

對于B,+=3x+2y+216xy=10+2d6xy）10+10=20,

當且僅當3x=2y,即x=；J=g時，等號成立，所以岳+總的最大值為2石，故B

正確；

對于C,

當且僅當?小，即戶”2時，等號成立，所以白：的最小值為j故C正確;

/++/=13:答+10°（0<”5）

對于D,

利用二次函數的性質知，當0<”百時，函數單調遞減；當百。<5時，函數單調

遞增，

故D錯誤；

故選：BC

10.【正確答案】AB

【詳解】將函數/(x)=2sin,x-g)的圖像向左平移g個單位，可得

2冗7T

尸2sina)(x+—)--,%(x)為奇函數，則〃(0)=0,

即-co--=kn,3=—+—k,kGZ,

3322

因為0<@<1,所以左=0,co=—，貝1J/(x)=2sin15

2

2兀

所以/(X)的最小正周期為了，故A正確;

令gY=E(左eZ),得尸2航十年，的對稱中心為12航+學()](左eZ),故B正

確；

/W=2sin(|xI-^)=-l,所以x=g不是對稱軸，故C錯誤；

g(x)=2sin[ox+Ej與/(X)的公共點的縱坐標為/或-血,

故D錯誤；

故選：AB.

11.【正確答案】AC

【詳解】對于A：不妨令x=y=O,則/(O+O)N/(O)+/(O)=/(O)VO,

因為Vxe[O,+s),/(x)>0,所以“0)20,

故/(0)=0，故A正確；

對于B：不妨令x=l,y=42,

貝U/(l)=l，/(V2)=0,/(l+V2)=0,BP/(1+V2)</(1)+/(V2),

這與Vx“，^>0,〃x+y"/(x)+〃y)矛盾，故B錯誤；

對于C：由題意可知，V_re[0,+e),/(x)=[x]>0,

不妨令x="z+〃20,其中加為整數部分，”為小數部分，則/(x)=[x]=加；

再令丁="+620,其中。為整數部分，6為小數部分，則/(夕)=3=。；

若0<〃+6<1,貝!J/(x+y)=[%+>]=加+。；

若〃+6〉1,則/0+歹)=口+川=冽+。+1,

從而Vx",y>o,/(x+y)2/(x)+/5)成立，故C正確；

對于D：由題意可知，常函數/(無)=0為“〃函數”，但“X)不是增函數，故D錯誤.

故選：AC.

12.【正確答案】673

【詳解】由題意可知。>0/>0,

由。3=。，log。b"可得log/=-=3,.,.Z)=3a,

aa

貝！]a3—3a,a=V3，貝!I6=3G，

故3a+b=6y/3,

故答案為：673

13.【正確答案】(0,1)

【詳解】由/(x)=ox-lnx,f(i)=a,

而廣⑺=a3,則/''⑴=a-l,

所以切線/的方程為夕-。=(。-l)(x-l),

令x=0,得y=-1)+a=1,

即/與了軸交點的坐標為(0,1).

故答案為.(0,1)

14.【正確答案】(-3,0)U(3,+8)

【詳解】因為“X)為奇函數，定義域為R,所以

1(-X)=-/(x)n-1'(-x)=-1'(%)=>/'(-X)=1'(x),/(0)=0,

又因為x>0時，r(-x)>2/(x),所以為(x)>2/(x),

構造函數〃(力=工!2,所以“(X)JG)『(x),

所以當x>0時，〃(x)>0,〃(x)在(0,+司上單調遞增，

又因為“3)=0,所以為3)=0,才卜)在(3,+8)上大于零，在(。，3)上小于零，

又因為e2，>0，所以當x>0時，〃x)在(3,+8)上大于零，在(0,3)上小于零，因為

外力為奇函數，所以當x<0時，/⑺在(-*-3)上小于零，在(TO)上大于零，

綜上所述：/@)>0的解集為(-3,0)33,+8).

故答案為.(-3,0)53,+8)

15.【正確答案】(1)加

(2)見解析

【詳解】(1)VC=2A,:.B=n-A-C=n-3A,貝|sin8=sin(7t-3N)=sin(Z+2N)

=sinAcos2A+cosAsin2A,sin2A=2sinAcosA,cos2^=2cos2?4-l,

/.sinB=sinA(2cos24-1)+2sin/cos2A=sinA(4cos24一1),

ab23

由正弦定理’可得：而則寸許嬴E

可得8cos24一2=3，解得cos?4=3,貝(jcosC=cos2A=2cos2A-1=—,

84

由余弦定理，。2=/+/—2“bcosC=4+9—2x2x3x；=10,故o=麗.

(2)va2+-b2=c2,:.a2-c2=--b2,c2-a2=-b2,

555

由余弦定理，[c2+b2-a23b①,

cosZ=--------------=--------——------

2cb2cb5c

b2-lb2

a2+b2-c2沙②，

cosC=5

lablab5a

cosA_3b5a_3a_3sin4

①與②相除可得:

cosC5c2b2c2sinC

2cos力sinC=3sin力cos。，兩邊同除以cos^4cosC,可得2tanC=3tan4

16.【正確答案】⑴(0,175]

⑵11

【詳解】(1)依題意得，動員后從事農業種植的農民的平均每戶年收入為

0.3x(l+4x%)=0.3x(l+0.04x)(x>0),

貝！1(200-x)x[0.3x(l+0.04x)]N200x0.3,解得0〈尤W175,

所以x的取值范圍為(0,175].

(2)由于從事白茶加工的農民的總收入始終不高于從事農業種植的農民的總收入,

則0.3^-^-x<(200-x)x[0.3x(l+0.04x)](0<x<175),

兩邊同時除以0.3x得a-----<|--------1|(1+0.04x),再整理得aV0.02x++7(a>0),

50IxJx

即aW0.02x+迎+7伍>0)在(0,175]上恒成立，

由于0.02x+迎+722jo.O2x?出+7=11,

X\X

當且僅當0Q2x=迎，即x=100時，等號成立，

X

所以0<aVll,所以。的最大值為11.

17.【正確答案】(1)見解析

(2)班

7

【詳解】(1),?側面44CC是菱形，-.AA^AC,

'：。為4c的中點，AD14c,

???側面44CC_L底面48C,側面44CCn底面/BC=/C,ZACB=9Q°,BCu底面

ABC,

：.8C_L側面MG。，

ADu側面AA^C,/.BCLAD,

VA,cnBC=C,/D_L平面48C,

?.?48u平面43C,/.ADVA.B.

(2)取4a中點E,連接CE,從而CE，/￡,

又由4CIIZC,則C￡，/C,

側面/&GC，底面ABC,側面AA^CCl底面ABC=AC,

：.CE_L底面ABC,

以c為坐標原點，以c/,CB,CE為X軸，y軸，Z軸建立空間直角坐標系，如下

圖：

由已知條件和上圖可知，C(0,0,0),A(2,0,0),4(1%),且(-1,2,6),

由題意可知，&=(0,2,0)為平面44。的一個法向量，

不妨設*=zj平面4c4的一個法向量，

因為&?=(1,0,6)，C5,=(-1,2,73)>

,,(Cl-n=0限i+任1=0

[ci-n=0[一再+2%+拒馬=0

令馬=#，則%=-3,必=-3,即*=(_3,一3,百)，

設二面角/-4C-耳為e,由圖可知。為鈍角，

從而cosO=-|cos<C3,〃>|=:」=^—,即sin8=^,

\CB\\n\77

故二面角/-4C-耳的正弦值為亞L

7

18.【正確答案】(1)[+4=1

63

⑵尺(1,一1),忸0|=追

【詳解】(1)將點P坐標代入橢圓方程得：3+』=1…①，由離心率得，

。2=2。2,

又/=〃+°2,.二/=,代入①解得/=6,〃=3,

???橢圓C的標準方程為：1+:=1；

63

(2)設/(國,%),8(%2，%),。優,％),不妨設M(0,冽),(0V,直線48的方程

為y=kx+n；

y=kx+n

聯立方程得(1+2左2)^+4ex+2/—6=0,

x2+2)2=6

2n2-6不4kne

/.x.x?=-------①內+%=-----------②

121+2左2121+2左2

直線北的方程為：尸E（A2）+1,直線"的方程為："屋（一）+1

令x=0得”=一2?^~1+1,/=_2?"^~1+1,由題意：%+力=0,

再一2々—2

=1,化簡得：y（x-2）+y（x-2）-xx+x+x=0,

X]—Z%一乙112211212

將必=心+〃,%=3+〃代入上式化簡得：（2"1）玉/+（〃-2左+1）（國+》2）-4〃=0,

將①②式代入上式并化簡得：（〃+3）（2左+〃-1）=0,即〃+3=0或者2左+〃-1=0,

如果〃=1一2左，貝!]的方程為〉=玄+1-2左=左（》-2）+1,為過定點尸的直線，顯然

不符合題意，舍；

〃=一3,N8的方程為〉=任一3,

：.y0=kx0-3,XPQ1AB,PQ-AB=0,BP（x0-2,y0-l）（x1-x2,y1-y2）=0,

(xo-2)(x1-x2)+(jo-l)(v1-y2)=O,I='%,./-2+左(%-1)=0,

X]一%2

4左+2

龍T+夕。-?=o,解得.°1+左2

聯立方程

%=此一32k—41

Vn=AHI

°1+左2

???(3-1)2+(%+1)2=5…③,即定點R為(1,T),\RQ\=y/5；

當帆=6時，^（0,V3）,J8（0,-V3）,此時直線4?為y軸，所以尸。為平行于x軸的

直線，。點的坐標為（01），代入③也滿足；

綜上，橢圓C的標準方程為：J+[=l，定點R為（1，T），\RQ\=45.

19.【正確答案】（I。；

（2）①證明見解析②證明見解析

【詳解】（1）由/（x）=xlnx,則/（%）=lnx+l,

設y=+6在/(x)上的切點為(%,/In%),

,1.1

從而/(4)=lnxo+1==e2,

i__L1__L

故"x+b在/'(x)上的切點為

22

_11_111_11_L-L

將(e2,--e,)代入y=Qx+b得，--e2=-e2+b^>b=-e2,

故b的值為_eW.

(2)①當0<x<l時，g(x)-/(x)>^x(x-l)?21nx-x