第六章計數原理（16題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記知識點01：分類加法計數原理（1）定義：完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.（2）推廣：如果完成一件事情有類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,……在第類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.知識點02：分步乘法計數原理（1）定義：完成一件事需要兩個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.（2）推廣：完成一件事需要個步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,……做第步有種不同的方法,則完成這件事共有種不同的方法.知識點03：排列（1）定義：一般地,從個不同元素中取出()個元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列.（2）相同排列：兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.知識點04：排列數與排列數公式（1）定義：從個不同元素中取出()個元素的所有不同排列的個數,叫做從個不同元素中取出個元素的排列數,用符號表示.（2）排列數公式①（連乘形式）：，，②（階乘形式），，（3）全排列：把個不同的元素全部取出的一個排列,叫做個元素的一個全排列,用符號表示.（4）階乘：正整數1到的連乘積,叫做的階乘,用符號表示.知識點05：組合（1）定義：一般地：從個不同的元素中取出()個元素作為一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合.（2）相同組合：只要兩個組合的元素相同，無論元素的順序如何，都是相同的組合.（3）組合與排列的異同相同點:組合與排列都是“從個不同的元素中取出()個元素”.不同點:組合要求元素“不管元素的順序合成一組”,而排列要求元素“按照一定的順序排成一列”因此區分某一問題是組合問題還是排列問題,關鍵是看選出的元素是否與順序有關,即交換某兩個元素的位置對結果有沒有影響,若有影響,則是排列問題，若無影響，則是組合問題.知識點06：組合數與組合數公式（1）組合數的定義：從個不同元素中取出()個元素的所有不同組合的個數,叫做從個不同元素中取出個元素的組合數,用符號表示.（2）組合數公式或：（，）.規定：知識點07：組合數的性質（1）性質1：（2）性質2：知識點08：知識鏈接（1）（2）知識點09：二項式定理及相關概念（1）二項式定理一般地，對于每個（），的展開式中共有個，將它們合并同類項，就可以得到二項展開式：（）.這個公式叫做二項式定理.（2）二項展開式公式中：，等號右邊的多項式叫做的二項展開式.（3）二項式系數與項的系數二項展開式中各項的二項式系數為(),項的系數是指該項中除變量外的常數部分,包含符號等.（4）二項式定理的三種常見變形①②③知識點10：二項展開式的通項二項展開式中的()叫做二項展開式的通項,用表示,即通項為展開式的第項:.通項體現了二項展開式的項數、系數、次數的變化規律,是二項式定理的核心,它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項常數項、中間項、有理項、系數最大的項等)及其系數等方面有著廣泛的應用.知識點11：二項式系數的性質①對稱性：二項展開式中與首尾兩端距離相等的兩個二項式系數相等：②增減性：當時，二項式系數遞增，當時，二項式系數遞減；③最大值：當為奇數時，最中間兩項二項式系數最大；當為偶數時，最中間一項的二項式系數最大.④各二項式系數和：；奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等：0303題型歸納題型一：分類加法與分步乘法計數原理綜合例題1：（2324高二下·江蘇宿遷·期中）某女生有3件不同顏色的襯衣，4件不同花樣的裙子，另有3套不同樣式的連衣裙，“五一”節選擇一套服裝參加歌舞演出，則不同的選擇方式有（

）A．24種 B．10種 C．9種 D．15種例題2：（2324高二下·山西長治·期中）甲、乙、丙等六位同學參加校園安全知識決賽，決出第一名到第六名的名次，甲乙兩人向老師詢問成績.老師對甲說：“你的成績沒有乙、丙的成績高.”對乙說：“很遺憾，你不是第一名.”根據以上信息，6人的名次排列的情況有（

）A．300種 B．120種 C．240種 D．180種例題3：（2425高二上·全國·課后作業）將三個分別標有A，B，C的球隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子中．求：(1)1號盒中無球的不同放法種數；(2)1號盒中有球的不同放法種數．鞏固訓練1．（2024·安徽安慶·三模）A、B、C、D、E5所學校將分別組織部分學生開展研學活動，現有甲、乙、丙三個研學基地供選擇，每個學校只選擇一個基地，且每個基地至少有1所學校去，則A校不去甲地，乙地僅有2所學校去的不同的選擇種數共有（

）A．36種 B．42種 C．48種 D．60種2．（2425高二上·全國·課后作業）將《》《》等三本不同的書按如圖所示的方式放在一起，則《》放在最上面或最下面的不同放法共有（

）A．2種 B．4種 C．6種 D．9種3．（2024高三·全國·專題練習）分別編有，，，，號碼的人與椅，其中號人不坐號椅的不同坐法有多少種？題型二：捆綁法例題1：（2425高二上·河南·階段練習）在一次文物展覽中，要將5件不同的文物從左到右擺成一排進行展示，其中有2件特殊的文物需要相鄰擺放，則不同的排列方法有（

）A．24種 B．48種 C．96種 D．120種例題2：（2324高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）隨機站成一排，則甲、乙、丙3人站在一起的不同站法種數為（

）A． B．C． D．例題3：（2425高二上·上海·期中）班級迎新晚會有3個唱歌節目、2個相聲節目和1個魔術節目，要求排出一個節目單.(1)魔術節目不排在最后一個節目，有多少種排法？(2)3個唱歌節目要排在一起，有多少種排法?鞏固訓練1．（2024·廣東·模擬預測）甲、乙等6人圍成一圈，且甲、乙兩人相鄰，則不同的排法共有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．48種2．（2324高二下·陜西渭南·期中）用數字1，2，3，4，5組成無重復數字的五位數，則1，2相鄰，而3，4不相鄰的數有.3．（2324高二上·吉林長春·期中）六個節目制成一個節目單，其中游戲不安排在第一個，唱歌和跳舞相鄰，則不同的節目單順序有種.（結果用數字作答）題型三：插空法（捆綁與插空綜合）例題1：（2425高三上·海南省直轄縣級單位·開學考試）小明將1，4，0，3，2，2這六個數字的一種排列設為自己的六位數字的銀行卡密碼，若兩個2不相鄰，且1與4相鄰，則可以設置的密碼種數為（

）A．144 B．72 C．36 D．24例題2：（2324高二下·貴州·期中）2024年3月5日至11日，第十四屆全國人民代表大會第二次會議勝利召開.此次大會是高舉旗幟、真抓實干、團結奮進的大會，全國人大代表不負人民重托、認真履職盡責，凝聚起扎實推進中國式現代化的磅礴力量.某村小校黨支部包含甲、乙、丙、丁的10位黨員開展“學習貫徹2024年全國兩會精神”圓桌會議，根據會議要求：甲、乙必須相鄰，甲、丙、丁不能相鄰.則不同的座位安排有種（用數字作答）.例題3：（2324高二下·浙江嘉興·期中）從等人中選出人排成一排.(1)三人不全在內，有多少種排法？(2)都在內，且必須相鄰，與都不相鄰，都多少種排法？(3)不允許站排頭和排尾，不允許站在中間（第三位），有多少種排法？（列式并用數字作答）鞏固訓練1．（多選）（2425高二上·遼寧·期末）現有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學生4人，女學生2人，則下列說法正確的是（

）A．4個男學生排在一起，有1440種不同的排法B．老師站在最中間，有1440種不同的排法C．4名男學生互不相鄰，男學生甲不能在兩端，有1728種不同的排法D．2名老師之間要有男女學生各1人，有3840種不同的排法2．（多選）（2324高二下·江蘇徐州·階段練習）象棋作為一種古老的傳統棋類益智游戲，具有深遠的意義和價值．它具有紅黑兩種陣營，將、車、馬炮、兵等均為象棋中的棋子．現將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”“車”棋子排成一列，則下列說法正確的是（

）A．共有120種排列方式．B．若兩個“將”相鄰，則有24種排列方式．C．若兩個“將”不相鄰，則有36種排列方式．D．若同色棋子不相鄰，則有12種排列方式．3．（2425高二上·陜西渭南·階段練習）求下列問題的排列數：(1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相鄰；(2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相鄰；(3)4名男生3名女生排成一排，女生不能排在兩端.題型四：特殊元素法例題1：（2425高二上·遼寧·階段練習）據典籍《周禮?春官》記載，“宮?商?角?徵?羽”這五音是中國古樂的基本音階，成語“五音不全”就是指此五音.如果把這五個音階全用上，排成一個五音階音序，要求“宮”不為末音階，“羽”不為首音階，“商”“角”不相鄰，則可以排成不同音序的種數是（

）A．50 B．64 C．66 D．78例題2：（2024高三·全國·專題練習）甲、乙、丙等5名同學站一排照相合影，要求甲與乙之間有一人，丙與甲不相鄰，丙與乙相鄰，則不同的排法有種．例題3：（2024·上海閔行·一模）從10名數學老師中選出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老師甲必須參加且不安排在假期第一天值班，則不同的值班安排方法種數為．鞏固訓練1．（2324高二下·四川遂寧·階段練習）北京時間2023年10月26日19時34分，神舟十六號航天員乘組（景海鵬，杜海潮，朱楊柱3人）順利打開“家門”，歡迎遠道而來的神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）人駐“天宮”．隨后，兩個航天員乘組拍下“全家福”，共同向全國人民報平安．若這6名航天員站成一排合影留念，唐勝杰與江新林相鄰，景海鵬不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有（

）A．144種 B．204種 C．156種 D．240種2．（2324高二下·四川涼山·期中）某校高二年級組織學生去某旅游名勝區春游，包含小明在內的6位同學站成一排照相，小明不站在兩端，則不同的排法有（

）種．A．240 B．300 C．360 D．4803．（2425高三上·廣東·階段練習）甲、乙、丙等人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一側，則不同的站法共有種．題型五：間接法例題1：（2425高二上·河南駐馬店·階段練習）某中學高二年級入學進行了一場為期一周的軍訓，在軍訓過程中，教官根據班級表現從各個維度進行評分，最終評出“先進集體”“作風優良班級”“紀律優良班級”“素質優良班級”四個獎項．已知總共有三個班級獲獎，其中有兩個班級均獲得了“先進集體”，剩余三個獎項每個獎項均只有一個班級獲得，則所有的頒獎方式有（

）A．57種 B．60種 C．114種 D．120種例題2：（多選）（2425高二上·江西·階段練習）某單位安排7名員工周一到周日為期一周的值日表，每名員工值日一天且不重復值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，則不同的安排方案種數為（

）A． B． C． D．例題3：（2024·貴州遵義·二模）某校開展勞動技能比賽，高三（1）班有3名男生，5名女生報名參賽，現從8名同學中選4名同學代表班級參加比賽，要求男女生各至少1人，則不同的選派方案共有種．鞏固訓練1．（2024高三·全國·專題練習）有5本不同的書，其中語文書2本，數學書2本，物理書1本．若將其并排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數是（

）A．24 B．48 C．72 D．962．（2024·江西新余·模擬預測）甲、乙等5人排成一行，則甲不站在5人正中間位置且乙不站在最左端的不同的排列方式共有（

）種.A． B． C． D．3．（2024·浙江金華·一模）從1，2，3，4，5，6這六個數中任選三個數，至少有兩個數為相鄰整數的選法有種4．（2324高三上·四川內江·階段練習）根據學校要求，錯峰放學去食堂吃飯，高三年級五樓有4個班排隊，1班不能排在最后，4班不能排在第一位，則四個班排隊吃飯的不同方案有種.（用數字作答）題型六：隔板法例題1：（2324高二下·河南漯河·階段練習）某學校利用周末時間組織學生進行志愿者服務，高二年級共6個班，其中（1）班有2個志愿者隊長，本次志愿者服務一共20個名額，志愿者隊長必須參加且不占名額，若每個班至少有3人參加，則共有（

）種分配方法.A．90 B．60 C．126 D．120例題2：（2324高二下·山西臨汾·期中）將10個詩歌朗誦比賽名額全部分給6個不同的班，每個班至少有1個名額，則不同的分配方案種數為（

）A．56 B．126 C．210 D．462例題3：（2425高二上·全國·課后作業）將8個相同的小球放入5個編號為1，2，3，4，5的盒子，每個盒子都不空的方法數為，恰有一個空盒子的方法數為．鞏固訓練1．（2425高三上·江蘇南通·階段練習）把8個相同的籃球分發給甲、乙、丙、丁4人，不同的分發種數為（

）A．70 B．99 C．110 D．1652．（天津市紅橋區20242025學年高二上學期1月期末考試數學試題）某學校準備組建一個18人的足球隊，這18人由高二年級十個班的學生組成，每個班至少一人，名額分配方案共種(用數字填寫).3．（2324高二下·全國·課后作業）將8個相同的小球放入5個編號為1，2，3，4，5的盒子，每個盒子都不空的方法數為.題型七：分組、分配問題（平均分，部分平均分，不平均分）例題1：（2425高二上·遼寧遼陽·期末）元旦假期，某旅游公司安排6名導游分別前往沈陽故宮、本溪水洞、鞍山千山、盤錦紅海灘四個景區承擔義務講解任務，要求每個景區都要有導游前往，且每名導游都只安排去一個景區，則不同的安排方法種數為（

）A．1280 B．300 C．1880 D．1560例題2：（2024·貴州六盤水·模擬預測）甲、乙、丙、丁四位同學去三個不同的地方參加社會實踐活動，要求每個地方至少有一名同學參與，且每人只能去一個地方，則一共有種不同的分配方案（用數字作答）例題3：（2024高三·全國·專題練習）現有20個不同顏色的玻璃球，按照以下要求分配，共有多少種分配方法？(1)均勻地分為2組；均勻地分為4組.(2)分為3組，其中兩個組各6個球，另外兩個組各4個球.(3)從這20個玻璃球中選取19個玻璃球，放進3個不同的紙盒中，每個紙盒中至少放6顆球.鞏固訓練1．（2425高二上·山東德州·階段練習）2023年武漢馬拉松于4月16日舉行，組委會決定派小王、小李等8名志愿者到甲乙兩個路口做引導員，每位志愿者去一個路口，每個路口至少有兩位引導員，若小王和小李不能去同一路口，則不同的安排方案種數為（

）A．82 B．100 C．124 D．1642．（2324高二下·福建泉州·期末）如圖為某公交線路圖的一部分，現在6名同學從安一中站點上車，分組到人民銀行、實驗小學、鳳山公園、鳳山書院4個站點參加公益宣傳活動，每個站點至少一人，且實驗小學站至少2人，則下車的不同方案種數為（

）A．120 B．480 C．540 D．6603．（2425高三·上海·課堂例題）身高互不相同的個人呈橫排縱列照相，每個人都比他同列身后的人個子矮，則不同的排法種數是種．題型八：染色問題例題1：（2425高二上·遼寧·期末）《九章算術》第一章“方田”問題二十五、二十六指出了三角形田面積算法：“半廣以乘正從”.數學社團制作板報向全校師生介紹這一結論，給證明圖形的六個區域涂色，有三種顏色可用，要求有相鄰邊的區域顏色不同，則不同的涂色方法有（

）A．48種 B．96種 C．102種 D．120種例題2：（2324高三上·廣東東莞·階段練習）如圖所示，相鄰區域不得使用同一顏色，現有種顏色可供選擇，則涂滿所有區域的不同的著色方法共有種(用數字填寫答案)例題3：（2025高三·全國·專題練習）用五種不同的顏色給下圖中的四塊區域涂色，要求相鄰的區域顏色不同，則一共有多少種不同的涂色方法？鞏固訓練1．（2324高二下·廣東肇慶·階段練習）如圖，現有4種不同顏色給圖中5個區域涂色，要求任意兩個相鄰區域不同色，有多少種不同涂色方法（

）13425A．120 B．72 C．288 D．1442．（2324高二下·寧夏吳忠·階段練習）如圖，現要用5種不同的顏色對某市的4個區縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區不能用同一種顏色，共有種不同的著色方法.3．（2324高二下·重慶·期末）如圖，為我國數學家趙爽驗證勾股定理的示意圖，用五種顏色（其中一種為黃色）對圖中四個區域進行染色，每個區域只能用一種染色.若必須使用黃色，則四個區域中有且只有一組相鄰區域同色的染色方法有種；若不使用黃色，則四個區域中所有相鄰區域都不同色的染色方法有種.題型九：排數問題例題1：（2024高三·全國·專題練習）從1，3，5，7中任取2個數字，從0，2，4，6，8中任取2個數字，組成沒有重復數字的四位數，其中能被5整除的四位數共有（

）A．252個 B．300個C．324個 D．228個例題2：（2324高二下·江蘇南京·階段練習）“漸升數”是指每一位數字都比左邊數字大的正整數（如1347），那么四位“漸升數”有個，比5789小的四位“漸升數”有個.（用數字作答）例題3：（2324高二下·天津北辰·階段練習）從1，3，5，7中任取兩個數，從0，2，4，6中任取兩個數，組成沒有重復數字的四位數．這樣的四位偶數有個．（用數字作答）鞏固訓練1．（2425高二下·全國·課后作業）從，，，，，，這個數中任選個組成一個沒有重復數字的“五位凹數”（滿足），則這樣的“五位凹數”的個數為（

）A．個 B．個 C．個 D．個2．（2425高二上·江西·階段練習）若一個三位數中十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都大，則稱這個數為“凸數”，如360，253等都是“凸數”．用0，1，2，3，4這五個數字組成無重復數字的三位數，則在組成的三位數中“凸數”的個數為．（用數字作答）3．（2024高三·全國·專題練習）用，，，，，這六個數字組成沒有重復的四位偶數，將這些數字從小到大排列起來，第個數是．題型十：系數例題1：（2425高三上·北京順義·階段練習）已知，則（

）A．10 B．20 C．40 D．80例題2：（2425高二上·廣西·期末）的展開式中的系數為.例題3：（2425高三上·河北滄州·階段練習）的展開式中含的項的系數為.鞏固訓練1．（2024·上海青浦·一模）的展開式中，項的系數為.2．（2024·重慶·模擬預測）的展開式中的各項系數和為243，則該展開式中的系數為.3．（2425高三上·湖南·階段練習）的展開式中的系數為.題型十一：有理項、常數項例題1：（2324高二下·內蒙古通遼·期中）已知在的展開式中，第項為常數項，則展開式中所有的有理項共有（

）A．5項 B．4項 C．3項 D．2項例題2：（多選）（2324高二下·甘肅酒泉·期末）關于二項式的展開式，下列說法錯誤的是（

）A．常數項為－60 B．有理項的項數為4C．各項系數之和為64 D．二項式系數最大的項為第4項例題3：（2024高三·全國·專題練習）的展開式中的常數項為．鞏固訓練1．（2324高二下·遼寧丹東·階段練習）二項式的展開式中，前三項的系數依次成等差數列，則此展開式中有理項的項數是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（甘肅省酒泉市普通高中20222023學年高二上學期末調研考試數學試題）展開式中的常數項為（

）A．480 B． C．240 D．2603．（2324高二下·江蘇南通·階段練習）二項式的展開式中有理項的項數為（

）A．4 B．5 C．6 D．7題型十二：利用項的系數求參數例題1：（2425高三上·廣東潮州·階段練習）已知存在常數項，且常數項是，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10例題2：（2425高二上·甘肅白銀·期末）若的展開式中含的系數為15，則實數（

）A．2 B．1 C． D．例題3：（天津市紅橋區20242025學年高二上學期1月期末考試數學試題）已知展開式的二項式系數和為64.(1)求n的值；(2)若展開式中的常數項為20，求m的值.鞏固訓練1．（2425高二上·遼寧·期末）已知的展開式中，常數項為135，則的值為（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或2．（2425高三上·上海·期中）已知二項式的展開式中的系數為15，則．3．（2025高三·全國·專題練習）的展開式中常數項為70，則的值為．題型十三：賦值法求二項式系數和例題1：（2425高二上·廣西·期末）已知，則（

）A．B．C．D．例題2：（2425高三上·重慶·期末）若，則.例題3：（2425高二上·遼寧·期末）若的展開式中第3項與第9項的二項式系數相等，且.(1)求的系數；(2)求的值.鞏固訓練1．（2425高三上·江西撫州·階段練習）設，則.2．（2425高二上·北京·期末）設，則.3．（2425高二上·遼寧·期末）設，求：(1)；(2).題型十四：不等式法求系數最大、最小項例題1：（2425高二下·全國·課后作業）已知的展開式的第5，6，7項的二項式系數依次成等差數列，且展開式的項數為偶數．(1)求的值；(2)求二項展開式中系數的絕對值最大的項．例題2：（2324高二下·浙江·期中）在二項式的展開式中，(1)若第4項的系數與第6項的系數比為5∶6，求展開式中的有理項；(2)若展開式中只有第5項的二項式系數最大，求展開式中系數最大的項．例題3：（2324高二下·福建福州·期中）已知在二項式的展開式中，第三項的系數是第二項的系數的倍．(1)求正整數的值；(2)若展開式中各項系數之和為，二項式系數之和為，求的值；(3)求系數最大的項．鞏固訓練1．（2324高二下·江蘇鹽城·階段練習）已知.(1)若展開式中只有第5項的二項式系數最大，求的值；(2)當時，二項式的展開式中的系數為A，常數項為，若，則求的值；(3)當時，求二項式的展開式中系數最大的項.2．（2324高二下·山東臨沂·期中）在的展開式中．(1)求展開式中各項系數之和；(2)將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率；(3)求展開式中系數最大的項．