4.2

一元線性回歸模型

第4章學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義.2.了解最小二乘法的原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法，會(huì)使用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件.核心素養(yǎng)：數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算新知學(xué)習(xí)概念解析一、回歸直線方程與回歸分析1.回歸直線方程找出與散點(diǎn)圖中各點(diǎn)散布趨勢(shì)相似的直線，使各點(diǎn)經(jīng)過(guò)或充分靠近該直線，這樣所得到的直線就可以比較科學(xué)地反映實(shí)際問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系.這條直線叫作回歸直線，這條直線的方程叫作回歸直線方程.2.回歸分析由散點(diǎn)圖求出回歸直線并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的過(guò)程叫作回歸分析.在回歸分析中，被預(yù)測(cè)或被解釋的變量稱為因變量，用y表示.用來(lái)預(yù)測(cè)或解釋因變量的變量稱為自變量，用x表示.對(duì)于具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，可以用一個(gè)線性方程來(lái)表示它們之間的關(guān)系.3.一元線性回歸方程如果具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x，y可用方程y＝a+bx（1）

來(lái)近似刻畫，則稱（1）式為y關(guān)于x的一元線性回歸方程，其中a，b稱為回歸系數(shù).

水稻產(chǎn)量/kg320330360410460470480施肥量/kg15202530354045例

下面是水稻產(chǎn)量與施肥量的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：（1）將上表中的數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖.（2）你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)施肥量與水稻產(chǎn)量近似有什么關(guān)系嗎？水稻產(chǎn)量會(huì)一直隨施肥量增加而增加嗎？（3）若近似呈線性關(guān)系，請(qǐng)畫出一條直線來(lái)近似地表示這種線性關(guān)系.解

（1）以x軸表示施肥量，y軸表示水稻產(chǎn)量，

可得散點(diǎn)圖如圖所示.（2）從圖中可以發(fā)現(xiàn)施肥量與水稻產(chǎn)量近似呈線性關(guān)系，當(dāng)施肥量由小到大變化時(shí)，水稻產(chǎn)量大致由小變大.但水稻產(chǎn)量只是在一定范圍內(nèi)隨著施肥量的增加而大致增加.（3）近似直線如圖所示.二.最小二乘法概念解析

【知識(shí)拓展】最小二乘法（又稱最小平方法）通過(guò)最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和最小.概念解析

x14569y2035506580

三.非線性回歸分析概念解析在實(shí)際問(wèn)題中，如果從數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出兩個(gè)變量之間有明顯的非線性關(guān)系，就需要選擇一個(gè)合適的曲線方程，按照這個(gè)曲線方程對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行代換.目的是把變量間的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化近似的線性關(guān)系，然后用建立線性回歸方程的方法確定未知參數(shù).解決非線性回歸問(wèn)題的方法及步驟：（1）確定變量：確定解釋變量x，預(yù)報(bào)變量y；（2）畫散點(diǎn)圖：通過(guò)觀察散點(diǎn)圖并與學(xué)過(guò)的函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)）做比較，選取擬合效果好的函數(shù)模型；（3）變量置換：通過(guò)變量置換把非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題；（4）分析擬合效果：通過(guò)計(jì)算相關(guān)系數(shù)等來(lái)判斷擬合效果；（5）寫出非線性回歸方程.例

為了研究某種細(xì)菌隨時(shí)間x變化時(shí)，繁殖個(gè)數(shù)y的變化，收集數(shù)據(jù)如下：（1）用天數(shù)x作解釋變量，繁殖個(gè)數(shù)y作預(yù)報(bào)變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖.（2）描述解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y之間的關(guān)系.天數(shù)x/天123456繁殖個(gè)數(shù)y/個(gè)612254995190

x123456z1.792.483.223.894.555.25一、求線性回歸方程例1

一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：請(qǐng)判斷其是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程.解在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示零件數(shù)102030405060708090100加工時(shí)間/分626875818995102108115122典例剖析觀察判斷出散點(diǎn)在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系.由測(cè)得的數(shù)據(jù)列表如下：ixiyi

xiyi110621006202206840013603307590022504408116003240550892500445066095360057007701024900714088010864008640990115810010350101001221000012200合計(jì)5509173850055950

二、線性回歸方程的性質(zhì)

開業(yè)天數(shù)1020304050每天銷售額/萬(wàn)元62758189B

解析當(dāng)生產(chǎn)創(chuàng)收總額為1萬(wàn)元時(shí)，工資約為1500元，A錯(cuò)誤；當(dāng)生產(chǎn)創(chuàng)收總額提高1萬(wàn)元時(shí)，工資平均提高600元，B錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)月工資為2700元時(shí)，生產(chǎn)創(chuàng)收總額約為3萬(wàn)元，D錯(cuò)誤.C三、利用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)例3

在本章第1.1節(jié)的練習(xí)中，從散點(diǎn)圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)Y（單位：杯）與當(dāng)天氣溫X（單位：℃）之間存在近似的線性關(guān)系.數(shù)據(jù)如表

（1）試用最小二乘法求出Y關(guān)于X的線性回歸方程；（2）如果某天的氣溫是-3℃，請(qǐng)預(yù)測(cè)這天可能會(huì)賣出熱茶多少杯.氣溫X

/

℃261813104-1杯數(shù)Y

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杯202434385064

ixiyi

xiyi12620676520218243