第1章函數、極限與連續無窮小量與無窮大量第5講高等數學（慕課版）主講教師|01無窮小量02無窮大量03無窮大量與無窮小量的關系04無窮小的比較05等價無窮小的替換2本節內容301無窮小量

1.無窮小量的概念??定義1.21

401無窮小量??注501無窮小量

??定理1.12

601無窮小量有限個無窮小的代數和仍是無窮小.常數與無窮小的乘積是無窮小.2.無窮小的性質??性質1.1有限個無窮小的乘積仍是無窮小.??性質1.2有界變量與無窮小的乘積仍是無窮小.??性質1.3??推論無窮多個無窮小的代數和不一定是無窮小.(2)兩個無窮小的商的極限沒有確定的結果，對于這類問題，要針對具體情況具體分析.??注

701無窮小量

??例1解

801無窮小量

??例2解01無窮小量02無窮大量03無窮大量與無窮小量的關系04無窮小的比較05等價無窮小的替換9本節內容1002無窮大量

??定義1.22

1102無窮大量??注

1202無窮大量

??定義1.231302無窮大量??注

（1）無窮大量必是無界的變量，無界變量不一定是無窮大量.（2）在自變量的同一變化過程中，兩個無窮大的和、差、商，以及有界函數與無窮大的乘積，沒有確定的結果.01無窮小量02無窮大量03無窮大量與無窮小量的關系04無窮小的比較05等價無窮小的替換14本節內容1503無窮大量與無窮小量的關系

??定理1.13

1601無窮小量

??例3解

1701無窮小量

??例4解01無窮小量02無窮大量03無窮大量與無窮小量的關系04無窮小的比較05等價無窮小的替換18本節內容1904無窮小的比較

??定義1.242004無窮小的比較

2104無窮小的比較

2204無窮小的比較??注

01無窮小量02無窮大量03無窮大量與無窮小量的關系04無窮小的比較05等價無窮小的替換23本節內容2405等價無窮小的替換

??定理1.14??注

（1）在求極限的過程中，可以把積或商中的無窮小用與之等價的無窮小替換，從而達到簡化運算的目的.但須注意，在加減運算中一般不能使用等價無窮小替換.

2505等價無窮小的替換??注

26

??例5解05等價無窮小的替換

27

??例6解05等價無窮小的替換

28

??例7錯解05等價無窮小的替換

正解學海無涯，祝你成功！高等數學（慕課版）第1章函數、極限與連續函數的連續性第6講高等數學（慕課版）主講教師|01函數連續性的定義02函數的間斷點及其分類03初等函數的連續性04閉區間上連續函數的性質31本節內容3201函數連續性的定義??增量

??注

3301函數連續性的定義

3401函數連續性的定義

1.函數在一點處的連續性??定義1.253501函數連續性的定義

1.函數在一點處的連續性??定義1.26??結論

3601函數連續性的定義

??例1證明

3701函數連續性的定義

??例2證明

根據有界變量與無窮小的乘積仍是無窮小，得

3801函數連續性的定義

??定義1.273901函數連續性的定義

??定理1.154001函數連續性的定義??例3解

因為

所以

4101函數連續性的定義2.區間上的連續函數

4201函數連續性的定義

1.連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線.2.基本初等函數都是其定義域內的連續函數.3.有理分式函數在其定義域內的每一點處都是連續的.??結論4301函數連續性的定義??例4解

01函數連續性的定義02函數的間斷點及其分類03初等函數的連續性04閉區間上連續函數的性質44本節內容4502函數的間斷點及其分類

??間斷點

4602函數的間斷點及其分類

47間斷點分類02函數的間斷點及其分類第一類間斷點：第二類間斷點：間斷點

跳躍間斷點：可去間斷點：

分為：特殊情形：無窮間斷點和振蕩間斷點4802函數的間斷點及其分類

可去第二類可去跳躍4902函數的間斷點及其分類??例5解

由于

50??例6解

02函數的間斷點及其分類01函數連續性的定義02函數的間斷點及其分類03初等函數的連續性04閉區間上連續函數的性質51本節內容5203初等函數的連續性??定理1.16

5303初等函數的連續性

??定理1.17

??結論5403初等函數的連續性??例7解

由定理1.17可知

5503初等函數的連續性解??例8

5603初等函數的連續性??定理1.18

一切初等函數在其定義區間內都是連續的.??結論

5703初等函數的連續性解??例9

5803初等函數的連續性解??例10

5903初等函數的連續性

01函數連續性的定義02函數的間斷點及其分類03初等函數的連續性04閉區間上連續函數的性質60本節內容6104閉區間上連續函數的性質??定義1.28

??定理1.19（最大值和最小值定理）

6204閉區間上連續函數的性質??注（1）若把定理中的閉區間改成開區間，則定理的結論不一定成立.

定理1.19的條件是充分而非必要條件.

??推論6304閉區間上連續函數的性質

??定理1.20（零點定理）

6404閉區間上連續函數的性質

??注零點定理的條件是充分而非必要條件.6504閉區間上連續