高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)必修第一冊(cè)專題進(jìn)階課三追及相遇問題含答案專題進(jìn)階課三追及相遇問題核心歸納1.幾種追及相遇問題的圖像比較:類型圖像說(shuō)明勻加速追勻速(1)t=t0以前,后面物體與前面物體間距逐漸增大;(2)t=t0時(shí),v1=v2,兩物體間距最大,為x0+Δx;(3)t=t0以后,后面物體與前面物體間距逐漸減小;(4)能追上且只能相遇一次勻速追勻減速勻加速追勻減速勻減速追勻速開始時(shí),后面物體與前面物體間的距離在逐漸減小,當(dāng)兩物體速度相等時(shí),即t=t0時(shí)刻:(1)若Δx=x0,則恰能追上,兩物體只能相遇一次,這也是避免相撞的臨界條件;(2)若Δx<x0,則不能追上,此時(shí)兩物體有最小距離,為x0-Δx;(3)若Δx>x0,則相遇兩次,設(shè)t1時(shí)刻Δx=x0,兩物體第一次相遇,則必有t2時(shí)刻兩物體第二次相遇,且t2-t0=t0-t1勻速追勻加速勻減速追勻加速注意:(1)v1是前面物體的速度,v2是后面物體的速度;(2)x0為開始時(shí)兩物體之間的距離;(3)Δx為從開始追趕到兩者速度相等時(shí),前面或后面的物體多發(fā)生的位移2.追及相遇問題情況概述:(1)追及問題①若后者能追上前者,則追上時(shí),兩者處于同一位置,后者的速度一定不小于前者的速度。②若后者追不上前者,則當(dāng)后者的速度與前者相等時(shí),兩者相距最近。(2)相遇問題①同向運(yùn)動(dòng)的兩物體追及即相遇。②相向運(yùn)動(dòng)的兩物體,當(dāng)各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時(shí)兩物體的距離時(shí)即相遇。提醒:(1)若被追趕的物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng),一定要注意判斷被追上前該物體是否已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng)。(2)仔細(xì)審題,注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼(如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等),充分挖掘題目中的隱含條件。3.解題思路:(1)根據(jù)對(duì)兩物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析,畫出兩物體運(yùn)動(dòng)的示意圖或v-t圖像,找到臨界狀態(tài)和臨界條件。(2)根據(jù)兩物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì),分別列出兩物體的位移方程,注意要將兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系反映在方程中。(3)由運(yùn)動(dòng)示意圖找出兩物體位移間的關(guān)聯(lián)方程,這是解題關(guān)鍵。(4)聯(lián)立方程求解,并對(duì)結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)單分析。4.追及問題中的“一個(gè)條件”“兩個(gè)關(guān)系”(1)一個(gè)條件:兩者速度相等。它往往是能夠追上、追不上或兩者距離最大、最小的臨界條件,也是分析判斷的切入點(diǎn)。(2)兩個(gè)關(guān)系:時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系。時(shí)間關(guān)系指兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間是否相等,兩物體是同時(shí)運(yùn)動(dòng)還是一先一后運(yùn)動(dòng);位移關(guān)系指兩物體是同地開始運(yùn)動(dòng)還是一前一后開始運(yùn)動(dòng),其中通過(guò)畫運(yùn)動(dòng)示意圖找到兩物體間的位移關(guān)系是解題的突破口,因此在學(xué)習(xí)中一定要養(yǎng)成畫運(yùn)動(dòng)示意圖分析問題的良好習(xí)慣,運(yùn)動(dòng)示意圖對(duì)幫助我們理解題意、啟迪思維大有好處。典題例析【典例】(一題多法)一輛汽車在十字路口等候紅綠燈,當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以a=3m/s2的加速度開始行駛,恰在這一時(shí)刻一輛自行車以v自=6m/s的速度勻速駛來(lái),從旁邊超過(guò)汽車。試求:(1)汽車從路口開動(dòng)后,在追上自行車之前,經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)?此時(shí)距離是多少?(2)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間汽車能追上自行車?此時(shí)汽車的速度大小是多少?【解析】(1)解法一(物理分析法):汽車與自行車的速度相等時(shí)兩車相距最遠(yuǎn),如圖所示,設(shè)此時(shí)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t1,兩車間的距離為Δx,則有v汽=v自=at1所以t1=v自Δx=x自-x汽=v自t1-12at解法二(函數(shù)極值法):設(shè)汽車在追上自行車之前,經(jīng)過(guò)時(shí)間t1兩車相距Δx,則Δx=x自-x汽=v自t1-12a代入已知數(shù)據(jù)得Δx=6t1-32由二次函數(shù)求極值的條件知:t1=2s時(shí),Δx有最大值6m所以經(jīng)過(guò)t1=2s后,兩車相距最遠(yuǎn),此時(shí)距離為Δx=6m。解法三(圖像法):自行車和汽車的v-t圖像如圖所示,由圖像可以看出,在相遇前,t1時(shí)刻兩車速度相等,兩車相距最遠(yuǎn),此時(shí)的距離為陰影三角形的面積,所以有t1=v2a=Δx=v2t1(2)解法一(物理分析法):當(dāng)兩車位移相同時(shí),汽車追上自行車,設(shè)此時(shí)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t2,則有v自t2=12a解得t2=2v自a此時(shí)汽車的速度v1=at2=12m/s。解法二(圖像法):由前面畫出的v-t圖像可以看出,在t1時(shí)刻之后,當(dāng)由圖線v自、v汽和t=t2構(gòu)成的三角形的面積與陰影部分的三角形面積相等時(shí),汽車與自行車的位移相同,即汽車與自行車相遇,所以t2=2t1=4s,v1=at2=3×4m/s=12m/s。答案:(1)2s6m(2)4s12m/s[規(guī)律方法]求解追及相遇問題的“三種分析方法”1.物理分析法:認(rèn)真審題,挖掘題目中的隱含條件,畫出兩物體運(yùn)動(dòng)關(guān)系的示意圖,找出運(yùn)動(dòng)時(shí)間、位移等關(guān)系。2.函數(shù)極值法:設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,根據(jù)條件列方程,得到關(guān)于二者之間的距離Δx與時(shí)間t的二次函數(shù)關(guān)系。對(duì)于該二次函數(shù)關(guān)系:(1)當(dāng)Δx=0時(shí),表示兩者相遇。取Δx=0時(shí),對(duì)于關(guān)于時(shí)間t的一元二次方程,其解就是兩者相遇的時(shí)刻,應(yīng)注意對(duì)解的合理性的討論。對(duì)于速度大者追速度小者,且速度大者的加速度a2與速度小者的加速度a1滿足a2<a1,可利用根的判別式分析相遇的次數(shù)。(2)當(dāng)t=-b2a時(shí),函數(shù)有極值,若此時(shí)刻有意義(3.圖像法:將兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的速度—時(shí)間關(guān)系在同一圖像中畫出,然后利用圖像分析求解相關(guān)問題。起點(diǎn)在同一點(diǎn)的追及相遇問題最適合用v-t圖像解決,因?yàn)槠鋱D線和時(shí)間軸所圍成的面積就是位移。對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2024·廣西適應(yīng)性測(cè)試)2023年11月,在廣西舉辦的第一屆全國(guó)學(xué)生(青年)運(yùn)動(dòng)會(huì)的自行車比賽中,若甲、乙兩自行車的v-t圖像如圖,在t=0時(shí)刻兩車在賽道上初次相遇,則 ()A.0~t1內(nèi),乙的加速度越來(lái)越大B.t1時(shí)刻,甲乙再次相遇C.0~t1內(nèi),甲乙之間的距離先增大后減小D.t1~t2內(nèi),甲乙之間的距離先減小后增大【解析】選D。v-t圖像的斜率表示加速度,由圖可得,0~t1內(nèi)乙圖線的斜率逐漸變小,即加速度減小,故A錯(cuò)誤;v-t圖像的面積表示位移,由圖可知在t1時(shí)刻,乙的位移大于甲的位移,即此時(shí)乙在甲前面,故B錯(cuò)誤;v-t圖像的的面積表示位移,由圖可得,0~t1乙的面積與甲的面積差一直增大,即甲乙的位移差一直增大,甲乙之間的距離一直增大,故C錯(cuò)誤;由B選項(xiàng)可得,t1時(shí)刻乙在甲前面,t1~t2由圖可知v甲>v乙且都做勻速直線運(yùn)動(dòng),則甲會(huì)追上乙,并超越乙到乙的前面,即t1~t2甲乙之間的距離先減小到甲追上乙,后甲超越乙到乙的前面,甲乙的距離再增大,故D正確。【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.(多選)一輛小汽車以30m/s的速度勻速行駛在公路上,突然發(fā)現(xiàn)正前方30m處有一輛大卡車以10m/s的速度同方向勻速行駛,小汽車緊急剎車,剎車過(guò)程中剎車失靈。如圖所示,圖線a、b分別為小汽車和大卡車的v-t圖像(忽略剎車反應(yīng)時(shí)間),以下說(shuō)法正確的是 ()A.因剎車失靈前小汽車已減速,故不會(huì)發(fā)生追尾事故B.在t=3s時(shí)發(fā)生追尾事故C.在t=5s時(shí)發(fā)生追尾事故D.若緊急剎車時(shí)兩車相距40m,則不會(huì)發(fā)生追尾事故且兩車最近時(shí)相距5m【解析】選B、D。由圖線a可知,t=3s時(shí)小汽車速度大小為15m/s,根據(jù)圖線與時(shí)間軸所圍的面積表示位移可知,t=3s時(shí),大卡車的位移為xb=vbt=10m/s×3s=30m,小汽車的位移為xa=30m/s+20m/s2×1s+203s時(shí)追尾,B正確,A、C錯(cuò)誤。若緊急剎車時(shí)兩車相距40m,速度相等時(shí),小汽車的位移xa'=12×(30m/s+20m/s)×1s+12×(20m/s+10m/s)×4s=85m,大卡車的位移xb'=50m,因?yàn)閤b'+40m>xa',則不會(huì)發(fā)生追尾事故,最近距離Δ5m,故D正確。2.(2024·日照高一檢測(cè))自動(dòng)駕駛汽車依靠人工智能、雷達(dá)、監(jiān)控裝置和全球定位系統(tǒng)協(xié)同合作,讓電腦可以在沒有任何人操作的情況下,自動(dòng)安全地駕駛機(jī)動(dòng)車輛。(1)某平直公路上一輛自動(dòng)駕駛汽車以v1=20m/s的速度勻速行駛,汽車傳感器探測(cè)到前方x1=50m處有一靜止的障礙物,便立即剎車,做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。為避免撞上前方靜止的障礙物,汽車在該路段剎車時(shí)的加速度a1至少為多大?(無(wú)人駕駛汽車反應(yīng)很快,可以忽略反應(yīng)時(shí)間)(2)若自動(dòng)駕駛汽車以v2=15m/s的速度勻速行駛,突然探測(cè)到其正前方20m處有一人駕駛汽車以v3=10m/s的速度向前勻速行駛,自動(dòng)駕駛汽車立即以a2=1m/s2的加速度做勻減速直線運(yùn)動(dòng),試通過(guò)計(jì)算判斷兩車在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否會(huì)發(fā)生追尾事故。【解析】(1)若恰好不撞上障礙物,自動(dòng)駕駛汽車剎車時(shí),由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式0-v12=2(-a1)解得a1=4m/s2,即a1至少為4m/s2。(2)設(shè)從自動(dòng)駕駛汽車開始剎車經(jīng)過(guò)時(shí)間t兩車速度相等,則v3=v2-a2t解得t=5s此過(guò)程自動(dòng)駕駛汽車的位移x自動(dòng)=v2t-12a2t2=62.前方汽車的位移x人駕=v3t=50m由于x自動(dòng)-x人駕=12.5m<20m,故不會(huì)發(fā)生追尾事故。答案:(1)4m/s2(2)見解析專題進(jìn)階課四豎直上拋運(yùn)動(dòng)核心歸納1.豎直上拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律:豎直上拋運(yùn)動(dòng)是加速度大小為g的勻變速直線運(yùn)動(dòng),所以,勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式同樣也適用于豎直上拋運(yùn)動(dòng)。2.豎直上拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn):(1)上升到最高點(diǎn)的時(shí)間t=v(2)上升的最大高度H=v0(3)對(duì)稱性(僅討論拋出點(diǎn)上方的運(yùn)動(dòng))①時(shí)間對(duì)稱性:物體上升到最高點(diǎn)所用時(shí)間與物體從最高點(diǎn)落回到原拋出點(diǎn)所用時(shí)間相等,即t上=t下;從拋出點(diǎn)到某點(diǎn)A與從某點(diǎn)A到拋出點(diǎn)時(shí)間相同。②速度對(duì)稱性:上拋時(shí)的初速度與落回原拋出點(diǎn)的速度大小相等、方向相反。上升與下降階段經(jīng)過(guò)同一位置A時(shí)的速度大小相等,方向相反。③能量對(duì)稱性:物體上升過(guò)程和下落過(guò)程經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能和重力勢(shì)能都分別相等。3.豎直上拋運(yùn)動(dòng)的處理方法:(1)分段分析法把豎直上拋運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程分為上升階段和下落階段,上升階段做初速度為v0、加速度大小為g的勻減速直線運(yùn)動(dòng),下落階段做自由落體運(yùn)動(dòng)。(2)全程分析法取初速度的方向?yàn)檎较?把豎直上拋運(yùn)動(dòng)看成一個(gè)初速度為v0、加速度為-g的勻變速直線運(yùn)動(dòng),則h=v0t-12gt2,v=v0-gt,v2-v02=-2gh。據(jù)此可推知物體能上升的最大高度H=v022g,上升到最大高度所需的時(shí)間t4.豎直上拋和自由落體的相遇問題:(1)當(dāng)兩個(gè)物體從不同位置先后做自由落體運(yùn)動(dòng),或兩個(gè)物體分別做自由落體運(yùn)動(dòng)與豎直上拋運(yùn)動(dòng)時(shí),兩物體在空中相遇的條件都是兩物體在同一時(shí)刻位于同一位置。(2)解答上述兩個(gè)物體的相遇問題,可以以地面為參考系,結(jié)合位移關(guān)系和時(shí)間關(guān)系求解;也可以以其中一個(gè)物體為參考系,則另一物體相對(duì)其做勻速直線運(yùn)動(dòng),根據(jù)相對(duì)位移和時(shí)間關(guān)系求解。(3)對(duì)兩個(gè)分別做自由落體運(yùn)動(dòng)與豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體在空中相遇的問題,還可以結(jié)合豎直上拋運(yùn)動(dòng)的臨界條件如“恰好到達(dá)最高點(diǎn)”“恰好返回地面”等,求解上升過(guò)程或下降過(guò)程相遇的條件等。典題例析角度1豎直上拋的基本規(guī)律的理解【典例1】(多選)(2024·青島高一檢測(cè))礦井中的升降機(jī)從井底開始以5m/s的速度豎直向上勻速運(yùn)行,某時(shí)刻一螺釘從升降機(jī)底板松脫,經(jīng)過(guò)3s升降機(jī)底板上升至井口,此時(shí)松脫的螺釘剛好落到井底,不計(jì)空氣阻力,取重力加速度大小g=10m/s2,下列說(shuō)法正確的是 ()A.螺釘松脫后做自由落體運(yùn)動(dòng)B.礦井的深度為45mC.螺釘落到井底時(shí)的速度大小為25m/sD.螺釘隨升降機(jī)從井底出發(fā)到落回井底共用時(shí)6s【解析】選B、C。螺釘松脫時(shí)具有與升降機(jī)相同的向上的初速度,故螺釘松脫后做豎直上拋運(yùn)動(dòng),故A錯(cuò)誤;取豎直向上為正方向,螺釘從松脫至落到井底的位移h1=v0t-12gt2=-30m,升降機(jī)這段時(shí)間的位移h2=v0t=15m,故礦井的深度為h=|h1|+h2=45m,故B正確;螺釘落到井底時(shí)的速度為v=v0-gt=-25m/s,故C正確;螺釘松脫前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t'=|h1|v0=6s,所以螺釘運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t角度2豎直上拋的對(duì)稱性的應(yīng)用【典例2】一個(gè)從地面開始做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體,它兩次經(jīng)過(guò)一個(gè)較低點(diǎn)A的時(shí)間間隔是TA,兩次經(jīng)過(guò)一個(gè)較高點(diǎn)B的時(shí)間間隔是TB,則A、B兩點(diǎn)之間的距離為(重力加速度為g) ()A.18g(TA2-TB2) B.14C.12g(TA2-TB2) D.12g(【解析】選A。物體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)同一點(diǎn),上升時(shí)間與下落時(shí)間相等,則從豎直上拋運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)到點(diǎn)A的時(shí)間tA=TA2,從豎直上拋運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)到點(diǎn)B的時(shí)間tB=TB2,則A、B兩點(diǎn)的距離x=12gtA2-12gt角度3豎直上拋和自由落體的相遇問題【典例3】(多選)如圖所示,乙球靜止于地面上,甲球位于乙球正上方h處,現(xiàn)從地面上豎直上拋乙球,初速度v0=10m/s,同時(shí)讓甲球自由下落,不計(jì)空氣阻力。(取g=10m/s2,甲、乙兩球可看作質(zhì)點(diǎn))下列說(shuō)法正確的是 ()A.無(wú)論h為何值,甲、乙兩球一定能在空中相遇B.當(dāng)h=10m時(shí),乙球恰好在最高點(diǎn)與甲球相遇C.當(dāng)h=15m時(shí),乙球能在下降過(guò)程中與甲球相遇D.當(dāng)h<10m時(shí),乙球能在上升過(guò)程中與甲球相遇【解析】選B、C、D。設(shè)兩球在空中相遇,所需時(shí)間為t,根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得12gt2+v0t-12gt2=h,可得t=hv0,而乙球的落地時(shí)間t1=2v0g,兩球在空中相遇的條件是t<t1,整理得h<20m,A錯(cuò)誤;若兩球恰好在乙球上升的最高點(diǎn)相遇,滿足的條件是t=12t對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2024·濱州高一檢測(cè))如圖,某同學(xué)將A籃球以速度v豎直向上拋出到達(dá)最高點(diǎn)時(shí),將B籃球也以速度v從同一位置豎直向上拋出。不計(jì)空氣阻力,A、B兩球均可視為質(zhì)點(diǎn),重力加速度為g。下列說(shuō)法正確的是 ()A.自A拋出到與B相遇時(shí)間為2B.自B拋出到與A相遇時(shí)間為vC.A、B相遇時(shí)速度大小均為vD.兩球各自拋出到相遇過(guò)程中,兩球速度的變化量相同【解析】選B。根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)可知,A球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的時(shí)間t1=vg,當(dāng)A球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)后將向下做自由落體運(yùn)動(dòng),而B球此時(shí)做豎直上拋運(yùn)動(dòng),設(shè)自B拋出與A球在空中相遇的時(shí)間為t2,A球上升的最大高度為h,