高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市豐臺(tái)區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試題第一部分選擇題（共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榧希?故選：D.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)椤啊辈荒芡瞥觥啊?；“”能推出“”，所以，“”是“”的必要不充分條件，故選B.3.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】A選項(xiàng)，不妨設(shè)，滿足，但，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，由不等式性質(zhì)得，B正確；C選項(xiàng)，不妨設(shè)，此時(shí)滿足，但，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，但不確定的正負(fù)，若，則，若，則，若，則，D錯(cuò)誤.故選：B4.已知扇形圓心角為2弧度，弧長為，則該扇形的面積為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)扇形的半徑為cm，則，則該扇形的面積為.故選：C5.已知，則的大小關(guān)系為（）A B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，所?故選：A.6.把的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變)，再把所得圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】把的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變)，可得的函數(shù)圖像，再把所得圖象向右平移個(gè)單位長度，可得函數(shù)，所以.故選：C.7.近年來，家用冰箱使用的氟化物的釋放等破壞了臭氧層，已知臭氧含量與時(shí)間（單位：年）的關(guān)系為，其中是臭氧的初始含量，是自然對數(shù)的底數(shù)．按照此關(guān)系推算，當(dāng)臭氧含量為初始含量的時(shí)，的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.305 B.483 C.717 D.879【答案】C【解析】因?yàn)槌粞鹾颗c時(shí)間（單位：年）的關(guān)系為，所以當(dāng)臭氧含量為初始含量的時(shí)，得，計(jì)算得，化簡得，所以.故選：C.8.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是以2為周期的周期函數(shù)C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，分別記為，則【答案】D【解析】對于A，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則.由，取可得，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，則，又因，則.用替換可得，故有.所以是以為一個(gè)周期的周期函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C，已知在上單調(diào)遞減，因是奇函數(shù)，故在上也單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減.由于的周期是，那么在上的單調(diào)性與上的單調(diào)性相同.由可知的圖象關(guān)于直線對稱，所以在上的單調(diào)性與上的單調(diào)性相反，即在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對于D，因的圖象關(guān)于直線對稱，且周期可取為，故的圖象關(guān)于直線對稱.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性可知，則，故D正確.故選：D.9.已知函數(shù)，對，用表示中的最大者，記為．若恒成立，則（）A.的最大值是 B.的最小值是C.的最大值是 D.的最小值是【答案】A【解析】因?yàn)闀r(shí)，，故需時(shí)，恒成立，故即，所以的最大值是，故選：A.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B.-1 C.1 D.【答案】A【解析】，故，因?yàn)辄c(diǎn)是單調(diào)遞增區(qū)間上一點(diǎn)，且，所以，設(shè)的最小正周期為，由圖象可知，且，解得，，即，解得，其中為的一個(gè)零點(diǎn)，故，解得，又，故，解得，又，所以，故，則，所以.故選：A第二部分非選擇題（共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】【解析】由題意得，解得，故函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：12.已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則該指數(shù)函數(shù)的解析式為______．【答案】【解析】設(shè)（且），將代入得，解得，負(fù)值舍去，故該指數(shù)函數(shù)的解析式為.故答案為：13.已知命題若為第一象限角，且，則．能說明為假命題的一個(gè)的值為______．【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，若，則，又為第一象限角，取，則，由為假命題，則，令，，則，滿足題意.故答案為：（答案不唯一）.14.已知正數(shù)滿足，則的最大值是______，的最小值是______．【答案】【解析】正數(shù)滿足，由基本不等式得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.15.設(shè)，函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，存在最小值；③若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是；④設(shè)記兩點(diǎn)之間的距離為，則存在負(fù)數(shù)，使得．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①③④【解析】當(dāng)時(shí)，，，故①正確；當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，，則，圖象如上所示，所以當(dāng)時(shí)，不存在最小值，故②錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，成立，所以若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為，故③正確；當(dāng)時(shí)，取，，，因?yàn)?，所以，所以存在?fù)數(shù)，使得，故④正確.故答案為：①③④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.設(shè)集合．（1）若，求的值；（2）在（1）的條件下，求．解：（1）依題意，可知一元二次方程的兩個(gè)根分別為，2，且．由韋達(dá)定理，得，解得，故．（2）由，可得，所以．由（1）知，，所以或，故或．17.已知函數(shù)．（1）判斷的奇偶性，并證明；（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，畫出的圖象，并寫出的單調(diào)區(qū)間；（3）求不等式的解集．解：（1）是偶函數(shù)，證明如下：由已知，得的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱．因?yàn)?，都有，且，所以，故是偶函?shù).（2）的圖象如下圖所示．的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（3）因?yàn)椋?，所以．因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，且,所以，解得，或，故的解集為或．18.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)為點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓交于點(diǎn)所以解得．因?yàn)?，所以．由三角函?shù)的定義知，．（2）原式=19.設(shè)函數(shù)，其中．再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知條件，使的解析式唯一確定．（1）求的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間：（2）若在區(qū)間上的值域?yàn)?，求的取值范圍條件①：的最小正周期為；條件②：；條件③：的圖象關(guān)于直線對稱．解：（1）選條件①②：由條件①知，，所以，即．由條件②知，．因?yàn)椋?，所以令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為選條件①③：由條件①知，，所以，即．由條件③知，，所以,因?yàn)?，所以，以下同選條件①②，選條件②③：由條件②知，．因?yàn)?，所以，即由條件③知，，所以，此時(shí)不唯一，不符合要求（2）因?yàn)?，所以．因?yàn)榍以趨^(qū)間上的值域?yàn)椋裕獾?，故的取值范圍?0.設(shè)函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值和最小值：（2）若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；（3）若在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以的對稱軸為，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為．（2）由已知，得的對稱軸為．因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，所以．由，解得，故的取值范圍是（3）解法1：由已知，得．1）當(dāng)即，或時(shí)，由，得，此時(shí)的零點(diǎn)為3，不符合題意：由，得，此時(shí)的零點(diǎn)為，符合題意．2）當(dāng)即，或時(shí)，①若，此時(shí)的對稱軸且所以區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，符合題意②若，此時(shí)的對稱軸，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．又因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)只需滿足，解得．綜上，的取值范圍是．解法2：由已知，得的對稱軸為，1）當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)為，符合題意．2）當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，不符合題意，3）當(dāng)即，且時(shí)，由在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，則有以下兩種情況：①，解得，或②解得．綜上，的取值范圍是．21.設(shè)集合其中，且．若集合同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱集合是集合和諧子集．條件①：；條件②：對集合中任意三個(gè)元素不存在，使得．（1）若集合，請判斷集合，是否為集合的和諧子集（不需要說明理由）；（2）若集合，集合是集合的和諧子集，且集合中的最小元素是3，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值：（3）若集合，且集合是集合的和諧子集，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．解：（1）對于集合，其中，不滿足和諧子集的條件②，所以不是集合的和諧子集.對于集合，滿足和諧子集的條件①，且對集合中任意三個(gè)元素，不存在，使得，滿足條件②，所以是集合的和諧子集.綜上所得，集合不是集合的和諧子集，集合是集合的和諧子集.（2）將集合中大于3的元素按照被3除所得的余數(shù)進(jìn)行分類：被3除所得的余數(shù)為0的元素有6：被3除所得的余數(shù)為1的元素有4，7：被3除所得的余數(shù)為2的元素有5，8．因?yàn)?，所?與7，5與8不能同時(shí)屬于集合，否則，或者，與已知矛盾．設(shè)為集合中元素的個(gè)數(shù)，則．構(gòu)造集合，因?yàn)?，所以集合是集合的和諧子集，故集合中元素個(gè)數(shù)的最大值是4.（3）不妨設(shè)集合中的最小元素是，則存在唯一非負(fù)整數(shù)數(shù)對，使得，其中．將集合中大于的元素按照被除所得的余數(shù)進(jìn)行分類：被除所得的余數(shù)為1的元素有；被除所得