2025年四川省達州市渠縣中學高2022級高三二模測試數學本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項:1．答卷前，務必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規定的位置上。2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數滿足，則（

）A．1 B． C．2 D．2．已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．3．圓和圓的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條4．已知為△ABC的一個內角，且，則（

）A． B． C． D．5．如圖，在△ABC中，，，為上一點，且滿足，若，則的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．6．近年來純電動汽車越來越受消費者的青睞，新型動力電池迎來了蓬勃發展的風口，于1898年提出蓄電池的容量（單位：），放電時間（單位：）與放電電流（單位：）之間關系的經驗公式：，其中為常數.為測算某蓄電池的常數，在電池容量不變的條件下，當放電電流時，放電時間；當放電電流時，放電時間.若計算時取，，則該蓄電池的常數大約為（

）A．1.25 B．1.75 C．2.25 D．2.557．已知雙曲線的左、右兩個焦點為，，若是雙曲線左支上的一點，且，則此雙曲線離心率的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．58．已知函數，，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知，則（

）A．的最小正周期為B．存在，使得C．若為奇函數，則的最小值為D．若，則10．如圖，在直三棱柱中，點，，分別是棱，，的中點，直線平面，直線與平面所成角為45°，若，，則下列說法正確的是（

）A． B．點到平面的距離為C．五面體的體積為 D．三棱柱的外接球的表面積為11．已知函數，則下列說法正確的有（

）A．在處切線斜率不小于2B．時，有3個零點且三個零點的積為1C．時，有兩個極值點且兩極值點的和不小于4D．曲線上總存在兩點，，對任意使得曲線在、兩點處的切線互相平行，則的取值范圍為第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，則.13．若等比數列的前項和，則數列的前項和.14．橢圓的左、右焦點分別為，焦距為，若直線與橢圓的一個交點滿足，則該橢圓的離心率等于.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本題13分）已知△ABC的面積．(1)求證：；(2)設為的中點，且，求的值．16．（本題15分）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，求函數在上的極值.17．（本題15分）如圖，在斜三棱柱中，側面底面，側棱與底面成的角，，底面是邊長為2的正三角形，其重心為，是線段上一點，且平面.(1)求的值；(2)求平面與底面所成的二面角的正切值.18．（本題17分）如果數列滿足：存在，，使得任意，都成立，則稱數列是數列．(1)設，判斷數列是否是數列，請說明理由；(2)證明：對任意，公差為2的等差數列都是數列；(3)若數列既是數列，又是數列，證明：數列是等差數列，并求出的值．19．（本題17分）設動點到點的距離與到直線的距離之積等于4，動點的軌跡為曲線.(1)求曲線與軸的交點的坐標.(2)過點作不與坐標軸垂直的直線.（i）判斷直線與曲線的交點的個數，并證明你的結論；（ii）定義平面上個點的重心為滿足的點，若直線與曲線的所有交點的重心到點的距離等于，求點的橫坐標.（注：關于的一元次方程有個復數根，且，.）參考答案題號12345678910答案BCCDACCBACACD題號11答案BCD12．13．14．15．（1）記角，的對邊分別為，，，由題意可知，由正弦定理得因為，所以．（2）在中，由余弦定理得，①同理，在中，②①-②得，．在中，由正弦定理得，，所以，即，所以．16．（1）當時，，則，所以，，故所求切線方程為，即.（2）當時，，所以，令，則，當時，，又，所以當時，，當時，由，知，又，所以當時，，即，故知在區間上單調遞增，即在區間上單調遞增，又，所以時，，單調遞減；時，，單調遞增，又因為，故在處取得極小值0，無極大值.17．（1）如圖，作交于點，連接，則，因為平面，平面，故平面，而平面，平面，故平面平面，而平面平面，平面平面，所以，從而.（2）如圖，延長交于點，由（1）可知為中點，從而，，三點共線，過點作于點，則平面，且，.過點作于點，則為所求二面角的平面角.由于，所以，所以，即平面與底面所成的二面角的正切值為.18．（1）因為，則，所以數列是數列．（2）因為是公差為2的等差數列，則，所以對任意，公差為2的等差數列都是數列．（3）因為數列是數列，則①，②，②-①得，，所以③，由①，③得，，所以．由①得，④，④-①得，，即，所以，所以，即，在③中，分別令，得：⑤，⑥，⑦，⑧，則⑥-⑤得，，⑦-⑥得，，⑧-⑦得，，所以，所以；另一方面，由⑧-⑦得，，⑦-⑥得，，⑥-⑤得，，所以，所以數列是公差為2的等差數列．由⑤得，所以．19．（1）設，則，即，令，得，解得或，所以曲線與軸交于與三點.（2）（i）交點個數為4，證明如下：設直線的方程為，由，消去得，即，記，則至多有4個不相等的實數根，函數