PAGE77PAGE27118.1物體靜止在引力場中所受合力為零，時空如何彎曲？愛因斯坦廣義相對論最基本的假設就是，非慣性運動參考系與引力場局部等價，或者說一個物體做非慣性運動與該物體靜止在引力場中在物理上是等價的。由于非慣性運動參考系的時空要發生變化，就等價與引力場使時空彎曲。對于靜止在引力場中的物體，其時間過程和空間尺度也要隨引力場而彎曲。具體地說就是一個鐘靜止在引力場中時走速要變慢，一根尺子靜止在引力場中時長度要變短（尺子變形）。靜止在引力場中的鐘走速變慢可以通過引力場中光譜紅移實驗來證明，靜止在引力場的物體形狀發生彎曲至今沒有直接的實驗證明。現代物理學已經把引力場使時空彎曲看成一個經過實驗證實的事實。情況果真如此嗎？我們有必要首先指出，要使一個物體靜止在引力場中，需要有另外一個力（如地球表面物質之間的電磁力）與引力平衡，二者相互抵消合力為零。因此靜止在引力場中的物體實際上不受力，怎么可能有時空彎曲？因此等價原理在基本出發點上就是錯誤的。為了弄清楚問題所在，我們首先討論經典力學中慣性力的來源和意義。愛因斯坦通過討論轉動圓盤的經典力學性質引入等價原理。為簡單起見，我們也僅討論經典力學平面旋轉參考系。設地面靜止參考系為，轉動圓盤參考系為，兩個參考系的原點重合，繞以角均勻速度轉動。在參考系上某物體的位矢為，速度和加速度分別為和。考慮到和，通過微分運算，可以得到該物體相對參考系的速度，以及加速度：（18.1）令物體的質量為，在參考系上牛頓力學公式寫為。對于參考系上的觀察者，就可以將牛頓力學公式寫為：（18.2）令和。與物體相對參考系的速度有關，稱為科里奧利力，沿方向，習慣上稱為離心力。和是在非慣性參考系上定義的，我們又稱它們為慣性力。引入慣性力是為了是牛頓力學公式在非慣性運動參考系也成立。由此就可以將（18.3）式寫為：（18.3）現在來討論旋轉圓盤的情況。如圖18.1所示，假設地面和圓盤上各有一個靜止的觀察者，物體靜止在圓盤上隨圓盤一起做勻速轉動。按參考系上觀察者的觀點，物體運動方程為。此時的是物體與圓盤之間的靜摩擦力，也就是說物體在靜摩擦力作用下做向心運動。如果我們將物體栓在一根繩子上，拋動繩子使物體做勻速圓周運動，情況與旋轉圓盤是等價的。此時物體在繩子的張力作用下做向心加速運動，而繩子的張力也是電磁力。圖18.1觀察者靜止在地面上圖18.2觀察者靜止在轉動圓盤上我們再從旋轉圓盤參考系上觀察者的角度看問題。如圖18.2所示，物體靜止在圓盤上，，，，就有。也就是說按參考系觀察者的觀點，要使一個物體靜止在勻速轉動的圓盤上，必須使物體受到靜摩擦力與慣性力（離心力）達到平衡。在此基礎上我們來討論等價原理。愛因斯坦認為觀察者隨圓盤均勻轉動等價于靜止在均勻引力場中，因此慣性力等價與引力。按狹義相對論，非慣性運動時時空收縮（彎曲），因此引力場中時空也必然是彎曲的。然而靜止在引力場中的物體的時空真的彎曲嗎？這里存在一個物理學基本概念的誤解，那就是我們要弄清楚，靜止在引力場中到底意味這什么。從圖18.2可知，物體靜止在非慣轉動圓盤上，所受到的慣性力與靜摩擦力必須達到平衡。因此對于轉動圓盤上的觀察者，物體靜止在轉動圓盤上也是不受力作用的。也就是說引入非慣性力后，牛頓力學的慣性定律在任意參考系上都是成立的。而且物體不受力時保持其運動狀態不變這個原則在相對論中也是成立的。事實上要使一個物體靜止在引力場中，就需要有某種力來平衡引力的作用。如果物體受合力為零，就是處于自由態。對于自由態的物體，它的時間過程和空間尺度應當是不變的，廣義相對論關于引力場使時空彎曲的基本假設就變成一個悖論。比如要使一個物體靜止在地球表面，我們就需要一個與地球引力大小相等，方向相反的力作用于這個物體。用廣義相對論的語言，引力使時空彎曲，物體靜止在引力場中時，就需要有另外一個力使時空產生反向彎曲，結果使物體處于局部平直時空中。在地球表面上這個反作用力就是電磁力，道理很簡單，地球表面的物體一般都是由原子分子組成，而原子分子又是由帶電粒子組成。只有依靠物體與地球物質之間的電磁相互作用力，物體才能避免向地球引力場中心的墜落。同樣靜止在轉動圓盤上時，物體與圓盤表面的摩擦力也是電磁力。如果圓盤表面充分光滑，觀察者腳底與圓盤表面沒有摩擦力，是不可能穩定地站在轉動圓盤上隨圓盤轉動的。既然靜止在引力場中實際上不受力，為什么我們在地球表面會感到引力的作用呢？這就涉及到物體受力均勻與不均勻的問題。為方便討論，我們采用“均勻力”和“非均勻力”的概念。所謂均勻力指的是物體所受到的外力被均勻地分布在物體的各個部份。非均勻力指的是物體所受到的力不是均勻分布的。在非慣性參考系上觀察者感受到的力一般是非均勻力。例如人站在向前加速的火車上，火車地板作用于人的力實際上只作用于人的雙腳，雙腳帶動人體向前加速運動。剛開始加速的瞬時，人身體其他部份并沒有直接受到力的作用，仍處于慣性狀態，從而使人體向后仰，產生了所謂慣性力作用的感覺。達到穩態狀態時，地板的力也僅僅作用在腳上，再通過身體其他部分傳到全身。加速上升的電梯也只將力直接作用于人的雙腳，再通過雙腳作用到身體其他部分，從而使人感覺到向上力的作用。在轉動圓盤邊緣上的人必須靠圓盤與雙腳間的摩擦力才能使自己站穩，這種摩擦力也只是作用在雙腳上，屬于非均勻力。由于人身體各部分受到的力是不均勻的，就產生不平衡。為了達到平衡就出現內應力，才使人感覺到了加速運動。諸如摩擦力和內應力之類非均勻力的微觀本質是電磁相互作用力。同樣宏觀物體靜止在引力場中時，它的每個部分都同時受到引力和電磁力（物體內部的內應力）的作用，這兩種力在物體的每個部分都達到平衡。從微觀的角度，基本粒子間的相互作用力對基本粒子而言都是均勻力。更精確地討論問題，比如考察一個原子在引力場中的行為，我們的問題是，一個單獨的原子能夠靜止在引力場中嗎？答案是否定的，由于沒有支撐力與引力平衡，原子只能在引力場中下落。要使單個原子靜止在引力場中，就需要支撐力。比如讓原子靜止在地球表面，支撐力就是地球物質的電磁力，其結果是引力與電磁力互相抵消。在原子體積的范圍內，地球物質作用在原子上的引力和電磁力可以認為是均勻的，原子就感受不到引力和電磁力的作用，變成真正的自由原子。我們有什么理由認為自由原子的振動頻率會變慢，原子的內部空間會發生扭曲呢？如果堅持認為引力會使原子的時空彎曲，電磁力不會使原子的時空彎曲，那實在是強詞奪理了。我們有什么理由認為一個原子有分辨引力和電磁力的能力，知道引力作用時時空要彎曲，電磁力作用時時空卻不彎曲呢？也許讀者可以說，引力質量與慣性質量是等價的，但質荷比不是一個常數，因此引力可以使時空彎曲，電磁力則不可以。但如下文討論，考慮到運動速度的影響，引力質量與慣性質量實際上也是不等價的！由于物體靜止在轉動圓盤上時電磁力（摩擦力）與慣性力抵消，我們至多只能說慣性力與電磁力等價，憑什么說慣性力與引力等價。當物體靜止在地球表面上時，我們只能說引力與電磁力抵消，憑什么說慣性力與引力等價？我們憑什么理由認為引力可以使時空彎曲，電磁力卻不能使時空彎曲呢？說引力可以使時空彎曲電磁力卻不能使時空彎曲，就意味著引力與電磁力沒有真正互相抵消，合力不是零。但這會使物體產生某種運動，而不是真正靜止在引力場中。宏觀物理學中關于力的作用的基本原則是，如果一個物體所受到的合力為零，物體就是不受力的作用，不論合力中各個力的來源如何。（宏觀物理學中使用力的概念，微觀物理學中實際上不使用力的概念。但廣義相對論是宏觀理論，它將引力等價與時空彎曲，而時空彎曲也是宏觀的概念。）如果觀察者不是靜止在轉動圓盤上，而是在引力的作用下運動，情況又是怎么的呢？如圖18.3所示，相對地面觀察者，飛船繞地球做圓周運動，運動方程為，是萬有引力。對于靜止在飛船中的宇航員，如圖18.4所示，，，，同樣有。也就是說對于靜止在飛船中的宇航員，他所受到的地球引力與慣性力正好互相抵消。由于地球引力和慣性力是大致均勻地分布于宇航員全身的，他就認為自己不受力，處于自由下落的失重狀態。在這種情況下，我們或許可以說慣性力與引力等價，雖然在轉動圓盤的情況下，我們只能說慣性力與電磁力等價。然而宇航員在引力場中自由降落時，與觀察者靜止在轉動圓盤上的不受力狀態在本質上是一樣的。不同的只是在飛船非慣性參考系中，引力是大致均勻地作用在宇航員全身的。在轉動圓盤非慣性參考系上，觀察者腳底與圓盤間的靜摩擦力（電磁力）不是均勻地作用在觀察者的全身的。可是按愛因斯坦等效原理的說法，在引力場中自由降落時，引力場被消除，時空是平直的，不存在時空彎曲。那么在轉動圓盤非慣性參考系上觀察，物體所受合力也為零，又哪來的時空彎曲呢？事實上宇航員在地球引力場中做圓周運動或自由降落的情況，與一個物體被栓在一根繩子上，拋動繩子使物體做勻速圓周運動的情況完全等價。如果繩子上栓的是一個人，對他來說時空是否彎曲呢？圖18.3靜止在地面上觀察者的看法圖18.4靜止飛船上宇航員的看法因此如果真的存在時空彎曲，我們只能認為由于參考系的非慣性運動速度是絕對的，在靜止的參考系上觀察，參考系的時空彎曲，在參考系上觀察，參考系的時空同樣也彎曲的。引力可以使物體產生非慣性運動，但靜止在引力場中的物體是不存在時空彎曲問題的。同樣電磁力也可以使帶電體做非慣性運動，因而可以使帶電體參考系時空彎曲。但我們從來不認為帶電體靜止在電磁場中時，帶電體的時空是彎曲的。當一個參考系在引力場中自由降落時，由于運動速度是絕對的，參考系的時空則應當是彎曲的。這種時空彎曲只與絕對運動速度有關，與引力是否存在無關。物體在引力場中運動與電荷在電磁場中運動的本質是一樣的。如果參考系由帶電體構成，在電磁場中做非慣性運動時，帶電參考系的也會發生時空彎曲。事實上帶電體在引力場中自由降落時要輻射光子，靜止在沒有引力場的真空中不輻射光子，這個事實就已經說明，廣義相對性原理是不可能的。可見愛因斯坦等價原理存在太多的問題。愛因斯坦沒有對非慣性參考系中物體受力問題進行嚴格認真的分析，錯誤地得出引力使時空彎曲的推論，其引力理論最初出發點就是錯的，其后就謬種流傳，全世界的物理學家一代一代地跟著錯。這種錯誤貫穿于整個愛因斯坦引力理論體系，導致各種各樣的荒謬結果。事實上引力場中光譜紅移可以用光子在引力場中運動時，原子能級和引力勢發生的變化來解釋，沒有必要假設靜止在引力場中的原子頻率變慢。廣義相對論對太陽系弱引力場中幾個實驗的解釋實際上只是歪打正著，因為計算中采用的是坐標尺和坐標種，而不是標準尺和標準鐘。采用標準尺和標準鐘度量，廣義相對論無法解釋雷達波延遲和水星近日點近動。愛因斯坦引力場方程真正有價值的是球對稱的施瓦西解，其數學形式為我們提供一條走向正確引力理論的線索。我們應當在平直時空基礎上重建動力學的引力理論，不應當將引力理論建立在彎曲時空上。18.2等價原理與運動相對性原理不相容在下文的討論中，我們姑且不考慮靜止在引力場中的物體實際上不受力的問題。按照現有廣義相對論的看法認為物體靜止在引力場中時，物體本身的時空也會隨引力場發生彎曲，討論廣義相對論的基本概念中還存在什么問題。本節中指出愛因斯坦用轉盤考系來說明等價原理時還存在的另一個基本錯誤。如圖18.1所示設圓盤初始時靜止，測得其半徑為，周長。然后令圓盤以角速度繞其圓心做勻速轉動。按狹義相對論，地面靜止參考系上觀察者將發現，圓盤的周長縮短為。但由于圓盤在直徑方向沒有運動，圓盤的直徑不變，因此圓盤的周長與直徑之比小于。于是地面靜止參考系上的觀察者就斷言，圓盤的空間是非歐幾里得彎曲空間。那么靜止在轉動圓盤上的觀察者的看法是怎樣呢？幾乎所有的廣義相對論教科書都認為，由于圓盤的切向運動使靜止在圓盤上的觀察者的尺子長度收縮，當圓盤上觀察者用手中的尺子去測量圓盤的周長時，周長變為，即圓盤的周長變長。當圓盤上觀察者用手中的尺子去測量圓盤的半徑時，由于尺子在徑向沒有運動，圓盤的半徑不變。因此對于圓盤上的觀察者，周長與直徑之比大于，于是就斷言圓盤的空間也是非歐的彎曲空間。然而這種看法是錯誤的，因為圓盤上的觀察者與圓盤一起轉動，圓盤的周長和圓盤上觀察者手中的尺是同步收縮的。因此圓盤上觀察者用他們手中的尺測量時圓盤周長，是不可能得出圓盤周長發生變化的結論的。按狹義相對論的運動相對性，對于靜止在轉動圓盤上的觀察者，圓盤靜止不動，地面參考系繞著圓盤在做圓周運動。結果應當如圖18.2所示，在圓盤上的觀察者看來，是地面參考系上某些方向產生長度收縮，另一些方向不產生收縮，即地面參考系的時空變成非歐的。因此如果狹義相對論的運動相對性觀點成立，就得不到等效原理和引力場使時空彎曲的結論。另外按狹義相對論的一般理解，一個參考系從相對靜止狀態通過加速過程達到相對勻速運動狀態后，產生的時空收縮僅由相對運動速度引起，與加速度或加速過程無關。也就是說加速過程中加速度的存在對時空收縮不產生影響，時空收縮被認為是一種與非慣性過程或相互作用力無關的純粹相對效應。但若等效原理成立，加速過程等價于引力的作用，而引力又會對時空性質產生影響，從而使時空彎曲。因此若等效原理成立，時空收縮就必然與相互作用有關，不可能是一種純粹運動學效應。可見等效原理必然與狹義相對論的一般理解相矛盾。由于等價原理是愛因斯坦引力理論的基礎，說明愛因斯坦的狹義相對論和引力理論實際上是不協調的。要擺脫這種悖論，唯一只有放棄時空相對性觀念，認為時空收縮是與加速過程有關的絕對效應。在上述轉動圓盤問題中，合理的結果應當是，轉動圓盤的周長縮短，其周長與直徑之比小于。而且不論對地面參考系還是轉動圓盤上的觀察者，結果都一樣，只有這樣考慮問題才能使我們達到邏輯一致的時空和引力理論。18.3引力和慣性力局部不等價我們繼續討論等價原理本身存在的問題。等價原理可分為弱等價原理和強等價原理，弱等價原理指的是引力質量與慣性質量等價，或引力與慣性力局部等價。以下先討論引力質量與慣性質量的等價性問題，然后再討論引力與慣性力的局部等價性問題，非慣性參考系和引力場中時空收縮的等價性問題，以及在其他物理現象的等價性問題。目的在于說明考慮到狹義相對論的動力學效應后，等價原理實際上也是不可能成立的。目前關于慣性質量與引力質量等價的實驗是型實驗，我們先指出這種實驗實際上只證明慣性靜止質量與引力靜止質量的等價性，不能揭示慣性運動質量與引力質量的等價性。令為慣性靜止質量，為引力靜止質量，按牛頓第二定律，物體加速度為時受力為。在均勻引力場中引力場強度是個常數，物體受力公式又可以寫為，就有：（18.4）若引力靜止質量與慣性靜止質量等價，比值對于任何物質都是一個常數，則物體在均勻引力場中自由下落的加速度是一個常數。這個結果有一個明顯的缺陷，即它會導致一個物體在均勻引力場中自由下落時速度超過真空中光速。為了避免這種結果，需要考慮狹義相對論效應。按狹義相對論動力學，物體做直線運動時，慣性運動質量和慣性力為：（18.5）但在目前的廣義相對論中，并沒有引力運動質量的概念。也就是說在愛因斯坦的引力理論中，我們實際上沒有考慮運動速度對引力質量的影響。這顯然是不合理的，因此我們可以假定：（18.6）式中函數的形式待定。設物體在均勻引力場中受到的引力仍為，（18.4）式應變為：（18.7）只要，一個物體在均勻引力場中自由下落時，其加速度一般都要隨速度而變化。函數的形式必須保證當時，從而使物體的下落速度不會超過光速。另在實驗中，懸桿受到的力矩為：（18.8）式中是懸桿物體端的臂長，是地球自轉引起的離心加速度平均水平分量，、、和分別為、兩種不同材料組成的物體的慣性質量和引力質量。考慮到狹義相對論效應后，將（18.5）和（18.6）式代入（18.8）式，得：（18.9）可見與函數無關，只要比值不隨同物質而變，不論的形式如何，我們都有。這說明現有型實驗實際上僅證實引力靜止質量與慣性靜止質量等價，并沒有證實引力運動質量與慣性運動質量等價。我們不可能用這種實驗來檢驗引力運動質量與慣性運動質量是否等價。在第二十章中證明，將愛因斯坦引力場方程施瓦西解變換到平直參考系中描述后，會自動地給出引力運動質量與慣性運動質量的關系，結果顯示引力運動質量與慣性運動質量是不等價的。弱等效原理還可以描述為引力與慣性力局部等價。除了轉動圓盤外，愛因斯坦還用封閉艙實驗來證明引力與慣性力等價性。認為封閉艙內的觀察者無法用艙內的實驗來判明自己是在做勻加速運動，還是靜止在強度不隨時間而變的靜態引力場中。這一點在牛頓力學中是沒有問題的，但在考慮到狹義相對論效應后是不正確的。如圖18.5所示，設封閉艙相對于慣性系做勻加速運動，艙內有一靜質量為的物體，通過彈性繩掛在艙項上。當以恒定加速度運動時，由于狹義相對論效應，物體的慣性質量越變越大。按（18.5）式物體作用于彈性繩的拉力也越來越大，除了洛倫茲收縮外，繩子會被越拉越長。當封閉艙的運動速度達到足夠大時，物體產生的慣性力超過彈性繩的承受力，繩子必將被拉斷。由于彈性繩的拉斷是絕對事件，艙內艙外的觀察者都能觀察到。艙內的觀察者就可以憑此現象斷言自己正在被加速，而不是處于強度不隨時間而變的靜態引場中，在后者的情況下彈性繩即不會被不斷地拉長，也不會被拉斷。可見所謂引力與慣性力局部等價只在牛頓力學中成立，考慮到狹義相對論動力學效應后，引力與慣性力局部不等價的。圖18.5引力與慣性力不等價另外如圖18.2所示，按勻速轉動圓盤上觀察者的觀點，是作用于觀察者的向心力，方向朝圓盤中心。具體地說應當是圓盤作用于觀察者雙腳上的摩擦力，其本質是電磁相互作用力。是圓盤非慣性運動產生的慣性力，與大小相等方向相反方向。兩個力達到平衡時觀察者才能靜止在圓盤上。是有心力，但不是有心力。如果按廣義相對論的一般理解，靜止在轉動圓盤上的觀察者又可以認為自己靜止在中心引力場中，引力場的方向應當朝圓盤的中心，因此我們就應當將圖18.2中的看成引力。但是若按等價原理，引力與慣性力等價，轉動圓盤上觀察者受到的引力就應當是而不是。這就產生了一個問題，觀察者在轉動圓盤上受到的引力到底是還是呢。由于在轉動圓盤上產生的引力應當是有心力，引力就應當是而不是。由于不是有心力，我們就無法將它與轉動圓盤中心引力場相對應。但若按等價原理，引力與慣性力等價，引力就應當是而不是。是使觀察者靜止在圓盤上的摩擦力，其本質是電磁力而不是引力。為了解決這個矛盾，我們只有認為是引力，不是引力。因此與轉動圓盤等價的引力就不是有心力，但這不是現有廣義相對論的等價原理所持的觀點。除此之外，還有其它許多實驗可以表明弱等價原理不可能成立。事實上早就有數不清的人指出過，若一個封閉艙靜止在勻速轉動的圓盤上，艙內運動的物體還會受到科里奧利力的作用，在艙內靜止的慣性陀螺會改變方向，帶電物體會輻射光子。但靜止在強度不隨時間變化的均勻引力場中就不會有這些現象，由此可以區分封閉艙是在做勻速非慣性轉動還是靜止在均勻引力場中。即使封閉艙靜止在一個強度隨時間變化的引力場中，引力變化的方式也應當滿足（18.2）式，結果會使圖18.5中與物體相連的繩子被拉斷。由于這些效應仍存在，封閉艙內的觀察者仍可以分辨自己是靜止在引力場中還是在做非慣性加速運動，將弱等價性原理作為一個物理學基本原理是根本不合適的。18.4強等價原理和廣義相對性原理的不可能性在14.1節和18.1節中，我們討論了飛船在引力作用下繞地球做圓周運動的情況，以此說明物體在引力場中的運動具有絕對性。以下我們進一步來證明，強等價原理和廣義相對性原理的不可能性。強等價原理可以表述為：在引力場中的任一時空點采用局部慣性坐標系，自然規律的形式與在沒有引力場且未被加速的笛卡爾坐標系中的形式是一樣的。或者更直接地說，在引力場中自由降落的局部參考系是平直時空的參考系，在這個局部慣性參考系上引力場被消除。我們先從數學的角度來討論強等效原理的可能性問題。按廣義相對論，時空度規一般可以寫為：（18.10）彎曲時空的度規張量，是平直時空的度規張量，有和（當）。廣義相對論證明在引力場（黎曼空間）的任意點可以引入局部慣性系，將引力場的動力學效應消除。證明的大意是，在無橈引力場時空中某任意點的鄰域引入坐標變換：（18.11）其中是引力場中點的坐標，是點的鄰域的坐標，是點的聯絡。廣義相對論中證明，因此用坐標表示的短程線方程就變成：（18.12）上式說明在用坐標表示的參考系上物體的加速度為零。說明采用（18.11）式的坐標變換后，在坐標表示的參考系上引力場的動力學效應被消除，因此用表示的參考系就是局部慣性參考系。問題是采用（18.11）式的坐標變換，能使（18.10）式的彎曲時空度規變成平直時空的度規嗎？顯然是不可能的。聯絡的具體數學形式是：（18.13）顯然并不意味著。事實上黎曼幾何中已經證明，時空彎曲是引力場的一個內秉特征，是無法通過坐標變換來消除的。在一個參考系中如果曲率張量的任意一個分量不為零，則不論通過什么坐標變換，在新的坐標系中都不可能使它的全部分量變為零。也就是說在數學上我們不可能找到一種坐標變換，能將一般彎曲時空的度規變成平直時空的度規，除非這個時空本來就是平直的。或者說除了可平展的時間外，我們無法將本質上是彎曲的時空光滑地變成平直時間。然而我們知道，引力場的最重要的特征是時空彎曲。廣義相對論將引力的作用等價與時空彎曲，如果引力場時空的彎曲不能被消除，我們能說引力場被消除了嗎？另一方面，從實際感受的角度，人在引力場中自由降落時是沒有引力作用的感覺的，就如人靜止在真空中一樣。從這種角度考慮，強等價原理成立嗎？事實上如前文分析表明，強等價原理僅是人類的一種表觀錯覺，它也是不可能成立的。我們已經談到物體均勻受力與非均勻受力問題。由于非慣性運動引起的慣性力是作用在物體的整體上，且均勻分布的，因此慣性力是均勻力。那么若把力作用于參考系使之做加速運動，并且參考系將這種力均勻地傳遞到觀察者全身，又會產生什么結果呢？比如圖18.1中所示的情況，觀察者靜止在轉動圓盤的邊緣，轉動圓盤作用于觀察者雙腳上的向心力是摩擦力。若將這個摩擦力均勻地分布到觀察者全身每一個部分，觀察者就不再感到有內應力的作用。如圖18.2所示，從非慣性運動參考系的角度看，這個均勻分布的摩擦力與均勻分布的慣性力完全均勻地抵消。此時轉動盤上的觀察者就象靜止在慣性系中一樣，不再有任何受力的感覺，雖然他實際上是處于非慣性加速運動中。同樣如果觀察者不是靜止在轉動圓盤上，而是在地球引力場的作用下做圓周運動，地球引力場的力是均勻地分布于觀察者的全身的。在這種情況下，觀察者就認為自己是在中心對稱引力場中自由下落，如在地球軌道上運動的飛船中宇航員感覺到的那樣。在這種情況下宇航員之所以感覺不到地球引力的作用，是因為在飛船非慣性運動參考系中，地球引力與非慣性力達到平衡。可見在均勻引力場中自由降落時，觀察者處于無感覺或不受力的狀態僅是人的主觀感覺。并非觀察者未受力，而是受到的力與非慣性力達到平衡。或者說由于受到的是均勻作用的力，觀察者自身不產生內產力，從而對這種加速運動沒有感覺罷了。生理學告訴我們感覺是由不均勻性產生的，沒有感覺并不意味著沒有變化。如果變化是均勻地，緩慢地發生時，就是沒有感覺的。生理學上所謂的“水煮青蛙”實驗說明的就是這個道理。將青蛙放在水鍋里慢慢加熱，青蛙可能致死都無反應。但如果采用適當的方法，觀察者在引力場中自由降落時，可以超越主觀感覺而感知自己在做加速運動。例如在引力場中自由降落的電荷會輻射電磁波，但處于慣性狀態的電荷是不會輻射的。觀察者只要隨身攜帶一個帶電體，并觀察它是否輻射，就可判斷自己是處于自由慣性靜止狀態，還是處于在引力場中自由降落的加速運動狀態。更重要的是，與靜止的慣性參考系比較，在引力場中自由降落的加速運動參考系上，運動的尺要絕對地縮短，運動的鐘要絕對地變慢，物體的質量要絕對地增加。因此在引力場中自由降落的參考系上，自然規律的表現形式與沒有引力場且未被加速的笛卡爾坐標系上的形式是不一樣的。愛因斯坦建立狹義相對論，否定絕對靜止參考系的存在，認為所有的慣性系對于描述物理現象都是平權的。之后他又引入廣義相對性原理，目的在于進一步消除慣性系的優越性地位。也就是說按照廣義相對論，在自然界任何參考系上討論物理問題都是平權的。廣義相對性原理也可以理解為，在任意參考系中物體運動方程的基本形式都滿足協變性要求。從純數學的角度看，協變性意味著如果在一個參考系上運動方程可以寫為張量的形式，在其他任意運動的參考系上，運動方程也能寫成張量的形式。但運動方程的形式滿足協變性并不等于物體的受力的形式不變，我們在第十一章中已經談到，協變性對物理學意義不大，物理學上更重要的是不變性。將運動方程在三維空間中進行任意坐標變換時，是不會引入任何力和加速度的，因此不帶來任何實質的物理結果。然而在含時的四維空間中進行任意坐標變換時，情況就大不一樣。四維時空坐標的洛倫茲變換是線性變換，其中要引入速度但不引入加速度，代表的是不同運動速度的慣性系之間的變換。即使是線性的洛倫茲變換，也不可能使描述物理過程的運動方程保持不變。而一般的四維時空變換是非線性變換還會引入加速度。變換到不同的非慣性參考系時，我們就要在運動方程中加入不同的慣性力，以平衡非慣性坐標變換對運動方程的形式帶來的影響。因此在不同的參考系中對物理過程的描述肯定是不一樣的，其結果實際上產生了一類優越的參考系，即慣性運動參考系。在慣性運動參考系中沒有慣性力的存在，物體運動方程的形式是最簡單的。廣義相對論將非慣性運動等價于引力場，引力場的坐標變換涉及更多的問題。目前一般認為將某個引力場方程的解進行坐標變換得到新解后，新的解仍然能夠描述相同的引力場。然而即使按等價原理，這也是不可能的。如果非慣性系和引力場局部等價，一個特定的非慣性系也只能與一個特定的引力場一一對應。從一個非慣性系變換到另一個非慣性系就等價于從一個引力場變換到另一個引力場。也就是說由于一般的四維坐標變換要在運動方程中引入慣性力，而慣性力又被認為等價于引力，一般的含時四維坐標變換意味著要改變引力場。更明確地說對于一個確定的引力場，通過求解愛因斯坦引力場方程得到它的解。如果進行坐標變換，場方程及其解的具體形式將發生變化。這等于變換到新的引力場，其解也就不是原來場方程的解了。故一個確定的引力場只能對應于一個確定的度規，任意的含時四維坐標變換是不允許的。除非在新的參考系中對引力場的描述能給出相同的結果，而這一般是不可能的。比如我們不可能在愛丁頓坐標和克魯斯卡坐標中計算水星近日點進動和其他問題，得到與采用施瓦西度規時相同的結果。事實上在目前的廣義相對論中，引力場能量無法明確定義的原因，就是由于允許進行任意坐標變換。引力場中一個參考系被認為總可以通過坐標變換變成一個局部慣性系，在這個局部慣性系上引力場消失，以至于引力場的能量動量張量變為零。然而按照能量守恒定律，靜態引力場的能量應該是不變量，怎么可能通過坐標變換消失呢？因此可以明確地說，在引力的描述上不存在相對性和任意性。引力理論要求在回到絕對性，廣義相對性原理是不可能成立的。在任意參考系中描述物理過程時，要求運動方程的基本形式滿足協變性僅是對運動方程變換形式的一種基本約束條件，并不意味著對物理過程的描述在任意的參考系上都一樣。在不同非慣性系上，對同一物理過程，運動方程的形式不可能是一樣的。我們還要指出，一個參考系在引力場中自由下落相當于參考系在做加速運動，只不過引起加速運動的力是一種特殊的力—引力罷了。其結果是相對于靜止的參考系，在引力場中自由下落的參考系上會有長度收縮，時間延緩，物體運動質量變大等效應，這些都是正常的狹義相對論效應。因此只要我們確切地知道引力場對物體的相互作用的形式，就完全可以用狹義相對論的方法來表述物體在引力場中的運動，這個問題將在第二十一章中討論。兩年前美國斯坦福大學與美國航天局合作，完成了在繞地球軌道運動的衛星上陀螺進動實驗，即實驗，但實驗結果卻遲遲不公布。一般認為若實驗證明存在軌道進動，就證明引力場使時空彎曲，也就證明了廣義相對論的有效性。然而應注意現有理論預言是在地球質心靜止參考系上進行計算的結果，在實驗中所有的對陀螺進動角的觀察都是在繞地球軌道運動衛星上進行的，而不是在地球質心靜止參考系上進行的。按廣義相對性原理，在引力場中自由降落的參考系上，引力場被局部地消除，參考系變成局部慣性系。在衛星參考系上進行觀察時，陀螺的自旋應當不隨時間而變，我們就不可能觀察到陀螺的進動。因此如果在實驗中觀察到陀螺的進動，其結果恰恰證明廣義相對性原理不成立，說明在引力場中自由降落的參考系上，引力場并沒有被局部地消除。如果衛星上的觀察結果與地球靜止參考系上的計算結果一致，這個事實只能說明引力效應具有絕對意義，因而廣義相對性原理就是不可能的，愛因斯坦引力理論的基礎將被徹底破壞。18.5非慣性運動參考系與引力場時空彎曲的等效性問題目前一般認為引力場中時間延緩是等價原理的結果，與引力場方程沒有直接關系。愛因斯坦用轉動圓盤實驗證明，與非慣性參考系相同，引力場的時空是彎曲的。以下我們來分析這個問題，先討論時間延緩。按狹義相對論，對于地面上的觀察者，轉動圓盤邊緣上的鐘因存在運動速度而變慢。考慮到向心加速度與勻速圓周運動速度的關系為，有時間延緩公式：（18.14）其中是轉盤上鐘的時間間隔，是地面參考系上鐘的時間間隔。如圖18.2所示，按靜止在勻速轉動圓盤上的觀察者的觀點，是作用在鐘（或觀察者）上的向心力，是慣性力，兩個力達到平衡時鐘靜止在圓盤上。另一方面按等價原理，慣性力與引力等價。此時觀察者認為自己靜止在引力場中，應被理解為某種諸摩擦力之類的電磁力。這個力與引力（實際上慣性力）達到平衡時，鐘或觀察者才能夠靜止在引力場中。因此如果等價原理成立，靜止在引力場里的鐘也會變慢，變慢的程度就應該由（18.14）式確定。由于轉動圓盤可以看成是一個有心力場的系統，靜止在中心引力場中的物體受到引力可以寫為，代入（18.14）式就得到時間延緩：（18.15）然而如前討論我們知道，從非慣性運動的角度，靜止在轉動圓盤上與靜止在繞地球做圓周運動的飛船上的本質上是一樣的。但后者是參考系在引力場中自降落，按廣義相對論是沒有時間延緩的。我們再來討論質點沿著球對稱引力場中心方向的運動，質點受到的向心力也是。設時質點的運動速度為零，按經典牛頓力學，質點在引力場中運動時，能量守恒式為:或（18.16）將（18.16）式代入（18.14）式的第一個等式，得到固定在該質點上的鐘的時間延緩：（18.17）這里就出現兩個問題。首先（18.16）式描述的是質點在引力場中自由降落，按廣義相對論在隨質點運動是參考系上是沒有時間延緩的。其次，（18.17）式與（18.15）式不一樣，說明在同樣的中心力場中運動，時間延緩與運動方式有關，勻速圓周運動和直線加速運動產生的時間延緩是不一樣的。但在廣義相對論中卻沒有這種的區分，認為非慣性運動等價于靜止在引力場中。靜止在球對稱引力場中的鐘的時間延緩用（18.17）式表示（取）。上世紀60年代飛機載原子銫鐘環繞地球的實驗，以及在太陽系和地球弱引力場中的光譜紅移實驗，證明弱引力場導致的時間延緩滿足（18.17）式。在光譜紅移實驗中，光子沿引力作用的方向運動。然而在原子鐘環繞地球實驗中，原子鐘做圓周運動，而不是沿引力作用的方向運動。若按等價原理，原子銫鐘環繞地球實驗產生的時間延緩應當滿足（18.15）式，而不是（18.17）式。這里顯然存在矛盾。原子鐘是根據原子振動的頻率來確定時間的，按等價原理原子振動頻率變慢意味著引力場中時間過程變慢。通過光譜引力紅移和原子銫鐘環繞地球的實驗，目前一般認為引力場的存在使時間過程變慢的假設已經得到證實。但這其實不然，因為試驗中我們用的是原子鐘，原子鐘變慢只是證實引力場的存在使光的波長變長，這不等于時間過程真正變慢。計時可以有許多方式，若將機械鐘放入引力場中去做實驗，且發現機械鐘也變慢后，我們才有理由認為引力場真的使時間過程變慢，但至今并不存在這種實驗。事實上我們可以將原子發出光的頻率的改變歸因于光子在引力場中運動是引力勢的變化，而不必考慮時間過程本身的變化。本文集第二十一章中將證明，引力場中光子的引力勢能為正值。由于引力場中能量守恒，原子中電子的能級或光子的頻率必然要改變。結果導致引力場中的原子鐘變慢，但這與引力場時間過程本身變慢是兩回事。也就是說我們并不需要引力場使時間變慢的假設，就能很好地解釋原子鐘變慢和引力紅移。下節中我們還將證明，從等效原理出發解釋引力紅移實際上存在困難，從而說明引力存在使時間過程本身變慢的假設是不可信的。再來討論等效原理涉及的空間彎曲問題。按狹義相對論的長度收縮，當轉動圓盤的角速度為時，圓盤的空間度規可以寫為：（18.18）圓周運動參考系的向心加速度可以寫為，代入上式就有：（18.19）表示在轉盤空間的切線方向上長度收縮。由于在向心力或慣性力方向上沒有運動速度，圓盤半徑方向上沒有發生長度收縮。而按廣義相對論，由于靜態球對稱引力場，施瓦西度規的空間部分可以直接寫為：（18.20）由于圓球的切片就是圓盤，圓球的切片和圓盤二者的時空彎曲情況應當是一致的。實際上對薄圓盤可以令。對相應的圓球薄切片，可以令，。在這種情況下（18.19）和（18.20）式描述的應當是相同的系統。然而我們看出，（18.9）式和（18.20）式是不相容的。在（18.20）式的施瓦西度規中，長度收縮發生在矢徑方向，即引力的作用方向。而在（18.19）式的轉動圓盤非慣性參考系中，長度收縮發生在圓周方向，而不是慣性力的作用方向。另一方面，如果非慣性參考系在向心力的作用下沿力場方向做加速運動，按狹義相對論洛倫茲收縮的定義，。考慮到，我們也可以將非慣性參考系的長度收縮寫為：（18.21）顯然（18.21）式與（18.19）和（18.20）式是不一致的。（18.20）式在弱引力場中有許多實驗驗證，但（18.19）和（18.21）式沒有實驗證明。它們之間的不一致性只能說明，用等價原理來導出引力場使空間彎曲的做法是不可取的。事實上靜止在引力場中的參考系空間會變彎曲的假設，至今沒有任何直接的實驗證據。我們有的僅是間接的證據，即通過愛因斯坦引力場方程的計算，可以比牛頓引力理論更好地描述太陽系引力場中物體的運動。愛因斯坦引力理論導致太多的時空奇異性，在時空奇點上現有的一切物理規律都失效，以至于我們根本無法了解其中的物理過程的性質。而這種時空奇異性的出現恰恰就是將引力理論建立在彎曲時空基礎上的直接結果。如下文所證明，我們實際上完全可以在平直參考系上建立引力理論，由此就沒有必要引入引力場使空間發生彎曲的假設。由于平直參考系的時空曲率為零，就不存在時空奇異性問題。在平直時空中建立引力理論后，彎曲時空中的奇點被轉換成引力在處無窮大的點，這種無窮大在任何以點粒子為基本模型的理論中都會出現。如在經典牛頓引力理論中，時引力就會變成無窮大。這是不足為奇，它與時空曲率無窮大是兩回事。18.6用等價原理解釋光譜引力紅移存在的邏輯問題以下證明用愛因斯坦廣義相對論的等價原理解釋光譜引力紅移實際上存在邏輯合理性問題。在廣義相對論中，引力紅移是通過等價原理來進行解釋的，與引力場方程無關。設在無引力場的情況下某原子發出光的固有頻率為，固有波長為，我們先討論將引力場外這種原子移到球對稱引力場的點后的情況。假設靜止在引力場外處的觀察者測量引力場中處原子發出的光，得到的頻率和波長為和。同時假設引力場中光的速度不變，仍有。按廣義相對論的等價原理，球對稱引力場中我們有時間延緩公式：（18.22）其中為固有時，是坐標時。廣義相對論中已證明，對于光在靜態引力場中的傳播過程，可以認為是不變的。時間延緩公式說明，靜止在引力場中的鐘的時間過程變慢。另外在大多數文獻和教科書中，一般都假設原子振動頻率與固有時之間存在以下關系：（18.23）將紅移定義為：（18.24）上式已考慮到引力場中光速不變，即，利用以上諸式就得到：（18.25）我們得到的是波長紅移。在弱場條件下當時，有，結果與實際相符。以上的數學過程沒有問題，但在邏輯上卻存在問題。這是由于按（18.25）式我們有。但按（18.23）式若要，就有。也就是說將一個原子從引力場外移到引力場中處后，它的振動頻率要變大，因此引力場中原子發出的光的頻率也將變大。由于引力場中光速不變，就意味著引力場中原子發出的光的波長要變小，即有。因此當引力場中原子發出的光傳到引力場外的觀察者處時，有三種可能性。第一種可能性是，引力場外觀察者觀察到的應當是光波的紫移，而不是紅移。按廣義相對論，光子在引力場中沿測地線運動時不受力作用，沒有勢能概念，光子在引力場處的能量可以寫為。假設光子在引力場中運動時能量不變，就意味著光子在引力場中運動時頻率不變。加上光速不變，光子在引力場中運動時波長也是不變的。因此在引力場外的觀察者看來，引力場內原子發出的光到達處時，其波長和頻率都不變，仍有和頻率。因此引力場外觀察者觀察到的應當是光波的紫移，而不是紅移，當然這是與實驗不一致的。第二種可能性是，引力場外觀察者觀察不到任何光的波長的移動。因為按光的波動理論，光波也是一種振動過程。既然在引力場的不同點上時間延緩是不同的，光傳到引力場的不同點上時，它的振動頻率也是要改變的。當引力場強度不斷減小時，它的頻率也應當不斷變小。因此在引力場的不同點上光的波長也是不同的。當引力場中原子發出的光向引力場外傳播時，它的波長將不斷變大。當光傳播到引力場觀察者處時，由于，它的波長和頻率又變成原來的固有波長和頻率和，其結果是引力場外的觀察者觀察不到光的波長的紅移。第二種可能性的前提是，光在引力場的傳播過程中頻率要發生變化。但是由于按廣義相對論沒有引力勢能的概念，光子沒有勢能。這種情況意味著在引力場運動中時光的能量不守恒，這也是難以接受的。第三種可能性是，將引力場外頻率為波長為的原子移到球對稱引力場中的點上時，在引力場中點附近的觀察者看來，該原子的頻率和波長仍為和。或者我們假設引力場處原子的頻率和波長原始地就為和，從而不考慮將原子從引力場外移到引力場中的問題。當該原子發出的頻率為波長為的光傳到的引力場外時，引力場外的觀察者觀察到的頻率和波長變為和，且有和。目前廣義相對論中對引力紅移的計算實際上就是按這種設想進行的，但這里又存在兩個問題。首先我們已經假設引力場中的處原子的振動頻率仍為原子的固有頻率。但為了得到的結果，我們又不得不假設，按（18.23）就有。而這就與假設引力場中原子的振動頻率為固有頻率的前提自相矛盾。原子的固有頻率指的是在無相互作用的自由狀態下，與原子靜止在一起的觀察者測量得到的頻率。這種頻率與引力場是否存在無關，就不存在關系。其次認為引力場中原子的頻率不變，仍然是它在無引力場時的固有頻率的假設本身就是有問題的，它與等價原理本身是不一致的。可以說以上引力紅移解釋困難與（18.23）式的假設有關，這個假設是為了能在數學上得到引紅移公式引入的。考慮到時間過程變慢意味原子振動頻率變小，頻率和固有時的真實關系應當是：（18.26）有些廣義相對論文獻和教科書中也是這樣定義頻率和固有時的關系的。我們可以假設固有頻率和固有波長為和的原子被放到引力場中處時，振動頻率和波長變為和。此時有：（18.27）可得和，即引力場中原子發出的光的頻率變小波長變長。按廣義相對論光子在引力場中運動時不受力的作用，沒有引力勢能概念。由于能量守恒，光子在引力場中運動時能量不變。因此引力場中原子發出的光到達引力場外時，光的頻率和波長仍然為和。按（18.24）式的引力紅移定義，我們可以得到紅移，有：（18.28）這種解釋似乎合理，但仍然存在前述的問題。按光的波動理論，光波也是一種振動過程，既然在引力場的不同點上時間延緩是不同的，光傳到引力場的不同點上時，它的振動頻率也是要改變的。將原子放入引力場時，我們假設它的振動頻率會改變。但原子發出的光從引力場中傳出的時候，又假設它的頻率不變，這是不合符邏輯的。因此當引力場強度不斷減小時，它的頻率也應當不斷變大，波長不斷變小。當引力場處的原子發出的，頻率和波長為和的光傳播到引力場外觀察者處時，它的波長和頻率又應當變成原來的固有頻率和波長頻和。其結果是，引力場外的觀察者實際上觀察不到光的波長的紅移。同時由于光在引力場的傳播過程中頻率發生變化，按廣義相對論就意味著在引力場運動中時光的能量不守恒，這也是難以接受的。因此可以說按現有的廣義相對論的等效原理，我們實際上無法解釋光譜的引力紅移。可以指出的是，產生以上矛盾的原因在于我們假設引力場中光速不變。在第二十一章中我們將證明，嚴格按愛因斯坦球對稱靜態引力場方程的施瓦西解，對于靜止的觀察者，引力場中光的運動速度為。同時光子在球對稱引力場中沿矢徑方向運動時受斥力作用，光子的引力勢能為正值。考慮到這兩個因素后，就可以邏輯合理地解釋引力紅移現象。也就是說廣義相對論關于靜止在引力中時鐘變慢現象的本質，實際上是引力的作用使原子的能級和引力勢能發生了變化，而不是引力場真的使時間過程變慢。另外我們知道現有物理學上只發現兩種效應會引起光譜紅移，一種是多普勒效應，另一種是引力效應。多普勒紅移可以從狹義相對論導出，它的實驗和理論研究已是非常徹底。相對而言引力紅移的理論和實驗研究就顯得不足，因此我們應當以多普勒紅移為背景來討論引力紅移問題。同樣設和是光的固有頻率和固有波長，或與光源相對靜止的觀察者測量得到的頻率和波長，和是在靜止參考系中測量運動光源發出的光得到的頻率和波長。狹義相對論中多普勒頻移的原始定義為：（18.29）顯然它與廣義相對論引力紅移的原始定義（17.22）式是不一樣的。若采用（18.24）式的定義，同樣令，，以及，我們得到的是：（18.30）在弱場條件下當時，有，結果與（18.25）式一致。但在不是很小時，兩種紅移定義的結果是不一樣的。當極端的情況是當時，按（18.25）式我們有，按（18.30）式我們卻有，二者完全不一樣。那么哪種定義是正確的呢？這個問題在現有的廣義相對論中也沒有被認真地對待。為了與多普勒紅移的定義一致，本文也將（18.29）式作為引力紅移的原始定義。同時認為（18.26）式所示的原子振動頻率和固有時之間的關系才是正確的。在此基礎上來討論引力紅移問題，可以得到真正合理的，沒有任何邏輯矛盾的引力紅移解釋。十九細圓環和雙球體引力場產生的奇點與愛因斯坦引力場方程的合理性問題內容摘要本文從愛因斯坦引力場方程的雙參數軸對稱克爾解和三參數柱對稱克爾-紐曼解出發，通過坐標變換求得質量細圓環和雙球體靜態分布的引力場方程解。結果表明不論細圓環和雙球體的質量和密度為何，哪怕是極小的質量分布和極弱的場，在細圓環中心和雙球體球表面接觸點的空間曲率都是無窮大，且奇點完全裸露。在環和雙球體表面附近空間也是高度彎曲的，這與實際情況完全不符。結果說明愛因斯引力理論中出現的時空奇性實際上不是由高密度大質量物質引起，而是愛因斯坦引力場方程本身內含的，采用彎曲時空坐標的描述方法引起的。所謂含有時空奇性的黑洞、白洞和蛀洞等都是一些自然界中不存在的虛假的東西，與真實物理世界完全無關。因此愛因斯坦的引力理論不可能是一個普遍適用的相互作用理論。19.1細圓環靜態質量軸對稱分布引力場愛因斯坦引力理論雖然獲得很大成功，但實際上只是在太陽系弱引力場中得到四個檢驗。更嚴格地說，只是證明其引力場方程最簡單的真空靜態球對稱解在弱場條件下是有效的。至于其他物質分布形式的引力場方程解，或者未能得到實驗證實，或者都找不到有實際物理意義的對應系統。面對如此眾多的物質和能量分布形式，與牛頓引力理論、量子力學和狹義相對論如此眾多的實驗證實相比，愛因斯坦引力場方程受到的檢驗是遠遠不夠的。以下我們從愛因斯坦引力場方程的雙參數軸對稱克爾解和三參數柱對稱克爾-紐曼解出發，通過坐標變換求得質量細圓環和雙球體靜態分布的引力場方程解。結果表明不論細圓環和雙球體的質量和密度為何，在細圓環中心和雙球體球表面接觸點的空間曲率都是無窮大，且奇點完全裸露。在環和雙球體表面附近空間也是高度彎曲的，這些都與實際情況完全不符，由此說明愛因斯坦引力場方程并不具有普遍意義。圖19.1軸對稱細圓環靜態質量分布圖19.2軸對稱雙球體靜態質量分布如圖19.1所示，質量為半徑為b的細圓環位于平面，環心位于坐標原點。假定圓環足夠地細，以致于與其截面積長度相比可視為零，下文將看到圓環的截面積不為零時的結果在本質上也是一樣的。由于質量是靜態軸對稱分布，按愛因斯坦理論，引力場的度規張量與時間和坐標無關，四維弧元可以寫為：(19.1)引入坐標變換，，并令，，還可以將（19.1）式改寫為：（19.2）以上兩式都可以用來描述細圓環的引力場，直接將以上度規代入愛因斯坦引力場方程原則上就可以得到解，但直接求解引力場方程有困難。考慮到質量細圓環軸對稱分布時只有兩個獨立參數和，而愛因斯坦引力場方程雙參數軸對稱問題已有一個現成的解，即克爾解。如果引力場方程的解是唯一的，我們就可以而且也只能從克爾解通過坐標變換來求質量細圓環分布解，除此之外我們別無選擇。以下對此進行討論。Kerr解是：（19.3）目前Kerr解被解釋為旋轉球體的引力場方程解，其中，是單位質量的角動量(采用自然單位制)。但對于質量細圓環分布，其意義是不一樣的，可見下文討論。（18.3）中含有的交叉項，是動態解。這個交叉項在靜態軸對稱解中不應該存在，我們可以通過將度規張量矩陣對角化來做到這一點。由于僅需考慮與和有關的項，令：（19.4）從本征方程：（19.5）可得：（19.6）（19.7）所以只要令（此時將和視為常數）：（19.8）（19.9）方程（19.3）式就能被轉化為對角的形式。然后為符號表示一致起見，再令，，得：（19.10）上式具有（19.1）式的基本形式，可以用來描述細圓環的引力場。另外眾所周知愛因斯坦引力場方程的解必須在弱引力場中與牛頓引力理論相比較后，才能最終確定解的積分常數。按廣義相對論的這個基本原則，在弱場中引力場方程的解與牛頓引力勢的關系為：（19.11）以下來求質量細圓環的函數形式。如圖19.1所示，設空間某觀察點的坐標為，，。環上某點的坐標為，，，此點與觀察點之間的距離為：（19.12）由于對稱性，為簡單起見可取固定觀察點的，于是細圓環的牛頓勢為：（19.13）其中是細圓環的靜止質量，是細圓環的質量線密度，是細圓環的半徑。令則，代入上式，得：（19.14）再令，上式寫為：（19.15）式中。令：(19.16)(19.16）式是第一類完全橢圓函數，當時可得：（19.17）另外在時有：（19.18）代入（19.15）式，考慮到，細圓環質量，可得：（19.19）另我們將按的負冪次方展開后，（19.10）式可以寫為：（19.20）當時比較和中含次的項，按（18.11）式得：（19.21）令參數，得。但上式實際上僅是將細圓環的質量集中在中心點時的牛頓引力勢的對應關系，不是細圓環的引力勢。為了得到質量細圓環分布的引力勢，必須考慮高階項。在取到項后，按（19.11）、（19.19）和（19.20）式，就得到：（19.22）因此考慮高階近似后，上式兩邊的函數形式一般不一樣。說明一般而言當時，愛因斯坦引力理論在高階近似下與牛頓理論一般無法自動達到漸近一致。為了使二者漸近一致，還要做進一步的變換。考慮到度規（19.10）式中的常數具有長度量綱，因此可令。由于我們總有，可能有，故一般。可令，代入上式得：（19.23）從上式可以得到和之間的變換關系，令，，解上式三次方程可知，由于，上式唯一的實數解是：（19.24）式中，，，.從上式我們就得到，以及（19.25）但和的具體形式不重要，這里就不再寫出。代入（19.10）式，就可以得到細圓環的引力場方程解，該解具有（19.2）式的形式：（19.26）其中。由于（19.24）和（19.26）式太復雜，為簡單起見，我們直接從（19.23）式出發來討論細圓環引力場的性質。可知當時，和具有相同的坐標原點。由此時就有，，。結果表明在圓環中心出現空間曲率奇點，奇點附近的空間也是高度彎曲的。不論細圓環的質量與大小怎樣，情況都是如此。而且這個奇點完全暴露在真空中，不象施瓦西球對稱解那樣，奇點隱藏在高密度或大質量的中心，不可直接觀測，以至于人們似乎能容忍它們的存在。但細圓環引力場中出現的這種奇點顯然是荒謬的，違背常識而不可接受的。此外還可以證明在細圓環表面附近的空間也是高度彎曲的。事實上由于，作為近似估計，我們可以令。在細圓環的環面附近可以取，得：（19.27）若取，（19.23）式變為：或（19.28）（19.29）在細圓環的環面附近可令，則，，代入（19.27）式可求得，，。可見空間高度彎曲，結果與事際情況完全不符。對于這樣的弱引力場，細圓環環面附近的空間應當是幾乎平坦的，我們應當有。由于這是一個可以直接測量的量，因此可以說對于細圓環質量分布問題，愛因斯坦引力場方程是完全不適用的。而按牛頓理論（19.13）式，在的環中心點引力勢是個有限值，為：（19.30）因此在環中心點引力為零，與實際一致。由此可見，為了確定愛因斯坦引力場方程解的積分常數，我們必須在的弱場中令愛因斯坦引力理論的結果與牛頓引力理論的結果漸近等價。否則由于愛因斯坦理論與牛頓理論無法比較，就無法確定愛因斯坦引力理論是否有效。但在細圓環質量靜態軸對稱分布問題中，按愛因斯坦引力理論，在細圓環中心的真空點空間曲率出現無窮大，使得愛因斯坦引力理論變得沒有意義。在細圓環中心和環面附近，按愛因斯坦引力理論空間也是高度彎曲的，所有這些都與實際情況完全不符。另外在（19.26）式中令，得。對于弱場取公斤，則米，。故就不是實數,（19.26）式中由決定的第二個奇點一般不存在。以下討論圓環截面不可忽略時的情況。此時引力場還與圓環截面半徑有關，是三參數軸對稱引力場。另我們知道克爾-紐曼度規是三參數軸對稱度規，目前用它來描述勻速轉動帶電球體外部引力場。如果愛因斯坦引力場方程三參數軸對稱解是唯一的，通過坐標變換也應同樣能用克爾-紐曼度規來描述圓環的引力場。按前述方式將克爾-紐曼度規對角化后，再令，，可得：（19.31）很明顯在和時有：（19.32）考慮到圓環截面積時，牛頓引力勢的計算較復雜，本文不做詳細計算，但通過簡單的估計也能得出與細圓環情況類似的結果。設圓環的截面半徑為，與圓環的長度相比不是很大，在，時總可以將圓環的牛頓引力勢寫為：（19.33）當時保留到次項，從以上兩式和（19.11）式可得：（19.34）令，，從上式可以解出：（19.35）代入（19.31）式就可求得圓環的度規。當時，即當時。因此從（19.31）式可以看出，在時圓環中心的奇點仍然存在，而且也是暴露在真空中。圓環附近的空間也必將是高度彎曲的，情況與細圓環完全一樣。19.2雙球體靜態質量軸對稱分布引力場以下討論質量雙球體分布的引力場問題。如圖19.2所示，兩球的質量都為，半徑為，球心分別位于軸的點。這也是雙參數軸對稱分布問題，其解應當也可以從克爾解通過坐標變換得到。對于此問題，牛頓引力勢為：（19.36）當時有：（19.37）代入（19.11）式得：（19.38）令，，，得：（19.39）上式與（19.23）式完全類似，令，，可以得到類似的（19.24）和（19.25）式。代入（19.10）式就可以得到質量雙球體分布的引力場度規，結果也由（19.26）式表示。同樣由于（19.24）太復雜，我們實際上可以直接從（19.39）式出發來討論。可知當時，同樣有，，，以及當，時。因此在兩球的接觸點出現空間曲率奇點。設，，（19.39）式就變為：或（19.40）同樣令公斤，是極弱的引力場。在（19.26）式中令，求得與（19.29）式類似的式子：（19.41）在球體表面上某點令，可以求出，。代入（19.27）式得，，，可知雙球體表面附近空間也是高度彎曲的。這顯然也與實際完全不符，在這種弱引力場中，空間應該是近乎是平直的，我們應該有。問題更嚴重之處還在于當時，按（19.40）式變成負數，這是沒有意義的，因此用（19.26）式的度規來描述質量雙球體引力場實際上是不可能的。實際上還有許多質量雙參數和三參數對稱分布的情況，例如兩個以上圓球的直線疊加，兩個錐體錐尖對頂疊加，質量空心圓柱分布等等。從原則上講，都應能通過克爾或克爾-紐曼解的坐標變換來求得它們的解，但可以想象也必然會出現同樣的問題。19.3一般情況的討論通過以上計算我們可以得出以下結論：1．如果愛因斯坦引力場方程的雙參數或三參數軸對稱解是唯一的，質量圓環和雙球體靜態軸對稱分布等一系列問題只能通過克爾解或克爾-紐曼解的坐標變換來獲得。但這些解顯然都與實際不符，因此愛因斯坦引力場方程就不是一個普遍適用的理論。如果愛因斯坦引力場方程的雙參數或三參數軸對稱解不是唯一的，即愛因斯坦引力場方程還存在其它解（盡管目前還未找到），可以用來正確描述質量圓環和雙球體靜態軸對稱等分布，則愛因斯坦引力場方程解就不滿足唯一性要求。但唯一性是對一個普遍適用的物理學基本理論最起碼的要求。2．目前從廣義相對論發展出大量的時空奇異性理論，如黑洞、白洞和蛀洞理論。一般認為時空奇異性是由高密度大質量物質引起的。但從前述討論可以看出，即使在細圓環和兩個小圓球系統中，按廣義相對論引力場方程解也會出現時空奇異性。說明這些奇異性實際上不是由高密度或大質量物質引起，而是愛因斯坦引力場方程本身內含的，由彎曲時空的描述方法引起的，與真實物理世界無關的東西。無窮大只能是數學上的東西，在現實中不可能存在。因此所謂的奇異性黑洞、白洞和蟲洞都是一些自然界中不存在的虛假的東西。3．眾所周知愛因斯坦引力場方程解本身并不能完全確定引力分布，它必須在弱引力場中與牛頓引力理論對照，才能最終確定引力場方程解中的積分常數，從而確定引力場方程解。按目前的做法，在弱場條件下令是一階小量，假設:（19.42）式中是閔可夫斯基度規，愛因斯坦場方程就變為：□（19.43）（19.44）引入合適的函數，按以下方式進行坐標變換：（19.45）總可以使諧和坐標條件得到滿足，從而可得：（19.46）（19.44）式的能量動量張量也應做相應的變換。將上式代入（19.43）式，可以將引力場方程變為：□（19.47）上式有類似于經典牛頓引力理論的推遲解：（19.48）其中。而按關系式（19.11），，是牛頓引力勢，從而就證明愛因斯坦引力場方程在弱場條件下與牛頓引力理論一致。這樣的做法粗看起來很合理，但仔細考察就會發現是有問題的。因為要將（19.43）式變為（19.47）式，我們一般要引入坐標變換（19.45）式，但此時（19.44）式也要做相應的變換。這意味著系統的物質和能量分布形式也要發生變化，其結果就是我們將原來的引力場變換為其它形式的引力場。通過這種方式得到的新解（19.48）式就已不是原來引力場方程的解，對于原來的問題實際上是沒有意義的。以下我們舉一個簡單的例子對這個結果加以說明。考慮無限長質量線分布的引力場方程解，即所謂的Kasner度規，它有以下形式：（19.49）一般有，，，否則（19.49）變為平直時空的閔可夫斯基度規。按牛頓引力理論對于無限長質量線分布，柱外引力場強度為：（19.50）式中為線密度。從上式可知當足夠大時很小，可以視為是弱場。按愛因斯坦引力理論，此時我們有，或：（19.51）因此當足夠大時，按上式引力場強應為：（19.52）與牛頓理論的結果（19.50）比較，當足夠大時就應該有關系：（19.53）然而當時此等式兩邊函數的形式完全不同，二者根本無法比較。當時上式右邊等于零，但左邊不等于零，等式不成立。實際上當足夠大時我們有：（19.54）可見（19.49）式中的，和都不能寫為的形式，因此我們就無法將愛因斯坦理論與牛頓引力理論聯系起來，二者無法達到