課題：§13.3.1等腰三角形（一）

教學目標

（一）教學知識點

1.等腰三角形的概念.

2.等腰三角形的性質.

3.等腰三角形的概念及性質的應用.

（二）能力訓練要求

1.經歷作（畫）出等腰三角形的過程，?從軸對稱的角度去體會

等腰三角形的特點.

2.探索并掌握等腰三角形的性質.

（三）情感與價值觀要求

通過學生的操作和思考，使學生掌握等腰三角形的相關概念，并

在探究等腰三角形性質的過程中培養學生認真思考的習慣.

教學重點

1.等腰三角形的概念及性質.2.等腰三角形性質的應用.

教學難點：等腰三角形三線合一的性質的理解及其應用.

教學方法：探究歸納法.

教具準備：生：硬紙、剪刀.

教學過程

一、提出問題，創設情境

［師］在前面的學習中，我們認識了軸對稱圖形，探究了軸對稱的

性質，?并且能夠作出一個簡單平面圖形關于某一直線的軸對稱圖形,

?還能夠通過軸對稱變換來設計一些美麗的圖案.這節課我們就是從

軸對稱的角度來認識一些我們熟悉的幾何圖形.來研究：①三角形是

軸對稱圖形嗎？②什么樣的三角形是軸對稱圖形？

［生］有的三角形是軸對稱圖形，有的三角形不是.

［師］那什么樣的三角形是軸對稱圖形？

［生］滿足軸對稱的條件的三角形就是軸對稱圖形，?也就是將三

角形沿某一條直線對折后兩部分能夠完全重合的就是軸對稱圖形.

［師］很好，我們這節課就來認識一種成軸對稱圖形的三角形——

等腰三角形.

二、導入新課

［師］同學們通過自己的思考來做一個等腰三角形.

A

B*

I

作一條直線L,在L上取點A,在L外取點B,作出點B關于直

線L的對稱點C,連結AB、BC、CA,則可得到一個等腰三角形.

［生乙］在甲同學的做法中，A點可以取直線L上的任意一點.

［師］對，按這種方法我們可以得到一系列的等腰三角形.現在同

學們拿出自己準備的硬紙和剪刀，按自己設計的方法，也可以用課本

P49探究中的方法，?剪出一個等腰三角形.

［師］按照我們的做法，可以得到等腰三角形的定義：有兩條邊相

等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，

兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角.同學們在自己作出

的等腰三角形中，注明它的腰、底邊、頂角和底角.

［師］有了上述概念，同學們來想一想.

1.等腰三角形是軸對稱圖形嗎？請找出它的對稱軸.

2.等腰三角形的兩底角有什么關系？

3.頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？

4.底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎？?底邊上

的高所在的直線呢？

［生甲］等腰三角形是軸對稱圖形.它的對稱軸是頂角的平分線所

在的直線.因為等腰三角形的兩腰相等，所以把這兩條腰重合對折三

角形便知：等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是頂角的平分線所

在的直線.

［師］同學們把自己做的等腰三角形進行折疊，找出它的對稱軸，

并看它的兩個底角有什么關系.

［生乙］我把自己做的等腰三角形折疊后，發現等腰三角形的兩個

底角相等.

［生丙］我把等腰三角形折疊，使兩腰重合，這樣頂角平分線兩旁

的部分就可以重合，所以可以驗證等腰三角形的對稱軸是頂角的平分

線所在的直線.

［生丁］我把等腰三角形沿底邊上的中線對折，可以看到它兩旁的

部分互相重合，說明底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱

軸.

［生戊］老師，我發現底邊上的高所在的直線也是等腰三角形的對

稱軸.

［師］你們說的是同一條直線嗎？大家來動手折疊、觀察.

［生齊聲］它們是同一條直線.

［師］很好.現在同學們來歸納等腰三角形的性質.

［生］我沿等腰三角形的頂角的平分線對折，發現它兩旁的部分互

相重合，由此可知這個等腰三角形的兩個底角相等，?而且還可以知

道頂角的平分線既是底邊上的中線，也是底邊上的高.

［師］很好，我們來總結等腰三角形的性質：

1.等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）.

2.等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、?底邊上的高互相

重合（通常稱作“三線合一”）.

［師］由上面折疊的過程獲得啟發，我們可以通過作出等腰三角形

的對稱軸，得到兩個全等的三角形，從而利用三角形的全等來證明這

些性質.同學們現在就動手來寫出這些證明過程）.

［生甲］如右圖，在AABC中，AB=AC,作底邊BC的中線AD,

因為

AB=AC,

<BD=CD,

AD=AD,

B

所以ABAD也ACAD(SSS).DC

所以NB=NC.

［生乙］如右圖，在AABC中，AB=AC,作頂角NBAC的角平分

線AD,因為

AB=AC,

NBAD=ACAD,

AD=AD,

所以ABAD也ACAD.BDC

所以BD=CD,ZBDA=ZCDA=-ZBDC=90°.

2

［師］很好，甲、乙兩同學給出了等腰三角形兩個性質的證明，過

程也寫得很條理、很規范.下面我們來看例題.

［例1］如圖，在4ABC中，AB=AC,點D在AC上，且BD=BC=AD,

求：AABC各角的度數.

［師］同學們先思考一下，我們再來分析這個題.

［生］根據等邊對等角的性質，我們可以得到幺

B

NA=NABD,NABC=NC=NBDC,?

再由ZBDC=ZA+ZABD,就可得到NABC=NC=NBDC=2NA.

再由三角形內角和為180。，?就可求出AABC的三個內角.

［師］這位同學分析得很好，對我們以前學過的定理也很熟悉.如

果我們在解的過程中把NA設為x的話，那么NABC、NC都可以用

x來表示，這樣過程就更簡捷.

［例］因為AB=AC,BD=BC=AD,

所以NABC=NC=NBDC.

ZA=ZABD（等邊對等角）.

設NA=x,則

NBDC=NA+NABD=2x,

從而NABC=NC=NBDC=2x.

于是在4ABC中，有

NA+NABC+NC=x+2x+2x=180°,

解得x=36°.

在AABC中，NA=35°,ZABC=ZC=72°.

［師］下面我們通過練習來鞏固這節課所學的知識.

三、隨堂練習

（-）課本P77練習1、2、3.

（二）閱讀課本P75?P77,然后小結.

四、課時小結

這節課我們主要探討了等腰三角形的性質，并對性質作了簡單的

應用.等腰三角形是軸對稱圖形，它的兩個底角相等（等邊對等角）,

等腰三角形的對稱軸是它頂角的平分線，并且它的頂角平分線既是底

邊上的中線，又是底邊上的高.

我們通過這節課的學習，首先就是要理解并掌握這些性質，并且

能夠靈活應用它們.

五、課后作業

（一）課本P81—1、3、4、8題.

（二）1.預習課本P71?P78.

2.預習提綱：等腰三角形的判定.

六、活動與探究

如右圖，在AABC中，過C作NBAC的平分線AD的垂線，垂

足為D,DE〃AB交AC于E.

求證：AE=CE.

過程：通過分析、討論，讓學生進一步了解全等三角形的性質和

判定，?等腰三角形的性質.

結果:

證明：延長CD交AB的延長線于P,如右圖，在4ADP和4ADC

Zl=Z2,

<AD=AD,

ZADP^ZADC,

/.△ADP^AADC.

，NP=NACD.

又?.?DE〃AP,

Z4=ZP.

二.N4=NACD.

/.DE=EC.

同理可證：AE=DE.

；.AE=CE.

備課資料

參考練習

一、選擇題

1.如果AABC是軸對稱圖形，則它的對稱軸一定是（）

A.某一條邊上的高；B.某一條邊上的中線

C.平分一角和這個角對邊的直線；D.某一個角的平分線

2.等腰三角形的一個外角是100°,它的頂角的度數是（）

A.80°B.20°C.80°和20°D.80°或50°

答案：1.C2.C

二、已知等腰三角形的腰長比底邊多2cm,并且它的周長為

16cm.

求這個等腰三角形的邊長.

解：設三角形的底邊長為xcm,則其腰長為（x+2）cm,根據題

意，得

2（x+2）+x=16.

解得x=4.

所以，等腰三角形的三邊長為4cm、6cm和6cm.

七、教學反思：”授人以魚，不如授人以漁”，最有價值的知識是

關于方法的知識，首先教師應創造一種環境，引導學生從已知的、熟

悉的知識入手，讓學生自己在某一種環境下不知不覺中運用舊知識的

鑰匙去打開新知識的大門，進入新知識的領域，從不同角度去分析、

解決新問題，發掘不同層次學生的不同能力，從而達到發展學生思維

能力和自學能力的目的，發掘學生的創新精神.

課題：§13.3.1等腰三角形（二）

教學目標:

（一）（知識與技能）

探索等腰三角形的判定定理.

（二）（過程與方法）

探索等腰三角形的判定定理，進一步體驗軸對稱的特征，發展空

間觀念.

（三）（情感、態度與價值觀）

通過對等腰三角形的判定定理的探索，讓學生體會探索學習的樂

趣，并通過等腰三角形的判定定理的簡單應用，加深對定理的理解.從

而培養學生利用已有知識解決實際問題的能力.

教學重點：等腰三角形的判定定理及其應用.

教學難點：探索等腰三角形的判定定理.

教學方法：講練結合法.

教具準備：三角板

教學過程

一、提出問題，創設情境

［師］上節課我們學習了等腰三角形的性質，現在大家來回憶一

下，等腰三角形有些什么性質呢？

［生甲］等腰三角形的兩底角相等.

［生乙］等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高

互相重合.

［師］同學們回答得很好，我們已經知道了等腰三角形的性質，那

么滿足了什么樣的條件就能說一個三角形是等腰三角形呢？這就是

我們這節課要研究的問題.

二、導入新課

［師］同學們看下面的問題并討論：

思考：如圖，位于在海上A、B兩處的兩艘救生船接到0處遇險

船只的報警，當時測得NA=NB.如果這兩艘救生船以同樣的速度同

時出發，?能不能大約同時趕到出事地點（不考慮風0^

浪因素）?

AB

在一般的三角形中，如果有兩個角相等，那么它

們所對的邊有什么關系？

［生甲］應該能同時趕到出事地點.因為兩艘救生船的速度相同，

同時出發，?在相同的時間內走過的路程應該相同，也就是OA=OB,

所以兩船能同時趕到出事地點.

［生乙］我認為能同時趕到O點的位置很重要，也就是NA如果不

等于NB,?那么同時以同樣的速度就不一定能同時趕到出事地點.

［師］現在我們把這個問題一般化，在一般的三角形中，如果有兩

個角相等，?那么它們所對的邊有什么關系？

［生丙］我想它們所對的邊應該相等.

［師］為什么它們所對的邊相等呢？同學們思考一下，給出一個簡

單的證明.

［生丁］我是運用三角形全等來證明的.

［例1］已知：在AABC中，NB=NC（如圖）.

求證：AB=AC.--------—

BDC

證明：作NBAC的平分線AD.

在4BAD和ACAD中

Z1=Z2,

<NB=NC,

AD^AD,

/.△BAD^ACAD（AAS）.

，AB=AC.

［師］太好了.從丁同學的證明結論來看，在一個三角形中，如果

有兩個角相等，那么它們所對的邊也是相等，也就說這個三角形就是

等腰三角形.這個結論也回答了我們一開始提出的問題.也就是如何

來判定一個三角形是等腰三角形.

等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這

兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）.

［師］下面我們通過幾個例題來初步學習等腰三角形判定定理的簡

單運用.

［例2］求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，

那么這個三角形是等腰三角形.

［師］這個題是文字敘述的證明題，?我們首先得將文字語言轉化

成相應的數學語言，再根據題意畫出相應的幾何圖形.［

已知：NCAE是AABC的外角，N1=N2,AD/7BC/

（如圖）.^4―—

求證：AB=AC.

［師］同學們先思考，再分析.

BC

［生］要證明AB=AC,可先證明NB=NC.

［師］這位同學首先想到我們這節課的重點內容，很好!

［生］接下來，可以找NB、NC與Nl、N2的關系.

［師］我們共同證明，注意每一步證明的理論根據.

證明：VAD//BC,

...N1=NB（兩直線平行，同位角相等），

N2=NC（兩直線平行，內錯角相等）.

又

；.ZB=ZC,

；.AB=AC（等角對等邊）.

［師］看小黑板，同學們試著完成這個題.

已知：如圖，AD〃BC,BD平分NABC.

求證：AB=AD.

證明：VAD^BC,

ZADB=ZDBC（兩直線平行，內錯角相等）.

又「BD平分NABC,

NABD=NDBC,

二.NABD=NADB,

；.AB=AD（等角對等邊）.

［師］下面來看另一個例題.

［例3］如圖（1）,標桿AB的高為5米，為了將它固定，需要由它

的中點C?向地面上與點B距離相等的D、E兩點拉兩條繩子，使得

D、B、E在一條直線上，量得DE=4米，?繩子CD和CE要多長？

［師］這是一個與實際生活相關的問題，解決這類型問題，需要將

實際問題抽象為數學模型.本題是在等腰三角形中已知等腰三角形的

底邊和底邊上的高，求腰長的問題.

解：選取比例尺為1：100(即為1cm代表1m).

(1)作線段DE=4cm；

(2)作線段DE的垂直平分線MN,與DE交于點B；

(3)在MN上截取BC=；

(4)連接CD、CE,ZSCDE就是所求的等腰三角形，量出CD

的長，?就可以算出要求的繩長.

［師］同學們按以上步驟來做一做，看結果是多少.

三、隨堂練習

(一)課本P531、2、3.

四、課時小結

本節課我們主要探究了等腰三角形判定定理，?并對判定定理的

簡單應用作了一定的了解.在利用定理的過程中體會定理的重要

性.在直觀的探索和抽象的證明中發現和養成一定的邏輯推理能力.

五、課后作業

（一）課本P56—2、4、5、9、13題.

（二）預習P53?P54.

六、活動與探究

［探究1］等腰三角形兩底角的平分線相等.

過程：利用等腰三角形的性質即等邊對等角，全等三角形的判定

及性質.

結果：

已知：如圖，在AABC中，AB=AC,BD、CE是AABC的平分

線.

求證：BD=CE.人

證明：VAB=AC,/\

Z.ZABC=ZACB（等邊對等角）.

VZ1=-ZABC,Z2=-ZACB,——

22BC

Z.Z1=Z2.

在4BDC和4CEB中，

VZACB=ZABC,BC=CB,Z1=Z2,

.,.△BDC^ACEB（ASA）.

「.BD=CE（全等三角形的對應邊相等）.

［探究2］等腰三角形兩腰上的高相等.

過程：同探究1.

結果：

已知：如圖，在aABC中，AB=AC,BE、CF分別是AABC的

高.

求證：BE=CF.

證明：VAB=AC,

；.ZABC=ZACB（等邊對等角）.

又?「BE、CF分別是△ABC的高，

；.ZBFC=ZCEB=90°.

在4BFC和4CEB中，

VZABC=ZACB,NBFC=NCEB,BC=CB,

.'.△BFC^ACEB（AAS）.

BE=CF.

［探究3］等腰三角形兩腰上的中線相等.

過程：同探究1.

結果：

已知：如圖，在AABC中，AB=AC,BD、CE分別是兩腰上的

中線.

求證：BD=CE.

證明：VAB=AC,

AZABC=ZACB（等邊對等角）.

XVCD=-AC,BE」AB,

22

.,.CD=BE.

在4BEC和ACDB中，

VBE=CD,ZABC=ZACB,BC=CB,

/.△BEC^ACDB（SAS）.

；.BD=CE.

七、教學反思：

本節課按照質疑、猜想、驗證、推理的學習過程，遵循學生的認

知規律，讓學生感受由實踐到理論再到實踐的學習過程，使學生通過

“會學”最終達到“學會”.

教學一開始，學生通過回顧總結等腰三角形的性質為學習等腰三角形

的判定做了知識鋪墊.之后我將本節課的教學目標展示給學生，讓學

生做到心中有數，讓學生帶著問題看書，加強自主探索的能力.通過

學生觀察、思考例題，自然地滲透分類討論的數學解題思想.

課題：§13.3.2等邊三角形（一）

教學目標

（一）（知識與技能）

經歷探索等腰三角形成為等邊三角形的條件及其推理證明

過程.

（二）（過程與方法）

1.經歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建

立初步的符號感，發展抽象思維.

2.經歷觀察、實驗、猜想、證明的數學活動過程，發展合情推

理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點.

（三）（情感、態度與價值觀）

1.積極參與數學學習活動，對數學有好奇心和求知欲.

2.在數學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立

自信心.

教學重點：等邊三角形判定定理的發現與證明.

教學難點：

1.等邊三角形判定定理的發現與證明.

2.引導學生全面、周到地思考問題.

教學方法：探索發現法.

教具準備：三角板

教學過程

一、提出問題，創設情境

［師］我們在前兩節課研究證明了等腰三角形的性質和判定定理，

我們知道，在等腰三角形中有一種特殊的等腰三角形——三條邊都相

等的三角形，叫等邊三角形.回答下面的三個問題.

1.把等腰三角形的性質用到等邊三角形，能得到什么結論？

2.一個三角形滿足什么條件就是等邊三角形？

3.你認為有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？?

你能證明你的結論嗎？把你的證明思路與同伴交流.

（教師應給學生自主探索、思考的時間）

［生甲］由等邊對等角的性質可知，等邊三角形的三個角相等，又

由三角形三內角和定理可知，等邊三角形的三個角相等，并且都等于

60°.

［生乙］等腰三角形已有兩邊分別相等，所以我認為只要腰和底邊

相等，等腰三角形就是等邊三角形了.

［生丙］等邊三角形的三個內角都相等，且分別都等于60。，我認

為等腰三角形的三個內角都等于60°,也就是說這個等腰三角形就

是等邊三角形了.

（此時，部分同學同意此生看法，部分同學不同意此生看法，引

起激烈的爭論，?教師可讓同學代表發表自己的看法）

［生丁］我不同意這個同學的看法，?因為任何一個三角形滿足這

個條件都是等邊三角形.根據等角對等邊，三個內角都是60°,所

以它們所對的邊一定相等，但這一問題中“已知是等腰三角形，滿足

什么條件時便是等邊三角形”，?我覺得他給的條件太多，浪費！

［師］給三個角都是60°,這個條件確實有點浪費，那么給什么條

件不浪費呢？?下面同學們可以在小組內交流自己的看法.

二、導入新課

探索等腰三角形成等邊三角形的條件.

［生］如果等腰三角形的頂角是60。，那么這個三角形是等邊三角

形.

［師］你能給大家陳述一下理由嗎？

［生］根據三角形的內角和定理，頂角是60?。，?等腰三角形的兩

個底角的和就是180。60°=120。，再根據等腰三角形兩個底角是相

等的，?所以每個底角分別是120。+2=60°,則三個內角分別相等,

根據等角對等邊，.則此時等腰三角形的三條邊是相等的，即頂角為

60°的等腰三角形為等邊三角形.

［生］等腰三角形的底角是60°,那么這個三角形也是等邊三角

形，同樣根據三角形內角和定理和等角對等邊、等邊對等角的性質.

［師］從同學們自主探索和討論的結果可以發現：?在等腰三角形

中，?不論底角是60。，還是頂角是60°,那么這個等腰三角形都是

等邊三角形.?你能用更簡潔的語言描述這個結論嗎？

［生］有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

（這個結論的證明對學生來說可能有一定的難點，難點是意識到

分別討論60°的角是底角和頂角兩種情況.這是一種分類討論的思

想，教師要關注學生得出證明思路的過程，引導學生全面、周到地思

考問題，并有意識地向學生滲透分類的思想方法）

［師］你在與同伴的交流過程中，發現了什么或受到了何種啟示？

［生］我發現我的證明過程沒有意識到''有一個角是60。“，在等

腰三角形中有兩種情況：（1）這個角是底角；（2）這個角是頂角.也

就是說我們思考問題要全面、周到.

［師］我們來看有多少同學意識到分別討論60°的角是底角和頂

角的情況，?我們鼓掌表示對他們的鼓勵.

今天，我們探索、發現并證明了等邊三角形的判定定理；有一個

角等于60°的等腰三角形是等邊三角形，我們A

在證明這個定理的過程中，還得出了三角形為

等邊三角形的條件，是什么呢？/\

BC

［生］三個角都相等的三角形是等邊三角

形.

［師］下面就請同學們來證明這個結論.

已知：如圖，在AABC中，NA=NB=NC.

求證：AABC是等邊三角形.

證明：VZA=ZB,

；.BC=AC（等角對等邊）.

XVZA=ZC,

，BC=AC（等角對等邊）.

AB=BC=AC,即△ABC是等邊三角形.

［師］這樣，我們由等腰三角形的性質和判定方法就可以得到.

等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60。；

三個角都相等的三角形是等邊三角形.

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

［師］有了上述結論，我們來學習下面的例題，體會上述定理.

例4（書P54）

［例5］如圖，課外興趣小組在一次測量活動中，測得NAPB=60。，

AP=BP=200m,?他們便得出一個結論：A、B之間距離不少于200m,

他們的結論對嗎？

分析：我們從該問題中抽象出^APB,由已知條件NAPB=60。

且AP=BP,?由本節課探究結論知4APB為等邊三角形.AB

解：在4APB中，AP=BP,ZAPB=60°,\/

\60y

所以NPAB=NPBA=!(180°NAPB)=』(180°60°)Y

221

=60°.

于是NPAB=NPBA=NAPB.

從而4APB為等邊三角形，AB的長是200m,?由此可以得出興

趣小組的結論是正確的.

三、隨堂練習

(-)課本P80練習1、2.

(二)補充練習

如圖，^ABC是等邊三角形，NB和NC的平分線相交于D,BD、

CD?的垂直平分線分別交BC于E、F,求證：BE=CF.

證明：連結DE、DF,貝UBE=DE,DF=CF.

由4ABC是等邊三角形，BD平分NABC,得Nl=30°,故N

2=30°,從而NDEF=60°.

同理NDFE=60°,

故4DEF是等邊三角形.

DE=DF,

因而BE=CF.

四、課時小結

這節課，我們自主探索、思考了等腰三角形成為等邊三角形的條

件，?并對這個結論的證明有意識地滲透分類討論的思想方法.這節

課我們學的定理非常重要，在我們今后的學習中起著非常重要的作

用.

五、課后作業A

（一）課本P82—5、6、7、10題./\

［）/____\E

（二）預習P80?P81./\

BC

六、活動與探究

探究：如圖，在等邊三角形ABC的邊AB、AC上分別截取

AD=AE.4ADE是等邊三角形嗎？試說明理由.

過程：通過分析、討論，讓學生進一步了解等邊三角形的性質及

判定.

結果：

已知：三角形ABC為等邊三角形.D、E為邊AB、AC上兩點,

且AD=AE.判斷4ADE?是否是等邊三角形，并說明理由.

解：4ADE是等邊三角形，

「△ABC是等邊三角形，

ZA=60°.

XVAD=AE,

二.△ADE是等腰三角形.

「.△ADE是等邊三角形（有一個角是60。的等腰三角形是等邊

三角形）.

備課資料

等腰三角形（含等邊三角形）的性質與判定.

性質判定的條件

等邊對等角等角對等邊

等腰三“三線合一”即等腰三角形有一角是60°的等腰三角

角頂角平分線，底邊上的中線、形是等邊三角形

形（含等高互相重合

邊三角等邊三角形的三個角都相三個角都相等的三角形是

形）等，且每個角都是60°等邊三角形

參考例題

1.已知，如圖，房屋的頂角NBAC=100°,過屋頂

A的立柱AD_LBC.屋椽AB=AC,求頂架上NB、NC、

/BAD、ZCAD的度數.

解：在AABC中，

VAB=AC（已知），

AZB=ZC（等邊對等角）.

ZB=ZC=-（180°ZBAC）=40°（三角形內角和定理）.

2

XVAD1BC（已知）,

，NBAD=NCAD（等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高互相

重合）.

.?.NBAD=NCAD=50°.

2.已知：如圖，4ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC

至UE,使CE=CD.

求證：DB=DE.

證明：?「△ABC是等邊三角形，且BD是中線,

；.BD±AC,ZACB=60°,ZDBC=30°.

又?.?CD=CE,

ZCDE=ZE=iZACB=30°.

2

.*.ZDBC=ZE.

.;DB=DE.

3.已知：如圖，AABC是等邊三角形，DE〃BC,交AB、AC

于D、E.

求證：AADE是等邊三角形.

證明：:△ABC是等邊三角形（已知），

，NA=NB=NC（等邊三角形各角相等）.

VDE//BC,

，NADE=NB,ZAED=ZC（兩直線平行，同位角相等）.

，NA=NADE=NAED.

「.△ADE是等邊三角形（三個角都相等的三角形是等邊三角

形）.

七、教學反思：

證明，讓學生在課本知識的基礎上，廣開思路，思考更多的解題

方法，把這個定理的證明設計成開放式題形，激發學生的求勝心，調

動學生積極思考.一改以往直接給出結論的傳統教學方法，精心設計

適宜的教學情景，讓學生在動手實踐中自己發現結論，這種做法不僅

能使學生“感到自然、好接受“，更重要的是它體現了數學教育既重

視證明又重視猜想的正確教學觀.另外，教師在選取例題的過程中是

源于教材勝于教材，注重數學思想的滲透，培養學生的數學思維能力.

課題：§13.3.2等邊三角形（二）

教學目標

（一）（知識與技能

1.探索——發現——猜想——證明直角三角形中有一個角為

30°的性質.

2.有一個角為30。的直角三角形的性質的簡單應用.

（二）（過程與方法）

1.經歷“探索——發現——猜想——證明”的過程，?引導學生

體會合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補充的辯證關系.

2.培養學生用規范的數學語言進行表達的習慣和能力.

（三）（情感、態度與價值觀）

1.鼓勵學生積極參與數學活動，激發學生的好奇心和求知欲.

2.體驗數學活動中的探索與創新、感受數學的嚴謹性.

教學重點：含30°角的直角三角形的性質定理的發現與證明.

教學難點

1.含30。角的直角三角形性質定理的探索與證明.

2.引導學生全面、周到地思考問題.

教學方法：探索發現法.

教具準備：兩個全等的含30。角的三角尺；

教學過程

一、提出問題，創設情境

［師］我們學習過直角三角形，今天我們先來看一個特殊的直角三

角形，看它具有什么性質.大家可能已猜到，我讓大家準備好的含

30°角的直角三角形，?它有什么不同于一般的直角三角形的性質

呢？

問題：用兩個全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一個怎

樣的三角形？?能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由.

由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有

怎樣的大小關系？你能證明你的結論嗎？

二、導入新課

（讓學生經歷拼擺三角尺的活動，發現結論，同時引導學生意識

到，通過實際操作探索出來的結論，還需要給予證明）

［生］用含30°角的直角三角尺擺出了如下兩個三角形.

其中，圖（1）是等邊三角形，因為4ABD之AACD,所以AB=AC,

又因為RtZXABD中，ZBAD=60°,所以NABD=60°,有一個角是

60°的等腰三角形是等邊三角形.

［生］圖（1）中，NB=NC=60。，NBAC=NBAD+NCAD=30°

+30°=60°,所以NB=NC=NBAC=60。,即AABC是等邊三角形.

［師］同學們從不同的角度說明了自己拼成的圖（1）是等邊三角

形.由此你能得出在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊的關

系嗎？

［生］在直角三角形中，30。角所對直角邊是斜邊的一半.

［師］我們僅憑實際操作得出的結論還需證明，你能證明它嗎？

［生］可以，在圖（1）中，我們已經知道它是等邊三角形，所以

AB=BC=AC.?而NADB=90°,即AD±BC.根據等腰三角形“三

線合一”的性質，可得BD=DC=，BC.所以BD=1AB,?即在Rt4

22

ABD中，ZBAD=30°,它所對的邊BD是斜邊AB的一半.

［師生共析］這位同學能結合前后知識，把問題思路解釋得如此清

晰，很了不起.?下面我們一同來完成這個定理的證明過程.

定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，?那么它所對

的直角邊等于斜邊的一半.

已知：如圖，在RtZiABC中，ZC=90°,ZBAC=30°.

求證：BC=-AB.

2

AA

CBBCD

分析：從三角尺的擺拼過程中得到啟發，延長BC至D,使

CD=BC,連接AD.

證明：在AABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,則NB=60°.

延長BC至D,使CD=BC,連接AD（如下圖）

VZACB=60°,AZACD=90°.

VAC=AC,

「.△ABC0△ADC（SAS）.

AAB=AD（全等三角形的對應邊相等）.

「.△ABD是等邊三角形（有一個角是60。的等腰三角形是等邊

三角形）.

.,.BC=-BD=-AB.

22

［師］這個定理在我們實際生活中有廣泛的應用，因為它由角的特

殊性，揭示了直角三角形中的直角邊與斜邊的關系，下面我們就來看

一個例題.

［例5］右圖是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立

柱BC、DE垂直于橫梁AC,AB=,NA=30°,立柱BD、DEB

要多長？

AFr

分析：觀察圖形可以發現在Rt^AED與Rt^ACB中，

由于NA=30°,所以DE=，AD,BC=-AB,又由D是AB的中點，

22

所以DE」AB.

4

解：因為DE_LAC,BC±AC,ZA=30°,由定理知

BC=-AB,DE=-AD,

22

所以BD=-X7.4=3.7(m).

2

又AD=-AB,

2

所以DE=」AD=LX3.7=1.85(m).

22

答：立柱BC的長是，DE的長是.

［師］再看下面的例題.

［例］等腰三角形的底角為15。，腰長為2a,求腰上的高.

已知：如圖，在AABC中，AB=AC=2a,NABC=NACB=15°,

CD是腰AB上的高.

D

求：CD的長.

分析：觀察圖形可以發現，在RtZ\ADC中，AC=2a,BC

而NDAC是AABC的一個外角，?則NDAC=15°X2=30°,根據在

直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半，?可求出CD.

解：VZABC=ZACB=15°，

：.ZDAC=ZABC+ZBAC=30°.

；.CD=iAC=a（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那

2

么它所對的直角邊等于斜邊的一半）.

［師］下面我們來做練習.

三、隨堂練習

（一）課本P81練習

（二）補充練習

1.已知：如圖，Z\ABC中，ZACB=90°,CD是高，ZA=30°.

求證：BD=-AB.

4

證明：在RtZXABC中，ZA=30°,

.\BC=-AB.

2

在RtABCD中，ZB=60°,

AZBCD=30°.

;.BD=-BC.；.BD=-AB.

24

2.已知直角三角形的一個銳角等于另一個銳角的2倍，這個角

的平分線把對邊分成兩條線段.

求證：其中一條是另一條的2倍.

已知：在Rt^ABC中，ZA=90°,NABC=2NC,BD是NABC

的平分線.

求證：CD=2AD.

證明：在Rt^