4.1指數函數【考點梳理】1．根式(1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.①正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號eq\r(n,a)表示．②當n為偶數時，正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數．這時，正數a的正的n次方根用符號eq\r(n,a)表示，負的n次方根用符號－eq\r(n,a)表示．正的n次方根與負的n次方根可以合并寫成±eq\r(n,a)．③負數沒有偶次方根．④0的n(n∈N*)次方根是0，記作eq\r(n,0)＝0．(2)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．(3)根式的性質：n為奇數時，eq\r(n,an)＝a；n為偶數時，eq\r(n,an)＝|a|.2．冪的有關概念及運算(1)零指數冪：a0＝1.這里a≠0.(2)負整數指數冪：a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n∈N*)．(3)正分數指數冪：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(4)負分數指數冪：aeq\s\up6(-\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(5)0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義．(6)有理指數冪的運算性質eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(aras＝________（a＞0，r，s∈Q），,（ar）s＝________（a＞0，r，s∈Q），,（ab）r＝________（a＞0，b>0，r∈Q）.))(ar＋sarsarbr)3．指數函數的圖象及性質定義一般地，函數y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指數函數圖象a＞10＜a＜1定義域__R_值域(0，＋∞)性質過定點(0，1)在R上是增函數在R上是減函數4．冪函數（1）定義：一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．（2）幾個常用的冪函數的圖象與性質定義冪函數y＝xα(α∈R)圖象α＞0α＜0性質(1)圖象過點(0，0)和(1，1)圖象過點(1，1)(2)在第一象限內，函數值隨x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函數在第一象限內，函數值隨x的增大而減小，即在(0，＋∞)上是減函數(3)在第一象限內，當α＞1時，圖象下凸；當0＜α＜1時，圖象上凸在第一象限內，圖象都下凸考點一實數指數冪【例題】（1）（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】，故選：B.（2）下列運算不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，，故A正確；對于B，，成立，故B正確；對于C，，成立，故C正確；對于D，當且時，和無意義，故D錯誤，故選：D．（3）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，故選：B.（4）化簡(a>0)等于（

）A．6a B．－aC．－9a D．9a2【答案】C【解析】，故選：C.（5）下列根式與分數指數冪的互化，正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，因為，所以，故C正確；，故D錯誤，故選：C.【變式】（1）將根式化為分數指數冪是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根式化為分數指數冪是，故選：A.（2）下列各式中成立的一項（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A選項，，A選項錯誤；對于B選項，，B選項錯誤；對于C選項，，C選項錯誤；對于D選項，，D選項正確，故選：D.（3）下列運算中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤，故選：C.（4）．化簡結果為（

）A．a B．b C． D．【答案】A【解析】根據實數指數冪的運算公式，可得：，故選：A.（5）化簡（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】，故選：D．考點二指數函數【例題】（1）若函數是指數函數，則等于（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得，解得，故選：C.（2）已知，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵是減函數，，所以，又，∴，故選：C．（3）若不等式成立，則a的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，在上遞減，所以，故選：B.（4）若函數（且）的圖像經過定點P，則點P的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以當，即時，函數值為定值0，所以點P坐標為.另解：因為可以由向右平移一個單位長度后，再向下平移1個單位長度得到，由過定點，所以過定點，故選：B.（5）函數與的圖象（

）A．關于軸對稱 B．關于軸對稱C．關于原點對稱 D．關于直線對稱【答案】B【解析】：設點在函數圖象上，則，則關于軸對稱的點滿足，所以點在函數的圖象上，故選：B.【變式】（1）下列函數中是指數函數的是__________(填序號)．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】③【解析】①的系數不是，不是指數函數；②的指數不是自變量，不是指數函數；③是指數函數；④的底數是不是常數，不是指數函數；⑤的指數不是自變量，不是指數函數；⑥是冪函數．故答案為：③.（2）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以,故選：D.（3）函數的圖象大致為（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以單調遞增，且恒過點，故A為正確答案，故選：A.（4）已知當時，函數的值總大于1，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：根據指數函數性質知，解得，故選：C．（5）對任意實數且關于x的函數圖象必過定點(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，故函數是指數函數，過定點(0，1)，則過定點(0，5).故選：C.考點三冪函數【例題】（1）已知冪函數的圖象經過點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數為冪函數，所以，則，又因為的圖象經過點，所以，得，所以，故選：A.（2）若冪函數的圖象經過點，則函數的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為冪函數的圖象經過點，所以，解得，所以，故選：A.（3）冪函數在x（0，+∞）上是減函數，則m＝（

）A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1【答案】A【解析】∵冪函數，∴m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2，或m＝﹣1；又x（0，+∞）時f（x）為減函數，∴當m＝2時，m2+m﹣3＝3，冪函數為y＝x3，不滿足題意；當m＝﹣1時，m2+m﹣3＝﹣3，冪函數為，滿足題意；綜上，，選：A．（4）已知冪函數的圖象經過點，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，由題意得，，解得，∴，∴為偶函數且在上單調遞減?！撸啵獾没颍蔬x:D.【變式】（1）現有下列函數：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】冪函數滿足形式，故，滿足條件，共2個，故選：B.（2）已知冪函數的圖像過點，則的解析式為=．【答案】【解析】由題意知，設冪函數的解析式為為常數)，則，解得，所以.故答案為：.（3）若冪函數的定義域為R，則實數m的值為．【答案】-2【解析】為冪函數，所以，解得：m=2或-2，當m=2時，，定義域為，故舍去；當m=-2時，，定義域為R，符合題意，故答案為：-2.（4）冪函數的圖象關于軸對稱，且在上是增函數，則的值為（

）A． B． C． D．和【答案】D【解析】因為，，所以當時，，由冪函數性質得，在上是減函數；所以當時，，由冪函數性質得，在上是常函數；所以當時，，由冪函數性質得，圖象關于y軸對稱,在上是增函數；所以當時，，由冪函數性質得，圖象關于y軸對稱,在上是增函數；故選：D.【方法總結】1．指數函數的圖象、性質在應用時，如果底數a的取值范圍不確定,則要對其進行分類討論．2．比較兩個冪的大小，首先要分清是底數相同還是指數相同．如果底數相同，可利用指數函數的單調性；如果指數相同，可轉化為底數相同，或利用冪函數的單調性，也可借助函數圖象；如果指數不同，底數也不同，則要利用中間量．3．冪函數的圖象特征與指數的大小關系，大都可通過冪函數的圖象與直線x＝2或x＝eq\f(1,2)的交點縱坐標的