專題05.線段、角、對角線的計數模型本專題主要培養學生的觀察、實驗和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，及構建數學模型解決實際問題等。線段的條數、直線的交點數、角的個數、對角線條數等計數規律，可以自己推導后進行記憶。本專題就線段（角度）的計數、平面內直線相交所得交點與平面的計數、多邊形的對角線條數和三角形個數的計數模型進行研究，以方便大家掌握。模型1.

線段與角度的計數模型1）線段的計數模型結論：線段數量：4+3+2+1=10（條）（注意：按一個方向數，不回頭）；結論拓展：若有n個點，則線段數量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（條）例1．（2023秋·浙江·七年級階段練習）如圖，射線上有，，，則圖中有（

）A．1條射線、3條線段B．4條射線、3條線段C．4條射線、6條線段D．7條射線、8條線段【答案】C【分析】根據射線和線段的定義分別計算出條數即可得解．【詳解】解：分別以A、B、C、D為端點向右的射線共有4條，線段有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6條，所以，有4條射線、6條線段．故選：C．【點睛】本題考查了直線、射線、線段的定義，熟記概念并準確識圖是解題的關鍵，射線要根據端點的不同確定．例2．（2023秋·浙江七年級月考）如圖所示，由泰山始發終點至青島的某一次列車，運行途中停靠的車站依次是：泰山——濟南——淄博——濰坊——青島，那么要為這次列車制作的單程火車票（）種．A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】設泰山??濟南??淄博??濰坊??青島五站分別用A，B，C，D，E表示，數出利用上述五點為端點的線段條數即可．【詳解】解：設泰山??濟南??淄博??濰坊??青島五站分別用A，B，C，D，E表示，則共有線段：、、、、、、、、、，共10條，∴要為這次列車制作的單程火車票10種．故選：B．【點睛】本題考查了直線、線段、射線，要注意單程票，切記理解成往返車票而出錯．例3．（2023春·山東淄博·七年級統考期中）如圖，是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個點表示5個車站，在這段路線上往返行車，需印制多少種車票？（）

A．10 B．11 C．18 D．20【答案】D【分析】根據有多少條線段單程就需要印制多少種車票進行求解即可．【詳解】解：∵圖中線段有共10條，∴單程要10種車票，往返就是20種，故選：D．【點睛】本題主要考查了數線段條數，熟知兩點構成一條線段是解題的關鍵．例4．（2023秋·四川甘孜·七年級統考階段練習）①如圖（1），直線l上有2個點，則圖中有2條可用圖中字母表示的射線：A1A2、A2A1，有1條線段：A1A2；②如圖（2），直線l上有3個點，則圖中有幾條可用圖中字母表示的射線，有幾條線段，并分別用圖中字母表示出來；③如圖（3），直線l上有n個點，則圖中有多少條可用圖中字母表示的射線，有多少條線段，分別用含n的代數式表示出來；④應用（3）中發現的規律解決問題：某校七年級共有8個班進行足球比賽，準備進行循環賽（即每兩隊之間賽一場），預計全部賽完共需多少場比賽？【答案】②射線有4條，線段有3條；③射線的條數是(2n-2)條，線段的條數是條；④28場．【分析】②寫出所有的射線和線段后再計算個數；③根據規律，射線是每個點為端點的射線有兩條，但是兩邊的兩個點只有一條；線段是從所有點中任取兩個；④根據題意8個隊每兩個隊之間塞一場，和已知點數確定線段數同理，所以代入求值即可．【詳解】解：②根據射線的定義可得：射線有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1，共4條；由線段的定義可得線段有：射線有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1，共3條；③根據規律，射線是每個點用兩次，但第一個和最后一個只用一次，所以射線的條數是2n-2，線段是從這些點中任取兩個點就是一條線段，所以線段的條數是；④∵某校七年級共有8個班進行足球比賽，∴全部賽完共需比賽場次為：（場），∴全部賽完共需比賽場次為28.【點睛】本題考查的是線段和射線的計數問題，在一條直線上有n個點，計線段數或者射線數時，要先寫出以A點為端點的線段數或射線數，再寫出以B為端點的線段數或射線數，…求出所有的線段數和射線數，然后發現規律，來計出n個點時射線數和線段數，最后代入來解決應用問題．例5．（2023秋·山西七年級月考）主題式學習：數形規律探究學習(1)發現規律，猜想說理．．．．．．．．．．．．．以此類推，我們發現的和與第一個數、最后一個數及數的個數有關．如果，我們設則我們可以看出此等式的右邊是若干個的和，∴_________．則_______．(2)運用規律，計算表達．①求_____________．②某校為慶祝2023年元旦，活躍學生文化生活，舉行歌詠比賽．七年級（9）班獲得第一名，該班學生列隊以“單擊掌”形式（每兩個學生擊掌一次）祝賀獲獎；活動結束后該班同學又互贈“元旦祝福語”．如果該班有名同學，則共擊掌_____________次，共贈送祝福語___________條．(3)遷移規律，解決問題．①如圖，“北京——廣州”航線上有A、B、C、D、E、F、G、H8個城市，如果每兩個城市都要互通航班，那么這條航線上一共需要開通_____架航班．②如圖，在的方格中，橫線和豎線上的線段共有___________條．③2022年足球世界杯在卡塔爾舉行（如圖是足球世界杯獎杯“大力神杯”和卡塔爾世界杯會徽、吉祥物），共有32支國家足球隊參賽．比賽分小組賽、1/8決賽、1/4決賽、半決賽、三四名決賽、決賽六個階段進行．32支球隊平均分成8個進行小組循環賽（小組內每兩支球隊舉行一場比賽）；每小組前兩名球隊進入1/8決賽，然后實行淘汰賽，勝者進入1/4決賽．．．．．．請你計算2022年足球世界杯共進行多少場比賽？【答案】(1)，(2)①5047；②，(3)①90；②135；③【分析】（1）根據題目中的規律即可求解；（2）①根據（1）中的規律即可求解；②根據規律即可求解；（3）①10個城市每兩個城市都要互通航班，據此即可求解；②分別計算橫向和豎向的線段條數，即可求解；③利用分類的方法可求得2022年足球世界杯共進行多少場比賽．【詳解】（1）解：．則．故答案為：，；（2）解：①．②如果該班有名同學，則共擊掌次，共贈送祝福語條．故答案為：①5047；②100；③，；（3）解：①如圖，“北京——廣州”航線上有A、B、C、D、E、F、G、H8個城市，如果每兩個城市都要互通航班，10個城市一共需要開通架航班；②橫線上的線段有條，豎線上的線段有條，則橫線和豎線上的線段共有條；③32支比賽分為8個小組，每個小組4支球隊，共有場比賽，16強分成8組對陣，共有8場比賽，8強分成4組對陣，共有4場比賽，4強分成2組對陣，共有2場比賽，決賽有2場比賽，故共有場比賽．故答案為：①90；②135；③64．【點睛】本題考查了探索規律，線段的計數，線段的計數時應注重分類討論的方法計數，做到不遺漏，不重復，利用規律解決問題．2）角度的計數模型結論：線段數量：4+3+2+1=10（個）（注意：按一個方向數，不回頭）；結論拓展：若有n條射線，則角度數量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（個）例1．（2023春·浙江·七年級課堂例題）圖中角的個數是（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】D【分析】根據角的定義可進行求解．【詳解】解：圖中屬于角的有：；共6個；故選D．【點睛】本題主要考查角的定義，熟練掌握角的定義是解題的關鍵．例2．（2023·四川內江·七年級月考）在銳角∠AOB內部，畫1條射線，可得3個銳角；畫2條不同射線，可得6個銳角；畫3條不同射線，可得10個銳角；…照此規律，畫10條不同射線，可得銳角個．【答案】66【分析】分別找出各圖形中銳角的個數，找出規律解題．【詳解】解：∵在銳角∠AOB內部，畫1條射線，可得1+2=3個銳角；在銳角∠AOB內部，畫2條射線，可得1+2+3=6個銳角；在銳角∠AOB內部，畫3條射線，可得1+2+3+4=10個銳角；…∴從一個角的內部引出n條射線所得到的銳角的個數是1+2+3+…+（n+1）=×（n+1）×（n+2），∴畫10條不同射線，可得銳角×（10+1）×（10+2）=66．故答案為：66．例3．（2023秋·浙江·七年級專題練習）觀察思考：

（1）在∠AOB內部畫1條射線OC，則圖中有3個不同的角；（2）在∠AOB內部畫2條射線OC、OD，則圖中有幾個不同的角？（3）3條射線呢？你能發現什么規律，表示出n條射線能有幾個不同的角？【答案】（2）6；（3）10，有個不同的角【分析】（2）根據圖1直接數出即可；（3）在圖1的基礎上看增加的角的個數即得畫3條射線時角的個數；依此規律可得在∠AOB內部畫n條射線時角的個數．【詳解】解：（2）在∠AOB內部畫2條射線OC、OD，如圖1，則圖中有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB，共1+2+3=6個不同的角；（3）在∠AOB內部畫3條射線OC、OD、OE，如圖2，在圖1的基礎上增加了∠AOE、∠COE、∠DOE和∠BOE，共有6+4=10個不同的角；若在∠AOB內部畫n條射線，則有個不同的角．【點睛】本題考查了射線、線段和角的基本知識以及規律探求問題，注重類比、找到解題的規律和方法是解答的關鍵．例4．（2023秋·湖北孝感·七年級統考期末）如圖1，從點分別引兩條射線，則得到一個角．（圖中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如圖2，從點分別引三條射線，則圖中得到________個角；②如圖3，從點分別引四條射線，則圖中得到________個角；③依此類推，從點分別引條射線，則得到________個角（用含的式子表示）；(2)應用：利用③中發現的規律解決問題：某校七年級共有16個班進行足球比賽，準備進行單循環賽（即每兩隊之間賽一場），則全部賽完共需多少場比賽？【答案】(1)①3；②6；③(2)【分析】（1）①②根據角的概念求出即可；③根據①②分析得出的規律求解即可；（2）將代入求解即可．【詳解】（1）①由題意可得，從點分別引三條射線，圖中的角有，，∴圖中得到3個角；②由題意可得，從點分別引四條射線，圖中的角有，，∴圖中得到6個角；③由①②可得，當從點分別引條射線，，∴得到個角；（2）根據題意可得，當時，．∴全部賽完共需120場比賽．【點睛】本題考查了角的定義及其應用，掌握角的定義以及歸納規律是解題的關鍵．3）平面內直線相交所得交點與平面的計數模型直線的條數最多交點個數平面最多分成部分數102214337.........n例1．（2023春·浙江七年級期中）已知條直線最多有個交點，條直線最多有個交點，條直線最多有個交點，…由此猜想，條直線最多有個交點（）A．16 B．28 C．32 D．40【答案】B【分析】利用給出的交點個數，推導出規律，再將8代入計算即可．【詳解】解：∵條直線最多有個交點，條直線最多有個交點，條直線最多有個交點，……∴條直線最多有個交點，∴時，（個），∴條直線最多有個交點．故選：B．【點睛】本題考查直線的交點個數，也就是數字規律題，解題的關鍵是找到數字規律，把特殊值代入求值．例2．（2023春·浙江嘉興·七年級校考階段練習）若平面內互不重合的條直線只有個交點，則平面被分成了（

）個部分．A．或 B． C．或 D．【答案】C【分析】根據題意畫出圖形即可．【詳解】如圖，

所以，平面內互不重合的條直線只有個交點，則平面被分成了或個部分，故選：．【點睛】此題考查了相交線，關鍵是根據直線交點個數的問題，找出規律，解決問題．例3．（2023春·浙江·七年級專題練習）2條直線相交，有1個交點；3條直線相交，最多有3個交點；n條直線相交最多有多少個交點？（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由2條直線相交時最多有1個交點、3條直線相交時最多有1+2=3個交點、4條直線相交時最多有1+2+3=6個交點，可得5條直線相交時交點數為1+2+3+4、6條直線相交時交點數為1+2+3+4+5、7條直線相交時交點數為1+2+3+4+5+6，可知n條直線相交，交點最多有．【詳解】解：∵2條直線相交時，最多有1個交點；3條直線相交時，最多有1+2=3個交點；4條直線相交時，最多有1+2+3=6個交點；…∴5條直線相交時，最多有1+2+3+4=10個交點；6條直線相交時，最多有1+2+3+4+5=15個交點；7條直線相交時，最多有1+2+3+4+5+6=21個交點；n條直線相交，交點最多有．故選A．【點睛】本題主要考查圖形的變化規律，根據已知圖形中相交點數量得出：n條直線相交，交點最多有1+2+3+…+n-1個是解題的關鍵．例4．（2023春·浙江七年級期中）觀察表格：1條直線0個交點平面分成（1+1）塊2條直線1個交點平面分成（1+1+2）塊3條直線（1+2）個交點平面分成（1+1+2+3）塊4條直線（1+2+3）個交點平面分成（1+1+2+3+4）塊根據表格中的規律解答問題：（1）5條直線兩兩相交，有個交點，平面被分成塊；（2）n條直線兩兩相交，有個交點，平面被分成塊；（3）應用發現的規律解決問題：一張圓餅切10刀（不許重疊），最多可得到塊餅．【答案】（1）10，16；（2）n(n﹣1)；1+n(n+1)；（3）56【分析】（1）總結規律，根據規律求解；（2）根據題目中的交點個數，找出n條直線相交最多有的交點個數公式：n(n﹣1)；n條直線兩兩相交，平面被分成1+n(n+1)塊；（3）根據（2）的結論解答即可．【詳解】解：（1）5條直線兩兩相交，有10個交點，平面被分成16塊；故答案為：10，16；（2）2條直線相交有1個交點；3條直線相交有1+2＝3個交點；4條直線相交有1+2+3＝6個交點；5條直線相交有1+2+3+4＝10個交點；6條直線相交有1+2+3+4+5＝15個交點；…n條直線相交有1+2+3+4+…+(n﹣1)＝n(n﹣1)；平面被分成1+1+2+3+4+…+(n+1)＝1+n(n+1)；故答案為：n(n﹣1)；1+n(n+1)；（3）當n＝10時，（塊），故答案為：56【點睛】本題考查了直線的交點，規律探索問題以及代數式求值，根據表格找出規律是解題的關鍵.例5．（2023春·江蘇·七年級專題練習）【觀察發現】如圖，我們通過觀察后可以發現：兩條直線相交，最多有1個交點；三條直線相交，最多有3個交點；那么四條直線相交，最多有______個交點；n條直線相交，最多有______個交點（用含n的代數式表示）；【實踐應用】在實際生活中同樣存在數學規律型問題，請你類比上述規律探究，計算：某校七年級舉辦籃球比賽，第一輪要求每兩班之間比賽一場，若七年級共有16個班，則這一輪共要進行多少場比賽？【答案】[觀察發現]6，；[實踐應用]120場【分析】[觀察發現]根據題意，結合圖形，發現：3條直線相交最多有3個交點，4條直線相交最多有6個交點，5條直線相交最多有10個交點．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n?1)個交點；[實踐應用]把每個班作為一個點,進行一場比賽就是用線把兩個點連接,用此方法即可.【詳解】[觀察發現]解：①兩條直線相交最多有1個交點：1=；②三條直線相交最多有3個交點：3=；③四條直線相交最多有6個交點：6=；…n條直線相交最多有個交點．故答案為：6，．[實踐應用]該類問題符合上述規律，所以可將n＝16代入．∴這一輪共要進行120場比賽．【點睛】本題主要考查圖形的變化規律，解決本題的關鍵是要找出圖形哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求解．4）多邊形的對角線條數和三角形個數的計數模型結論：從n邊形一個頂點出發可引出（n-3）條對角線；這些對角線把多邊形分割成（n-2）個三角形；n邊形共有對角線。例1．（2023秋·湖北武漢·八年級校考階段練習）六邊形共有多少條對角線（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】根據對角線公式求解即可．【詳解】解：六邊形共有多少條對角線有：條．故選B．【點睛】本題考查了多邊形的對角線，牢記n邊形從一個頂點出發可引出條對角線，把n邊形分成個三角形，n邊形對角線的總條數為：是解題的關鍵．例2．（2023春·山東威海·七年級統考期中）從多邊形的一個頂點出發，可以畫出4條對角線，則該多邊形的邊數為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據從n邊形的一個頂點可以作對角線的條數公式求出邊數即可得解．【詳解】解：設多邊形的邊數為，由題意，得：，∴，∴該多邊形的邊數為7；故選C．【點睛】本題考查了多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．掌握n邊形從一個頂點出發可引出條對角線是解題的關鍵．例3．（2023春·河南新鄉·七年級統考階段練習）若經過邊形的一個頂點的所有對角線可以將該n邊形分成個三角形，則邊形的對角線條數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】經過n邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成（n-2）個三角形，根據此關系式求邊數，再求對角線條數即可．【詳解】解：依題意有，解得．對角線條數是，故選：A．【點睛】本題考查了多邊形的對角線，解決此類問題的關鍵是根據多邊形過一個頂點的對角線與分成的三角形的個數的關系列方程求解．例4．（2023秋·山東濟南·七年級校聯考期末）我們知道，四邊形有2條對角線，五邊形有5條對角線，那么十二邊形的對角線總條數是（

）A．9 B．54 C．60 D．108【答案】B【分析】n邊形的對角線條數公式代入即可求出．【詳解】12×（12-3）÷2=54故本題答案為：B【點睛】求多邊形的對角線條數是本題的考點，牢記公式是解決此題的關鍵．例5．（2023·山東·八年級專題練習）多邊形的對角線：多邊形的對角線是連接多邊形的兩個頂點的線段，從n邊形的一個頂點出發有條對角線，將n邊形分成個三角形，一個n邊形共有條對角線．【答案】任意不相鄰【分析】根據多邊形的對角線的定義作答即可．【詳解】解：多邊形的對角線是指連接多邊形任意不相鄰的兩個頂點的線段，從n邊形的一個頂點出發有條對角線，將邊形分成個三角形，一個n邊形共有條對邊線．故答案為：任意不相鄰，，，．【點睛】本題考查多邊形的對角線．解題的關鍵在于熟練掌握多邊形對角線的定義，對角線的條數等知識．例6．（2023秋·浙江七年級課時練習）請仔細觀察下面的圖形和表格，并回答下列問題：多邊形的頂點數/個45678……從一個頂點出發的對角線的條數/條12345……①___________多邊形對角線的總條數/條2591420……②___________（1）觀察探究：請自己觀察上面的圖形和表格，并用含的代數式將上面的表格填寫完整，其中①______________________；②______________________；（2）實際應用：數學社團共分為6個小組，每組有3名同學．同學們約定，大年初一時不同組的兩位同學之間要打一個電話拜年，請問，按照此約定，數學社團的同學們一共將撥打電話多少個？【答案】（1）①；②；（2）135個【分析】（1）觀察表可知從一個頂點出發的對角線的條數是多邊形的頂點數減3，即得n-3，由此可完成①；從一個頂點可以引出n－3條對角線，則n個頂點可以引出n(n-3)條，其中每一條都重復算了一次，則可完成②；（2）把6個組共18名學生看成18邊形的頂點，不同組的兩位同學之間打一個電話是這個多邊形的對角線，因此問題轉化為有多少條對角線的問題，由（1）中結論即可完成。【詳解】（1）由表可得，當多邊形的頂點數為n時，從一個頂點出發的對角線的條數為n-3；從一個頂點可以引出n－3條對角線，則n個頂點可以引出n(n-3)條，其中每一條都重復算了一次，因此實際的對角線條數為．故答案為：①；②（2）因為（名），18名學生看成是頂點數為18的多邊形，不同組的兩位同學之間打一個電話是這個多邊形的對角線，則由（1）可得，數學社團的同學們一共將撥打電話為（個）．【點睛】本題考查了多邊形對角線規律及其應用，難點是理解這個規律的應用：同組三個人之間不能打電話，對應多邊形的一個頂點不能與相鄰的兩個頂點連成對角線，因此18個人對應18個頂點，不同組的兩位同學間打一個電話對應連接兩頂點的一條對角線.課后專項訓練1．（2023·湖北·七年級階段練習）平面內10條直線把平面分成的部分個數最多是（）A．46個 B．55個 C．56個 D．67個【答案】C【分析】根據表中數據，總結出規律，再根據規律解題．【詳解】設直線條數有n條，分成的平面最多有m個．有以下規律：n

m1

1+12

1+1+23

1+1+2+3?n

m＝1+1+2+3+…+n＝+1，∴根據表中規律，當直線為10條時，把平面最多分成56部分，為1+1+2+3+…+10＝56；故選C．【點睛】本題考查了過平面上兩點有且只有一條直線，體現了數形結合的思想．2．（2023春·四川達州·七年級校考期末）如圖圖形是按一定的規律排列的，依照此規律，第10個圖形有（）條線段．

A．125 B．140 C．155 D．160【答案】B【分析】根據已知圖形，得出一般規律第個圖形的線段條數為，據此即可求出第10個圖形的線段條數．【詳解】解：觀察圖形發現第1圖形的線段條數為；第2個圖形的線段條數為；第3個圖形的線段條數為；……觀察可知一般規律，第個圖形的線段條數為；即第10個圖形的線段條數為，故選：B．【點睛】本題屬于規律探索題，考查了線段的數量，根據題意圖形正確得出一般規律是解題關鍵．3．（2023秋·湖北襄陽·七年級校考階段練習）過平面上A，B，C，D四點中的任意兩點作直線，一共可作的直線條數不可能是（）A．6 B．5 C．4 D．1【答案】B【分析】分別討論，①三點共線，②四點共線，③任意三點都不共線，即可得出答案．【詳解】解：（1）當四點共線時，可畫1條，如圖（1）；（2）當四點中有三點共線時，可畫4條，如圖（2）；（3）當四點中任意三點不共線時，可畫6條，如圖（3）；觀察選項，只有選項B符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了直線的性質：兩點確定一條直線，關鍵是討論點共線的情況．4．（2023春·山東泰安·七年級校考階段練習）濟青高鐵北線，共設有5個不同站點，要保證每兩個站點之間都有高鐵可乘，需要印制不同的火車票（）A．20種 B．42種 C．10種 D．84種【答案】A【分析】根據圖示，由線段的定義解決此題．【詳解】解：如圖，圖中有5個站點．往同一個方向（從1站點往5站點的方向），需要印制不同的火車票種類的數量有（種）．∴保證任意兩個站點雙向都有車票，需要印制車票種類的數量為（種）．故選：A．【點睛】本題主要考查線段，熟練掌握清晰的邏輯思維以及線段的定義是解決本題的關鍵．5．（2023秋·安徽蚌埠·七年級校考階段練習）如圖，以A為一個端點的線段共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據線段的定義“直線上兩點間的有限部分（包括兩個端點）”找出以A為一個端點的線段即可選擇．【詳解】解：根據題意可知：以A為一個端點的線段有：AB，AC，AD共3條，故選C．【點睛】本題考查線段的定義，理解線段的定義，正確找出以A為一個端點的線段是解答本題的關鍵．6．（2023秋·浙江七年級月考）公園里準備修條直的通道，并在通道交叉路口處設一個報亭，這樣的報亭最多設（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【詳解】∵有5條直線，每一條直線最多與其它直線有4個交點，∴最多有5×4÷2=10個交點，即這樣的報亭最多有10個，故答案為10．7．（2023秋·陜西咸陽·七年級統考期末）從五邊形的一個頂點出發，可以畫出條對角線，它們將五邊形分成個三角形．則、的值分別為（

）A．1，2 B．2，3 C．3，4 D．4，4【答案】B【分析】從一個n邊形一個頂點出發，可以連的對角線的條數是n-3，分成的三角形數是n-2．【詳解】解：對角線的數量m=5-3=2條；分成的三角形的數量為n=5-2=3個．故選：B．【點睛】本題考查多邊形的對角線及分割成三角形個數的問題，解題的關鍵是熟記：一個n邊形一個頂點出發，可以連的對角線的條數是n-3，分成的三角形數是n-2．8．（2023春·浙江·八年級專題練習）過多邊形一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成4個三角形，那么這個多邊形是（

）A．六邊形 B．七邊形 C．八邊形 D．九邊形【答案】A【分析】根據n邊形從一個頂點出發可引出條對角線，可組成個三角形，依此可得n的值．【詳解】解：設這個多邊形是n邊形，由題意得，，解得：，即這個多邊形是六邊形，故選：A【點睛】本題考查了多邊形的對角線，求對角線條數時，直接代入邊數n的值計算，而計算邊數時，需利用方程思想，解方程求n．9．（2023·四川成都·七年級校考期末）成都與重慶之間往返的動車，除起始站和終點站外中途都有3個停靠站，則鐵路部門針對此動車需要發售種不同行程的動車票.【答案】【分析】根據題意畫出示意圖，數出線段的條數，再根據往返是兩種不同的車票，可得答案．【詳解】解：由圖知：成都與重慶之間往返的動車，中途還需停靠3個站，共有10條線段，∵往返是兩種不同的車票，∴鐵路部門對此運行區間應準備20種不同的火車票．故答案為20．【點睛】此題主要考查了數學知識解決生活中的問題；需要掌握正確數線段的方法．10．（2023秋·吉林長春·七年級統考期末）過平面上A、B、C三點中的任意兩點作直線，可作條．【答案】1或3【分析】分兩種情況：當三點共線時、當三個點不在同一條直線上時來解答．【詳解】解：如圖，過平面上A、B、C三點中的任意兩點作直線，當三點共線時，可作1條；當三個點不在同一條直線上時，可作3條．故答案為：1或3．

【點睛】此題考查過點作直線的規律探究，正確理解過兩點有且只有一條直線，解題中運用分類思想解決問題．11．（2023秋·寧夏吳忠·八年級校考階段練習）已知正多邊形的邊長為5，從其一個頂點出發共有3條對角線，則該正多邊形的周長為．【答案】【分析】多邊形的邊數多邊形從其一個頂點出發對角線條數．【詳解】解：正多邊形從其一個頂點出發共有條對角線，則該正多邊形為正六邊形，所以該正多邊形的周長．故答案為：．【點睛】本題主要考查多邊形，牢記多邊形的邊數與從其一個頂點出發對角線條數的關系是解題的關鍵．12．（2023秋·四川成都·七年級校考期末）平面內有n條直線，這n條直線兩兩相交，最多可以得到a個交點，最少可以得到b個交點，則．【答案】【分析】分別求出2條直線、3條直線、4條直線、5條直線.的交點個數，找出規律即可解答.【詳解】如圖：2條直線相交有1個交點，3條直線相交最多有個交點，4條直線相交最多有個交點，5條直線相交最多有個交點，6條直線相交最多有個交點，…n直線相交最多有個交點．所以，而最少可以得到1個交點，，故答案為：．【點睛】本題考查的是直線的交點問題，解答此題的關鍵是找出規律，需注意的是n條直線相交時最少有一個交點.13．（2023秋·廣西七年級課時練習）如圖：已知，，圖中以O為頂點的所有角之和為_______．【答案】【分析】先找出所有以O為頂點的角，然后根據∠AOC+∠COB=∠AOB=60°，∠AOD+∠BOD=∠AOB=60°，∠AOE+∠EOB=∠AOB=60°，∠COD+∠DOE=∠COE=30°，求解即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，以O為頂點的角有：∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOB，∠COD，∠COE，∠COB，∠DOE，∠DOB，∠EOB，∵∠AOC+∠COB=∠AOB=60°，∠AOD+∠BOD=∠AOB=60°，∠AOE+∠EOB=∠AOB=60°，∠COD+∠DOE=∠COE=30°∴∠AOC+∠AOD+∠AOE+∠AOB+∠COD+∠COE+∠COB+∠DOE+∠DOB+∠EOB=4∠AOB+2∠COE=300°故答案為：300°．【點睛】本題主要考查了角的定義和角的計算，解題的關鍵在于能夠準確找出以O為頂點的角．14．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統考期末）多邊形的一個頂點處的所有對角線把多邊形分成了個三角形，則經過這一點的對角線的條數是條．【答案】【分析】可根據多邊形過一個頂點的對角線與分成的三角形的個數的關系列方程求解．【詳解】設多邊形有條邊，則，解得故這個多邊形是十三邊形．故經過這一點的對角線的條數是故答案為：．【點睛】此題考查了多邊形的對角線，多邊形有條邊，則經過多邊形的一個頂點的所有對角線有條，經過多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成個三角形．15．（2023春·浙江金華·八年級統考期末）過某個多邊形一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成5個三角形，則這個多邊形是邊形．【答案】七【分析】根據過多邊形的一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成個三角形，計算可求解．【詳解】解：由題意得：，故過多邊形的一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成5個三角形的多邊形為七邊形，故答案為：七．【點睛】本題主要考查多邊形的對角線，掌握多邊形對角線的性質是解題的關鍵．16．（2023秋·山東七年級課時練習）如圖，O為直線AB上一點，圖中小于平角的角有個；若OD、OE分別平分和，則圖中共有對互余的角，對互補的角．【答案】945【分析】觀察圖像，有5條射線，每兩條射線可以構成一個角，則可以構成個角，其中有1個平角，進而可得小于平角的角的個數；根據OD、OE分別平分和，則構成了2對相等的角，且不相等的兩個角的和為90°，則可以求得互余的角的度數，根據互補的定義可得分別將平角分成了2個角，且有兩對相等的角，據此分析即可【詳解】觀察圖像，有5條射線，每兩條射線可以構成一個角，則可以構成個角，其中有1個是平角，則圖中小于平角的角有9個；若OD、OE分別平分和，則,則互余的角有4對；分別將平角分成了2個角，即，3對，2對互補的角有5對故答案為：【點睛】本題考查了互余互補的定義，角的定義，理解以上定義是解題的關鍵．17．（2023秋·福建福州·七年級校考階段練習）往返于甲、乙兩地的火車，途中停靠三個站，則至多要準備種車票．【答案】20【分析】根據題意，作出圖形，根據線段的知識解決問題即可．【詳解】如圖：共有10條線段，,又題中是往返列車，往返的車票都不相同，所以共有10×2＝20種車票，故答案為20．【點睛】本題主要考查運用直線、射線、線段知識解決生活中的問題，需要掌握正確數線段的方法．18．（2023春·湖北武漢·七年級統考開學考試）已知10條直線兩兩相交，最多會有的交點數可能是個．【答案】45【分析】要探求相交直線的交點的最多個數，則應盡量讓每兩條直線產生不同的交點．根據兩條直線相交有一個交點，求得n條直線相交，最多有個交點；將代入上式即可求解．【詳解】解：3條直線相交，最多有個交點；4條直線相交，最多有個交點；5條直線相交，最多有個交點；5條直線相交，最多有個交點；…∴n條直線相交，最多有個交點；∴10條直線相交，最多有個交點．故答案為：45．【點睛】此題考查平面內不重合直線的交點個數問題，是尋找規律的題型，找到n條直線相交，最多個交點是解題的關鍵．19．（2023秋·廣東深圳·七年級校考期末）若一個多邊形的邊數是這個多邊形從一個頂點發出的對角線條數的2倍，則這個多邊形是邊形．【答案】六【分析】設此多邊形有n條邊，則從一個頂點引出的對角線有條，根據“一個多邊形的邊數恰好是從一個頂點引出的對角線條數的2倍”列出方程，解方程即可．【詳解】解：設此多邊形有條邊，由題意，得，解得，這個多邊形是六邊形．故答案為：六．【點睛】此題考查多邊形的對角線；解題關鍵在于理解題意找出等量關系列出方程．20．（2023秋·廣東七年級月考）如圖，在銳角內部，畫條射線，可得個銳角；畫條不同射線，可得個銳角；畫條不同射線，可得個銳角照此規律，畫條不同射線，可得個銳角．

【答案】3610【分析】從一個銳角頂點引出條不同射線，可得個銳角，依據規律解答即可．【詳解】解：在銳角內部，畫條射線，可得3個銳角；；畫條不同射線，可得6個銳角；；畫條不同射線，可得10個銳角；；照此規律，畫條不同射線，可得個銳角．故答案為：3，6，10，．【點睛】本題考查了射線和角的概念，掌握規律的探求方法是解題的關鍵．21．（2023秋·四川成都·七年級校考期中）如圖，在平面內有A，B，C三點．(1)畫直線，線段，射線；(2)在線段上任取一點D（不同于B，C），連接線段；(3)數數看，此時圖中線段的條數．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)6條【分析】（1）根據條件畫圖即可．（2）根據已知條件畫圖即可．（3）根據圖，數出線段條數即可．【詳解】（1）解：如圖，直線，線段，射線即為所求．（2）如圖，線段即為所求；（3）由題可得，圖中有線段，，，，，，一共6條．所以圖中線段的條數為6．【點睛】此題考查了直線、線段、射線，解題的關鍵熟知概念并會畫圖．22．（2023秋·四川瀘州·七年級統考期末）如圖，O為直線上一點，，平分．

(1)請你數一數，圖中有多少個小于平角的角；(2)求出的度數；(3)請通過計算說明是否平分．【答案】(1)9個(2)(3)平分，過程見解析【分析】（1）根據角的定義進行求解即可；（2）根據角平分線的定義得到，再根據平角的定義進行求解即可；（3）先求出的度數，進而求出的度數，由此即可得到結論．【詳解】（1）解：由題意得，圖中小于平角的角有，∴圖中有9個小于平角的角；（2）解：∵平分，∴，∴；（3）解：∵∴，∴，∴平分．【點睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，角的概念，靈活運用所學知識是解題的關鍵．23．（2023秋·浙江·七年級專題練習）閱讀表：線段上的點數（包括A，B兩點）圖形線段總條數N34567解答下列問題：(1)在表中空白處分別畫出圖形，寫出線段總條數；(2)請猜測，線段總條數N與線段上的點數n（包括線段的兩個端點）有什么關系？請寫出來；(3)變式練習①：如果過每兩點可以畫一條直線，那么請在下面三組圖中分別畫線，并回答問題：第（1）組最多可以畫條直線；第（2）組最多可以畫條直線；第（3）組最多可以畫條直線．歸納結論：如果平面上有個點，且每3個點均不在一條直線上，那么最多可以畫出直線_____條．（用含n的代數式表示）變式練習②：某班50名同學在畢業后的一次聚會中，若每兩人握一次手問好，則共握_____次手；最后，每兩個人要互贈禮物留念，則共需_____件禮物．變式練習③：從A地到B地的火車途中共停靠7個站（不包括出發站和終點站），請問共需準備_____種車票．【答案】(1)畫出圖形見解析；，(2)線段總條數N與線段上的點數n（包括線段的兩個端點）的關系為：(3)變式練習①：3；6；10；歸納結論：；變式練習②：1225；2450；變式練習③：36【分析】（1）根據圖中規律畫出圖形，寫出結果；（2）線段的總條數N與線段上的點數n的關系式；（3）①根據兩點確定一條直線作圖分析；歸納結論：根據數字變化規律列出代數式；②根據歸納結論代入相應的數值求解；③從A地到B地的火車途中共停靠7個站（不包括出發站和終點站），那么一共有9個站，即，將，代入（2）中的關系式即可．【詳解】（1）解：線段上的點數（包括A，B兩點）為6個時，如圖：此時，線段總條數，線段上的點數（包括A，B兩點）為7個時，如圖：此時，線段總條數，填表如下：線段上的點數（包括A，B兩點）圖形線段總條數N34567（2）解：線段總條數N與線段上的點數n（包括線段的兩個端點）的關系為：；（3）解：①第（1）組最多可以畫3條直線，第（2）組最多可以畫6條直線，第（3）組最多可以畫10條直線，故答案為：3；6；10；歸納結論：如果平面上有個點，且每3個點均不在一條直線上，那么最多可以畫出直線條，故答案為：；②當時，（次），（件），∴某班50名同學在畢業后的一次聚會中，若每兩人握一次手問好，則共握1225次手，最后，每兩個人要互贈禮物留念，則共需2450件禮物，故答案為：1225；2450；③當時，（種），∴從A地到B地的火車途中共停靠7個站（不包括出發站和終點站），請問共需準備36種車票，故答案為：36．【點睛】本題主要考查了線段的定義，此題在線段的基礎上，著重培養學生的觀察、實驗和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，注意第三問是要求的單趟的車票種類．24．（2023秋·浙江·七年級專題練習）解答下列各題（1）如圖，在中，以O為頂點引射線，填表：內射線的條數1234角的總個數________________________（2）若內射線的條數是n，請用關于n的式子表示出上面的結論．（3）若內有射線條數是2020，則角的總個數為多少？【答案】（1）3，6，10，15；（2）；（3）2043231【分析】（1）若∠AOB內射線的條數是n，可構成個角，依據規律回答即可；（2）若∠AOB內射線的條數是n，可構成個角，依據規律回答即可；（3）把2020代入求解即可．【詳解】解：（1）填表如下：內射線的條數1234角的總個數361015（2）當時，角總個數為：，當時，角總個數為：，當時，角總個數為：，當時，角總個數為：，當時，角總個數為：，即內射線的條線是n時，角總個數為：（3）當內有射線條數是2020時，角總個數為：（個）．【點睛】本題主要考查的是角的概念，掌握其規律是解題的關鍵．有公共頂點的n條射線，一共可構成n（n-1）個角．25．（2023秋·浙江七年級月考）(1)觀察思考如圖所示，線段AB上的點數與線段的總條數有如下關系：如果線段AB上有3個點，那么線段總條數為3；如果線段AB上有4個點，那么線段總條數為6；如果線段AB上有5個點，那么線段總條數為________．3＝2＋1＝

6＝3＋2＋1＝(2)模型構建:如果線段上有m個點(包括線段的兩個端點)，那么共有________條線段．(3)拓展應用:8位同學參加班上組織的象棋比賽，比賽采用單循環制(即每兩位同學之間都要進行一場比賽)，那么一共要進行多少場比賽？請將這個問題轉化為上述模型，并直接應用上述模型的結論解決問題．【答案】(1)10(2)；（3）見解析.(3)把8位同學看作線段上的8個點，每兩位同學之間的一場比賽看作一條線段，線段上8個點所構成的線段條數就等于比賽的場數，因此一共要進行＝28(場)比賽．【詳解】【分析】（1）根據圖形可以得出5個點的線段總數為1+2+3+4=10條，故得出結論；（2）根據題意就可以得出m個點就有1+2+3+…+(m-1)=條線段；（3）將實際問題轉化成（2）的模型，借助（2）的結論即可得出結論．【詳解】（1）根據題意可知線段AB上有5個點，那么線段總條數為1+2+3+4=10條，故答案為10；（2）設線段上有m個點，該線段上共有線段x條，則x=（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴倒序排列有x=1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），∴2x=m（m﹣1），∴x=，故答案為；（3）把8位同學看作直線上的8個點，每兩位同學之間的一場比賽看作為一條線段，直線上8個點所構成的線段條數就等于比賽的場數，因此一共要進行=28場比賽，答：一共要進行28場比賽.【點睛】本題考查了規律性問題，線段的條數，根據題意得出直線上點的個數與線段的總條數間的規律是解題的關鍵.26．（2023·山東·七年級假期作業）探究歸納題：（1）試驗分析：如圖1，經過A點可以作1條對角線；同樣，經過B點可以作______條對角線；經過C點可以作______條對角線；經過D點可以作______條對角線．通過以上分析和總結，圖1共有______條對角線．（2）拓展延伸：運用1的分析方法，可得：圖2共有______條對角線；圖3共有______條對角線；（3）探索歸納：對于n邊形，共有______條對角線．（用含n的式子表示）（4）特例驗證：十邊形有______對角線．【答案】（1）1、1、1、2；（2）5、9；（3）；（4）35【分析】（1）根據對角線的定義，可得答案；（2）根據對角線的定義，可得答案；（3）根據探索，可發現規律；（4）根據對角線的公式，可得答案．【詳解】解：（1）經過點可以做1條對角線；同樣，經過點可以做1條；經過點可以做1條；經過點可以做1條對角線．通過以上分析和總結，圖1共有2條對角線．故答案為：1、1、1、2；（2）拓展延伸：運用（1）的分析方法，可得：圖2共有5條對角線；圖3共有9條對角線，故答案為：5、9；（3）探索歸納：對于邊形，共有條對角線．故答案為：；（4）特例驗證：十邊形有對角線．故答案為：35.【點睛】本題考查了多邊形的對角線，發現多邊形對角線公式是解題關鍵．27．（2023.湖南懷化七年級期末）為了探究n條直線能把平面最多分成幾部分，我們從最簡單的情形入手：（1）一條直線把平面分成2部分；（2）兩條直線最多可把平面分成4部分；（3）三條直線最多可把平面分成7部分…；把上述探究的結果進行整理，列表分析：直線條數把平面分成部分數寫成和形式121+1241+1+2371+1+2+34111+1+2+3+4………（1）當直線條數為5時，把平面最多分成部分，寫成和的形式；（2）當直線為n條時，把平面最多分成部分．【答案】16，1+2+3+4+5；1+n（n+1）．【詳解】試題分析：（1）根據表中規律，當直線條數為5時，把平面最多分成1+1+2+3+4+5=16部分；（2）根據（1）的規律，得出當直線為n條時，把平面最多分成：1+1+2+3+…+n=1+n（n+1）．考點：探尋規律．28．（2023秋·山西太原·七年級校考階段練習）觀察探究及應用．（1）如圖，觀察圖形并填空：一個四邊形有_______條對角線；一個五邊形有_______條對角線；一個六邊形有_______條對角線；（2）分析探究：由凸邊形的一個頂點出發，可作_______條對角線，多邊形有個頂點，若允許重復計數，共可作_______條對角線；（3）結論：一個凸邊形有_______條對角線；（4）應用：一個凸十二邊形有多少條對角線？【答案】（1）2；5；9；（2）(n-3)；n(n-3)；（3）；（4）54【分析】（1）根據圖形數出對角線條數即可；（2）根據所畫圖形可推導出凸n邊形從一個頂點出發可引出(n-3)條對角線，進而可得共可作n(n-3)條對角線；（3）由（2）可知，任意凸n邊形的對角線有條，即可解答；（4）把n=12代入（3）計算即可．【詳解】解：（1）根據圖形數出對角線條數，一個四邊形有2條對角線，一個五邊形有5條對角線，一個六邊形有9對角線；故答案為：2；5；9；（2）∵從凸4邊形的一個頂點出發，可作1條對角線，從凸5邊形的一個頂點出發，可作2條對角線，從凸6邊形的一個頂點出發，可作3條對角線，從凸7邊形的一個頂點出發，可作4條對角線，…∴從凸n邊形從一個頂點出發可引出(n-3)條對角線，若允許重復計數，共可作n(n-3)條對角線；故答案為：(n-3)；n(n-3)．（3）由（2）可知，任意凸n邊形的對角線有條，故答案為：．（4）把n=12代入計算得：=54．故一個凸十二邊形有54條對角線．【點睛】本題考查了多邊形的對角線，解題關鍵是n邊形從一個頂點出發的對角線有(n-3)條．29．（2023春·山東·七年級統考期中）【思路探究】（1）上學期我們學習了線段，如圖1，B，C，D是線段上異于點A，E的三個點，圖中共有多少條線段？

（2）本學期我們又學習了角，如圖2，從的頂點O引出3條射線，且在的內部，圖中共有多少個大于且小于的角？

（3）圖3是同學練習寫字用的米字格，圖3中含有多少個三角形？

【問題解決】（4）若從的頂點O出發，在的內部引出條射線，則圖中共有多少個大于而小于的角？（5）圖4是同學練習寫字用的九宮格，圖中含有多少個長方形（包括正方形）？

【答案】（1）條；（2）個；（3）個；（4）個；（5）個【分析】（1）數出線段的條數即可；（2）數出角的個數即可；（3）數出三角形的個數即可；（4）根據角的定義，得到每相鄰兩條射線組成的角有個，每相隔1條射線的兩條射線組成的角有個，，每相隔條射線的兩條射線組成的角有2個，每相隔條射線的兩條射線組成的角有1個，再進行相加即可；（5）由一個格子組成的長方形有9個；由兩個格子組成的長方形的個數有（個）；由3個格子組成的長方形的個數有6個；由4個格子組成的長方形的個數有4個；由6個格子組成的長方形的個數有4個；由9個格子組成的長方形的個數有1個；再進行相加即可．【詳解】解：（1）圖中的線段有條：．答：圖中共有條線段．（2）圖中共有個大于且小于的角：答：圖中共有個大于且小于的角．（3）由一個三角形組成的三角形個數有8個，由兩個三角形組成的三角形個數有4個，由四個三角形組成的三角形個數有4個，所以共有：（個）．答：圖3中含有個三角形．（4）若從一個角的頂點出發，在角的內部引出條射線，則大于且小于的角中，每相鄰兩條射線組成的角有個，每相隔1