第1頁(yè)/共1頁(yè)2020-2022北京重點(diǎn)校高一（下）期末數(shù)學(xué)匯編空間直線、平面的平行一、單選題1．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若面，則線段的長(zhǎng)度范圍是（

）A． B． C． D．2．（2021·北京·人大附中高一期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，則（

）A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能3．（2021·北京·人大附中高一期末）如圖，E是正方體棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，下列命題中：①在平面內(nèi)總存在與平面BEF平行的直線；②直線和直線EB為異面直線；③四面體EBFC的體積為定值.其中正確命題個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2021·北京·人大附中高一期末）下列條件中，能使的條件是A．平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于平面B．平面與平面同平行于一條直線C．平面內(nèi)有兩條直線平行于平面D．平面內(nèi)有兩條相交直線平行于平面5．（2020·北京師大附中高一期末）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中點(diǎn)，則必有（

）A．BD1∥GHB．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD16．（2020·北京·101中學(xué)高一期末）如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且與平面的垂線垂直，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．與不可能平行B．與是異面直線C．點(diǎn)的軌跡是一條線段D．三棱錐的體積為定值二、填空題7．（2021·北京·人大附中高一期末）棱長(zhǎng)為4的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．設(shè)直線與平面交于點(diǎn)，則________.8．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）如圖，在四棱錐中，底面四邊形的兩組對(duì)邊均不平行.①在平面內(nèi)不存在直線與平行；②在平面內(nèi)存在無(wú)數(shù)多條直線與平面平行；③平面與平面的交線與底面不平行；上述命題中正確命題的序號(hào)為_(kāi)__________.9．（2020·北京·人大附中高一期末）如圖，在直三棱柱中，，，的中點(diǎn)為，點(diǎn)在棱上，平面，則的值為_(kāi)_______.三、解答題10．（2022·北京·101中學(xué)高一期末）如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，，，，，，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn).（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形.（2）C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？11．（2022·北京師大附中高一期末）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．12．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，分別為，的中點(diǎn).設(shè)平面與平面的交線為.（1）求證：平面；（2）求證：；（3）在棱上是否存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.13．（2020·北京·人大附中高一期末）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)、、分別是棱、、的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，.（1）若平面交平面于直線，求證：；（2）若直線平面，①求三棱錐的表面積；②試作出平面與正方體各個(gè)面的交線，并寫(xiě)出作圖步驟，保留作圖痕跡設(shè)平面與棱交于點(diǎn)，求三棱錐的體積.14．（2020·北京·101中學(xué)高一期末）如圖，三棱柱中，D，E，F(xiàn)分別為棱，，中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.15．（2020·北京·101中學(xué)高一期末）如圖1，在△中，，分別為，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，．將△沿折起到△的位置，使得平面平面，為的中點(diǎn)，如圖2．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由．

參考答案1．D【分析】根據(jù)題意，找去過(guò)與平面平行的平面，則可得到所在的平面，進(jìn)而得到答案.【詳解】由題意，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，，作圖如下：在正方體中，易知，，，則共面，平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面平面，當(dāng)平面時(shí)，平面，正方體的棱長(zhǎng)為，在中，，解得，同理，在中，，解得，則中邊上的高，即，故選：D.2．B【分析】直接利用線面平行的性質(zhì)分析解答.【詳解】∵M(jìn)N∥平面PAD，MN?平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA，∴MN∥PA.故選：B3．C【分析】由已知可得平面與平面相交，只要在平面內(nèi)做交線的平行線，即可判斷①；舉反例當(dāng)與重合時(shí)，可判斷②；到平面距離為定值，且面積為定值，即可判斷③.【詳解】F是棱上的動(dòng)點(diǎn)，所以平面與平面相交，設(shè)交線為，在平面做交線的平行線，平面，可得平面，所以①正確；若與重合，此時(shí)與相交，所以②不正確；到平面距離為定值為定值，所以四面體EBFC的體積為定值，所以③正確.故選：C.4．D【詳解】若是平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條平行的直線平行于平面無(wú)法得到，A不符合；平面與平面同平行于一條直線，則有可能相交，B不符合；若是平面內(nèi)兩條平行直線平行于平面無(wú)法得到，C不符合；根據(jù)線面平行判定定理可知，D符合，故選D5．D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分別判斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可．【詳解】易知GH∥D1C，因?yàn)檫^(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；易知EF∥A1B，與選項(xiàng)A同理，可判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)镋F∥A1B，而直線A1B與平面ABCD相交，故直線EF與平面ABCD也相交，所以平面EFGH與平面ABCD相交，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于，平面平面，理由是：由，，，分別是棱，，，的中點(diǎn)，得出，，所以平面，平面，又，所以平面平面．故選：．6．A【分析】設(shè)平面與直線交于，連接，，則為的中點(diǎn)，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，證明平面平面，即可分析選項(xiàng)ABC的正誤；再由，得點(diǎn)到平面的距離為定值，可得三棱錐的體積為定值判斷D．【詳解】解：設(shè)平面與直線交于，連接，，則為的中點(diǎn)，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，如圖.∵，平面，平面，∴平面，同理可得平面，又、是平面內(nèi)的兩條相交直線，∴平面平面，而平面，∴平面，得點(diǎn)的軌跡為一條線段，故C正確；并由此可知，當(dāng)與重合時(shí)，與平行，故A錯(cuò)誤；∵平面平面，和平面相交，∴與是異面直線，故B正確；∵，則點(diǎn)到平面的距離為定值，∴三棱錐的體積為定值，故D正確．故選：A．7．1【分析】設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，連接，根據(jù)線面平行的判定定理證得平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證出，由此可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，連接，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，且，又，，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又，平面，∴平面，又設(shè)直線與平面交于點(diǎn)，∴平面平面，∴由線面平行的性質(zhì)定理可得，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，故答案為：1．8．①②③【解析】利用反證法結(jié)合線面平行的性質(zhì)可判斷①的正誤；設(shè)平面平面，且在平面中有無(wú)數(shù)條直線與直線平行，即可判斷②的正誤；利用反證法與線面平行的性質(zhì)可判斷③的正誤.【詳解】對(duì)于命題①，設(shè)在平面內(nèi)存在直線與平行，則平面，平面平面，平面，，與已知條件矛盾，故①正確；對(duì)于命題②，設(shè)平面平面，則平面，所以，在平面內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與直線平行，這無(wú)數(shù)條直線與平面平行，故②正確；對(duì)于命題③，假設(shè)平面與平面的交線與底面平行，平面，平面，平面平面，，同理可得，，與已知條件矛盾，故③正確.故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，考查空間想象能力與推理論證能力，屬于中等題.9．【解析】先取中點(diǎn)得到過(guò)的一個(gè)平面平行平面，即知.【詳解】取中點(diǎn)，連接，故，，又在平面外，平面所以平面，平面，又相交在平面內(nèi)，故平面平面，即平面，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.10．（1）見(jiàn)解析（2）C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)三角形中位線定理可證明,即可證明四邊形是平行四邊形.（2）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)及（1）中結(jié)論,可證明與共面,結(jié)合即可證明四點(diǎn)共面.【詳解】（1）證明：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以,.又,所以,,所以四邊形是平行四邊形.（2）四點(diǎn)共面.理由如下：由,,是中點(diǎn)知,,所以四邊形為平行四邊形,所以.由（1）知,所以,所以與共面.又,所以四點(diǎn)共面.【點(diǎn)睛】本題考查了由中位線定理判定平行四邊形,由線線平行證明四點(diǎn)共面,屬于基礎(chǔ)題.11．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【分析】(1)由題意結(jié)合幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征和線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(2)由題意首先證得線面垂直，然后結(jié)合線面垂直證明線線垂直即可.【詳解】（1）因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因?yàn)镋D?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因?yàn)锳B=BC，E為AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC.因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因?yàn)锽E?平面ABC，所以CC1⊥BE.因?yàn)镃1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因?yàn)镃1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力.12．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）不存在，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）連接，易知為的中點(diǎn)，進(jìn)而得，再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；（2）由題知平面，進(jìn)而根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；（3））假設(shè)在棱上存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得平面，進(jìn)而在平面中，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于，故平面平面，進(jìn)而得，另一方面，在平行四邊形中，與不平行，矛盾，故不存在.【詳解】解：（1）證明：連接，因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅危瑸榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以在中，，因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?）因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅危裕驗(yàn)槠矫妫矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫媾c平面的交線為，平面，所以（3）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得平面，在平面中，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于，因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫驗(yàn)椋云矫嫫矫妫驗(yàn)槠矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫矫嫫矫妫粤硪环矫妫谄叫兴倪呅沃校c不平行，矛盾，所以在棱上不存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得平面.13．（1）答案見(jiàn)詳解；（2）①；②作圖步驟見(jiàn)解析，三棱錐的體積為．【分析】（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得到，再結(jié)合線線平行的傳遞性即可證明結(jié)論；（2）①先根據(jù)直線平面得到，進(jìn)而得到是的中點(diǎn)，然后依次求出三棱錐的四個(gè)面的面積再相加即可得到三棱錐的表面積；②根據(jù)公理“一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)”作出平面與正方體各個(gè)面的交線即可；根據(jù)四點(diǎn)共面，且三角形與三角形面積相等，那么三棱錐的體積等于三棱錐的體積，直接利用三棱錐的體積公式求解即可．【詳解】（1）在正方體中，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫裕驗(yàn)辄c(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，所以，所以．（2）①因?yàn)橹本€平面，平面，所以，又因?yàn)椤鳎裕裕驗(yàn)椋匀忮F的表面積為．②作圖步驟如下：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，再連接，，，則圖中，，，，，即為平面與正方體各個(gè)面的交線．設(shè)，由題知，所以，所以，解得，因?yàn)椋裕缟蠄D，設(shè)為線段的中點(diǎn)，可證點(diǎn)在平面內(nèi)，且三角形與三角形面積相等，所以，三棱錐的體積三棱錐的體積三棱錐的體積，所以三棱錐的體積為．【點(diǎn)睛】本題考查面面平行的性質(zhì)定理和線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，直線與平面垂直以及幾何體的表面積和體積的求法，考查空間想象能力記憶計(jì)算能力，屬于難題．14．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由已知利用三角形的中位線的性質(zhì)可證，進(jìn)而利用線面平行的判定定理即可證明平面.（2）由已知可證是平行四邊形，進(jìn)而證明，利用線面平行的判定證明平面，根據(jù)面面平行的判定證明平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可可證平面.【詳解】（1）在中，D，E分別為棱，中點(diǎn).所以，因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?（2）在三棱柱中，，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為，中點(diǎn)，所以，所以是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫忠驗(yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫云矫?【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查利用面面平行證明面面平行，屬于基礎(chǔ)題.15．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【詳解】試題分析：（1）取線段的中點(diǎn)，由三角形中位線性質(zhì)以及平行四邊形性質(zhì)得四邊形為平行四邊形，即得．再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論，（2）先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得．再根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面，即得，根據(jù)勾股定理得，所以由線面垂直判定定理得平面，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論，（3）假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面，則，與條件矛盾