9.4空間幾何體的表面積和體積【考點梳理】1．棱柱、棱錐的概念(1)棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．（注：棱柱又分為斜棱柱和直棱柱．側棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；側棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱）．(2)棱錐：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．（注：如果棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點在過底面中心且與底面垂直的直線上，則這個棱錐叫做正棱錐）．2.棱柱、棱錐的性質(1)棱柱的性質：側棱都相等，側面是平行四邊形；兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形；直棱柱的側棱長與高相等且側面、對角面都是矩形．(2)正棱錐的性質：側棱相等，側面是全等的等腰三角形；棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影構成一個直角三角形；棱錐的高、側棱和側棱在底面上的射影也構成一個直角三角形；斜高、側棱及底面邊長的一半也構成一個直角三角形；側棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面邊長的一半也構成一個直角三角形．3．圓柱、圓錐(1)圓柱、圓錐的概念：分別以矩形的一邊、直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐．(2)圓柱、圓錐的性質：圓柱、圓錐的軸截面分別是矩形、等腰三角形；平行于底面的截面都是圓．4．球(1)球面與球的概念：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫做球體，簡稱球．半圓的圓心叫做球的球心．(2)球的截面性質：球心和截面圓心的連線垂直于截面；球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r的關系為d＝eq\r(R2－r2)．5．表面積、體積(1)柱體、錐體的表面積①直棱柱、正棱錐的側面積：S直棱柱側＝Ch，S正棱錐側＝eq\f(1,2)Ch′(其中C為底面周長,h為高，h′為斜高)．②圓柱、圓錐的側面積：S圓柱側＝2πrl，S圓錐側＝πrl(其中r為底面半徑，l為母線長)．③柱的表面積等于側面積與兩個底面積的和，錐體的表面積等于側面積與一個底面積的和．(2)柱體、錐體的體積①棱柱、棱錐的體積：V棱柱＝Sh，V棱錐＝eq\f(1,3)Sh(其中S為底面積，h為高)．②圓柱、圓錐的體積：V圓柱＝πr2h，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h(其中r為底面圓的半徑，h為高)．(3)球的表面積與體積：①半徑為R的球的表面積S球＝4πR2．②半徑為R的球的體積V球＝eq\f(4,3)πR3.考點一空間幾何體的面積【例題】（1）已知某圓柱體的底面半徑為，高為，則該圓柱體的側面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，則該圓柱體的側面的面積為，故選：D.（2）若一個正方體的體對角線長為a，則這個正方體的全面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設正方體的棱長為x，則，即，所以正方體的全面積為，故選：A.（3）一個正方體的頂點都在同一個球的球面上，該正方體的棱長為a，則球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】正方體的對角線是球的直徑，所以，則，所以球的表面積，故選：D.（4）若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，且直角邊長為，則該圓錐的側面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為圓錐的軸截面是直角邊長為的等腰直角三角形，所以圓錐的母線長為，底面直徑長為，半徑為，則此圓錐的側面積為，故選：B．（5）半徑為2cm的小金屬球共有125個，熔化后鑄成一個大金屬球，如果不計損耗，可鑄成的大金屬球的表面積為（

）A．100 B．400 C．100 D．400【答案】D【解析】設大金屬球的半徑為，則，所以其表面積為，故選：D.（6）三棱錐中，已知兩兩垂直，且，則三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【解析】以線段為相鄰的三條棱為長方體，連接,,,即為三棱錐，∵如圖所示，長方體的外接球與三棱錐的外接球相同，∴則其外接球直徑為長方體對角線的長，設外接球的半徑為，則，解得，則，故答案為:.【變式】（1）已知長方體的長、寬、高分別為5，4，3，那么該長方體的表面積為（

）A．20 B．47 C．60 D．94【答案】D【解析】長方體的長、寬、高分別為5，4，3，所以該長方體的表面積為，故選：D.（2）用長為4，寬為2的矩形繞其一邊旋轉構成一個圓柱，則此圓柱的側面積為（

）A．8π B．16π C．24π D．32π【答案】B【解析】若以邊長4為軸，旋轉成一個圓柱，則側面積，若以邊長2為軸，旋轉成一個圓柱，則側面積，故選：B.（3）正方體的外接球與內切球的表面積之比是（

）A． B．3 C． D．【答案】B【解析】設正方體的棱長為，則其外接球的半徑為，內切球的半徑為，所以正方體的外接球與內切球的表面積之比是，故選：B.（4）已知圓錐的軸截面是邊長為1的等邊三角形，則該圓錐表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圓錐的軸截面是邊長為1的等邊三角形可知：圓錐的底面圓半徑，母線長，所以圓錐的表面積為，故選：D.（5）長?寬?高分別為1，2，3的長方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為.【答案】【解析】設球的半徑為，由于長方體的體對角線為其外接球的直徑，則，故該球的表面積為，故答案為：.（6）已知圓柱的軸截面是正方形，若圓柱的高與球的直徑相等，則圓柱的表面積與球的表面積之比為．【答案】3∶2【解析】設球的半徑為R，由題意得圓柱的底面半徑為R，高為2R，∴圓柱的表面積為：S1＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，球的表面積為：S2＝4πR2，所以圓柱的表面積與球的表面積之比為：，故答案為：3∶2.考點二空間幾何體的體積【例題】（1）已知某圓柱的高為5，底面半徑為，則該圓柱的體積為（

）A．6π B．9πC．12π D．15π【答案】D【解析】由題意得該圓柱的體積為，故選：D.（2）若一個圓錐的底面半徑為1，母線長為，則圓錐的體積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為圓錐的底面半徑為1，母線長為，所以圓錐的高為，所以圓錐的體積為，故選：C.（3）如圖所示，正方體的棱長為1，則三棱錐D-ACD1的體積是（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】三棱錐D-ACD1的體積等于三棱錐D1-ACD的體積，三棱錐D1-ACD的底面ACD是直角邊長為1的等腰直角三角形，高D1D=1，∴三棱錐D-ACD1的體積為V=×1×1×1=，故選：A.（4）三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，長分別為a，b，c，則這個三棱錐的體積是.【答案】【解析】不妨設，，，且兩兩互相垂直，，又，，平面，，平面，，故答案為：.（5）已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則該圓柱的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，O為外接球球心，母線BB1長度為2，底面半徑r=O2B=1，易得外接球半徑，∴外接球體積，故選：B.（6）已知一個圓柱的表面積等于側面積的，且其軸截面（過其軸的一個平面與該圓柱形成的截面）的周長為16，則該圓柱的體積為.【答案】【解析】令圓柱高為，底面半徑為，則，可得，所以圓柱的體積為，故答案為：.【變式】（1）如果軸截面為正方形的圓柱的側面積是，那么圓柱的體積等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為圓柱的軸截面為正方形，設圓柱的底面半徑為r，則高為2r，，則，故圓柱的體積為，故選：D.（2）若球的最大截面圓面積擴大為原來的2倍，則球體積擴大為原來的（

）A．倍 B．4倍 C．倍 D．倍【答案】C【解析】若球的最大截面圓面積擴大為原來的2倍，則球的半徑擴大為原來的倍，則球體積擴大為原來的倍，故選：C.（3）已知一個圓錐的母線長為6，側面積為，則此圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設圓錐的底面半徑為，高為，則，得，所以圓錐的高為，因此該圓錐的體積，故選：C．（4）一平面截一球得到直徑為的圓面，球心到這個平面的距離是，則該球的體積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設球心為，截面圓心為，連接，則垂直于截面圓，如圖所示，在中，，，球的半徑，球的體積，故選：B.（5）在底面半徑為1的圓錐中，若該圓錐側面展開圖的面積是2π，則該圓錐的體積為.【答案】【解析】設圓錐每線長為，底面半徑為，則圓錐側面展開圖的面積為，得，所以圓錐的體積為，故答案為：.（6）“圓柱容球”是指圓柱形容器里放了一個球，且球與圓柱的側面及上、下底面均相切，則該圓柱的體積與球的體積之比為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：圓柱的高及底面圓的直徑為球的直徑，設球的半徑為R，則圓柱的體積為：，球的體積為，所以圓柱的體積與球的體積之比為，故選：B.【方法總結】1．幾何體的展開與折疊(1)幾何體的表面積，除球以外，一般都是利用展開圖求得的，利用空間問題平面化的思想，把一個平面圖形折疊成一個幾何體，再研究其性質，是考查空間想象能力的常用方法．(2)多面體的展開圖①直棱柱的側面展開圖是矩形；②正棱錐的側面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形；③正棱臺的側面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形．(3)旋轉體的展開圖①圓柱的側面展開圖是矩形，矩形的長(或寬)是底面圓周長，寬(或長)是圓柱的母線長；②圓錐的側面展開圖是扇形，扇形的半徑長是圓錐的母線長，弧長是圓錐的底面周長；③圓臺的側面展開圖是扇環，扇環的上、下弧長分別為圓臺的上、下底面周長．2．空間幾何體的表面積的計算方法有關空間幾何體的表面積的計算通常是將空間圖形問題轉化為平面圖形問題，這是解決立體幾何問題常用的基本方法．(1)計算棱柱、棱錐、棱臺等多面體的表面積，可以分別求各面面積，再求和，對于直棱柱、正棱錐、正棱臺也可直接利用公式；(2)圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面，計算其側面積時需將曲面展為平面圖形計算，而表面積是側面積與底面圓的面積之和；(3)組合體的表面積應注意重合部分的處理．3．空間幾何體的體積的計算方法(