高中數(shù)學《高中全程學習方略》2025版必修第一冊5.5.1第1課時兩角差的余弦公式含答案5.5三角恒等變換5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第1課時兩角差的余弦公式【學習目標】1.了解兩角差的余弦公式的推導過程.2.熟記兩角差的余弦公式的形式及符號特征,并能利用該公式進行求值、計算.【素養(yǎng)達成】數(shù)學抽象、直觀想象數(shù)學抽象、數(shù)學運算兩角差的余弦公式公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ簡記C(α-β)條件α,β都是任意角教材挖掘(P216例1)既是兩角差的余弦公式的應用,也說明了誘導公式與兩角差公式之間的特殊與一般的關系.同樣,令β=-2kπ,k∈Z,可以得到cos(2kπ+α)=cosα,令α=0,還可以得到cos(-β)=cosβ.【教材深化】(1)公式的結構特征:(2)公式中的α,β都是任意角,既可以是一個角,也可以是幾個角的組合.如cos(α+β2-α-β2)中的α(3)cos(α-β)=cosα-cosβ一般不成立,但在特殊情況下也可能成立,例如:當α=0°,β=60°時,cos(0°-60°)=cos0°-cos60°.(4)要學會正用(從左至右,即展開)、逆用(從右至左,即化簡)、變形應用(移項變形)公式Cα-β,如:①cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ;②cosα=cos[(α+β)-β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)·sinβ;③22cosα+22sinα=cos45°cosα+sin45°sinα=cos(α【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)cos(70°-40°)=cos70°+cos40°. (×)提示:cos(70°-40°)=cos30°≠cos70°+cos40°,故錯誤.(2)對于任意實數(shù)α,β,cos(α-β)=cosα-cosβ都不成立. (×)提示:當α=-45°,β=45°時,cos(α-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0,cosα-cosβ=cos(-45°)-cos45°=0,此時cos(α-β)=cosα-cosβ,故錯誤.(3)對任意α,β∈R,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ都成立. (√)提示:結論為兩角差的余弦公式,故正確.(4)cos30°cos60°+sin30°sin60°=1. (×)提示:cos30°cos60°+sin30°sin60°=cos(60°-30°)=cos30°=32,故錯誤類型一兩角差余弦公式的簡單應用(數(shù)學抽象)【典例1】(1)(多選)下列各式化簡正確的是 ()A.cos80°cos20°+sin80°sin20°=cos60°B.cos65°=cos77°cos12°+sin77°sin12°C.sin(α+45°)sinα+cos(α+45°)cosα=cos45°D.cos(α-π6)=12cosα+3【解析】選ABC.根據(jù)兩角差的余弦公式,A,B,C均正確,D選項錯誤.(2)計算cos15°的值是 ()A.6-22 C.6-24 【解析】選D.cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=22×32+22×1【總結升華】利用兩角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差,正用公式直接求解;(2)在轉(zhuǎn)化過程中,充分利用誘導公式,構造兩角差的余弦公式的右邊形式,然后逆用公式求值.【即學即練】求下列各式的值:(1)cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°);【解析】(1)原式=cos[θ+21°-(θ-24°)]=cos45°=22(2)-sin167°·sin223°+sin257°·sin313°;【解析】(2)原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)·sin(360°-47°)=sin13°sin43°+sin77°sin47°=sin13°sin43°+cos13°cos43°=cos(13°-43°)=cos(-30°)=32(3)3sinπ12+cosπ【解析】(3)原式=2(32sinπ12+12=2(sinπ3sinπ12+cosπ3=2cos(π3-π12)=2cosπ4【補償訓練】1.cos15°cos105°+sin15°sin105°的值為 ()A.1 B.0 C.-1 D.1【解析】選B.cos15°cos105°+sin15°sin105°=cos(105°-15°)=cos90°=0.2.sin(α+45°)sinα+cos(α+45°)cosα=22【解析】原式=cos[(α+45°)-α]=cos45°=22類型二給值(式)求值(數(shù)學抽象)【典例2】(類題·節(jié)節(jié)高)(1)已知α為銳角,β為第三象限角,且cosα=1213,sinβ=-35,則cos(α-β)的值為 (A.-6365 B.-3365 C.6365 【解析】選A.因為α為銳角,β為第三象限角,且cosα=1213,sinβ=-3所以sinα=513,cosβ=-4則cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=1213×(-45)+513×(-3(2)已知銳角α,β滿足cosα=35,cos(α+β)=-513,則cosβ的值為 (A.3365 B.-3365 C.5465 D【解析】選A.由銳角α,β滿足cosα=35,cos(α+β)=-513,可得sinα=45,sin(α+β則cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-513×35+1213×4【總結升華】給值(式)求值的解題策略(1)當“已知角”有兩個時,“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式.(2)當“已知角”有一個時,此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系,然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”.【即學即練】1.已知cosα=513,α∈(3π2,2π),則cos(α-π4)的值等于 A.5226 C.-7226 D【解析】選C.因為cosα=513,α∈(3所以sinα=-1213所以cos(α-π4)=cosαcosπ4+sinα=22×(513-12132.(2024·太原高一檢測)已知sin(α+60°)=45,30°<α<120°,則cosα= (A.43-310 C.4-3310 【解析】選A.因為30°<α<120°,所以90°<α+60°<180°,又sin(α+60°)=45,所以cos(α+60°)=-3所以cosα=cos[(α+60°)-60°]=cos(α+60°)cos60°+sin(α+60°)sin60°=-35×12+45×3類型三給值(式)求角(邏輯推理)【典例3】已知cosα=17,sin(α+β)=5314,0<α<π2,0<β<π【解析】因為cosα=17,0<α<π所以sinα=43因為sinα=437,0<α<π2,0<β<π2,sin(α+β)=5314,sinα>sin(α+β),所以所以cos(α+β)=-1114cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=-1114×17+5314×又因為0<β<π2,所以β=π所以角β的值為π3【總結升華】解決給值(式)求角問題的方法解決此類題目的關鍵是求出所求角的某一三角函數(shù)值,而三角函數(shù)的選取一般要根據(jù)所求角的范圍來確定,當所求角范圍是(0,π)或(π,2π)時,選取求余弦值,當所求角范圍是(π2,3π2)或(-π2,【即學即練】已知cos(α-β)=-1213,cos(α+β)=1213,且α-β∈(π2,π),α+β∈(3π2【解析】由α-β∈(π2,π),且cos(α-β)=-1213,得sin(α-β)=513,由α+β∈(32π,2π),且cos(α+β)=1213,得sin(α+β)=-513,所以cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=1213又因為α+β∈(32π,2π),α-β∈(π所以2β∈(π2,32π),所以2β=π,所以β=第2課時兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(一)【學習目標】1.掌握由兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦公式的方法.2.會用兩角和與差的正弦、余弦公式進行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、計算等.3.能靈活運用兩角和與差的正弦、余弦公式,了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法.【素養(yǎng)達成】數(shù)學抽象、直觀想象數(shù)學抽象、數(shù)學運算數(shù)學運算1.兩角和與差的余弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角差的余弦公式C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβα,β∈R兩角和的余弦公式C(α+β)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβα,β∈R記憶口訣:“余余正正,符號相反”.2.兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦公式S(α+β)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβα,β∈R兩角差的正弦公式S(α-β)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβα,β∈R記憶口訣:“正余余正,符號相同”.教材挖掘(P217思考)問題1如何由兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式?答案:把α-β變?yōu)棣?(-β).問題2如何利用兩角差的余弦公式和誘導公式得到兩角和的正弦公式?答案:先把α-β變?yōu)棣?(-β)得到兩角和的余弦公式,再利用誘導公式五(或六).問題3怎樣由兩角和的正弦公式得到兩角差的正弦公式?答案:把α+β變?yōu)棣?(-β).【教材深化】兩角和與差的正弦公式的結構特征(1)公式中的角α,β都是任意角.(2)一般情況下,兩角和與差的正弦不能按分配律展開,即sin(α±β)≠sinα±sinβ.(3)注意公式的逆向運用和變形運用.①公式的逆用:如sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin[(α+β)-β]=sinα.②公式的變形運用:一個是公式本身的變形運用,如sin(α-β)+cosαsinβ=sinαcosβ;一個是角的變形運用,也稱為角的拆分變換,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. (√)提示:根據(jù)公式的推導過程可得.(2)存在α,β∈R,使得sin(α+β)=sinα+sinβ成立. (√)提示:當α=30°,β=0°時,sin(α+β)=sinα+sinβ成立.(3)對于任意α,β∈R,sin(α-β)=sinα-sinβ都不成立. (×)提示:當α=60°,β=0°時,sin(α-β)=sinα-sinβ成立.(4)sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin30°. (√)提示:因為sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin(56°-26°)=sin30°,所以原式正確.類型一給角求值(數(shù)學抽象)【典例1】求下列各式的值.(1)sin105°;【解析】(1)sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=22×12+22×3(2)sin50°cos170°-cos50°sin170°;【解析】(2)sin50°cos170°-cos50°sin170°=sin(50°-170°)=-sin120°=-32(3)sin20°sin40°-cos20°cos40°;【解析】(3)sin20°sin40°-cos20°cos40°=-(cos20°cos40°-sin20°sin40°)=-cos(20°+40°)=-cos60°=-12(4)2sin【解析】(4)原式=2sin=2sin=3cos20(5)2cosπ12+6sinπ【解析】(5)原式=22(12cosπ12+32=22sin(π6+π12)=22sinπ【補償訓練】cos70°cos50°+cos200°cos40°的值為 ()A.-32 B.-12 C.12 【解析】選B.方法一:原式=sin20°sin40°-cos20°cos40°=-(cos20°cos40°-sin20°sin40°)=-cos60°=-12方法二:原式=cos70°sin40°-cos20°cos40°=sin40°cos70°-sin70°cos40°=sin(40°-70°)=sin(-30°)=-sin30°=-12【總結升華】探究解決給角求值問題的策略(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題,一定要本著先整體后局部的基本原則,如果整體符合三角公式的形式,則整體變形,否則進行各局部的變形.(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式,化為正負相消的項并消項求值,化分子、分母形式進行約分,解題時要逆用或變形使用公式.【即學即練】(1)計算:sin52°cos22°-cos52°sin22°=12【解析】(1)原式=sin(52°-22°)=sin30°=12(2)計算:sin22°+cos【解析】(2)原式=sin(sin45(3)計算:sinπ12-3cosπ12=-2【解析】(3)sinπ12-3cosπ12=2(12sinπ12-=2(sinπ6sinπ12-cosπ6=-2cos(π6+π12)=-2cosπ4【補償訓練】求值:sin10°-3cos10°cos40【解析】sin10=2(=2sin(10°-60類型二給值求值(數(shù)學抽象)【典例2】(1)已知α,β均為銳角,cosα=22,cos(α+β)=-23,則sinβ= (A.10+226B.C.10-226【解析】選A.由cosα=22,cos(α+β)=-23,得sinα=22,sin(α+β所以sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=53×22-(-23)×2(2)已知cos(α+π6)=45(α為銳角),則sinα= (A.33+410 C.3-4310 【解析】選D.因為α∈(0,π2),所以(α+π6)∈(π6,2π3),所以sin(α+π1-(4所以sinα=sin[(α+π6)-π6]=sin(α+π6)cosπ6-cos(α+π6)sinπ6=35×3【總結升華】給值求值的解題策略(1)在解決此類題目時,一定要注意已知角與所求角之間的關系,恰當?shù)剡\用拆角、拼角技巧,同時分析角之間的關系,利用角的代換化異角為同角,具體做法是:①當條件中有兩角時,一般把“所求角”表示為已知兩角的和或差;②當條件中只有一個已知角時,可利用誘導公式把所求角轉(zhuǎn)化為已知角.(2)此類問題中,角的范圍不容忽視,解題時往往需要根據(jù)三角函數(shù)值縮小角的范圍.常見的角的代換關系如下:α=(α+β)-β=β-(β-α),α=12[(α+β)+(α-β)]=12[(β+α)-(β-α)],α+β2=(α-β2)-(α2-β),(π4+α)+(π4±β【即學即練】1.已知sinα=-35,α是第四象限角,求sin(π4-α),cos(π4+α【解析】由sinα=-35,α是第四象限角,得cosα=1-sin2α=1-(-35)

2=45,于是有sin(π4-α)=sinπ4cosα-cosπ4sinα=22×45-22×(-35)=7210.cos(2.若sin(3π4+α)=513,cos(π4-β)=35,且0<α<π4<β<3π4【解析】因為0<α<π4<β<3π所以3π4<3π4+α<π,-π2<π4又因為sin(3π4+α)=513,cos(π4-β)所以cos(3π4+α)=-1213,sin(π4-β)所以cos(α+β)=sin[π2+(α+β)=sin[(3π4+α)-(π4-=sin(3π4+α)cos(π4-β)-cos(3π4+α)sin(π4-β)=513×35-(-1213【補償訓練】若0<α<π2<β<π,且cosβ=-13,sin(α+β)=79,求sin【解析】由π2<β<π,cosβ=-13,得sinβ=又0<α<π2<β<π,所以π2<α+β<所以cos(α+β)=-1--1-4981所以sinα=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=79×(-13)+429×類型三給值(式)求角(邏輯推理)【典例3】(類題·節(jié)節(jié)高)(1)已知銳角α,β滿足sinα=255,cosβ=1010,則α+β=【解析】因為α,β為銳角,sinα=255,cos