第10章三角恒等變換章末題型歸納總結（能力篇）【題型歸納目錄】題型一：給角求值型問題題型二：給值求值型問題題型三：給值求角型問題題型四：三角函數式的化簡與證明題型五：三角恒等變換與三角函數的綜合應用題型六：三角恒等變換與向量的綜合運用題型七：三角恒等變換的實際應用題型八：輔助角公式的高級應用題型九：和差化積、積化和差公式的應用

【思維導圖】

【知識點梳理】知識點1：兩角和與差的正余弦與正切①；②；③；知識點2：二倍角公式①；②；③；知識點3：降次（冪）公式知識點4：半角公式知識點4：輔助角公式（其中）．解題方法總結1、兩角和與差正切公式變形；．2、降冪公式與升冪公式；．3、其他常用變式．4、拆分角問題：①；；②；③；④；⑤．注意：特殊的角也看成已知角，如．5、和化積公式6、積化和公式

【典型例題】題型一：給角求值型問題【典例11】求值：．【答案】【解析】方法一：原式；方法二：令原式乘以得，，則原式．故答案為：.【典例12】．【答案】/【解析】因為，則，所以.故答案為：.【變式11】．【答案】【解析】.故答案為：【變式12】．【答案】【解析】原式，故答案為：.【變式13】求.【答案】/0.5【解析】故答案為：.題型二：給值求值型問題【典例21】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知，則，所以，聯立，結合，解得，則，故.故選：D.【典例22】已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，所以，，，所以，，因此，.故選：B.【變式21】已知，且，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，則，且，可得，所以.故選：A.【變式22】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，即，可得所以.故選：D.【變式23】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，而，得，因此，所以.故選：B題型三：給值求角型問題【典例31】若，，且，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，因為，所以，所以，得.故選：D【典例32】若，，并且均為銳角，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，又，所以，因為，，所以，所以，又因為，所以.故選：C【變式31】已知等差數列中，，，又，，其中，則的值為（

）A．或 B． C． D．【答案】D【解析】，，，，，.又，，.，，，.故選：D.【變式32】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以，又，所以，所以，又，所以，所以.故選：D.【變式33】若，且，，則的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】因則.又，則，可得.又則由，可得由.因則.故選：A.題型四：三角函數式的化簡與證明【典例41】某學習小組在一次研究性學習中發現，以下三個式子的值都等于同一個常數，；；.(1)求出這個常數；(2)結合（1）的結果，將該小組的發現推廣為一個三角恒等式，并證明你的結論.【解析】（1）因為，故常數為；（2）推廣：當時，．證明：因為，則，．【典例42】（1）化簡；（2）證明：.【解析】（1）原式.（2）左邊右邊.所以原等式成立.【變式41】化簡與證明：(1)化簡：；(2)證明：．【解析】（1）原式．（2）證明：左邊＝右邊，所以原等式成立．【變式42】證明：．【解析】證明：左端＝＝右端．所以【變式43】證明下列三角恒等式：(1)；(2).【解析】（1）∵，∴，∴.（2）.題型五：三角恒等變換與三角函數的綜合應用【典例51】（1）已知角為第二象限角，且，求的值；（2）若在區間上的最大值為6，求實數的值．【解析】（1）因為角為第二象限角，且，則，所以；（2）由題意可得：，因為，則，可知當，即時，取到最大值，可得，即.【典例52】已知函數已知.(1)求函數的周期、對稱軸、對稱中心;(2)求在上的單調區間與最值；(3)若對，不等式恒成立，試求的取值范圍.【解析】（1）法一：.，所以，，所以對稱軸為：，，所以對稱中心為：，法二：，所以，，所以對稱軸為：，，所以對稱中心為：.（2）法一：，，所以上單調遞增，上單調遞減，所以上單調遞增，上單調遞減，，，，所以法二：，，所以上單調遞增，上單調遞減，所以上單調遞增，上單調遞減，，，，所以；（3），而恒成立，所以，當取得最大值3時，，所以.【變式51】已知函數.(1)求函數的最小正周期；(2)設.①求函數的單調遞增區間；②當時，求不等式的解集.【解析】（1），函數的最小正周期為；當，即，，取得最大值2；（2）①，令，，，，所以函數的單調遞增區間是，；②，，，所以或，得或所以不等式的解集是.【變式52】已知函數，.(1)求的最小正周期及單調遞減區間；(2)直線與曲線、分別交于點、，求的最大值．【解析】（1）因為，則的最小正周期為.由可得，所以，函數的單調遞減區間為.（2）由題意可知，、兩點的坐標為、，則，即，故，因為，所以，所以，所以在時的最大值為.【變式53】已知函數.(1)求函數的最小正周期和單調減區間；(2)求在區間上的最大值和最小值.【解析】（1）因為.由，所以函數的最小正周期為.由，得.所以函數的單調減區間為.（2）因為，所以.所以，函數在上的最小值為0，最大值為2.題型六：三角恒等變換與向量的綜合運用【典例61】已知向量，函數.(1)求函數的值域和單調遞增區間；(2)當，且時，求的值.【解析】（1）由題，由于，則函數的值域是；令，解得，所以函數的單調遞增區間為.（2）因為，可得，因為，則，可得，所以.【典例62】已知向量，函數.(1)求的最小正周期;(2)求的單調減區間；(3)若函數在區間上恰有兩個零點，求實數的取值范圍.【解析】（1），的最小正周期.（2）令，，解得，，所以的單調減區間為（3）由題知在區間上恰有兩個不同的實數根，即函數在區間上的圖像與直線恰有兩個交點，令，做出的圖像與直線，如圖.由圖知，當時，的圖像與直線有兩個交點，【變式61】已知向量，，函數的最小值為.(1)求m的值及函數的單調遞增區間；(2)將函數的圖象先向左平移個單位長度，再將所得圖象向上平移1個單位長度，得到函數的圖象，試求不等式在區間上的解集.【解析】（1），所以的最小值為，解得.即，令解得，所以的單調遞增區間為.（2）由已知可得，所以不等式即為，令，則由，得，則原不等式化為，所以，所以，所以，結合函數在上的圖象可得或，即或，所以原不等式在區間上的解集為或.【變式62】已知向量，，函數.(1)將化簡成的形式；(2)將的圖象向左平移個最小正周期的單位長度后，再將所得圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍，得到函數的圖象，求的單調遞增區間；(3)在（2）的條件下，若，求的值.【解析】（1）.（2）因為的最小正周期，所以，則．令，得，故的單調遞增區間為．（3）根據題意可得，令，則，.由，故．【變式63】已知向量，，函數.(1)求的最小正周期和對稱軸；(2)求在區間上的最大值；(3)若，，求.【解析】（1），所以，，所以的最小正周期為，令，解得：，所以對稱軸為（2）由，，得，故當，即時，取得最大值，最大值為.（3），可得：，即，又，則，所以，所以.題型七：三角恒等變換的實際應用【典例71】如圖，在平面直角坐標系中，已知點為角終邊上一點，點為角終邊上一點，四邊形為正方形，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】點是角終邊上的一點，，，，，，四邊形為正方形，∴，∴.故選：D.【典例72】歡樂港灣摩天輪——“灣區之光”是深圳的一處標志性景點．已知某摩天輪最高點距離地面高度為128米，轉盤直徑為120米，等距設置有60個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，旋轉一周大約需要30min，若甲、乙兩人的座艙之間有4個座艙，則甲、乙兩人座艙高度差的最大值為（

）．A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【解析】甲乙兩人的座艙所連的弧所對應的圓心角為，則，以摩天輪中心為原點建立坐標系，設某一時刻甲座艙位于處，乙座艙位于處，則兩人高度差，其中，故米.故選：B．【變式71】如圖正方形ABCD的邊長為1，，分別為邊AB，DA上的點．當的周長為2時，（

）（提示：）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，，，，則，，于是，又的周長為2，即，變形得，則，又，因此，所以.故選：C【變式72】在直角坐標系中，設角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸，將角的終邊逆時針旋轉，與單位圓交點的縱坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】將角的終邊逆時針旋轉，與單位圓交點的縱坐標為，所以，所以，所以，故選：B.【變式73】已知函數的部分圖象大致如圖所示．將函數的圖象向左平移個單位后，所得函數為偶函數，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖可知，，由，可得，又由五點畫圖法有，可得，所以可得，，函數向左平移個單位后，所得函數為，由奇偶性及，可得，可得．故選：C.題型八：輔助角公式的高級應用【典例81】若函數的圖象關于直線對稱，則的值是.【答案】【解析】因為（其中），且函數圖象關于直線對稱，所以，整理得，解得.故答案為：【典例82】已知函數，當時，的值域為．【答案】【解析】，若，則，則，所以，即的值域為．故答案為：【變式81】當時，，則.【答案】【解析】因為，所以，所以，所以，即，解得或，又，所以，所以，所以，所以，所以.故答案為：【變式82】已知函數，則函數在上的最大值為．【答案】【解析】設，則，所以，，當時，，所以，，則，設，，則，所以函數在上單調遞減，，即當時，．故答案為：.【變式83】已知是函數的圖象在軸上的兩個相鄰交點，若，則．【答案】或【解析】由題意得，令，得，則，∴或，∴或，∵，∴或，解得或．故答案為：或.題型九：和差化積、積化和差公式的應用【典例91】已知，則．【答案】/【解析】由得①，由得②，得．故答案為：.【典例92】化簡求值：.【答案】【解析】【變式91】對集合,,,和常數，把定義為集合,,,相對于的“正弦方差”，則集合相對于的“正弦方差”為.【答案】/0.