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力學中的守恒定律

*QP§2-1機械能守恒定律一、功和功率1、功（work）:力在物體移動過程中的空間效果1）恒力所作的功dA

稱為元功，功等于質點受的力和它的位移的點積。2）變力所作的功

記作位移無限小時：

如果力是位置的函數，設質點在力的作用下沿一曲線運動，則功的計算如下：(點乘積，標量積)*在元位移中將力視為恒力，力沿P、Q所作的功為所有無限小段位移上的元功之和。3）合力所作的功元功：dA

元位移：QP解析式：*2、功率（power）

力在單位時間內所作的功功率的另一種形式：公式為：功率等于力在運動方向的分量與速率的乘積，或等于力的大小與速度在力的方向的分量的乘積。

SI制中功的單位是J(焦耳，簡稱焦)，1J=1N

m功率的單位：J

s

1(焦耳/秒)或W(瓦特,簡稱瓦)注意：(1)功是過程量，與路徑有關；(2)功是標量，但有正負；(3)合力的功為各分力的功的代數和。*θyxO

｛h

解取如圖所示的坐標系,其分量式為:

在x方向:在y方向:αAR

例1

質量為m的小球系在長度為R的細繩末端,細繩的另一端固定在點A,將小球懸掛在空間。現小球在水平推力

的作用下,緩慢地從豎直位置移到細繩與豎直方向成

角的位置。求水平推力

所作的功(不考慮空氣阻力)。

小球受推力

、細繩的張力和小球所受重力

三個力始終是平衡的,即

*上兩式相除得取元位移，變力所作的元功為偏轉α角的過程中的總功為θyxO

｛hαAR*

例2

已知彈簧的勁度系數k=200N

m

1,若忽略彈簧的質量和摩擦力,求將彈簧壓縮10cm,彈性力所作的功和外力所作的功。xOyxxOy

解：取如圖所示的坐標系彈簧的彈力為在x處取元位移dx,彈力所作元功彈性力所作的總功為外力所作的功為*二、動能和動能定理

質點由點P運動到點Q，合力對質點所作的功為質點的動能(kineticenergy)定義：質點的質量與其運動速率平方的乘積的一半。用Ek表示，即*所以有動能定理：作用于質點的合力所作的功，等于質點動能的增量。，表示合力對質點作正功，，質點的動能增大；，表示合力對質點作負功，，質點的動能減小；所以說，功是質點能量改變的量度。

擴展：所有外力和內力對物體系所作的功之和等于物體系總動能的增量。*動能定理討論：

(1)動能定理反映的是某一力學過程中，物體運動狀態變化與力的空間累積效應的關系。動能和運動狀態相聯系，功和運動過程相聯系，運動過程中動能的變化由功來量度。對功的認識就從物體在力的作用下發生位移這種現象，深入到改變物體動能這一本質。

(2)功和動能都是與參照系有關的量。但動能定理在不同慣性系中都成立，這是力學相對性原理的必然結果。在一般情況下，如無特別聲明，就是指以地面為參照系。*

例3

小球以初速率vA

沿光滑曲面向下滾動,如圖所示。問當小球滾到距出發點A的垂直距離為h的B處時,速率為多大?

解建立右圖的坐標系，小球在滾動過程中受到和兩個力的作用。合力為

根據動能定理有即*而重力加速度的分量式，即解得末速率為于是有所以因始終垂直于，所以*

由物體間的萬有引力和相對位置所決定的勢能，稱為萬有引力勢能，簡稱引力勢能。重力勢能是處于地球附近的物體與地球之間萬有引力作用結果的一種簡單而重要的特例。三、勢能勢能：由物體間的相互作用和相對位置決定的能量。1、引力勢和重力勢能(potentialenergy)

物體沿一曲線從點P移到點Q。當物體在任一點C時，所受地球引力為地球*地球若選擇無限遠處引力勢能為零，引力勢能表達式為取元位移，則有引力所作的元功為物體從點P到點Q，引力所作的總功為*物體在點P和點Q的引力勢能分別為所以

此式表示，萬有引力所作的功等于系統引力勢能增量的負值，即引力勢能的降低。在地球表面附近時，近似有rPrQ=R2，*式中hP=rP

R,hQ=rQ

R,分別為點P和點Q

距地面的高度。若選擇h=0

處的重力勢能為零,則重力勢能表達式于是有此式表明，重力所作的功等于系統重力勢能增量的負值，即重力勢的降低。由以上討論知：萬有引力、重力所作的功，決定于質點的始、末位置，而與質點運動的路徑無關。

*2、彈力勢能總功選擇平衡位置處彈力勢能為零，彈力勢能表達式為所以此式表示，彈性力所作的功等于彈簧系統彈力勢能增量的負值，即彈力勢能的減少量。元功*3、保守力(conservationforce)物體在某種力的作用下，沿任意閉合路徑繞行一周所作的功恒等于零，即具有這種特性的力，稱為保守力；不具有這種特性的力稱為非保守力。*1、只要有保守力，就可引入相應的勢能。2、勢能是狀態函數。質點在某一點的勢能大小等于在相應的保守力的作用下，由所在點移動到零勢能點時保守力所做的功。3、勢能僅有相對意義，所以必須指出零勢能參考點。兩點間的勢能差是絕對的，即勢能是質點間相對位置的單值函數。4、勢能是屬于具有保守力相互作用的質點系統的。勢能小結*引力勢能：萬有引力是保守力。萬有引力的功等于引力勢能增量的負值。引力勢能以無窮遠處為零勢能點。重力勢能：重力是保守力。重力的功等于重力勢能增量的負值。重力勢能以地面為零勢能點。彈性勢能：彈性力是保守力。彈性力的功等于彈性勢能增量的負值。彈性勢能以彈簧原長為零勢能點。*四、機械能守恒定律1、功能原理

A外

+A內

=EkQ

EkP

外力和內力對系統所作的功的代數和，等于系統內所有質點的總動能的增量，質點系的動能定理。

A內

=A保內

+A非保內

因為

A保內

=

(EpQ

EpP)而

A外

+A非保內

=(EkQ+EpQ)

(EkP+EpP)

所以由

n

個相互作用著的質點所組成的質點系。系統中質點既受來自系統以外的力(稱為外力)的作用,也受到系統內部其他質點的力(稱為內力)的作用。

*于是有

A外

+A非保內

=E(Q)

E(P)

此式表明，在系統從一個狀態變化到另一個狀態的過程中，其機械能的增量等于外力所作功和系統的非保守內力所作功的代數和。此規律稱為系統的功能原理。2、機械能守恒定律(lawofconservationofmechanicalenergy)系統的動能與勢能之和稱為系統的機械能，用E表示如果

A外

+A非保內

=0則有

E(Q)=E(P)或

EkQ+EpQ=EkP+EpP

*機械能守恒定律：在外力和非保守內力都不作功或所作功的代數和為零的情況下,系統內質點的動能和勢能可以互相轉換,但它們的總和,即系統的機械能保持恒定。能量守恒定律是物理學中具有最大普遍性的定律之一,也是整個自然界都遵從的普遍規律,機械能守恒定律只是它在力學范圍內的一個特例。

能量不會消失，也不會產生，只能從一種形態轉換為另一形態。這就是普遍的能量守恒定律。

能量反映運動形態。存在熱能,電磁能,核能,化學能,以及生物能等各種形態的能量。大量事實表明,不同形態的能量之間,可以彼此轉換。

*

能量守恒定律是從無數事實中得出的結論，是物理學中具有最大普遍性的定律之一，可以適用于任何變化過程，不論是機械的、熱的、電磁的、原子和原子核內的以及化學的、生物的等等。

能量守恒定律能使我們更深刻地理解功的意義，能量的交換在量值上就用功來描述，所以功是能量交換或變化的一種量度。

還應該指出，不能把功和能量看作是等同的。功總與能量變化或交換的過程相聯系著，而能量代表著系統在某一狀態時所具有的特性，能量的量值只決定于系統的狀態，系統在一定狀態時，就具有一定的能量。所以說能量是系統狀態的單值函數。*例1

求使物體脫離地球引力作用的最小速度。

(第二宇宙速度，地球的逃逸速度）

解根據機械能守恒定律有由逃逸速度公式聯想？

星球質量足夠大以致算得的逃逸速度正好等于真空中的光速c,那么一切物體都不能擺脫其引力束縛而逃逸,甚至光子也不能例外,我們看不到它。“黑洞”如何發現黑洞?“引力透鏡”效應。

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例2

求使物體不僅擺脫地球引力作用,而且脫離太陽引力作用的最小速度。(第三宇宙速度）解根據機械能守恒定律有地球公轉速度物體相對于地球速度*相對地球的動能脫離地球引力所需動能所以從地面發射時所需最小動能為由此可得第三宇宙速度*物體沿斜面