小學(xué)四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第1課《乘法原理》試題附答案

第一講乘法原理

在日常生活中常常會(huì)遇到這樣一些問題，就是在做一件事時(shí)，要分幾步才

能完成，而在完成每一步時(shí)，又有幾種不同的方法，要知道完成這件事一共有

多少種方法，就用我們將討論的乘法原理來解決.

例如某人要從北京到大連拿一份資料，之后再到天津開會(huì).其中，他從北

京到大連可以乘長(zhǎng)途汽車、火車或飛機(jī)，而他從大連到天津卻只想乘船.那

么，他從北京經(jīng)大連到天津共有多少種不同的走法？

分析這個(gè)問題發(fā)現(xiàn)，某人從北京到天津要分兩步走.笫一步是從北京到大

連，可以有三種走法，即：

車/大連

第二步是從大連到天津，只選擇乘船這一種走法，所以他從北京到天津共

有下面的三種走法：

大連-船天津

大連一獨(dú)一天津

注意到3X1=3.

如果此人到大連后，可以乘船或飛機(jī)到天津，那么他從北京到天津則有以

下的走法：

共有六種走法，注意到3X2=6.

在上面討論問題的過程口，我們把所有可能的辦法一一列舉出來.這種方

法叫窮舉法.窮舉法對(duì)于討論方法數(shù)不太多的問題是很有效的.

在上面的例子中，完成一件事要分兩個(gè)步驟.由窮舉法得到的結(jié)論看到，

用第一步所有的可能方法數(shù)乘以第二步所有的可能方法數(shù)，就是完成這件事所

有的方法數(shù).

例1某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，

共有多少種不同的買法？

分析某人買飯要分兩步完成，即先買一種主食，再買一種副食（或先買副

食后買主食）,其中，買主食有3種不同的方法，買副食有5種不同的方法.故

可以由乘法原理解決.

例2右圖中有7個(gè)點(diǎn)和十條線段，一只甲蟲要從A點(diǎn)沿著線段爬到B點(diǎn)，要求任

何線段和點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過.問：這只甲蟲最多有幾種不同的走法？

例3書架上有6本不同的外語書，4本不同的語文書，從中任取外語、語文書各

一本，有多少種不同的取法？

例4王英、趙明、李剛?cè)思s好每人報(bào)名參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的跳遠(yuǎn)、跳高、100

米跑、20咪跑四項(xiàng)中的一項(xiàng)比賽，問，報(bào)名的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)多少種不同的情形?

例5由數(shù)字0、1、2、3組成三位數(shù)，問：

①可組成多少個(gè)不相等的三位數(shù)？

②可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

例6由數(shù)字1、2、3、4、5、6共可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)?

例7右圖中共有16個(gè)方格，要把A、B、C、D四個(gè)不同的棋子放在方格里，并使

每行每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子.問：共有多少種不同的放法？

例8現(xiàn)有一角的人民幣4張，貳角的人民幣2張，壹元的人民幣3張，如果從中

至少取一張，至多取9張，那么，共可以配成多少種不同的錢數(shù)？

答案

例1某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，

共有多少種不同的買法？

分析某人買飯要分兩步完成，即先買一種主食，再買一種副食（或先買副

食后買主食）.其中，買主食有3種不同的方法，買副食有的不同的方法.故

可以由乘法原理解決.

解:由乘法原理，主食和副食各買一種共有3X5=15種不同的方法.

補(bǔ)充說明：由例題可以看出，乘法原理運(yùn)用的范圍是：①這件事要分幾個(gè)

彼此互不影響的獨(dú)立步驟來完成；②每個(gè)步驟各有若干種不同的方法來完成.

這樣的問題就可以使用乘法原理解決問題.

①要求組成不相等的三位數(shù).所以，數(shù)字可以重復(fù)使用，百位上，不能取

0,故有3種不同的取法；十位上，可以在四個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有4種不同的取

法；個(gè)位上，也有4種不同的取法，由乘法原理，共可組成3X4X4=48個(gè)不相等

的三位數(shù).

②要求組成的三位數(shù)中役有重復(fù)數(shù)字，百位上，不能取0,有3種不同的取

法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一個(gè)，故只剩下。和其余兩個(gè)數(shù)字，

故有3種取法；個(gè)位上，由于百位和十位已各取走一個(gè)數(shù)字，故只能在剩下的兩

個(gè)數(shù)字中取，有2種取法，由乘法原理，共有3X3X2=18個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位

數(shù).

解：由乘法原理

①共可組成3X4X4=48（個(gè)）不同的三位數(shù)；

②共可組成3X3X2=18（個(gè)）沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).

例6由數(shù)字1、2、3、4、5、6共可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？

分析要組成四位數(shù)，需一位一位地確定各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，即分四步完

成，由于要求組成的數(shù)是奇數(shù)，故個(gè)位上只有能取1、3、5中的一個(gè)，有3種不

同的取法；十位上，可以從余下的五個(gè)數(shù)字中取一個(gè)，有5種取法；百位上有4

種取法；千位上有3種取法，故可由乘法原理解決.

解：由1、2、3、4、5、6共可組成

3X4X5X3=180

個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù).

例7右圖中共有16個(gè)方格，要把A、B、C、D四個(gè)不同的棋子放在方格里，并使

每行每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子.問：共有多少種不同的放法？

分析由于四個(gè)棋子要一個(gè)一個(gè)地放入方格內(nèi).故可看成是分四步完成這件

事.第一步放棋子A,A可以放在16個(gè)方格中的任意一個(gè)中，故有16種不同的放

法；第二步放祺子B,由丁A己放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格內(nèi)也

不能放B,故還剩下9個(gè)方格可以放B,B有9種放法；第三步放C,再去掉B所在的

行和列的方格，還剩下四個(gè)方格可以放C,C有4種放法；最后一步放D,再去掉C

所在的行和列的方格，只剩下一個(gè)方格可以放D,D有1種放法，本題要由乘法原

理解決.

解：由乘法原理，共有

16X9X4X1=576

種不同的放法.

例8現(xiàn)有一角的人民幣4張，貳角的人民幣2張，壹元的人民幣3張，如果從中

至少取一張，至多取9張，那么，共可以配成多少種不同的錢數(shù)？

分析要從三種面值的人民幣中任取幾張，構(gòu)成一個(gè)錢數(shù)，需一步一步地來

做.如先取一角的，再取貳角的，最后取壹元的.但注意到，取2張一角的人民

幣和取1張貳角的人民幣，得到的錢數(shù)是相同的.這就會(huì)產(chǎn)生重復(fù)，如何解決這

一問題呢？我們可以把壹角的人民幣4張和貳角的人民幣2張統(tǒng)一起來考慮.即

從中取出幾張組成一種面值，看共可以組成多少種.分析知，共可以組成從壹

角到捌角間的任何一種面值，共8種情況.（即取兩張壹角的人民幣與取一張貳

角的人民幣是一種情況；取4張壹角的人民幣與取2張貳角的人民幣是一種情

況.）這樣一來，可以把它們看成是8張壹角的人民幣.整個(gè)問題就變成了從8

張壹角的人民幣和3張壹元的人民幣中分別取錢.這樣，第一步，從8張壹角的

人民幣中取，共9種取法，即0、1、2、3、4、5、6、7、8；第二步，從3張壹元

的人民市申取共4種取法，即0、1、2、3.由乘法原理，共有9X4=36種情形，

但注意到，要求“至少取一張”而現(xiàn)在包含了一張都不取的這一種情形，應(yīng)減

掉.

解：取出的總錢數(shù)是

9X4-1=35種不同的情形.

習(xí)題一

1.某罪犯要從甲地途經(jīng)乙地和丙地逃到丁地，現(xiàn)在知道從甲地到乙地有3

條路可以走，從乙地到丙地有2條路可以走，從丙地到丁地有4條路可以走.

問，罪犯共有多少種逃走的方法？

2.如右圖，在三條平行線上分別有一個(gè)點(diǎn)，四個(gè)點(diǎn)，三個(gè)點(diǎn)（且不在同一

條直線上的三個(gè)點(diǎn)不共線）.在每條直線上各取一個(gè)點(diǎn)，可以畫出一個(gè)三角

形.問：一共可以畫出多少個(gè)這樣的三角形？

BCDE

FGH

3.在自然數(shù)中，用兩位數(shù)做被減數(shù)，用一位數(shù)做減數(shù).共可以組成多少個(gè)

不同的減法算式？

4.一個(gè)籃球隊(duì)，五名隊(duì)員A、B、C、D、E,由于某種原因，C不能做中鋒,

而其余四人可以分配到五個(gè)位置的任何一個(gè)上.問：共有多少種不同的站位方

法？

5.由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8可組成多少個(gè)

①三位數(shù)？

②三位偶數(shù)？

③沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？

④百位為8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

⑤百位為8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？

6.某市的電話號(hào)碼是六位數(shù)的，首位不能是0,其余各位數(shù)上可以是0~9

中的任何一個(gè)，并且不同位上的數(shù)字可以重復(fù).那么，這個(gè)城市最多可容納多

少部電話機(jī)？

四年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)：第一講乘法原理習(xí)題解答

習(xí)題一解答

1.3X2X4=24（種）.

2.1X4X3=12（個(gè)）.

3.90X9=810（個(gè)）.

4.4X4X3X2X1=96（種）.

5.?8X8X8=512（個(gè)）；?4X8X8=256（個(gè)）；

③4X7X6=168（個(gè)）；④IX7X6=42（個(gè)）；

⑤IX3X6=18（個(gè)）.

6.9X10X10X10X10X10=900000（部）.

小學(xué)四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知

識(shí)點(diǎn)講解第2課《加法原理》試題附答案

第二講加法原理

生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時(shí)，有幾類不同的方法，而每一

類方法中，又有幾種可能的做法.那么，考慮完成這件事所有可能的做法，就

要用我們將討論的加法原理來解決.

例如某人從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長(zhǎng)途汽車，現(xiàn)在知道每天

有五次火車從北京到天津，有4趟長(zhǎng)途汽車從北京到天津.那么他在一天中去天

律能有多少種不同的走法？

分析這個(gè)問題發(fā)現(xiàn)，此人去天津要么乘火車，要么乘長(zhǎng)途汽車，有這兩大

類走法，如果乘火車，有5種走法，如果乘長(zhǎng)途汽車，有4種走法.上面的每一

種走隹都可以從;IE京到天津，/共有5+4=9#不同的走法.

在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法.在具體做的時(shí)候，只

要采用一類中的一種方法就可以完成.并且兩大類方法是互無影響的，那么完

成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二類的方法數(shù).

例1學(xué)校組織讀書活動(dòng)，要求每個(gè)同學(xué)讀一本書.小明到圖書館借書時(shí)，圖書

館有不同的外語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本.那么，小明

借一本書可以有多少種不同的選法？

例2一個(gè)口袋內(nèi)裝有3個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有8個(gè)小球，所有這些小球顏色

各不相同.

間：①從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法?

②從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？

例3如右圖，從甲地到乙地有4條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從甲地

到丙地有3條路可走.那么，從甲地到丙地共有多少種走法？

?=?

例4如下頁圖，一只小甲蟲要從A點(diǎn)出發(fā)沿著線段爬到B點(diǎn)，要求任何點(diǎn)和線段

不可重復(fù)經(jīng)過.問：這只甲蟲有多少種不同的走法？

例5有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、

5、6.將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情

形？

例6從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個(gè)?

例7如下頁左圖，要從A點(diǎn)沿線段走到B,要求每一步都是向右、向上或者向斜

上方.問有多少種不同的走法？

答案

例1學(xué)校組織讀書活動(dòng)，要求每個(gè)同學(xué)讀一本書.小明到圖書館借書時(shí)，圖書

館有不同的外語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本.那么，小明

借一本書可以有多少種不同的選法？

分析在這個(gè)問題中，小明選一本書有三類方法.即要么選外語書，要么選

科技書，要么選小說.所以，是應(yīng)用加法原理的問題.

解：小明借一本書共有：

150+200+100=450（種）

不同的選法.

例2一個(gè)口袋內(nèi)裝有3個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有8個(gè)小球，所有這些小球顏色

各不相同.

問：①從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？

②從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？

分析①中，從兩個(gè)口袋中只需取一個(gè)小球，則這個(gè)小球要么從第一個(gè)口袋

中取，要么從第二個(gè)口袋中取，共有兩大類方法,所以是加法原理的問題.

②中，要從兩個(gè)口袋中各取一個(gè)小球，則可看成先從第一個(gè)口袋中取一

個(gè)，再從第二個(gè)口袋中取一個(gè)，分兩步完成，是乘法原理的問題.

解：①從兩個(gè)口袋中任取一個(gè)小球共有

3+8=11（種）,

不同的取法.

②從兩個(gè)口袋中各取一個(gè)小球共有

3X8=24（種）

不同的取法.

補(bǔ)充說明：由本題應(yīng)注意加法原理和乘法原理的區(qū)別及使用范圍的不同，

乘法原理中，做完一件事要分成若干個(gè)步驟，一步接一步地去做才能完成這件

事；加法原理中，做完一件事可以有幾類方法，每一類方法中的一種做法都可

以完成這件事.

事實(shí)上，住住有許多事情是有幾大類方法來做的，而每一類方法又要由幾

步來完成，這就要熟悉加法原理和乘法原理的內(nèi)容，綜合使用這兩個(gè)原理.

例3如右圖，從甲地到乙地有4條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從甲地

到丙地有3條路可走.那么，從甲地到丙地共有多少種走法？

?三0

分析從甲地到丙地共有兩大類不同的走法.

第一類，由甲地途經(jīng)乙地到丙地.這時(shí)，要分兩步走，第一步從甲地到乙

地，有4種走法；第二步從乙地到丙地共2種走法，所以由乘法原理，這時(shí)共有4

X2二8種不同的走法.

第二類，由甲地直接到丙地，由條件知，有3種不同的走法.

解：由加法原理知，由甲地到丙地共有：

4X2+3=11（種）

不同的走法.

例4如下頁圖，一只小甲蟲要從A點(diǎn)出發(fā)沿著線段爬到B點(diǎn)，要求任何點(diǎn)和線段

不可重復(fù)經(jīng)過.問：這只甲蟲有多少種不同的走法？

分析從A點(diǎn)到B點(diǎn)有兩類走法，一類是從A點(diǎn)先經(jīng)過C點(diǎn)到B點(diǎn)，一類是從A點(diǎn)

先經(jīng)過D點(diǎn)到B點(diǎn).兩類中的每一種具體走法都要分兩步完成，所以每一類中，

都要用乘法原理，而最后計(jì)算從A到B的全部走法時(shí)，只要用加法原理求和即

可.

解：從A點(diǎn)先經(jīng)過C到B點(diǎn)共有，

1X3=3（種）

不同的走法.

從A點(diǎn)先經(jīng)過D到B點(diǎn)共有：

2X3=6（種）

不同的走法.

所以，從A點(diǎn)到B點(diǎn)共有：

3+6=9（種）

不同的走法.

例5有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、

5、6.將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情

形？

分析要使兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個(gè)

數(shù)字要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來考慮.

第一類，兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù).由于放兩個(gè)正方體可認(rèn)為是一個(gè)一個(gè)地放.

放第一個(gè)正方體時(shí)，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1,3,5；放第二個(gè)正方體，出現(xiàn)

奇數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時(shí)共有3X3二9種不同的情形.

第二類，兩個(gè)數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類的討論方法，也有3X3二9種不同

情形.

最后再由加法原理即可求解.

解：兩個(gè)正方體向上的一面同為奇數(shù)共有

3X3=9（種）

不同的情形；

兩個(gè)正方體向上的一面同為偶數(shù)共有

3X3=9（種）

不同的情形.

所以，兩個(gè)正方體向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的共有

3X3+3X3=18（種）

不同的情形.

例6從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個(gè)？

分析從1到500的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù).

一位數(shù)中，不含4的有8個(gè)，它們是1、2、3、5、6、7、8、9；

兩位數(shù)中，不含4的可以這樣考慮：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、

7、&9這八種情況.個(gè)位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情

況，要確定一個(gè)兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)

共有8X9=72個(gè)數(shù)不含4.

三位數(shù)中，小于500杵且不含數(shù)字4的可以這樣考慮：百位上，不含4的有

1、2、3、這三種情況.十位上，不含4的有0、1、2、3、鼠6、7、8、9這九種

情況，個(gè)位上，不含4的也有九種情況.要確定一個(gè)三位數(shù)，可以先取百位數(shù)，

再取十位數(shù)，最后取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有3X9X9=243個(gè)三位數(shù).

由于500也是一個(gè)不含4的三位數(shù).所以，1~500中，不含4的三位數(shù)共有3X9X

9+1二2曲個(gè).

解：在1~500中，不含4的一位數(shù)有8個(gè)；不含4的兩位數(shù)有8X9二72個(gè)；不

含4的三位數(shù)有3X9X9+1=244個(gè)，由加法原理，在1~500中，共有：

8+8X9+3X9X9+1=324（個(gè)）

不含4的自然數(shù).

補(bǔ)充說明：這道題也可以這樣想：把一位數(shù)看成是前面有兩個(gè)0的三位數(shù)，

如：把1看成是001.把兩位數(shù)看成是前面有一個(gè)0的三位數(shù).如：把11看成

011.那么所有的從1到500的自然數(shù)都可以看成是“三位數(shù)”，除去500外，考

慮不含有4的這樣的“三位數(shù)”.百位上，有0、1、2、3這四種選法；十位上，

有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種選法；個(gè)位上，也有九種選法.所以，除

500外，有4X9X9=324個(gè)不含4的“三位數(shù)”.注意到，這里面有一個(gè)數(shù)是

000,應(yīng)該去掉.而500還沒有算進(jìn)去，應(yīng)該加進(jìn)去.所以，從1到500中，不含4

的自然數(shù)仍有324個(gè).

這是一種特殊的思考問題的方法，注意到當(dāng)我們對(duì)“三位數(shù)”重新給予規(guī)

定之后，問題很簡(jiǎn)捷地得到解決.

例7如下頁左圖，要從A點(diǎn)沿線段走到B,要求每一步都是向右、向上或者向斜

上方.問有多少種不同的走法？

分析觀察下頁左圖，注意到，從A到B要一直向右、向上，那么，經(jīng)過下頁

右圖中C、D、E、F四點(diǎn)中的某一點(diǎn)的路線一定不再經(jīng)過其他的點(diǎn),也就是說從A

到B點(diǎn)的路線共分為四類，它們是分別經(jīng)過C、D、E、F的路線.

BB

第一類，經(jīng)過C的路線，分為兩步，從A到C再從C到B,從A到C有2條路可

走，從C到B也有兩條路可走，由乘法原理，從M在到B共有2X2=4條不同的路

線.