直線和圓錐曲線經(jīng)常考查的一些題型直線與橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的位置關(guān)系都有相交、相切、相離三種情況，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切．直線和橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的公共點問題，可以轉(zhuǎn)化為它們的方程所組成的方程組求解的問題，從而用代數(shù)方法判斷直線與曲線的位置關(guān)系。解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的解題步驟是：（1）直線的斜率不存在，直線的斜率存，（2）聯(lián)立直線和曲線的方程組；（3）討論類一元二次方程（4）一元二次方程的判別式（5）韋達定理，同類坐標變換（6）同點縱橫坐標變換（7）x,y，k(斜率)的取值范圍（8）目標：弦長，中點，垂直，角度，向量，面積，范圍等等運用的知識：1、中點坐標公式：，其中是點的中點坐標。2、弦長公式：若點在直線上，則，這是同點縱橫坐標變換，是兩大坐標變換技巧之一，或者。3、兩條直線垂直：則兩條直線垂直，則直線所在的向量4、韋達定理：若一元二次方程有兩個不同的根，則。常見的一些題型：題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系例題1、已知直線與橢圓始終有交點，求的取值范圍思路點撥：直線方程的特點是過定點（0，1），橢圓的特點是過定點（-2，0）和（2，0），和動點。規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點：證明直線過定點，也是將滿足條件的直線整理成以上三種形式之一，再得出結(jié)論。練習：1、過點P(3,2)和拋物線只有一個公共點的直線有（）條。A．4B．3C．2D．1規(guī)律提示：含焦點的區(qū)域為圓錐曲線的內(nèi)部。（這里可以用公司的設(shè)備畫圖）一、過一定點P和拋物線只有一個公共點的直線的條數(shù)情況：（1）若定點P在拋物線外，則過點P和拋物線只有一個公共點的直線有3條：兩條切線，一條和對稱軸平行或重合的直線；（2）若定點P在拋物線上，則過點P和拋物線只有一個公共點的直線有2條：一條切線，一條和對稱軸平行或重合的直線；（3）若定點P在拋物線內(nèi)，則過點P和拋物線只有一個公共點的直線有1條：和拋物線的對稱軸平行或重合的直線和拋物線只有一個交點。二、過定點P和雙曲線只有一個公共點的直線的條數(shù)情況：（1）若定點P在雙曲線內(nèi)，則過點P和雙曲線只有一個公共點的直線有2條：和雙曲線的漸近線平行的直線和雙曲線只有一個公共點；（2）若定點P在雙曲線上，則過點P和雙曲線只有一個公共點的直線有3條：一條切線，2條和漸近線平行的直線；（3）若定點P在雙曲線外且不在漸近線上，則過點P和雙曲線只有一個公共點的直線有4條：2條切線和2條和漸近線平行的直線；（4）若定點P在雙曲線外且在一條漸近線上，而不在另一條漸近線上，則過點P和雙曲線只有一個公共點的直線有2條：一條切線，一條和另一條漸近線平行的直線；（5）若定點P在兩條漸近線的交點上，即對稱中心，過點P和雙曲線只有一個公共點的直線不存在。題型二：弦的垂直平分線問題弦的垂直平分線問題和對稱問題是一種解題思維，首先弄清楚哪個是弦，哪個是對稱軸，用到的知識是：垂直（兩直線的斜率之積為-1）和平分（中點坐標公式）。例題2、過點T(-1,0)作直線與曲線N：交于A、B兩點，在x軸上是否存在一點E(,0)，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請說明理由。分析：過點T(-1,0)的直線和曲線N：相交A、B兩點，則直線的斜率存在且不等于0，可以設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，消元，分析類一元二次方程，看判別式，運用韋達定理，得弦的中點坐標，再由垂直和中點，寫出垂直平分線的方程，得出E點坐標，最后由正三角形的性質(zhì)：中線長是邊長的倍。運用弦長公式求弦長。解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線，，，。

由消y整理，得

=1\*GB3①

由直線和拋物線交于兩點，得

即=2\*GB3②

由韋達定理，得：。

則線段AB的中點為。

線段的垂直平分線方程為：

令y=0,得，則

為正三角形，

到直線AB的距離d為。

解得滿足=2\*GB3②式此時。

思維規(guī)律：直線過定點設(shè)直線的斜率k，利用韋達定理法，將弦的中點用k表示出來，再利用垂直關(guān)系將弦的垂直平分線方程寫出來，求出了橫截距的坐標；再利用正三角形的性質(zhì)：高是邊長的倍，將k確定，進而求出的坐標。

例題3、已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。（Ⅰ）求過點O、F，并且與相切的圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍。分析：第一問求圓的方程，運用幾何法：圓心在弦的垂直平分線上，圓心到切線的距離等于圓心到定點的距離；第二問，過定點的弦的垂直平分線如果和x軸相交，則弦的斜率存在，且不等于0，設(shè)出弦AB所在的直線的方程，運用韋達定理求出弦中點的橫坐標，由弦AB的方程求出中點的總坐標，再有弦AB的斜率，得到線段AB的垂直平分線的方程，就可以得到點G的坐標。解：(I)∵a2=2，b2=1，∴c=1，F(xiàn)(-1，0)，l:x=-2.

∵圓過點O、F,∴圓心M在直線x=-

設(shè)M(-)，則圓半徑：r=|(-)-(-2)|=

由|OM|=r，得，解得t=±，

∴所求圓的方程為(x+)2+(y±)2=.

(II)由題意可知，直線AB的斜率存在，且不等于0,設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0)，

代入+y2=1，整理得

(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0

∵直線AB過橢圓的左焦點F，

∴方程一定有兩個不等實根,

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點N(x0，y0)，

則x1+x1=-

∴AB垂直平分線NG的方程為

令y=0，得

∵∴點G橫坐標的取值范圍為（）。

技巧提示：直線過定點設(shè)直線的斜率k，利用韋達定理，將弦的中點用k表示出來，韋達定理就是同類坐標變換的技巧，是解析幾何中解決直線和圓錐曲線問題的兩大技巧之第一個技巧。再利用垂直關(guān)系將弦AB的垂直平分線方程寫出來，就求出了橫截距的坐標（關(guān)于k的函數(shù)）。直線和圓錐曲線中參數(shù)的范圍問題，就是函數(shù)的值域問題。練習1：已知橢圓過點，且離心率。（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點、，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。分析：第一問中已知橢圓的離心率，可以得到的關(guān)系式，再根據(jù)“過點”得到的第2個關(guān)系式，解方程組，就可以解出的值，確定橢圓方程。第二問，設(shè)出交點坐標，聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，通過判別式得出的不等式，再根據(jù)韋達定理，得出弦MN的中點的橫坐標，利用弦的直線方程，得到中點的縱坐標，由中點坐標和定點，得垂直平分線的斜率，有垂直平分線的斜率和弦的斜率之積為-1，可得的等式，用k表示m再代入不等式，就可以求出k的取值范圍。總結(jié)：如果只說一條直線和橢圓相交，沒有說直線過點或沒給出直線的斜率，就直接設(shè)直線的方程為：，再和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，就能找到解決問題的門路。本題解決過程中運用了兩大解題技巧：與韋達定理有關(guān)的同類坐標變換技巧，與點的縱、橫坐標有關(guān)的同點縱橫坐標變換技巧。解決直線和圓錐曲線的問題的關(guān)鍵就是充分、靈活的運用這兩大解題技巧。練習2、設(shè)、分別是橢圓的左右焦點．是否存在過點的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．分析：由得，點C、D關(guān)于過的直線對稱，由直線l過的定點A(5,0)不在的內(nèi)部，可以設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程組，得一元二次方程，根據(jù)判別式，得出斜率k的取值范圍，由韋達定理得弦CD的中點M的坐標，由點M和點F1的坐標，得斜率為，解出k值，看是否在判別式的取值范圍內(nèi)。。總結(jié)：通過以上2個例題和2個練習