第1頁/共1頁廣東省建文教育集團兩學部1月第一次模擬注意事項:1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集為，集合，，（）A. B. C.1,2 D.【答案】A【解析】【分析】求出中不等式的解集確定出，根據全集，求出的補集，找出與補集的交集即可．【詳解】解：由中的不等式變形得：，得到，，，全集，，則．故選：A．2.已知，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，給出了下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則，④若，，且，，則，（）A.②④ B.①②④ C.①④ D.①③【答案】C【解析】【分析】在①中，由面面垂直的判定定理得；在②中，或；在③中，與相交、平行或；在④中，由線面平行的判定定理得，．【詳解】解：由，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，知：①若，，則由面面垂直的判定定理得，故①正確；②若，，則或，故②錯誤；③若，，則與相交、平行或，故③錯誤；④若，，且，，則由線面平行的判定定理得，，故④正確．故選：．3.統計甲、乙兩支足球隊在一年內比賽的結果如下：甲隊平均每場比賽丟失個球，全年比賽丟失球的個數的標準差為；乙隊平均每場比賽丟失個球，全年比賽丟失球的個數的方差為.據此分析：①甲隊防守技術較乙隊好；②甲隊技術發揮不穩定；③乙隊幾乎場場失球；④乙隊防守技術的發揮比較穩定．其中正確判斷的個數是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據平均數、標準差以及方差的意義，可得答案.詳解】甲隊平均每場比賽丟失個球，乙隊平均每場比賽丟失個球，,所以甲隊技術比乙隊好，故正確；甲隊全年比賽丟失球的個數的標準差為，所以甲隊全年比賽丟失球的個數的方差差為，乙隊全年比賽丟失球的個數的方差為，因為,所以乙隊發揮比甲穩定，故正確，因為乙隊平均每場比賽丟失個球，大于1，故乙隊幾乎場場失球，故正確.故選：D.4.已知直線過點且傾斜角為，若與圓相切，則A. B. C.45 D.【答案】B【解析】【分析】先根據直線與圓相切得，再根據誘導公式以及弦化切求結果.詳解】設直線,因為與圓相切，所以，因此選B.【點睛】應用三角公式解決問題的三個變換角度(1)變角：目的是溝通題設條件與結論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過變換函數名稱達到減少函數種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據式子的結構特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.5.設正實數滿足，則下列說法錯誤的是（）A.的最小值為4 B.的最大值為C.的最大值為2 D.的最小值為【答案】C【解析】【分析】根據基本不等式以及“1”的妙用判斷各選項.【詳解】對于A，，當且僅當時取等號，故A正確；對于B，，當且僅當，即時取等號，故B正確；對于C，，則，當且僅當，即時，故C錯誤；對于D，，當且僅當時取等號，故D正確.故選：C.6.如圖，已知，，，，則（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得，從而求出，再由余弦定理得，由此能求出BD．【詳解】，，，所以.，，，，解得或（舍）故選：D7.如圖，、是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線分別交于點、，若為等邊三角形，則的面積為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的定義，可得，，由三角形面積公式，即可求出的面積．【詳解】在雙曲線中：，所以，根據雙曲線的定義，可得，是等邊三角形，即又，，的面積為．故選：C．8.在保證鞋帶系緊的前提下，哪種系法使用的鞋帶長度最短？（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據數學知識在生活中的應用，可得答案.【詳解】在保證鞋帶系緊的前提下，我們需要考慮的是每種系法中鞋帶的交叉和打結方式，以及這些方式如何影響所需鞋帶的總長度.A.小網絲系法：這種系法的特點是鞋帶在鞋面上形成多個交叉點，每個交叉點都需要一定的鞋帶長度來完成.此外，最后還需要打一個結來固定，這也會消耗額外的鞋帶.B.蝴蝶結系法：這種系法在鞋面上形成了一個明顯的蝴蝶結形狀，這需要鞋帶在鞋面上進行多次交叉和纏繞.雖然蝴蝶結看起來美觀，但這種復雜的交叉方式會使得所需鞋帶長度增加.C.愛心串系法：這種系法的特點是鞋帶在鞋面上形成了一個心形圖案，但交叉點相對較少，且心形圖案的構造相對簡單，不需要過多的鞋帶進行纏繞.此外，這種系法在完成心形圖案后，可以直接打結固定，不需要額外的鞋帶長度.D.小蜜蜂系法：這種系法在鞋面上形成了一個類似蜜蜂翅膀的圖案，需要鞋帶進行多次交叉和纏繞.雖然這種系法也很美觀，但與愛心串系法相比，它需要更多的鞋帶來完成圖案的構造.故選；C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知復數，若，則（）A. B.z在復平面內對應的點在第四象限C. D.的虛部為3【答案】ACD【解析】【分析】根據復數運算法則化簡，然后根據條件，解得，逐個判斷選項即可；【詳解】，因為，所以，解得，則，，A正確．z在復平面內對應的點為在第一象限，B錯誤．，C正確．，虛部為3，D正確．故選：ACD.10.已知定義域為的函數滿足不恒為零，且，，.則下列結論正確的是（）A. B.的圖象關于點對稱C.是偶函數 D.在上有個零點【答案】AB【解析】【分析】根據函數的周期性、對稱性、零點等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】，所以是周期為的周期函數.，所以關于點對稱，由令，得，則，令得，即，A選項正確.則f6由，得，以替換得，所以是奇函數，，C選項錯誤，所以關于對稱，根據周期性可知的圖象關于點對稱，B選項正確.由于，所以，，由上述分析可知，在區間上，至少有如下個零點：，對于，可以構造如下的符合題意的函數對應的圖象，此時在區間上有個零點：，所以D選項錯誤.故選：AB【點睛】研究函數的周期性，從表達式上看，形如等函數都是周期函數.研究函數的對稱性，形如等都是函數的對稱性，要注意的是，對應的是軸對稱，對應的是中心對稱.11.已知定義在R上的函數滿足，且為奇函數，，．下列說法正確的是（）A.3是函數的一個周期B.函數的圖象關于直線對稱C.函數是偶函數D【答案】ACD【解析】【分析】根據可得即可確定周期求解選項A；根據為奇函數，可得即可求解選項B；根據題設條件可得即可求解選項C；利用函數的周期性和函數值可求解選項D.【詳解】對A，因為，所以，即，所以3是函數的一個周期，A正確；對B，因為為奇函數，所以，所以函數的圖象關于點中心對稱，B錯誤；對C，因為，所以，即，即，所以函數是偶函數，C正確；對D，，所以，所以，D正確；故選:ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數為____________．（用數字作答）【答案】【解析】【分析】利用二項展開式的通項公式計算即可.【詳解】的展開式的通項，令，解得，故的展開式中的系數為.故答案：.13.若向量與滿足，且，則在方向上的投影向量的模為______．【答案】5【解析】【分析】根據給定條件，求出，再利用投影向量及向量模的意義求解作答.【詳解】因為，，則有，即，而在方向上的投影向量為，所以在方向上的投影向量的模為.故答案為：514.已知棱長為8的正四面體，沿著四個頂點的方向各切下一個棱長為2的小正四面體（如圖），剩余中間部分的八面體可以裝入一個球形容器內（容器壁厚度忽略不計），則該球形容器表面積的最小值為______.【答案】【解析】【分析】先求出正四面體的外接球半徑，再利用，結合外接球知識求出該八面體的外接球半徑即可求解.【詳解】如圖：設為正四面體的外接球球心，為的中心,為的中心,為的中點，由正四面體可知平面，因為平面，所以，又因為棱長為8，所以，，設正四面體外接球球心為，則在，則為外接球半徑，由得，解得，即,在正四面體中，易得，，所以，則該八面體的外接球半徑,所以該球形容器表面積最小值為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數（1）求的單調區間；（2）若在上存在一點，使得成立，求a的取值范圍.【答案】（1）當時，函數在0,+∞上單調遞增.當時，函數在上單調遞增,在上單調遞減.（2）實數a的取值范圍是或.【解析】【分析】(1),則分和兩種情況結合定義域討論函數的定義域.

(2)若在上存在一點，使得成立，即在上有，由（1）中的單調性，得出的最小值，解不等式，得到參數的范圍.【詳解】(1)當即時，在0,+∞上，所以函數在0,+∞上單調遞增.當即時，在上，在上所以函數在上單調遞增,在上單調遞減.（2）若在上存在一點，使得成立，即，.①由（1）可知，當時，函數在上單調遞增，，即②時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.當即時，函數在上單調遞減，，即.因為，所以.當即時，函數在上單調遞增，，即（舍）當，即時，函數在上單調遞減，在上單調遞減.此時，則，所以即，所以無解.綜上所以：實數a的取值范圍是或.【點睛】本題考查含參數的單調性的討論，考查不等式能成立問題，屬于中檔題.16.隨著移動互聯網的發展，與餐飲美食相關的手機軟件層出不窮.為調查某款訂餐軟件的商家的服務情況，統計了10次訂餐“送達時間”，得到莖葉圖如下：（時間：分鐘）（1）請計算“送達時間”的平均數與方差：（2）根據莖葉圖填寫下表：送達時間35分組以內（包括35分鐘）超過35分鐘頻數AB頻率CD在答題卡上寫出，，，的值；（3）在（2）的情況下，以頻率代替概率.現有3個客戶應用此軟件訂餐，求出在35分鐘以內（包括35分鐘）收到餐品的人數的分布列，并求出數學期望.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】(1)由題意結合莖葉圖計算均值和方差即可；(2)由莖葉圖確定A，B，C，D的值即可；(3)由題意結合二項分布的概率公式和期望公式求解分布列和期望即可.【詳解】“送達時間”的平均數：分鐘)，方差為：.由莖葉圖得：，，，(3)由已知人數X的可能取值為：0，1，2，3，，，，X0123PX服從二項分布，．【點睛】本題主要考查莖葉圖及其應用，二項分布的計算公式等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.17.如圖所示，設計一個四棱錐形冷水塔塔頂，四棱錐的底面是正方形，側面是全等的等腰三角形，已知該四棱錐底面邊長是，高是，（1）求側棱與底面所成角；（2）求制造這個塔頂需要多少鐵板？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）正四棱錐中，連結和BD交于，連接可得，就是側棱與底面內的所成角．中利用三角函數的定義，結合題中數據算出，即得側棱與底面所成角等于；（2）作于，連接中，算出，可得的面積由此即可得到正四棱錐的側面積，從而得到制造這個塔頂需要鐵板的面積．【小問1詳解】依題意，四棱錐是正四棱錐，連接和BD交于，連接．，可得是側棱在底面內的射影就是側棱與底面內的所成角中，，，因此，，即側棱與底面所成角等于；【小問2詳解】作于，連接．在中，，，，則的面積四棱錐的側面積是，即制造這個塔頂需要鐵板．

18.已知數列為等差數列，且，．(1)求數列的通項公式；(2)令，求證：數列是等比數列．（3）令，求數列的前項和.【答案】(1)；(2)見解析；（3）【解析】【詳解】試題分析：(1)∵數列為等差數列,設公差為,……1分由,得,,∴，……3分.……4分(2)∵,……5分∴，……6分∴數列是首項為9，公比為9的等比數列.……8分（3）∵，，∴…10分∴…………12分考點：等差數列的性質；等比數列的性質和定義；數列前n項和的求法．點評：裂項法是求前n項和常用的方法之一．常見的裂項有：，，，，，19.在①，②過，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題；已知橢圓：的右焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）設過點的直線交橢圓于，兩點，若（為坐標原點）的面積為，求直線的方程.【答案】（1）