2024-2025學年福建省三明市高二上學期12月月考數學檢測試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.直線=°的傾斜角為（）

A.150。B.120°C,60°D,30°

2.已知向量0=（3,一2,4）范=（1,4〃），若莉共線，則2+4=（）

4_42_2

-

A.3B.3C.3D.3

｛""｝滿足。6++。8=6,

3.已知等差數列則如等于（)

A.8B.6C.4D.2

4.“大漠孤煙直，長河落日圓”體現了我國古代勞動人民對于圓的認知，已知

,（1,3）,3（3,-1）,則以為直徑的圓的方程為（）

A.(X-2)2+(J-1)2=5B.(x-2y+d)2=20

22

C(x+l)+(y-2)=5D(x+g-20

5.記S”為等比數列｛qJ的前〃項和，若邑=-1，'=-5,則()

A.64B.85C.-85D.~64

.z_2

c—7=10>0）

6.已知直線y=2%是雙曲線?4b2的一條漸近線，則°的離心率等于

）

V5V3

A.飛B,了

2x

??=/(o)+/H+/

已知函數‘"”一2x-l,數列｛%｝滿足

7.

則數列｛“〃｝的通項公式為（）

n+1+

A.2B.?+1C.2D."（"+1）

8,數列也｝的前〃項和為"T°，"a”=SL（-l）（〃eN）則J（）

121

A.存在最大值，且最大值為B.存在最大值，且最大值為30

121

存在最小值，且最小值為彳

C.D.存在最小值，且最小值為30

二、多選題（本大題共3小題）

9.下列說法正確的是（）

A.若a，％，,滿足2b=a+c,則。，①，一定是等差數列

B.若a*,c滿足則一定是等比數列

C.若”=6=c,則。，A’既是等差數列也是等比數列

D.若T，a，6，c，T6成等比數列，則6=-4

10.己知動點尸在直線/：x+y-6=0上，動點。在圓。：，+/-2“2k2=0上，過點

尸作圓C的兩條切線，切點分別為/、B,則下列描述正確的有（）

A.直線/與圓C相交B.盧。的最小值為20-2

TT

ZAPB=—s八

C.存在尸點，使得2D.直線過定點

11.在正方體"CD-44cM中，AB=2,疝^'而+了您（x，”[0,“），則（）

A.若x+〉=i,則點尸的軌跡為線段

X—_1

B.若一2,則點尸的軌跡為連接棱/。的中點和棱42中點的線段

c.若工=了，則三棱錐尸一48G的體積為定值

1V2

y=——

D.若2,則與平面N3CD所成角的余弦值的最大值為3

三、填空題（本大題共3小題）

12.若直線：/"-2了+1=0與/2：辦+（1-0萬+1=0垂直，貝!j°=.

片+片=1

13.已知一條直線與橢圓5+4-相交于48兩點，弦N8的中點坐標為°』），則直

線的方程為.

14.我國某西部地區進行沙漠治理，該地區有土地1萬平方千米，其中70%是沙漠，

從今年起，該地區進行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造為綠洲，同時原有綠洲

的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠.設從今年起第〃年綠洲面積為％萬平方千米.至少

經過年，綠洲面積可超過60%?（但2=0.3）

四、解答題（本大題共5小題）

15.已知等差數列"J的前〃項和為S”，〃eN*,其中％=-3，凡=-4

(1)求數列｛%｝的通項公式；

(2)求數列"1｝的前10項的和.

16.在三棱錐P-/3C中，側面尸NC是邊長為2的等邊三角形，

(1)求證：平面尸平面/8C；

(2)求平面"8與平面P/C的夾角的余弦值.

17.已知數列｛"/的前〃項和為月，%=2a“+2”(〃，N),《=1.

Hl

(1)證明：數列12"]為等差數列，并求數列｛""｝的通項公式；

(2)求數列."｝的前n項和為S"；

⑶若S”2g-4〃-彳對任意“eN*恒成立.求實數4的取值范圍.

22]_

C：j+4=l(a>b>0)r--

18.已知橢圓ab2長軸長為4J3,焦距為4j2,斜率為3的直線

/與橢圓0相交于兩點.

(1)求橢圓C的方程；

⑵若MM=W,求MN的方程；

(3)點尸G/)在橢圓上，且異于點M,N,記直線尸機網的斜率分別為左，網,

證明:

"內為定值.

19.已知數列｛"/，若｛%+“向｝為等比數列，則稱也｝具有性質尸.

(1)若數列｛“■｝具有性質產，且q=出=1,%=3,求處的值；

(2)若"=2"+(-1)”，判斷并證明數列也｝是否具有性質P；

⑶設q+Cz+L+c“=〃2+〃，數列｛Z｝具有性質p,其中4=1,

4一4=《，d2+d3=c2j試求數列｛4｝的通項公式.

答案

1.【正確答案】D

國八k=—tancc——

【詳解】直線x-Y3y=°的斜率3,即3,。為傾斜角,

所以a=30°.

故選：D

2.【正確答案】C

【詳解］因為a=*，-2,4）I=（l",〃），共線,

12〃,24

—=—=—X=,〃=一

所以3-24,解得33,

尤+〃=2

所以3

故選：C.

3.【正確答案】D

［詳解］因為&+勺+。8=3%=6,解得%=2,

故選：D.

4.【正確答案】A

【詳解】因為以‘（1'3）*（3，-1）為直徑兩端點的圓的圓心坐標為（2,1）,

22

半徑為QM/=］J°Ty+（T-3）=石,所以所求圓的標準方程為（X-2）+（^-1）=5；

即以為直徑的圓的方程為(尤-2)一+&-1)2=5.

故選：A

5.【正確答案】C

【詳解】?..邑=-1,J=一5,

2

.S2=+a2=-1S4-S2=a3+a4=(a1+a2)^=—4

.夕2二4

,,，

國=蟲1-乃=隨力(1+/)=5

\-ql—qv7

故選：C.

6.【正確答案】A

些±4

【詳解】的漸近線方程為-b

2=—

因此b,故6=1,

4+b2

故離心率為22,

故選：A

7.【正確答案】B

2x2(1-x)4x-2

片C/(x)+/(l-x)=-----------F/、=2

【詳解】函數,(X)對任意xeR都有2x-l2(1-x)-12x-l

%=/(0)+/3+/

+???+/+")①

數列｛“"｝滿足

n-2+L+/f(°)

=/(1)+，

又n②

2a〃=卜(。)+/(1)]+/M+/+L+[/(1)+/(0)]=2(?+1)

①+②得:

得0”=〃+1

故選：B.

8.【正確答案】B

na=S-n(n-1)(〃eN*)

【詳解】根據題意，nn

當“22時，=^?_i-(?-!)(?-2)

兩式相減得：(〃一1)%一("一1)%=一2("1),

%T=-2,所以數列｛%｝為以10首項，-2為公差的單調遞減等差數列,

即

則%=10-2(1)=-2〃+12,所以4=0,%<0

6(10+0)

S=S=_^----2=3。

可知S"存在最大值，為62.

故選：B

9.【正確答案】AD

【詳解】對A：由。，4c滿足26=a+c,則6是的等差中項，

故a,b,c一定是等差數列，故人正確；

對B：若。=b=c=°,滿足^=碇，但此時/b,c不為等比數列，故B錯誤；

對C：若a=b=c=0,滿足a=b=c,但此時生4,不為等比數列，故C錯誤;

對D：若T，a，6，c,T6成等比數列，設公比為什0,

則有6=Txq2=_g2<o,Z,2=-lx（-16）=16,貝ljb=-4,故D正確.

故選：AD.

10.【正確答案】BCD

【詳解】圓C：（x7『+?T）2=4的圓心C（l,l）,半徑—2,連接PC,

d=—=2>/2>2=r

對于A,點C到直線/：x+y-6=°的距離J2,直線/與圓c相離，A

錯誤；

對于B,點。在圓C上，則間L="f=2四-2,B正確；

,_\AC\_2<2

sin//4APpCr----------------?———

對于C,由切線長定理知，N4PB=2NAPC,而\PC\\PC\d2,

（0,-）-

又//PC是銳角，正弦函數>=smx在2上單調遞增，則//PC的最大值為4,

71

當且僅當PC1/時取等號，因此NN依的最大值為5,c正確；

對于D,設尸?，6—）,則以尸C為直徑的圓的方程為（xTXxT）+5T）a+…6）=°

gp12+—（/+］）1+（/-7）y+6—0

與己知圓的方程相減可得直線"的方程為（1—）X+（"5W+8=0,

Jx-5y+8=0fx=2

即（x_5y+8）_《x_y）=0,由［x-y=0可得［y=2,

即直線過定點（22）,故D正確；

故選：BCD

11.【正確答案】ABC

【詳解】以點A為坐標原點，4B、AD、/4所在直線分別為X、了、Z軸,

建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則4（0,0,0）、風2,0,0）、。（2,2,0）、。（0,2,0）、4（0,0,2）、4（2,0,2）、

Q（2,2,2）。（0,2,2）

、，

因為/尸=xAD+yAA{=x（0,2,0）+j（0,0,2）=（0,2x,2y）（x,ye[0,1]）

對于A選項，當x+y=i時，D、P、4三點共線，

則點P的軌跡為線段故A正確；

2

對于B選項，若尤-5,即點即⑶），

此時，點尸的軌跡為連接棱力。的中點和棱42中點的線段，故B正確；

對于C選項，若》=丁，即點尸（°，2X,2X）,其中04X41,

?設平面42G的法向量為所=（4”百），

m?BA]=-2x+2Z]=0

<i

則〔所.4G=2X]+2%=0,取再=1,可得加=（1，一口），

,\BP-m\2273

.Z7—J________L—____—______

8尸=（-2,2x,2x）,則點尸到平面48G的距離為阿若3,

因為V48G的面積為定值，故三棱錐尸一48G的體積為定值，故C正確;

對于D選項，若'2,則8尸=（一2,2羽1）,其中owxWl,

易知平面428的一個法向量為元=（°，°」），

設直線2尸與平面NBC。所成的角為0,

則sin?3=IcosBP,H|I=附歸桐“=E1,

.八1

sm〃=一

當x=l時，Sin夕取最小值，此時cose取最大值，且3,

cos0=Jl-sin=0=

則3,

y=------

因此，當2時，則8尸與平面/8C。所成角的余弦值的最大值為3,故D錯誤.

故選：ABC.

2

12.【正確答案】3

,1,,1,

&1=-/I7%?=—k]

【詳解】2,/取2,%2%

.?.醺=-2,即1-awO,

2

故§

13.【正確答案】4x+5y-9=0

【詳解】設”①必）同叼必），

若看=工2,則的中點在x軸上，而的中點坐標為°』），顯然不合要求,

故占二%,

4x；+5y：=20

22

貝IJ14只+54=20,兩式相減得4（x1-^）=-5（y1-yf）>

即4（%1-x2）（x,+x2）=-5（y,-y2）（y,+%）,

由于弦48的中點坐標為（J）,故必+%=玉+%=2,

必一一2乂+—2=4244

J5,-

所以再+%25即2-5,故⑥1―

4

故直線的方程為尸l=一］（x7）,即4x+5尸9=0.

故4x+5y-9=0

14.【正確答案】6

【詳解】由題意得知=0-4%）%+（1-%）x16%=0.96%+0.16-0.16%

44

=0.8。〃1+0.16=一凡—二

15125,

44

a=fl+,7eNn2

所以"75"->5257（'-）,

°=2_&[a_1f

又“一元，所以"'一》一一5,所以[”5〕是以一萬為首項，3為公比的等比數列,

所以

an

則

BPr<i

(H-l)lg—<1g—

兩邊取常用對數得55,

I2

1、g5_lg2Tg5_Ig2-(l-lg2)

n—l>----=--------------=----------T--------r

1421g2-lg521g2-(l-lg2)

所以5

2lg2-l2x0.3010-10.398-

=----------x-----------------=--------?4.1

31g2-l3x0.3010-10.097,

所以〃>5」，

所以至少經過6年，綠洲面積可超過60%.

故6.

15.【正確答案】(1嚴=2"5

(2)68

【詳解】(1)設等差數列｛""｝的公差為目，

由§2=4+%=-4,%=-3,則〃2=,公差d=2一=2

所以等差數列包｝首項為=-3,公差d=2,

.=-3+2(〃-1.)=2〃-5

vnn<—

(2)令黑M。,得2,

則｛“'｝前2項為負數，從第3項起為正數，

...|。11+|七|+…+|flio|=(-%)+(-%)+(%+%+,?,+flio)

(1+I5)x8

=3+1+^------L—=68

2

16.【正確答案】(1)證明見解析

V2T

⑵7

【詳解】(1)取NC的中點為°,連接。尸，°8,

p.

因為尸/C是邊長為2的等邊三角形，所以°PLAC，OP=。,

TT1

“ZABC=-八OB=-

在直角三角形/8C中，2,。為/C中點，所以2

又尸8=2,所以OP'OB?=PB?,

所以/尸。5=90。，即。P108,

又...OPJ_/C,OBIAC=O,OB,ACczjpgABC

所以。尸，平面”c,

又OPu平面尸ZC,

所以平面P/C,平面/8C.

(2)

y

由(1)知°P，/C,°8兩兩垂直，以。為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系

O-xyz

則8(0,1,0),/(1,0,0),6),所以9=《,0,一有)方=(T』,0)

設平面尸N2的法向量為”=(x，%z),

n-PA=0"岳=0

則㈤/8=0,即-x+y=0,

令z=l,可『3),

設平面4c的法向量為a，則成=(0,1,0),

設平面尸/5與平面尸/C的夾角為6,

m-n§V21

cos?=|COS??,H|=同憫

則

V21

所以平面尸45與平面P/C的夾角的余弦值為7.

_。7?—1

17.【正確答案】（1）證明見解析，見=62

(2盧=(1)2”+1；

⑶4"5.

1

%+1=〃〃?1二%+1??_%_1

【詳解】（1）由%+尸2g+2”,貝|2向2"2」2'+12"2,又22,

a1a?111、n

nz一

是首項、公差均為萬的等差數列,—=—I—(n—1)=

所以數列2"則2〃222

所以4=人2,1

(2)由E,=lx20+2x2i+3x2?+…+〃?2"T,貝°

2S?=lx21+2x22+3x23+---+(n-l)-2"-1+n-2"

1-2"

一S=1+2〔+…+2"W=-n-X=(\-n)T

所以1-2

所以5“=（〃一1）2"+1

(3)由(1)(2),則("T)2"+1W〃2-4〃-2,整理得花2"-4〃-1恒成立,

令c“=2"-41,則—[2向一4("+1)-1]一(2"-4〃-1)=2"-4,

當〃=1時。〃+1<。〃，當〃=2時。〃+1=Cn,當〃23時Cn+l>Cn

所以。1＞。2=。3＜。4＜。5＜…，即的的最小值為C3

綜上，

22

工+歹-1

18.【正確答案】(1"24

1c1c

y=—x-2y=——x+2

⑵3或3

(3)證明見解析

/y2_

【詳解】⑴由橢圓」.+法=長軸長為46,焦距為40,

222

即Q=243,c=2^2,b=a-c=4f

w

故橢圓C的方程為124

,y=~^x+m,M(xl,yl\N(x2,y2)

(2)設直線/的方程為3

1

y=——x+m

3

22

工+歹-1

聯立」24,消去V得4工2一67nx+9加之-36=0,

4百4月

由A=（6加）2-144（加2一4）＞0--------<m<------

得33

3m9m2-36

M+x,=——,x,x.=-----------

則2-4

3|=》（七一工?）"。苫%）?=1+g.J(X|+工2)2_4X]Xz

=半.小等_『蘇_36）=浮-J16-3療=V10

解得加=2或機=-2,

所以當阿叫二歷時，n的方程為'一丁?或丁+2

（3）直線尸MP'均不與"軸垂直，所以項工3,%03,則加工0且加w2,

1

(m-1)(西+9)+(m-以

§中2-

x{x2-3(%i+x2)+9

9m2-3613m/八2

----------------[zm-\)-------—

9