專題52平面解析幾何專題訓(xùn)練一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。1．若()，則直線被圓所截得的弦長為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵圓心到直線的距離，因此根據(jù)直角三角形的關(guān)系，弦長的一半就等于，∴弦長為，故選D。2．若、分別為直線與上任意一點(diǎn)，則的最小值為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，∴兩直線平行，將直線化為，由題意可知的最小值為這兩條平行直線間的距離，即，故選B。3．若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】由題意已知圓與圓相交，∴，解得且，故選B。4．雙曲線的實(shí)軸長是虛軸長的倍，則()。A、B、C、D、【答案】D【解析】可化為，則，，∵實(shí)軸長是虛軸長的倍，∴，即，即，∴，故選D。5．已知橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】如圖所示，橢圓的焦點(diǎn)恰好為兩圓的圓心，∴取得最大值時(shí)，、必經(jīng)過焦點(diǎn)、，則，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知，故。6．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：()的左焦點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且軸。過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)。若直線經(jīng)過的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】作圖，由題意得、、，設(shè)，由得，則①，又由，得，則②，由①②得，即，則，故選A。7．已知點(diǎn)是雙曲線：(，)的左支上一點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，與兩條漸近線相交于、兩點(diǎn)(如圖所示)，點(diǎn)恰好平分線段，則雙曲線的離心率為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】在三角形中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，斜率為，則，設(shè)，，，又，則，又，∴，即，，故選D。8．已知雙曲線(，)，過其左焦點(diǎn)作軸的垂線，交雙曲線于、兩點(diǎn)，若雙曲線的右頂點(diǎn)在以為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是()。A、B、C、D、【答案】B【解析】以為直徑的圓的半徑為，雙曲線的右頂點(diǎn)到以為直徑的圓的圓心的距離為，則，化簡(jiǎn)得，令，則，則，即，，即，又，則，故選B。9．已知離心率為的雙曲線：(，)的左、右焦點(diǎn)分別為、，直線：與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若，則=()。A、B、C、D、【答案】B【解析】由雙曲線的離心率為，可得，故，故雙曲線的方程可化為，聯(lián)立聯(lián)立可得和，故，而，由可得，則，故選B。10．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵橢圓：，∴，，，，∵雙曲線：，，，，∴，則，∴，由得，∴，又，∴，故選D。11．已知、是雙曲線(，)的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為()。A、或B、或C、或D、或【答案】B【解析】(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，由題意可知，，，，則，，，代入得，即，解得，則，(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，，設(shè)，則，，由題意可知，，，，則，，，則，則，代入得，即，解得，則，故選B。12．如圖所示，過拋物線：()的焦點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn)，過、分別向的準(zhǔn)線作垂線，垂足為、，已知與的面積分別為和，則的面積為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】設(shè)的面積為，直線：，代入拋物線方程，消元可得，設(shè)、，則，，，，，∴，故選B。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、的連線的斜率之積為，則點(diǎn)的軌跡方程是。【答案】()【解析】設(shè)，則，，∵動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、的連線的斜率之積為，∴，∴，即，且，綜上點(diǎn)的軌跡方程是()。14．如圖所示，已知是橢圓()的左焦點(diǎn)，是橢圓上的一點(diǎn)，軸，(為原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是。【答案】【解析】，又與相似，則，解得，又得。15．過雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別向圓：和圓：()作切線，切點(diǎn)分別為、，若的最小值為，則。【答案】【解析】設(shè)、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，也是題中圓的圓心，∴，顯然其最小值為，。16．設(shè)拋物線：()的焦點(diǎn)為，過的直線(斜率存在)與拋物線相交于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，若點(diǎn)，且，則的值為。【答案】【解析】，設(shè)直線方程，代入得，設(shè)、，則，，，，即，設(shè)線段中點(diǎn)為，則，，線段的垂直平分線的方程為，令，得，聯(lián)立和得。三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知橢圓：()的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為，且經(jīng)過點(diǎn)。過橢圓右焦點(diǎn)作直線與橢圓交于、兩點(diǎn)。(1)求橢圓的方程；(2)若，求直線的方程。【解析】(1)四邊形的面積為，∴，1分又點(diǎn)在：上，則，∴，，∴橢圓的方程為；3分(2)由(1)可知橢圓的右焦點(diǎn)，①當(dāng)直線無斜率時(shí)，直線的方程為，則、，不成立，舍，5分②當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)直線方程為將，代入橢圓方程，整理得，恒成立，設(shè)、，則，，7分又，，即，解得，9分則直線的方程為：。10分18．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是橢圓：上的一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓：作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)、。(1)若點(diǎn)在第一象限，且直線、相互垂直，求圓的方程；(2)若直線、的斜率存在，并記為、，求的值。【解析】(1)過做，，垂直分別為、，連，1分則四邊形為正方形，則，則，又，2分又∵點(diǎn)在第一象限，則，，解得，，3分∴圓的方程為；4分(2)設(shè)直線、的方程分別為、，∵直線、與圓都相切，∴，，6分兩式兩邊同時(shí)平方可得，，7分展開化簡(jiǎn)得：，，8分、可以看做關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，10分則，又∵點(diǎn)在橢圓上，則，化簡(jiǎn)得，11分∴。12分19．（12分）已知橢圓()經(jīng)過點(diǎn)，且其右焦點(diǎn)為。(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)在圓上，且在第一象限，過作圓的切線交橢圓于、兩點(diǎn)，問：的周長是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，說明理由。【解析】(1)由，，得：，，則；3分(2)設(shè)、、，又，的周長，4分又，，，5分則，6分由在第一象限，則，則，同理，7分又，8分又，則，同理，9分∴，11分∴的周長為定值。12分20．（12分）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，過且斜率為()的直線與交于、兩點(diǎn)，且。(1)求方程；(2)求過、且與準(zhǔn)線相切的圓的方程。【解析】(1)根據(jù)物線方程可知焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，1分則可設(shè)直線的方程為()，聯(lián)立直線與地物線得：，3分恒成立，設(shè)、，故，∴，解得，5分又，∴，∴直線的方程為；6分(2)由(1)可得，∴，，∴線段垂直平分線方程為，7分∵圓心必在垂直平分線上，∴設(shè)圓心為，則，8分又到直線的距離，9分則，∴，10分∴，解得或，11分則可知圓為或。12分21．（12分）設(shè)橢圓：()的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率。(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)(不在軸上)，垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍。【解析】(1)設(shè)，由得，則，2分又，∴，，∴橢圓的方程為；4分(2)由題意可知直線存在斜率，設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立可得，解得或，6分從而，由(1)知，，設(shè)，有，，7分由得，∴，解得，8分因此直線的方程，9分設(shè)，則消去解得，10分在中，，即，11分化簡(jiǎn)得，即，解得或，∴直線的斜率的取值范圍為。12分22．（12分）已知點(diǎn)是拋物線：()上一定點(diǎn)，過點(diǎn)作射線、，分別交拋物線于點(diǎn)、，且。(1)求證：直線過定點(diǎn)；(2)若直線的斜率為，試在拋物線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的弓形弧上求一點(diǎn)，使的面積最大，并求其最大值。【解析】(1)∵點(diǎn)在拋物線：()上，∴代入得，∴，∴拋物線的方程為，1分由題意可知直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，2分聯(lián)立得：，，設(shè)、，則，，3分又，則，即，即，又、，∴，代入得，，5分解得或，當(dāng)時(shí)，必過點(diǎn)，不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，必過點(diǎn)，符合題意，取，綜上，直線必過點(diǎn)；