由于微觀粒子具有波粒二象性，其位置與動量不能同時確定.所以已無法用經典物理方法去描述其運動狀態.

用波函數來描述微觀粒子的運動.一波函數及其統計解釋1

波函數1(1)經典的波與波函數

電磁波

機械波

經典波為實函數2(2)量子力學波函數(復函數)描述微觀粒子運動的波函數微觀粒子的波粒二象性自由粒子的能量和動量是確定的，其德布羅意頻率和波長不變，可認為是一平面單色波.波列無限長，根據不確定原理，粒子在x方向上的位置完全不確定.3

自由粒子平面波函數2

波函數的統計意義概率密度表示在某處單位體積內粒子出現的概率正實數4

某一時刻出現在某點附近在體積元中的粒子的概率為可見，德布羅意波(或物質波)與機械波、電磁波不同，是一種概率波.5標準條件波函數必須是單值、連續、有限的函數.歸一化條件(束縛態)

某一時刻整個空間內發現粒子的概率為6

薛定諤（ErwinSchrodinger，1887—1961）奧地利物理學家.1926年建立了以薛定諤方程為基礎的波動力學,并建立了量子力學的近似方法.

1933年與狄拉克獲諾貝爾物理學獎.7二薛定諤方程1

自由粒子薛定諤方程的建立自由粒子平面波函數取x

的二階偏導數和t的一階偏導數8取x

的二階偏導數和t的一階偏導數得自由粒子

一維運動自由粒子的含時薛定諤方程9

一維運動粒子的含時薛定諤方程

2

粒子在勢能為的勢場中運動3

粒子在恒定勢場中的運動與時間無關10

在勢場中一維運動粒子的定態薛定諤方程11三維勢場中運動粒子的定態薛定諤方程拉普拉斯算子定態波函數12例如，氫原子的定態薛定諤方程(1)能量E

不隨時間變化.(2)概率密度不隨時間變化.定態波函數性質13(2)

和連續(3)

為有限的、單值函數

波函數的標準條件：單值、有限和連續(1)

可歸一化14三一維勢阱問題粒子勢能滿足邊界條件

(1)是固體物理金屬中自由電子的簡化模型；

(2)數學運算簡單，量子力學的基本概念、原理在其中以簡潔的形式表示出來.1516波函數的標準條件：單值、有限和連續.17量子數18

歸一化條件19得

波動方程20

概率密度

能量

波函數21例在一維無限深勢阱中運動的粒子波函數為求（1）當n=3時，發現粒子的概率最大的位置.最大概率密度為多少？（2）求在a/6~3a/6區間內粒子出現的概率為多少？22解（1）23（2）24例

已知在一維勢阱中運動的粒子波函數求（1）粒子在x=5a/6處出現的概率密度為多少?（2）最大概率出現的位置

25解261

粒子能量量子化討論：基態能量

能量激發態能量

一維無限深方勢阱中粒子的能量是量子化的.272

粒子在勢阱中各處出現的概率密度不同概率密度波函數

例如，當n=1時，粒子在x=a/2處出現的概率最大28

3

波函數為駐波形式，阱壁處為波節，波腹的個數與量子數

n

相等16E19E14E1E129四一維方勢壘隧道效應

一維方勢壘粒子的能量30當粒子能量E<Ep0

時，從經典理論來看,粒子不可能穿過進入的區域

.但用量子力學分析，粒子有一定概率穿透勢壘，事實表明，量子力學是正確的.隧道效應

從左方射入的粒子，在各區域內的波函數31中似乎有一個隧道,能使少量粒子穿過而進入的區域，此現象人們形象地稱為隧道效應.粒子的能量雖不足以超越勢壘,但在勢壘隧道效應的本質:來源于微觀粒子的波粒二象性.32量子圍欄照片