三角形的外心及其應用一．基本原理1．外心：三角形三條中垂線的交點.外心外心性質：如圖，為的外心，證明：（1）.；，同理可得等.（2）.，同理可得等.（3）.，同理可得等.證明：結合三角形中線向量公式及極化恒等式即可完成證明.附：如圖，直角三角形中，.2.二次曲線背景下的外接圓問題也是很常見的圓錐曲線背景，通常情況下，我們有兩種處理方式：（1）.只告訴圓過的點，不知圓心.此時，就需要利用外接圓圓心是中垂線的交點來計算，先算邊長所在的方程，再算這條邊的中垂線所在的方程，最后求出兩條中垂線方程的公共解，即圓心坐標，即可解決.這種情況下，需要注意特殊的中垂線（垂直或者平行與坐標軸）.這種情況下，用兩條中垂線來同構方程即可.（2）.不僅告訴圓所過的點，還告訴了圓心的位置，或者也不知圓心位置，那么就可設出圓心坐標，利用圓的定義來完成，由于此時所過點相對于圓心的地位是等價的，所以，這類計算方法意味著可以同構運算！二．典例分析例1．已知是半徑為2的圓的內接三角形，則下列說法正確的是（

）A．若角，則B．若，則C．若，則，的夾角為D．若，則為圓的一條直徑解析：對于A，作垂直于.垂足為，則,由正弦定理得，故,故A錯誤；對于B，由得，，即,則點為的中點，即為圓的直徑，故，B正確；對于C，設，的夾角為，由得，，即，解得或，由于，故，故，則，的夾角為，C正確；對于D,由得，即，則為圓的一條直徑，D錯誤，故選:BC例2．在中，內角所對的邊分別為是的外心，，則的面積為（

）A． B．6 C． D．【詳解】因為，故由得，由正弦定理得，又，故，因為，所以，故，所以.因為，所以.在中余弦定理得，，所以.所以的面積為.故選：D.例3．若是的外心，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．2【詳解】如圖所示：

設，，，，由，得，化簡得，由是的外心可知，是三邊中垂線交點，得，代入上式得，所以，根據題意知，是三角形外接圓的半徑，可得，.所以，由柯西不等式可得：，所以，所以，所以，當且僅當“”時，等號成立.所以的最大值為.故選：C.例4．已知點，是軸上的動點，且滿足，的外心在軸上的射影為，則的最小值為___________.【詳解】設點，則）根據點是的外心,，而，則,所以,從而得到點的軌跡為，焦點為F1,0,由拋物線的定義可知，因為，，即，當點P在線段BF上時等號成立.所以的最小值為3，故答案為：3例5．已知點分別為雙曲線的左、右焦點，點A，B在C的右支上，且點恰好為的外心，若，則C的離心率為________.【詳解】取的中點為C，連接BC、、，如圖所示：

因為，所以，又C為的中點，所以為等腰三角形且，因為點恰好為的外心，所以點在直線BC上，且，由雙曲線的定義知，則，所以為等邊三角形，則，在中，即，化簡得，同時除以可得，解得或(舍去).故答案為：例6.（2025屆高三T8聯考）已知過兩點的動拋物線的準線始終與圓相切,該拋物線焦點的軌跡是某圓雉曲線的一部分.（1）求曲線的標準方程;（2）已知點,過點的動直線與曲線交于M,N兩點,設的外心為Q,O坐標原點,問:直線OQ與直線MN的斜率之積是否為定值,如果是定值,求出該定值;如果不是定值,說明理由.解析：（1）（2）★算法1.求中垂線同構設直線,代入橢圓方程可得設,則，的中點坐標為,則的垂直平分線的斜率為∴的垂直平分線方程為.，即，由得,∴的垂直平分線方程為.同理的垂直平分線方程為.設點,則是方程,即的兩根,∴兩式相除得.即直線與的斜率之積為.★方法2.設圓心同構設圓心，則由，整理過程中，代入直線與橢圓方程可化簡得：，同理可得：故，另一方面，由韋達定理可得：，故而解得：，故，即直線與的斜率之積為.例7.已知橢圓的四個頂點圍成的四邊形面積為，周長為，一雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，焦點是該橢圓長軸上的頂點.（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；（2）是雙曲線上不同的三點，且兩點關于軸對稱，的外接圓經過原點.求證：直線與圓相切.解析：（1）根據題意得，又，解得，，所以橢圓的方程為，將代入圓的方程，橢圓的焦點坐標為，長軸上兩個頂點坐標為，依題意，設雙曲線，則，解得，所以雙曲線的方程是，即.（2）證明：易知直線一定不為水平直線，設為，設，聯立，整理得，則，由于外接圓過原點且關于軸對稱，設為，將代入圓的方程得，消去得，又，，，化簡得，，，由，則原點到直線的距離，即直線與圓相切.三．習題演練1．已知的外心為，內角的對邊分別為，且．若，則（

）A． B．50 C．25 D．【詳解】由已知，令，所以是等腰三角形．由余弦定理，得．因為，所以，解得（負值已舍去），所以．設的外接圓半徑為，因為，所以，所以．由為等腰三角形知，所以，即．所以．故選：B．2．在中，設是的外心，且，則（

）A． B． C． D．【詳解】由題意是的外心，故，又，所以，則，所以，同理可得，故，所以，由于為內角，故，故選：B3．在中，已知A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，若O為的外心，，則實數__________．【詳解】，又，故有，化簡得，故有，由，則有，即有，有，，由，故，故.故答案為：.4.已知橢圓的離心率為，過點的直線交橢圓于點，且當軸時，.（1）求橢圓的方程；（2）記橢圓的左焦點為，若過三點的圓的圓心恰好在軸上，求直線的方程.解析：（1）由題意得：，得，又當時，，則，所以，即，所以橢圓的方程為.（2）設過三點的圓的