高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊課時過程性評價八平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量加、減運算的坐標(biāo)表示(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)下列說法不正確的是()A.相等向量的坐標(biāo)相同B.平面上一個向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)C.一個坐標(biāo)對應(yīng)于唯一的一個向量D.平面上一個點與以原點為始點、該點為終點的向量一一對應(yīng)【解析】選C.由向量坐標(biāo)的定義不難看出一個坐標(biāo)可對應(yīng)無數(shù)個相等的向量,故C說法不正確.2.(5分)(2024·忻州高一檢測)已知A(-1,1),B(-3,4),平面向量的坐標(biāo)是()A.(2,3) B.(-2,-3)C.(2,-3) D.(-2,3)【解析】選D.由已知=(-3,4)-(-1,1)=(-2,3).3.(5分)(2024·盤錦高一檢測)已知向量=(1,-5),=(-2,1),則=()A.(4,-6) B.(-1,-4)C.(-2,4) D.(2,-4)【解析】選B.=+=(-1,-4).4.(5分)(2024·嘉興高一檢測)已知向量a=(1,2),a-b=(3,2),則b=()A.(-2,0) B.(4,4) C.(2,0) D.(5,6)【解析】選A.因為b=a-(a-b)=(1,2)-(3,2)=(-2,0),所以b=(-2,0).5.(5分)若向量a=(2x-1,x2+3x-3)與相等,且A(1,3),B(2,4),則x的值為()A.1 B.1或4 C.0 D.-4【解析】選A.由已知得,=(2-1,4-3)=(1,1),因為a=(2x-1,x2+3x-3)與相等,所以2x-1=1,x2+3x【補償訓(xùn)練】對于向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),定義m?n=(x1x2,y1y2).已知a=(2,-4),且a+b=a?b,那么向量b等于()A.2,45 B.-2,-45C.2,-45 D.-2,45【解析】選A.設(shè)b=(x,y),由新定義及a+b=a?b,可得(2+x,y-4)=(2x,-4y),所以2+x=2x,y-4=-4y,解得x=2,y=45,所以向量b=2,45.6.(5分)(多選)(2024·合肥高一檢測)在平面直角坐標(biāo)系中,若點A(2,3),B(-3,4),如圖所示,x軸、y軸同方向上的兩個單位向量分別為i和j,則下列說法正確的是()A.=2i+3j B.=3i+4jC.=-5i+j D.=5i+j【解析】選AC.由題圖知,=2i+3j,=-3i+4j,故A正確,B不正確;=-=-5i+j,=-=5i-j,故C正確,D不正確.7.(5分)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知i,j分別是x軸與y軸正方向上的單位向量,若a=2i-3j,則a的坐標(biāo)為__________.

答案:(2,-3)【解析】由題意可得a=2i-3j,則a的坐標(biāo)為(2,-3).8.(5分)已知=(2-x)i+(1-x)j,且的坐標(biāo)所表示的點在第四象限,則x的取值范圍是________.

答案:(1,2)【解析】由題可得=(2-x,1-x),因為的坐標(biāo)所表示的點在第四象限,所以2-x>01-x<09.(5分)設(shè)A,B,C,D為平面內(nèi)的四點,已知A(3,1),B(-2,2),且=.若C點坐標(biāo)為(-1,4),則D點坐標(biāo)為__________.

答案:(-6,5)【解析】由題設(shè),=(-5,1),若D(x,y),則=(x+1,y-4),則有(-5,1)=(x+1,y-4),即x+1=-5y-4=1,可得x=-6y10.(10分)(2023·周口高一檢測)若A,B,C三點的坐標(biāo)分別為(2,-4),(0,6),(-8,10),求+,-的坐標(biāo).【解析】因為A,B,C三點的坐標(biāo)分別為(2,-4),(0,6),(-8,10),所以=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),所以+=(-10,14),-=(2,-10).【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·天津高一檢測)已知向量與a=(6,-8)的夾角為π,且||=|a|,若點A的坐標(biāo)為(-1,2),則點B的坐標(biāo)為()A.(-7,10) B.(7,10)C.(5,-6) D.(-5,6)【解析】選A.由已知得,與a的長度相等,方向相反,所以=-a=(-6,8),又因為點A的坐標(biāo)為(-1,2),設(shè)B(x,y),則=(x+1,y-2)=(-6,8),所以x+1=-6y-2=8,解得x=-7y12.(5分)如果點P(1,3)按向量a平移后得到點Q(4,1),則點M(2,1)按向量a平移后得到點N的坐標(biāo)為()A.(1,5) B.(5,1)C.(5,-1) D.(-1,5)【解析】選C.因為a===(4,1)-(1,3)=(3,-2),所以點N的坐標(biāo)為(3,-2)+(2,1)=(5,-1).13.(5分)(2024·西安高一檢測)已知點A(2,7),向量繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)π2后等于,則點B的坐標(biāo)為__________.

【分析】根據(jù)角的關(guān)系β=α+π2,再結(jié)合任意角三角函數(shù)定義sinα=yr,cosα=x答案:(-7,2)【解析】設(shè)||=r,∠AOx=α,∠BOx=β,B(x0,y0),則rsinα=7,rcosα=2,β=α+π2x0=rcosβ=rcosα+π2=-rsinα=-7,y0=rsinβ=rsinα+π2=rcosα=2,即點B的坐標(biāo)為(-7,2).14.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(1,1),B(2,3),C(3,2),(1)若=+,求點P的坐標(biāo);(2)若++=0,求的坐標(biāo).【解析】(1)因為=(1,2),=(2,1),所以=(1,2)+(2,1)=(3,3),即點P的坐標(biāo)為(3,3).(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),因為++=0,且++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),所以6-3解得x所以點P的坐標(biāo)為(2,2),故=(2,2).15.(10分)以原點O及點A(23,-2)為頂點作一個等邊△AOB,求點B的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).【解析】因為△AOB為等邊三角形,且A(23,-2),所以||=||=||=4.因為在0~2π內(nèi),以O(shè)x為始邊,OA為終邊的角為11π6,當(dāng)點B在OA的上方時,以O(shè)B為終邊的角為π6,=4cosπ6,4sinπ6=(23,2).所以=-=(23,2)-(23,-2)=(0,4).當(dāng)點B在OA的下方時,以O(shè)B為終邊的角為3π2,由三角函數(shù)的定義得,=(0,-4),所以=-=(0,-4)-(23,-2)=(-23,-2).綜上所述,點B的坐標(biāo)為(23,2),的坐標(biāo)為(0,4)或點B的坐標(biāo)為(0,-4),的坐標(biāo)為(-23,-2).二向量的加法運算(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)如圖,在平行四邊形ABCD中,+=()A. B. C. D.【解析】選B.由題意得,+=.2.(5分)(2024·天津高一檢測)化簡:++=()A. B. C. D.【解析】選C.++=++=+=.3.(5分)設(shè)|a|=2,e為單位向量,則|a+e|的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.因為|a+e|≤|a|+|e|,|a|=2,e為單位向量,所以|a+e|≤3.當(dāng)且僅當(dāng)a,e同向時,取到等號.4.(5分)(2024·榆林高一檢測)若向量a表示“向東航行1km”,向量b表示“向北航行3km”,則向量a+b表示()A.向東北方向航行2kmB.向北偏東30°方向航行2kmC.向正北方向航行(1+3)kmD.向正東方向航行(1+3)km【分析】根據(jù)向量的方向,畫出圖形,利用向量的加法運算,計算結(jié)果.【解析】選B.如圖,易知tanα=13=3所以α=30°,故a+b的方向是北偏東30°,|a+b|=2.5.(5分)如圖,在正六邊形ABCDEF中,++等于()A.0 B. C. D.【解析】選D.++=++=+=.6.(5分)(多選)(2024·莆田高一檢測)已知a∥b,|a|=2|b|=8,則|a+b|的值可能為()A.4 B.8 C.10 D.12【分析】根據(jù)a∥b,可得a,b方向相同或相反,分a,b同向和反向兩種情況討論即可得解.【解析】選AD.因為|a|=2|b|=8,所以|b|=4,因為a∥b,所以a,b方向相同或相反,當(dāng)a,b同向時,|a+b|=|a|+|b|=12,當(dāng)a,b反向時,|a+b|=||a|-|b||=4.7.(5分)(2024·濟南高一檢測)如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,||=2,則|+|=__________.

【解析】如圖所示,設(shè)菱形對角線交點為O,+=+=,因為∠ABC=120°,所以∠BAD=60°,所以△ABD為等邊三角形,又AC⊥BD,AB=2,所以O(shè)B=1,在Rt△AOB中,||==3,所以|+|=||=2||=23.答案:238.(5分)(2024·紹興高一檢測)向量++++=________.

【解析】++++=(+)+(+)+=++=(+)+=+=.答案:9.(5分)某人在靜水中游泳的速度為3m/s,河水自西向東的流速為1m/s,此人朝正南方向游去,那么他的實際前進(jìn)方向與水流方向的夾角為________.

【解析】如圖,表示河水自西向東的流速,表示某人在靜水中游泳的速度,則表示他的實際前進(jìn)方向,由題意可知||=1,||=3,則在Rt△OAC中,tan∠AOC==3,故∠AOC=60°,即他的實際前進(jìn)方向與水流方向的夾角為60°.答案:60°10.(10分)如圖所示各組向量a,b,求作a+b.【解析】如圖所示:【綜合應(yīng)用練】11.(5分)(2024·呂梁高一檢測)在矩形ABCD中,||=2,設(shè)=a,=b,=c,則|a+b+c|的值為()A.2 B.3 C.4 D.5【分析】根據(jù)題意,得a+b+c=++=+,延長BC至E,使CE=BC,連接DE,證出四邊形ACED是平行四邊形,從而+=+=,最后得出|a+b+c|=||=2||=2||,即可得出結(jié)果.【解析】選C.a+b+c=++=+,延長BC至E,使CE=BC,連接DE,由于==,所以CE∥AD,CE=AD,所以四邊形ACED是平行四邊形,所以=,所以+=+=,所以|a+b+c|=||=2||=2||=4.【補償訓(xùn)練】當(dāng)a,b滿足條件__________時,a+b所在直線平分a,b所在直線的夾角.

【分析】作出圖形,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和三角形中等角對等邊可得結(jié)論.【解析】如圖所示:令=a,=b,=a+b,則四邊形ABDC為平行四邊形,又因為a+b所在直線平分a,b所在直線的夾角,則AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠DAC,又因為∠BAD=∠ADC,所以∠DAC=∠ADC,所以||=||=||,即|a|=|b|.答案:|a|=|b|12.(5分)(多選)下列結(jié)論中不正確的是()A.如果非零向量a與b的方向相同或相反,那么a+b的方向必與a,b之一的方向相同B.在△ABC中,必有++=0C.若++=0,則A,B,C為一個三角形的三個頂點D.若a,b均為非零向量,則a+b的長度與a的長度加b的長度的和一定相等【解析】選ACD.對于A:當(dāng)a與b為相反向量時,a+b=0,方向任意,故A錯誤;對于B:在△ABC中,++=0,故B正確;對于C:當(dāng)A,B,C三點共線時,滿足++=0,但不能構(gòu)成三角形,故C錯誤;對于D:若a,b均為非零向量,則|a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)a與b同向時等號成立,故D錯誤.13.(5分)(2024·咸陽高一檢測)在一次抗洪搶險中,某救生艇發(fā)動機突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動,失去動力的救生艇在洪水中漂行,此時,風(fēng)向是北偏東30°,風(fēng)速是30km/h;水的流向是正東方向,流速是30km/h,若不考慮其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏東__________,大小是__________km/h.

【解析】如圖,風(fēng)速是30km/h,即||=30,水的流速是30km/h,即||=30,則救生艇的速度大小即為||,由題可知:四邊形OACB為菱形且∠AOB=60°,所以||=2×30×32=303,且∠AOC=30°,所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏東60°,大小為303km/h.答案:60°30314.(10分)三個力F1,F2,F3大小相等,作用于同一點O.要使它們的合力為零,應(yīng)滿足什么條件?【解析】如圖所示:利用三角形法則作=F1,=F2,