新人教版初中數學七年級上冊全冊知識梳理及練習（基礎版）

（家教補習復習專用）

科目：數學

適用版本：新人教版

適用范圍：【教師教學】

新人教版七年級上冊數學全冊

知識點及鞏固練習題

有理數的意義

【學習目標】

1.掌握用正負數表示實際問題中具有相反意義的量；

2.理解正數、負數、有理數的概念；

3.掌握有理數的分類方法，初步建立分類討論的思想.

【要點梳理】

要點一、正數與負數

像+3、+1.5、+1,+584等大于0的數，叫做正數：像一3、一1.6、一,、-584

22

等在正數前面加“一”號的數，叫做負數.

要點詮釋：

(1)一個數前面的“+是這個數的性質符號，“+”常省略，但“-”不能省略.

(2)用正數和負數表示具有相反意義的量時，哪種為正可任意選擇，但習慣把“前進、上

升”等規定為正，而把“后退、下降”等規定為負.

(3)0既不是正數也不是負數，它是正數和負數的分界線.

要點二、有理數的分類

(1)按整數、

正整數,正整數

分數的關系分類：正有理數＜

整數，0,正分數

有理數＜貝整數

(2)按正數、有理數＜0負數

,正分數

分數＜〔負整數

貝分數的關系分類：負有理數，

與0貝分數

要點詮釋：

(1)有理數都可以寫成分數的形式，整數也可以看作是分母為1的數.

(2)分數與有限小數、無限循環小數可以互化，所以有限小數和無限循環小數可看作分

數，但無限不循環小數不是分數，例如》.

(3)正數和零統稱為非負數：負數和零統稱為非正數；正整數、0、負整數統稱整數.

【典型例題】

類型一、正數與負數

?'l.（2016?廣州）中國人很早開始使用負數，中國古代數學著作《九章算術》的“方

程”一章，在世界數學史上首次正式引入負數.如果收入100元記作+100元.那么-80元

表示（）

A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元

【思路點撥】在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就

用負表示.

【答案】C

【解析】解：根據題意，收入100元記作+100元，

則-80表示支出80元.

故選：C.

【總結升華】本題考查了正數和負數，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，確定一

對具有相反意義的量.

舉一反三：

【有理數的意義】

【變式1］（2015?太倉市模擬）一種大米的質量標識為"（50±0.5）千克”，則下列各

袋大米中質量不合格的是（）

A.50.0千克B.50.3千克C.49.7千克D.49.1千克

【答案】【）.

解：“50±0.5千克”表示最多為50.5千克，最少為49.5千克.

【變式2］（1）如果收入300元記作+300元，那么支出500元用—

表不，0兀表不.

（2）若購進50本書，用-50本表示，則盈利30元如何表示？

【答案】（1）-500元；既沒有收入也沒有支出.（2）不是一對具有相反意義的

量，不能表示.

【變式3］如果60nl表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示為

A.-20mB.-40mC.20mD.40m

【答案】B

Qz.體育課上，華英學校對九年級男生進行了引體向上測試，以能做7個

為標準，超過的次數記為正數，不足的次數記為負數，其中8名男生的成績如

下：2.-1,0,3,-2,-3.1.0

(1)這8名男生有百分之幾達到標準？

(2)他們共做了多少引體向上？

【答案與解析】(1)由題意可知：正數或0表示達標，

而正數或0的個數共有5個，所以百分率為：1xl00%=62.5%；

O

答：這8名男生有62.5%達到標準.

(2)(7+2)+(7-1；+7+(7+3)+(7-2)+(7-3)+(7+1)+7=56

(個)

答：他們共做了引體向上56個.

【總結升華】一定要先弄清‘基準”是什么.

類型二、有理數的分類

【有理數的意義356786概念的應用例2】

▼^3.下面說法中正確的是().

A.非負數一定是正數.

B.有最小的正整數，有最小的正有理數.

C.一Q一定是負數.

D.正整數和正分數統稱正有理數.

【答案】D

【解析】(A)不對，因為非負數還包括0；(B)最小的正整數為1,但沒有最小

的正有理數；(C)不對，當。為負數或。時，則一。為正數或0,而不是負數；

⑻對

【總結升華】一個有理數既有性質符號，又有除性質符號外的數值部分，兩者

合在一起才表示這個有理數.

舉一反三：

【變式1】判斷題：

(1)。是自然數，也是偶數()(2)0既可以看作是正數，也可以看成

是負數.()

(3)整數又叫自然數.()(4)非負數就是正數，非正數就是負數.

()

【答案】V,X,X,X

【變式2】下列四種說法，正確的是().

(A)所有的正數都是整數(B)不是正數的數一定是負數

(C)正有理數包括整數和分數(D)0不是最小的有理數

【答案】D

@4.請把下列各數填入它所屬于的集合的大括號里.

1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,,023.

23

正整數集合：｛…｝,負整數集合：｛-｝,

整數集合：｛…｝,正分數集合：｛…｝,

負分數集合：｛…｝,分數集合：｛…},

非負數集合:(???),非正數集合:(

【答案】正整數：1；負整數：-700；整數：1,0,-700；正分數：0.0708,

3.14159265,0.23；

7

負分數：-3.88,~；

分數：0.0708,3.14159265,0.23(-3.88,--；

非負數:1,0.0708,3.14159265,0,0.23；

7

非正數：-700,-3.88,0,--

正整數

正有理數

【解正分數析】

有理數0

負有理數［負整數

【總結I負分數升華】填數的方法有兩種：一種是逐個考

察，一一進行填寫；二是逐個填寫相關的集合，從給出的數中找出屬于這個集

合的數.此外注意幾個概念：非負數包括0和正數；非正數包括0和負數.

舉一反三:

【變式】(2014秋?惠安縣期末)在有理數-］、-5、3.14中，屬于分數的個

數共有一個.

【答案】2.

類型三、探索規律

@5.某校生物教師李老師在生物實驗室做實驗時，將水稻種子分組進行發

芽試驗：第1組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒，第4組取9粒，….

按此規律，那么請你推測第n組應該有種子是粒.

【答案】⑵+1)

【解析】第1組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒，第4組取9粒，…，

由此我們觀察到的粒數與組數之間有一定關系：3=2xl+l,5=2x24-1,

7=2x3+l,9=2x4+l,…，按此規律，第n組應該有種子數（2〃+1）粒.

【總結升華】研究一列數的排列規律時，其中的數與符號往往都與序數有關.

舉一反三：

【變式1】有一組數列：2,-3,2,-3,2,-3,…,根據這個規律，那么第

2010個數是：

【答案】-3

【變式2】觀察下列有規律的數：士±-1,-1,-1,…，根據其規律可知第9個數

26122030

是：

【答案喘

【鞏固練習】

一、選擇題

1.（2014?甘肅模擬）下列語句正確的（）個

（1）帶號的數是負數；

（2）如果a為正數，則-a一定是負數：

（3）不存在既不是正數又不是負數的數；

（4）0C表示沒有溫度.

A.0B.1C.2D.3

2.關于數“0”，以下各種說法中，錯識的是（）

A.0是整數B.0是偶數

C.0是正整數D.0既不是正數也不是負數

3.如果規定前進、收入、盈利、公元后為正，那么下列各語句中錯誤的是（）

A.前進-18米的意義是后退18米

B.收入-4萬元的意義是減少4萬元

C盈利的相反意義是虧損

D.公元-300年的意義是公元后300年

4.一輛汽車從甲站出發向東行駛50千米，然后再向西行駛20千米，此時汽車的位置是

（）

A.甲站的東邊70千米處B.甲站的西邊20千米處

C.甲站的東邊30千米處D.甲站的西邊30千米處

5.在有理數中，下面說法正確的是（

A.身高增長1.2CM和體重減輕1.2版是一對具有相反意義的量

B.有最大的數

C.沒有最小的數，也沒有最大的數

D.以上答案都不對

6.下列各數是正整數的是()

A.-1B.2C,0.5D.^2

二、填空題

1.(2014秋?朝陽區期末)如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可記

作.

11

2.在數0.5,-2-,100,0,1--45,0.1中，非負數是______________；非正數

22

是?

3.把公元2008年記作+2008,那么-2008年表示.

4.既不是正數，也不是負數的有理數是.

5.(2016春?溫州校級期中)如果向東行駛10米，記作+10米，那么向西行駛20米，記

作米.

6.是整數而不是正數的有理數是.

7.既不是整數，也不是正數的有理數是.

8.一種零件的長度在圖紙上是(104卷)毫米，表示這種零件的標準尺寸是毫

米，加工要求最大不超過亳米，最小不小于亳米.

三、解答題

1.說出下列語句的實際意義.

(1)輸出T2t(2)運進-5t(3)浪費-14元(4)上升-2m(5)

向南走-7m

2.(2014秋?晉江市期末)下面兩個圈分別表示負數集和分數集，請把下列6個數填入這

兩個圈中合適的位置.

-28%,-(--1),-2014,3.14,-(+5),-0.g

負數?集,分數案

3.(2015秋?贛州校級期末)隨著人們的生活水平的提高，家用轎車越來越多地進入普通

家庭.小明家買了一輛小轎車，他連續記錄了7天中每天行駛的路程，以50km為標準，多

于50km的記為“+”，不足50km的記為“?”，剛好50km的記為“3”，記錄數據如下

表：

時間第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

路程

*、-8-11-140-16+41+8

(km)

(1)請你估計小明家的小轎車一月(按30天計)要行駛多少千米？

(2)若每行駛100km需用汽油8L.汽油每升7.14元,試求小明家一年(按12個月計)

的汽油費用是多少元？

4.觀察下面依次排列的一列數，它的排列有什么規律?請接著寫出后面的兩個

數，你能說出第2011個數是什么嗎？

(1)1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,,,???,??.

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】B

【解析】(1)帶“-”號的數不一定是負數，如-(-2),錯誤；

(2)如果a為正數，則-a一定是負數，正確；

(3)0既不是正數也不是負數，故不存在既不是正數又不是負數的

數此表述錯誤；

(4)0C。表示沒有溫度，錯誤.

綜上，正確的有(2),共一個

2.【答案】C

【解析】。既不是正數也不是負數，但0是整數，是偶數，是自然數.

3.【答案】D

【解析】D錯誤，公元-300年的意義應該是公元前300年.

4.【答案】C

【解析】畫個圖形有利于問題分析，向東50千米然后再向西20千米后顯然

此時汽車在甲站的東邊30千米處.

5.【答案】C

【解析】A錯誤，因為身高與體重不是具有相反意義的量；B錯誤，沒有最大

的數也沒有最小數；C對.

6.【答案】B

二、填空題

1.【答案】?5米

2.【答案】0.5,100,0,J01.-21,0,-45

22

【解析】正數和零統稱為非負數，負數和零統稱為非正數，零既不是正數也不是負數.

3.【答案】公元前2008年

【解析】正負數表示具有相反意義的量.

4.【答案】0

【解析】既不是正數也不是負數的數只有零.

5.【答案】-20.

【解析】解：???向東行駛10米，記作+10米,

，向西行駛20米,記作-20米，

故答案為：-20.

6.【答案】負整數和0

【解析】整數包括正整數和負整數，又因為不是正數，所以只能是負整數和0.

7.【答案】負分數

【解析】不是整數，則只能是分數，又不是正數，所以只能是負分數.

8.【答案】10,10.03,9.98

【解析】10二嚷表示的數的范圍為：大于（10?0.02）,而小于（10+0.03）,即大于

9.98而小于10.03.

三、解答題

1.【解析】⑴輸出-12t表示輸入12t；

(2)運進5t表示運出5t;

(3)浪費T4元表示節約14元；

(4)上升-2m表示下降2m；

(5)向南走-7用表示向北走7m.

提示：“一”表示相反意義的量.

2?【解析】

負數集分數集

3?【解析】

解⑴50X7-8-11-14-16+41+8_

7

50X30=1500(km).

答：小明家的小轎車一月要行駛1500千米；

(2)1^22,X8X7.14X12=10281.6(元)，

100

答：小明家一年的汽油費用是10281.6元.

4.【解析】⑴9,-10,…，2011,…

數軸與相反數(基礎)

【學習目標】

1.理解數軸的概念及三要素；

2.理解有理數與數軸上的點的關系，并會借助數軸比較兩個數的大小;

3.會求一個數的相反數，并能借助數軸理解相反數的概念及幾何意義;

4.掌握多重符號的化簡.

【要點梳理】

要點一、數軸

1.定義：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸.

要點詮釋：

(1)原點、正方向和單位長度是數軸的二要素，二者缺一不口J.

(2)長度單位與單位長度是不同的，單位長度是根據需要選取的代表“1”的線段，而長

度單位是為度量線段的長度而制定的單位.有km、m、dm、cm等.

(3)原點、正方向、單位長度可以根據實際靈活選定，但一經選定就不能改動.

2.數軸與有理數的關系：任何一個有理數都可以用數軸上的點來表示，但數軸上的點不都

表示有理數，還可以表示其他數，比如乃.

要點詮釋：

(1)一般地，數軸上原點右邊的點表示正數，左邊的點表示負數；反過來也對，即正數用

數軸上原點右邊的點表示，負數用原點左邊的點表示，零用原點表示.

(2)在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大.

要點二、相反數

1.定義：只有符號不同的兩個數互為相反數；0的相反數是0.

要點詮釋：

(1)“只”字是說僅僅是符號不同，其它部分完全相同.

(2)“0的相反數是0”是用反數定義的一部分，不能漏掉.

(3)相反數是成對出現的，單獨一個數不能說是相反數.

(4)求一個數的相反數，只要在它的前面添上號即可.

2.性質:

(1)互為相反數的兩數的點分別位于原點的兩旁，且與原點的距離相等(這

兩個點關于原點對稱).

(2)互為相反數的兩數和為0.

要點三、多重符號的化簡

多重符號的化簡，由數字前面“-”號的個數來確定，若有偶數個時，化簡結果為正，

如一{-卜(一4)]}=4；若有奇數個時，化簡結果為負,如-{+[-(-4)]}=-4.

要點詮釋：

(1)在一個數的前面添上一個“+”，仍然與原數相同，如+5=5,+(-5)=-5.

(2)在一個數的前面添上一個“一”，就成為原數的相反數.如一(一3)就是一3的相

反數，因此，一(-3)=3.

【典型例題】

類型一、數軸的概念

C1.如圖所示是幾位同學所畫的數軸，其中正確的是()

-2-1012-3-2-10123T-2012一0

(1)(2)(3)(4)

A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.只有(2)D.⑴⑵⑶⑷

【答案】C

【解析】對數軸的三要素掌握不清.(1)中忽略了單位長度，相鄰兩整點之間的距離不一

致；(3)中負有理數的標記有錯誤；(4)圖中漏畫了表示方向的箭頭.

【總結升華】數軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；數軸的三要素：原點、

正方向、單位長度缺一不可.

類型二、相反數的概念

^^2.(2015.宜賓).』的相反數是(

)

5

A.5B.1C.-1D.-5

55

【思路點撥】解決這類問題的關鍵是抓住互為相反數的特征“只有符號不同”，所以只要

將原數的符號變為相反的符號，艮]可求出其相反數.

【答案】B

【總結升華】求一個數的相反數，只改變這個數的符號，其他部分都不變.

舉一反三：

【數軸和相反數例1(1)~(7)]

【變式1】填空：

(1)-(-2.5)的相反數是；⑵—是TOO的相反數；(3)-5：是

的相反數；

(4)的相反數是-1.1；(5)8.2和互為相反數.(6)a和互為相

反數.

(7)的相反數比它本身大，的相反數等于它本身.

【答案】(1)-2.5；(2)100：(3)5-;(4)1.1；(5)-8.2；(6)-a；(7)負

5

數，0.

【數軸和相反數例2】

【變式2】下列說法中正確的有()

①一3和+3互為相反數；②符號不同的兩個數互為相反數；③互為相反數的兩個數必

定一個是正數，一個是負數；④乃的相反數是一3.14；⑤一個數和它的相反數不可能相

等.

A.0個B.1個C.2個D.3個或更多

【答案】B

C3.(2016?泰安模擬)如圖，數軸上有A,B,C,D四個點，其中表示2的相反數的

點是()

ABCD

-----；?------—a—ft—?--------------1------->

-4-3-2-10123456

A.點AB.點BC.點CD.點D

【思路點撥】考查相反數的定義：只有符號不同的兩個數互為相反數.根據定義，結合數

軸進行分析.

【答案】A

【解析】解：???表示2的相反數的點，到原點的距離與2這點到原點的距離相等，并且與

2分別位于原點的左右兩側，

，在A,B,C,D這四個點中滿足以上條件的是A.

故選A.

【總結升華】本題考查了互為相反數的兩個數在數軸上的位置特點：分別位于原點的左右

兩側，并且到原點的距離相等.

類型三、多重符號的化簡

4.化簡下列各數中的符號.

(1)-f-2-l(2)-(+5)(3)-(-0.25)(4)+1-1

I3jI2)

(5)](6)_(_a)

(\\1

【答案】(1)——2—=2—(2)-(+5)=-5(3)-(-0.25)=0.25

I3J3

(1A1

(4)+——=——(5)-[-(+1)]=~(-1)=1(6)-(-a)=a

I2)2

【解析】

⑴-1-2號表示一2』的相反數，而一21的相反數是2L所以J-2g=2:；

13yl33313yl3

(2)-(+5)表示+5的相反數，即-5,所以-(+5)=-5；

(3)-(-0.25)表示-0.25的相反數，而-0.25的相反數是0.25,所以-(-0.25)=0.25：

1

(4)負數前面的“+”號可以省略，所以+--=一一；

I2)2

(5)先看中括號內-(+1)表示1的相反數,即T,因此-卜(+1)]=-(-1)而-(-1)表示-1的

相反數,即1,所以-b(+D]=TT)=l:(6)-(-a)表示-a的相反數，即a.

所以-(-a)=a

【總結升華】運用多重符號化簡的規律解決這類問題較為簡單.即數一下數字前面有多少

個負號.若有偶數個，則結果為正；若有奇數個，則結果為負.

類型四、利用數軸比較大小

GA.在數軸上表示2.5,0,-1,-2.5,11,3有理數，并用“V”把它連接起

44

來.

【答案與解析】如圖所示，點A、B、C、D、E、F、G分別表示有理數2.5,0.

-3巳-1,-2.5,13.

44

￡DCBFAG

-4-3-2-101234

由上圖可得：

31

/.-2.5<-1<--<0<1-<2,5<3

44

【總結升華】根據數軸的三要素先畫好數軸，表示數的字母要依次對應有理數，然后根據

在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大，比較大小.

舉一反三：

【變式1】有理數a、b在數軸上的位置如圖所示，下列各式不成立的是()

---------------------1---------------1~?---------------------->

a0b

A.b-a>0B.-b<0C.-a>-bD.-ab<0

【答案】D

【數軸和相反數例4(2)]

【變式2】填空：

大于-39且小于79的整數有_____個；比3?小的非負整數是____________.

775—

【答案】11；0,1,2,3

類型五、數軸與相反數的綜合應用(數形結合的應用)

▼6.已知數軸上點A和點B分別表示互為相反數的兩個數a,biaVb）并且A、B兩點

間的距離是4,，求a、b兩數.

4

【思路點撥】因為a、b兩數互為相反數（aVb）,所以表示a,b的兩點A、B離原點的距離

相等，而A、B兩點間的距離是41,所以A、B兩點到原點的距離就是4』+2=21.

448

【答案與解析】

解：由題意A、B兩點到原點的距離都是：4!+2=2：而a<b,所以。=一2L

488

b=2-.

【總結升華】（1）理解相反數的幾何意義.（2）從相反數的意義入手，明確互為

相反數的兩數關于原點對稱.

舉一反三：

【變式】填空：（1）數軸上離原點5個單位長度的點表示的數是；（2）從數軸

上觀察，-3與3之間的整數有個.

【答案】（1）±5,提示：要注意兩種情況，原點左右各一個點；（2）5,提示：畫出數

軸，容易看出-3和3之間的整數是-2,-1,0,1,2共5個.

【鞏固練習】

一、選擇題

1.（2015?江陰市模擬）-5的相反數是（）

A.5B.-5C.±5D.

5

2.下列說法正確的是（）

A.數軸上一個點可以表示兩個不同的有理數

B,數軸上的兩個不同的點表示同一個有理數

C.有的有理數不能在數軸上表示出來

D.任何一個有理數都可以在數軸上找到與它對應的唯一點

3.（2016?呼和浩特）互為相反數的兩個數的和為（）

A.0B.-1C.1D.2

4.如圖，有理數a,b在數軸上對應的點如下，則有（）.

a0b

(A)a>0>b(B)a>b>0(C)a<0<b(D)a<b<0

5.一個數比它的相反數小，這個數是()

A.正數B,負數C.非正數D.非負數

6.如果。+6=0,那么a,6兩個數一定是()

A.都等于0B.一正一負C.互為相反數D.互為倒數

二、填空題

1.的兩個數，叫做互為相反數；零的相反數是______.

2.(2015春?岳池縣期中)若3a-4b與7a-6b互為相反數，則a與b的關系

為.

3.(2016?岳陽)如圖所示，數軸上點A所表示的數的相反數是.

4.數軸上離原點5個單位長度的點有個，它們表示的數是，它們之間的關

系是.

5.化簡下列各數：

(/4、

(D---=________；⑵一+-=________；(3)-什[一(+3)]}=________.

、3)\5,

【數軸和相反數例4(5)】

6.已知一IVaVOVIVb,請按從小到大的順序排列-1,—a,0,1,—b為.

三、解答題

1.小敏的家、學校、郵局、圖書館坐落在一條東西走向的大街上，依次記為A、B、C、

D,學校位于小敏家西150米，郵局位于小敏家東100米，圖書館位于小敏家西400米.

(1)用數軸表示A、B、C、D的位置(建議以小敏家為原點).

(2)一天小敏從家里先去郵局寄信后.以每分鐘50米的速度往圖書館方向走了約8分

鐘.試問這時小敏約在什么位置?距圖書館和學校各約多少米？

2.已知：a是-(-5)的相反數，b比最小的正整數大4,c是最大的負整數.計算:

3a+3b+c的值是多少？

3.化簡下列各數,再用“<”連接.

(1)-(-54)(2)-(+3.6)⑶一(+：)

4.已知3m-2與-7互為相反數，求m的值.

【答案與解析】

一、選擇題

L【答案】A

2.【答案】D

【解析】A、B、C都錯誤，因為所有的有理數都能在數軸上表示出來，但數軸上的點不

都表示有理數；一個有理數在數軸上只有一個表示它的點.數軸上表示有理數

的點一個點對應一個有理數.

3.【答案】A

【解析】解：互為相反數的兩個數的和為0.

故選：A.

4.【答案】C

5.【答案】B

【解析】因為一個負數的相反數是一個正數，負數小于正數，所以選B

6.【答案】C

【解析】若〃+力=0，則。力一定互為相反數：反之，若互為相反數，則

a+b=0.

二、填空題

1.【答案】只有符號不同，零

【解析】相反數的定義

2.【答案】a二b.

【解析】?「3a-4b與7a-6b互為相反數，/.3a-4b+7a-6b=0,二.a=b.

3.【答案】2.

【解析】解：數軸上點A所表示的數是-2,-2的相反數是2,

故答案為：2.

4.【答案】兩個，±5,互為相反數

24

5.【答案】一；—；3

35

【解析】多重符號的化簡是由“-”的個數來定，若“-”個數為偶數個時，化簡結果為

正，；若“一”個數為奇數個時，化簡結果為負.

6.【答案】-b<-1<0<-a<1.

三、解答題

1.［解析］r---------匚［I

(1)如圖所示西，：?，I，。?，―東

-400-150050100單位：米

(2)小敏從郵局出發，以每分鐘50米的速度往圖書館方向走了約8分鐘，其路程為50X

8=400(米)，由上圖知，此時小敏位于家西300米處，所以小敏在學校與圖書館之間，且

距圖書館100米,距學校150米.

2.【解析】二飛是-(-5)的柞反數,

a=-5,

?；b比最小的正整數大4,

.*.b=1+4=5,

Ye是最大的負整數，

:.c=-1,

:.3a+3b+c=3X(-5)+3X5-1,

=-15+15-1,

=-1.

3.【解析】

(1)-(-54)=54

(2)-(+3.6)=-3.6

55

3

2

將化簡后的數表示在數軸上，由圖可得：-(+3.6)<-<-(-54).

4.【解析】依題意：3m-2=7,故m=3.

絕對值(基礎)

【學習目標】

1.掌握一個數的絕對值的求法和性質；

2.進一步學習使用數軸，借助數軸理解絕對值的幾何意義；

3.會求一個數的絕對值，并會用絕對值比較兩個負有理數的大小；

4.理解并會熟練運用絕對值的非負性進行解題.

【要點梳理】

要點一、絕對值

L定義：一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，記作|a|.

要點詮釋：

(1)絕對值的代數意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它

的相反數；0的絕對值是0.即對于任何有理數a都有：

>(a>0)

a|=<0(a=0)

*-a(a<0)

(2)絕對值的幾何意義：一個數的絕對值就是表示這個數的點到原點的距離,

離原點的距離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小.

(3)一個有理數是由符號和絕對值兩個方面來確定的.

2.性質：絕對值具有非負性，即任何一個數的絕對值總是正數或0.

要點二、有理數的大小比較

1.數軸法：在數軸上表示出這兩個有理數，左邊的數總比右I

a

邊的數小.如：a與b在數軸上的位置如圖所示，則a<b.

2.法則比較法：

兩個數比較大小，按數的性質符號分類，情況如下：

同為正號：絕對值大的數大

兩數同號

同為負號：絕對值大的反而小

兩數異號正數大于負數

正數與0:正數大于0

-數為0

負數與0：負數小于0

要點詮釋：

利用絕對值比較兩個負數的大小的步驟：(1)分別計算兩數的絕對值；

(2)比較絕對值的大小；(3)判定兩數的大小.

3.作差法：設a、b為任意數，若a-b〉0,則a>b；若a-b=0,則a=b；若

a-b<0,avb；反之成立.

4.求商法：設a、b為任意正數，若則若則。=力；若

bb

則。<b；反之也成立.若a、b為任意負數，則與上述結論相反.

b

5.倒數比較法：如果兩個數都大于0,那么倒數大的反而小.

【典型例題】

類型一、絕對值的概念

◎1.求下列各數的絕對值.

-1-,-0.3,0,-f-3-1

2I2）

【思路點撥】1g，一0?3,0,-1-3；）在數軸上位置距原點有多少個單位長

度，這個數字就是各數的絕對值.還可以用絕對值法則來求解.

【答案與解析】

解法一因為拈到原點距離是e個單位長度，所以-11=11.

因為-0.3到原點距離是0.3個單位長度，所以-0.3|=0.3

因為0到原點距離為0個單位長度，所以|0|二0.

因為/一3g］到原點的距離是3,個單位長度，所以/-31=31.

I2；2{2）2

解法二：因為一匚〈0,所以1號=1］

22<2J2

因為一0.3<0,所以-0.3|=-（-0.3）=0.3.

因為0的絕對值是它本身，所以1。1二0.

因為—（―3；）>0,所以］一3'=3g.

【總結升華】求一個數的絕對值有兩種方法：一種是利用絕對值的幾何意義求

解（如方法D,一種是利用絕對值的代數意義求解（如方法2）,后種方法的具體

做法：首先判斷這個數是正數、負數還是0.再根據絕對值的意義，確定去掉

絕對值符號的結果是它本身，是它的相反數，還是0.從而求出該數的絕對

值.

C%.（2015?畢節市）下列說法正確的是（）

A.一個數的絕對值一定比。大

B.一個數的相反數一定比它本身小

C.絕對值等于它本身的數一定是正數

D.最小的正整數是1

【答案】D.

【解析】A、一個數的絕對值一定比。大，有可能等于0,故此選項錯誤；

B、一個數的相反數一定比它本身小，負數的相反數，比它本身大，故此選項錯誤；

C、絕對值等于它本身的數一定是正數，0的絕對值也等于其本身，故此選項錯誤；

D、最小的正整數是1,正確.

【總結升華】此題主要考查了絕對值以及有理數和相反數的定義，正確掌握它們的區別是

解題關鍵.

舉一反三：

【變式1]求絕對值不大于3的所有整數.

【答案】絕對值不大于3的所有整數有-3、-2、-1、0、1、2、3.

【變式2](2015?鎮江)已知一個數的絕對值是4,則這個數是.

【答案】±4.

【變式3】數軸上的點A到原點的距離是6,則點A表示的數為.

【答案】6或-6

類型二、比較大小

C3.(2016春?上海校級月考)比較大小：|-衛|_______-(-1.8)(填

4

“>”、"V”或“二”).

【思路點撥】先化簡，再比較大小，即可解答.

【答案】<.

【解析】解：I-1-1|=1^1.75,-(-1.8)=1.8,

44

V1.75<1,8,

???|-1S|V-(-1.8)，

4

故答案為：V.

【總結升華】本題考查了有理數大小比較，解決本題的關鍵是掌握絕對值的化簡以及多重

復號的化簡方法.

舉一反三:

【絕對值比大小356845典型例題2】

【變式1】比大小：

-3--3-；-1-3.21_____-(+3.2);0.0001______-1000；

67

-1.38-1.384；-71-3.14.

【答案】>；=；>；>；<

【變式2】下列各數中，比-1小的數是()

A.0B.1C.-2D.2

【答案】C

【變式3】數a在數軸上對應點的位置如圖所示，則a,-a,7的大小關系是

().

111ftI

。-10.

A.-a<a<-1B.-1<-a<a

C.a<-1<-aD.a<_a<-1

【答案】C

類型三、絕對值非負性的應用

Cd.已知|2-m|+|n-3|=0,試求nr2n的值.

【思路點撥】由|a|N0即絕對值的非負性可知，|2-m|20,|n-3|20,

而它們的和為0.所以|2-m|=0,|n-3|=0.因此，2-m=0tn-3=0,所以m

=2,n=3.

【答案與解析】因為|2-m|+|『3|=0

且|2-m|N0,|n-31>0

所以2-m|=0,|n-3|=0

BP2-m=0,n-3=0

所以m=2,n=3

故m-2n=2-2x3=-4.

【總結升華】若幾個數的絕對值的和為0,則每個數都等于0,即|4|+必|+???

十|m|=0時，貝IJa=b二…二m=0.

類型四、絕對值的實際應用

C5.正式足球比賽對所用足球的質量有嚴格的規定，下面是6個足球的質

量檢測結果，用正數記超過規定質量的克數，用負數記不足規定質量的克

數.檢測結果（單位：克）：-25,+10,-20,+30,+15,-40.裁判員應該選擇

哪個足球用于這場比賽呢?請說明理由.

【答案】因為|+10|<|+15|〈卜20|25|<|+30|<|-40|,所

以檢測結果為+10的足球的質量好一些.所以裁判員應該選第二個足球用于這

場比賽.

【解析】根據實際問題可知，哪個足球的質量偏離規定質量越小，則足球的質

量越好.這個偏差可以用絕對值表示