當(dāng)題24圖布［曲餞（摘圓，孰曲餞，擷物核）

大泉徐合

十年考情-探規(guī)律

考點(diǎn)十年考情(2015-2024)命題趨勢

考點(diǎn)1第二問求曲線2022?天津卷、2020?全國卷、2019?全國卷、2019?天津卷

方程2018?全國卷、2017?全國卷、2017?天津卷、2015?天津卷

（10年6考）2015?安徽卷

考點(diǎn)2求軌跡方程2023?全國新I卷、2021?全國新I卷、2019?全國卷

1.熟練掌握橢圓、

（10年5考）2017?全國卷、2015?湖北卷

雙曲線、拋物線的定

2024?全國新I卷、2023?天津卷、2022?全國甲卷、2021?天津

義及方程的求解，通

考點(diǎn)3求直線方程卷

常大題第一問考查

（10年8考）2020?天津卷、2018?江蘇卷、2017?全國卷、2017?天津卷

方程求解

2015?江蘇卷

2.掌握軌跡方程的

2021?全國新I卷、2021?北京卷、2021?全國乙卷、2019?天津

求解，近年該考點(diǎn)多

考點(diǎn)4求斜率值或范卷

次考查

圍2018?天津卷、2018?天津卷、2017?天津卷、2017?山東卷

3.熟練掌握直線方

（10年6考）2016?山東卷、2016?上海卷、2016?天津卷、2016?全國卷

程的求解，會(huì)求斜率

2016?上海卷、2016?天津卷、2015?天津卷、2015?北京卷

值或范圍

考點(diǎn)5離心率求值或2024?北京卷、2023?天津卷、2022?天津卷、2020?全國卷

會(huì)弦長等距離的求

范圍綜合2019?天津卷、2019?全國卷、2016?四川卷、2016?浙江卷

解，會(huì)定值定點(diǎn)定直

（10年7考）2015?重慶卷、2015?重慶卷

線的求解及證明，該

考點(diǎn)6弦長類求值或

2022?浙江卷、2020?北京卷、2019?全國卷、2017?浙江卷內(nèi)容也是高考命題

范圍綜合

2016?北京卷、2016?全國卷、2015?四川卷、2015?山東卷熱點(diǎn)

（10年6考）

考點(diǎn)7其他綜合類求

2024?上海卷、2024?北京卷、2020?北京卷、2020?浙江卷

值或范圍綜合

2019?全國卷、2016?四川卷、2015?四川卷

（10年5考）

1

2023?全國新H卷、2023?全國乙卷、2022?全國乙卷

考點(diǎn)8定值定點(diǎn)定直

2020?全國新I卷、2020?全國卷、2019?北京卷、2019?北京卷

線問題

2017?全國卷、2017?北京卷、2017?全國卷、2016?北京卷

（10年7考）

2016?北京卷、2015?陜西卷、2015?全國卷

2024?全國甲卷、2023?全國新I卷、2023?北京卷、

2022?全國新H卷、2021?全國新H卷、2019?全國卷

考點(diǎn)9其他證明綜合2018?北京卷、2018?全國卷、2018?全國卷、2018?全國卷

（10年9考）2017?北京卷、2017?全國卷、2016?四川卷、2016?四川卷

2016?江蘇卷、2016?全國卷、2016?四川卷、2015?湖南卷

2015?全國卷、2015?福建卷

考點(diǎn)10圓錐曲線與

其他知識(shí)點(diǎn)雜糅問題2024?全國新H卷、2018?全國卷、2016?四川卷

（10年3考）

分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01第二問求曲線方程

22BF

L（2022?天津?高考真題）橢圓會(huì)+芯=1（〃>6>0）的右焦點(diǎn)為尸、右頂點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為5,且滿足

~AB一2

（1）求橢圓的離心率e；

（2）直線/與橢圓有唯一公共點(diǎn)與y軸相交于N（N異于"）.記。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OM=|ON|,且AOW

的面積為百，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】（l）e=，

22

（2）?1

62

【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于。、b的等量關(guān)系，由此可求得該橢圓的離心率的值；

（2）由（1）可知橢圓的方程為/+3/=/，設(shè)直線’的方程為、=h+加，將直線/的方程與橢圓方程聯(lián)立,

由△=（）可得出3蘇=/（1+3左B，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及已知條件可求得片的值，

即可得出橢圓的方程.

【詳解】（1）解：.竺.==-j—'——=坐=4/=3,2+a2）=3b\

AB揚(yáng)+/ylb2+a22'）

2

la2-b2V6

離心率為e=￡

aVa2-V

（2）解：由（1）可知橢圓的方程為尤2+3/=",

易知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為>=h+"?,

y=kx+m

得（1+3左2）x?+6版x+（3加,-a2）=0,

聯(lián)立22

x+3y2=a

22

由A=36/機(jī)2-4（l+3F）（3m-a）=0n3療=a\1+3H，①

3km7m

罰’-k，

9加2（9左2+1）

由QM二|ON|可得加=（3）+/，②

由%MV=△可得;帆卜l3hwl-③

1+3/"3,U

22

聯(lián)立①②③可得/=4,/=6,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

62

22

2.（2020?全國?高考真題）已知橢圓Q：=+彳=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，Q的中心與

ab

4

C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交Q于A,B兩點(diǎn)，交C2于C,。兩點(diǎn)，且|CD|=］|AB|.

（1）求G的離心率;

（2）設(shè)M是G與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5,求G與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】（1）（2）C：二+片=1,C2:/=12X.

213627

【分析】（1）求出恒同、\CD\,利用|。必=三”即可得出關(guān)于。、c的齊次等式，可解得橢圓￡的離心率的

值；

/2

（2）［方法四］由（1）可得出。的方程為己+皆V=1,聯(lián)立曲線G與的方程，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用

拋物線的定義結(jié)合|九機(jī)|=5可求得C的值，進(jìn)而可得出G與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】（1）,.〃（c,0）,N81x軸且與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn),

則直線的方程為》=4

x=c

22{x=C

聯(lián)立，+方=1,解得=+Q,則空2,

a2=b2+c21一a”

3

拋物線。2的方程為/=4cx,聯(lián)立2，，

[y=4cx

\x=c??

解得,;.CD\=4c,

[y=±2c

?.?|。|=力/同，BP4c=—,2b2=3ac,

33Q

BP2c2+3ac-2a2=0,即2e?+3e-2=0,

Q0<e<l,解得e=g,因此，橢圓。的離心率為g；

(2)[方法一]:橢圓的第二定義

\MIL=e七2:

由橢圓的第二定義知。2一，則有|MF|=e—-x0=a-ex0,

c

■yxoyJ

所以a-；%=5,即/=2〃-10.

又由|MF|=x0+c=5,得xo=5’.

從而2。-10=5-三，解得。=6.

所以c=3,a—6,b=3y/3,p=6.

故橢圓G與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別是||+，=1,y=12尤.

［方法二］:圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式

以尸(c,0)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.

)-x3c

由(I)知。=2°,又由圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式得2c=5-5cosO,由.....

1-coseJose

2

得3c=10+5cos6,兩式聯(lián)立解得c=3.

故C,的標(biāo)準(zhǔn)方程為(+提=1，Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=12x.

4

［方法三］:參數(shù)方程

22

由（1）知a=2c,b=a,橢圓儲(chǔ)的方程為三+|=1

x=2c-cos3,

（。為參數(shù)）,

y=V3c?sind

2

將它代入拋物線C2:y=4cx的方程并化簡得3cos2。+8cos。-3=0,

解得cos6=g或cos9=—3（舍去）,

所以sin6=2后

即點(diǎn)A/的坐標(biāo)為

3

又|MF|=5,所以由拋物線焦半徑公式有x〃+c=5,即§+。=5,解得。=3.

故G的標(biāo)準(zhǔn)方程為（+；=1，J的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=12x.

［方法四］【最優(yōu)解】：利用韋達(dá)定理

x2y2

由（1）知a=2c,b=y/3c,橢圓￡的方程為后+京=1,

2

y=4cx

聯(lián)立-2消去了并整理得貨+165-12c2=0,

----F——二1

4/3。2

2

解得x=或x=-6c（舍去），

由拋物線的定義可得|兒根卜：C+C=自=5,解得c=3.

22

因此，曲線C］的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕=1,

3627

曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=12x.

【整體點(diǎn)評(píng)】⑵方法一：橢圓的第二定義是聯(lián)系準(zhǔn)線與離心率的重要工具，涉及離心率的問題不妨考慮使

用第二定義，很多時(shí)候會(huì)使得問題簡單明了.

方法二：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式充分體現(xiàn)了圓錐曲線的統(tǒng)一特征，同時(shí)它也是解決圓錐曲線問題的一

個(gè)不錯(cuò)的思考方向.

方法三：參數(shù)方程是一種重要的數(shù)學(xué)工具，它將圓錐曲線的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題，使得原來抽象的

問題更加具體化.

方法四：韋達(dá)定理是最常用的處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系的方法，聯(lián)立方程之后充分利用韋達(dá)定理可以

達(dá)到設(shè)而不求的效果.

3.（2019?全國?高考真題）已知曲線Uy：5。，為直線V=-5上的動(dòng)點(diǎn)，過。作。的兩條切線，切點(diǎn)分

5

別為4瓦

(1)證明：直線45過定點(diǎn)：

(2)若以為圓心的圓與直線NB相切，且切點(diǎn)為線段NB的中點(diǎn)，求該圓的方程.

【答案】⑴見詳解；(2)/+(了告=4或暫=2.

【解析】(1)可設(shè)4匹,%)，3(/$)，然后求出A,B兩點(diǎn)處的切線方程，比如ND：乂+；=占(不一)，

又因?yàn)?。也有類似的形式，從而求出帶參數(shù)直線N2方程，最后求出它所過的定點(diǎn).

(2)由⑴得帶參數(shù)的直線方程和拋物線方程聯(lián)立，再通過M為線段NB的中點(diǎn)，由J.而得出f的值,

從而求出M坐標(biāo)和畫7|的值，最后求出圓的方程.

【詳解】⑴證明：設(shè)。&-；),/(不,%)，則％又因?yàn)閥=所以V=x.則切線DA的斜率為4，

故M+g=xG-t),整理得2%-2必+1=0.設(shè)3(%,%)，同理得物-2必+1=0./(%,乂)，8(工2，%)都滿足

直線方程2田-2了+1=0.于是直線2n-2了+1=0過點(diǎn)48,而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線方

程為2n-2y+1=0.即2n+(-2了+1)=0,當(dāng)2x=0,-2y+1=0時(shí)等式恒成立.所以直線恒過定點(diǎn)(0,1).

⑵由⑴得直線AB方程為2n-2y+1=0,和拋物線方程聯(lián)立得：

2tx-2j+1=0

'1化簡得x?-2tr-l=0.于是否+%=2乙乂+%=/(占+%)+1=2/+1設(shè)M為線段48的中點(diǎn)，

V=-X2

I2

則W/+;)

由于兩_L方，而施=億〃—2),方與向量(1/)平行，所以看+/(r—2)=0,

解得，=0或￡=±1.

____s

當(dāng)f=0時(shí)，兩=(0,-2),|EM|=2所求圓的方程為Y+(y-V=4;

當(dāng)/=±1時(shí)，?=(1,-1)或由=(-1,-1),忸叫=也所求圓的方程為一+(尸］)2=2.

所以圓的方程為/+3-$2=4或/+(了-$2=2.

【點(diǎn)睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點(diǎn)問題和第二問是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班的求解就

可以.思路較為清晰，但計(jì)算量不小.

4.(2019?天津?高考真題)設(shè)橢圓［+5=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)為尸，左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知

ab

61CM|=21OB|(。為原點(diǎn)).

6

(I)求橢圓的離心率;

3

(II)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)尸且斜率為1的直線/與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P,圓C同時(shí)與x軸和直線/相切，圓心C

4

在直線x=4上，且OC〃/尸，求橢圓的方程.

【答案】(I)(II)—+^=1.

21A1?

【分析】(I)根據(jù)題意得到也a=26,結(jié)合橢圓中。也c的關(guān)系，得到/=(@qy+c2,化簡得出￡=(,

2a2

從而求得其離心率；

22

(II)結(jié)合(I)的結(jié)論，設(shè)出橢圓的方程己+9=1,寫出直線的方程，兩個(gè)方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)的坐方

利用直線與圓相切的條件，列出等量關(guān)系式，求得c=2,從而得到橢圓的方程.

【詳解】(I)解：設(shè)橢圓的半焦距為。，由已知有&a=26,

又由力—消去6得入亭…,解得鴻，

所以，橢圓的離心率為g.

22

(II)解：由(I)知，a=2c,b=耳,故橢圓方程為3+9=1,

3

由題意，F(xiàn)(-c,O),則直線/的方程為y==(尤+c),

點(diǎn)尸的坐標(biāo)滿足＜,消去丁并化簡，得至1]7—+65-13c2=0,

y=~(x+c)

代入到/的方程，解得m=：3。,%9=-己。，

3

因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸的上方，所以尸(q^c),

由圓心在直線x=4上，可設(shè)C(4,f),因?yàn)镺C〃/尸,

3

且由(I)知/(-2c,0),故J：2c，解得：=2,

4。+2。

因?yàn)閳AC與X軸相切，所以圓的半徑為2,

自4+c)一

又由圓C與/相切，得?)-------,解得c=2,

7

22

所以橢圓的方程為：土+匕=1.

1612

【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓

錐曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力.

5.（2018?全國?高考真題）設(shè)拋物線Gj?=4x的焦點(diǎn)為尸，過尸且斜率為左/>0）的直線/與C交于B

兩點(diǎn),“1=8.

（1）求/的方程；

（2）求過點(diǎn)/,8且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

【答案】（1）V=xT;（2）（x-3『+（y-2）2=16或（x-ll『+（y+6）2=144.

【分析】（1）方法一：根據(jù)拋物線定義得MB|=』+x］p,再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理代

入求出斜率，即得直線/的方程；

（2）方法一：先求N3中垂線方程，即得圓心坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)圓心到準(zhǔn)線距離等于半徑得等量關(guān)系，解

方程組可得圓心坐標(biāo)以及半徑，最后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】（1）［方法一］:【通性通法】焦點(diǎn)弦的弦長公式的應(yīng)用

由題意得尸（1,0）,設(shè)直線/的方程為y=k（x-i）（k>0）.

Y方-1）得心2一（2/+4卜+1=0.

設(shè)工（再,必）,8色,力），由

2左2+4

2

A=16^+16=0,故無］+工2=

k2

4〃+4

所以以兇=|/尸|+忸尸卜d+1）+（x+1）=

2k2

由題設(shè)知史二=8,解得左=-1（舍去）或左=1.因此/的方程為尸x-1.

k2

［方法二］:弦長公式的應(yīng)用

由題意得尸（1,0）,設(shè)直線I的方程為y=k（x-l）（k>0）.

1

設(shè)/（再,必）,B七,巴）,貝I由）'得Ex一（2左2+4）x+F=0,A=16/+16>0.

IABi=7T7F-^16^+—=,由"：’）=8,解得左=-1（舍去）或斤=1.因此直線/的方程為

11k2Ek2

y=x-i.

［方法三］:【最優(yōu)解】焦點(diǎn)弦的弦長公式的應(yīng)用

設(shè)直線/的傾斜角為a,則焦點(diǎn)弦|/8|=二^=二［=8,解得sin2a=1,即sina=變.因?yàn)樾甭?>0,

smasina22

所以左=tana=1.

而拋物線焦點(diǎn)為尸（1,0）,故直線/的方程為1-歹-1=0.

8

［方法四］:直線參數(shù)方程中的弦長公式應(yīng)用

x=l+%cosa,

由題意知尸(1,0),可設(shè)直線/的參數(shù)方程為尸sinaG為參虹

代入J/=4x整理得sin2a?/-4cosa?/—4=0,A=16>0.

4cosn4

設(shè)兩根為％目，則％+f2=W4，柩2=-=^.

sinasina

I-------------------J?

由1451=卜i一U=+/2)2-4y2=8，解得sina=—.

一行

x—1+----1,

因?yàn)槿?gt;0,所以cosa=正，因此直線/的參數(shù)方程為，2

2_V2

y------to

2

故直線/的普通方程為y=xT.

［方法五］:【最優(yōu)解】極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

2

以點(diǎn)尸為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，此時(shí)拋物線的極坐標(biāo)方程為0=

1-coscr

22

設(shè)/(0i，c),8(0,a+萬)，由題意得0+02="I---------+;--------:-------7=8,解得a=45°,即左=tana=1.

1-cosa1-cos(a+乃)

所以直線/的方程為y=x-L

(2)［方法一］:【最優(yōu)解】利用圓的幾何性質(zhì)求方程

由(1)得48的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以的垂直平分線方程為

y-2=-(x-3),Bpy=-x+5.

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(%,%),則

因此所求圓的方程為(工一3『+(>-2>=16或(x-ll)2+(>+6)2=144.

［方法二］:硬算求解

由題意可知，拋物線C的準(zhǔn)線為x=-l,所求圓與準(zhǔn)線相切.

設(shè)圓心為(。力)，則所求圓的半徑為"1.

由產(chǎn)2二1得4(3+2&,2+2偽,3(3-2也2-2揚(yáng).

f(3+2A/2-a)2+(2+2&_6)2=(a+l)2

所以〈r-r--

(3-2V2-a)2+(2-2^y2-ft)2=(?+l)

9

a=\\

b=-6

所以，所求圓的方程為（X-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+3+6）2=144.

【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：根據(jù)弦過焦點(diǎn)，選擇焦點(diǎn)弦長公式運(yùn)算，屬于通性通法；

方法二：直接根據(jù)一般的弦長公式硬算，是解決弦長問題的一般解法；

方法三：根據(jù)弦過焦點(diǎn)，選擇含直線傾斜角的焦點(diǎn)弦長公式，計(jì)算簡單，屬于最優(yōu)解；

方法四：根據(jù)直線參數(shù)方程中的弦長公式，利用參數(shù)的幾何意義運(yùn)算；

方法五：根據(jù)拋物線的極坐標(biāo)方程，利用極徑的意義求解，計(jì)算簡單，也是該題的最優(yōu)解.

（2）方法一：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)確定圓心位置，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系算出，是求圓的方程的最優(yōu)解；

方法二：直接根據(jù)圓經(jīng)過兩點(diǎn)，硬算，思想簡單，運(yùn)算相對(duì)復(fù)雜.

6.（2017?全國?高考真題）已知拋物線C：f=2x,過點(diǎn)（2,0）的直線/交C于4臺(tái)兩點(diǎn)，圓M是以線段4B

為直徑的圓.

（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓”上；

（2）設(shè)圓M過點(diǎn)P（4,-2）,求直線/與圓M的方程.

【答案】（1）證明見解析；（2）x-y-2=Q,（x_3y+（y-l）2=10或2x+y-4=0,+^+|J=

【詳解】（1）設(shè)/（%1M,5（肛%），/：x=「y+2.

可得＞2-2町一4=0,貝

又石=

因此04的斜率與OB的斜率之積為”/-1,所以。。瓦

故坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓”上.

（2）由（1）可得%+%=2〃2,再+z=〃z（必+%）+4=2〃/+4.

故圓心M的坐標(biāo)為（優(yōu)2+2,小），圓M的半徑,?=4m2+2）2+m2.

由于圓M過點(diǎn)尸（4,—2）,因止匕方.麗=0，故（玉―4）（X2—4）+（必+2）（%+2）=0,

即再％2-4（演+x2）+yxy2+2（%+）+20=0,

由（1）可得必為=-4,玉％=4.

所以2加2—加一1=0,解得次=1或加=一式.

2

當(dāng)加=1時(shí)，直線/的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標(biāo)為（3,1）,圓〃的半徑為何，圓〃的方程為

（X-3）2+（J-1）2=10.

10

當(dāng)加=-；時(shí)，直線/的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標(biāo)為圓W的半徑為平，圓M的

方程為W+J2嚏

【名師點(diǎn)睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)

系；在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí)，要特別注意直線與拋物線的對(duì)稱軸平行的特殊情況.中點(diǎn)弦問題，

可以利用"點(diǎn)差法"，但不要忘記驗(yàn)證△>()或說明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部.

7.(2017?天津?高考真題)已知橢圓[+與=1(。>6>0)的左焦點(diǎn)為廠(-c,0),右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,c),

ab

△￡7弘的面積為

2

(I)求橢圓的離心率；

(II)設(shè)點(diǎn)。在線段NE上，出。|='，延長線段尸。與橢圓交于點(diǎn)P,點(diǎn)/，N在x軸上，PM||QN,且

直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c.

(i)求直線尸P的斜率；

(ii)求橢圓的方程.

o22

【答案】(I)：.(II)(i)士.(ii)土+匕=1.

241612

【分析】根據(jù)△￡/2的面積為Q列出一個(gè)關(guān)于的等式，削去6求出離心率；根據(jù)凡。關(guān)系巧設(shè)直線NE

2

的方程，與直線FP的方程聯(lián)立解出焦點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用|FQ|=+解出斜率加，把直線FP的方程與橢圓方

程聯(lián)立，解出尸點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出△/QN和AEPM的面積，利用四邊形尸。7W的面積為3c,解出c,得出

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】(I)設(shè)橢圓的離心率為e.由已知，可得g(c+a)c=[.乂由可得2c②+如一/=0,

即2e2+e-l=0.又因?yàn)?<e<l,解得e==.

2

所以，橢圓的離心率為g.

(II)(i)依題意，設(shè)直線FP的方程為x=%y-c(優(yōu)>0),則直線FP的斜率為工.

m

由(I)知a=2c,可得直線AE的方程為上+2=1,

2cc

即x+2y-2c=0,與直線FP的方程聯(lián)立，

可解得x=(2>2)c,即點(diǎn)。的坐標(biāo)為產(chǎn)：)c,三

m+2m+2\冽+2m+2

11

由已知|FQ|=f,有產(chǎn)-2,+j+[上]=]至j,

2m+21加+2J\2J

整理得3/-4加=0,所以，"=，即直線FP的斜率為

34

_22

(ii)解：由a=2c,可得6=6C,故橢圓方程可以表示為券+9=1.

由⑴得直線FP的方程為3x-4y+3c=0,

3x-4y+3c=0,

與橢圓方程聯(lián)立x2y2消去了，

整理得7/+6cx-l3c2=0,解得x=-^-(舍去)

或》=已因此可得點(diǎn)進(jìn)而可得忸尸|=j(c+c)2+[+：=],所以|P@=|尸尸卜但。|=+-+=。.

由已知，線段尸。的長即為尸M與0N這兩條平行直線間的距離，

故直線PM和QN都垂直于直線FP.

因?yàn)樗詜QM=「0|.tanNQnV=+xj=M，所以AFQV的面積為子尸例”|=等，同理

75r275r2?7r2

的面積等于2幺，由四邊形尸。Ml1的面積為3c,得2J—￡=3C,整理得°2=2C,又由。〉0,

323232

得c=2.

22

所以，橢圓的方程為二+匕=1.

1612

【點(diǎn)睛】列出一個(gè)關(guān)于仇。的等式，可以求離心率；列出一個(gè)關(guān)于a,6,c的不等式，可以求離心率的取

值范圍."減元"思想是解決解析幾何問題的重要思想，巧設(shè)直線方程利用題目條件列方程求解斜率，求橢圓

方程的基本方法就是待定系數(shù)法，根據(jù)已知條件列方程通過解方程求出待定系數(shù).

8.(2015?天津?高考真題)已知橢圓￡+[=13>0)的上頂點(diǎn)為8,左焦點(diǎn)為尸，離心率為好，

/b~5

(I)求直線BF的斜率；

(II)設(shè)直線3歹與橢圓交于點(diǎn)P(尸異于點(diǎn)8)，過點(diǎn)8且垂直于的直線與橢圓交于點(diǎn)。(。異于點(diǎn)8)

直線尸。與y軸交于點(diǎn)M,\PM\=1\MQ\.

(i)求/I的值；

(H)若1PMisinZBQP=筲，求橢圓的方程.

【答案】(I)2;(II)(i)];(ii)—+^=1.

854

12

廠.b-0b.

【詳解】（I）先由￡及/=萬+/,得4=氐,6=2°,直線BF的斜率左=0_（_。）=發(fā)=2；（II）先把

a5

\PM\XM-XpxP7

直線BF,BQ的方程與橢圓方程聯(lián)立,求出點(diǎn)BQ橫坐標(biāo)，可得丸=島=——=g-(II)先由

\MQ\XQ~XM和8

1PMsinDBQ尸=手得忸刊=儼0卜m/30尸=?『河畫1140尸=半，由止匕求出c=l,故橢圓方程為

試題解析:（I）設(shè)廠（-。,0），由已知￡及°2=/+°2,可得"A,6=2C，又因?yàn)?（0,6）,F（-c,0）,

a5

7b-0b.

故直線BF的斜率_=0_（_.=]=2.

22

（II）設(shè)點(diǎn)尸（辱，為加），（I）由（I）可得橢圓方程為白+方=1,直線8F的方程

為y=2x+2c，兩方程聯(lián)立消去y得3/+55=0,解得xp=-y.因?yàn)?。，8尸，所以直線BQ方程為

140c

尸-;x+2c,與橢圓方程聯(lián)立消去y得21--40次=0懈得和=笠.又因?yàn)閹譢=PM扁\，及%=。得

|,又因?yàn)閨PMkinE>50尸=毛7一Is,所

，因止匕—c=—,c=1,所以橢圓

33

22

方程為土+匕=1.

54

考點(diǎn)：本題主要考查直線與橢圓等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力及用方程思想和化歸思想解決問題的能力.

22

9.（2015?安徽?高考真題）設(shè)橢圓E的方程為下方=1（“>6>0）,點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（砌,

點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（0,6）,點(diǎn)M在線段AB上，滿足|W|=2|M4|,直線OM的斜率為

（I）求E的離心率e；

13

7

（II）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-6）,N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為求E的方

程.

【答案】（I）—;（II）—+^=1.

5459

【詳解】試題分析：（I）由題設(shè)條件，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為Eo'b）,利用心”="，從而2=趙，進(jìn)

330M102a10

而得。=島。=及2一尸=26,算出e=g=￡l.（D）由題設(shè)條件和（I）的計(jì)算結(jié)果知，直線ZB的方

a5

程為總+汽=1,得出點(diǎn)N的坐標(biāo)為（當(dāng)設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為則線段

NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為（手6+5,_9+：）.利用點(diǎn)T在直線N3上，以及G?心=T，解得6=3,所以

a=3右，從而得到橢圓E的方程為二+片=1.

459

試題解析：（I）由題設(shè)條件知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為:。二與，又后”="，從而_L=Y1,進(jìn)而得

330M102a10

a=45b,c=^a2-b2=26，故e=*=2".

a5

（ID由題設(shè)條件和（I）的計(jì)算結(jié)果可得，直線的方程為怠+,=1,點(diǎn)N的坐標(biāo)為（咚

設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為（％,：）,則線段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為（好方+土,一：+馬.又點(diǎn)T在

24244

rL4------=1

45bb_

直線上，且"S，KB=T,從而有｛71,解得6=3,所以°=3若，故橢圓E的方程為

—+—b

”11

---1----1.

459

考點(diǎn)：1.橢圓的離心率；2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3.點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的應(yīng)用.

考點(diǎn)02求軌跡方程

1.（2023?全國新I卷?高考真題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)尸到無軸的距離等于點(diǎn)尸到點(diǎn)（0,g）的距離，記

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為少.

（1）求少的方程；

14

⑵已知矩形/8CD有三個(gè)頂點(diǎn)在次上，證明：矩形/BCD的周長大于3TL

【答案】(i)y=/+；

⑵見解析

【分析】(1)設(shè)尸(x,y),根據(jù)題意列出方程/+,-口=必，化簡即可；

(2)法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)/(。,/+；|石9,62+口,(％2+3，且a<b<c,分別令3=。+6=用<0,

左Bc=b+c=〃>0,且加〃=_1,利用放縮法得gcz'+jVi：7,設(shè)函數(shù)/(月=1+1|2(1+/)，利用導(dǎo)

數(shù)求出其最小值，則得C的最小值，再排除邊界值即可.

法二：設(shè)直線的方程為>=左。-。)+/+；,將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長公式和放縮法得

陰山味,利用換元法和求導(dǎo)即可求出周長最值，再排除邊界值即可?

法三：利用平移坐標(biāo)系法，再設(shè)點(diǎn)，利用三角換元再對(duì)角度分類討論，結(jié)合基本不等式即可證明.

【詳解】(1)設(shè)尸(羽口,則