專題21同角三角函數的基本關系及誘導公式-2025年高考數學一輪復習講義（新高考專用）考試要求：1.理解同角三角函數的基本關系式：sin2x＋cos2x＝1，sinx2.能利用單位圓中的對稱性推導出π2±α，π±α1.同角三角函數的基本關系(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數關系：sinα2.三角函數的誘導公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣奇變偶不變，符號看象限1.同角三角函數關系式的常用變形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2.誘導公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化.3.在利用同角三角函數的平方關系時，若開方，要特別注意判斷符號.一、單選題1．設甲：sin2α+A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2．設x∈R，則“sinx=1”是“cosA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．cos2A．12 B．33 C．22二、填空題4．若θ∈(0，π2)5．若f(x)=(x?1)26．若3sinα?sinβ=10，α+β=π【考點1】同角三角函數基本關系式的應用三、單選題17．已知α∈(0,π2A．12+5326 B．12?5326 C．8．已知α∈(0,π2)，且A．?56 B．?16 C．四、多選題19．已知角α的終邊過點P(1,A．sinα?cosα2sinα+cosα=?1 C．cos2α=35 10．一般地，任意給定一個角α∈R，它的終邊OP與單位圓的交點P的坐標，無論是橫坐標x還是縱坐標y，都是唯一確定的，所以點P的橫坐標x、縱坐標y都是角α的函數.下面給出這些函數的定義：①把點P的縱坐標y叫作α的正弦函數，記作sinα，即y=sinα；②把點P的橫坐標x叫作α的余弦函數，記作cosα，即x=cosα；③把點P的縱坐標y的倒數叫作α的余割，記作cscα，即1y④把點P的橫坐標x的倒數叫作α的正割，記作secα，即1x下列結論正確的有（）A．secB．cosα?secα=1C．函數f(x)=secx的定義域為{x|x≠kπD．se五、填空題111．設x∈[0,π2]，則函數12．已知1+tanα1?tan反思提升：1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以實現角α的弦切互化.(2)形如，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等類型可進行弦化切.2.注意公式的逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.3.應用公式時注意方程思想的應用：對于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα這三個式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.【考點2】誘導公式的應用六、單選題213．已知cos(π4A．152 B．154 C．15714．若sin5π12+αA．229 B．?229 七、多選題215．已知函數f(x)=sin(2x+πA．f(x)的最大值為2B．f(x)在[?πC．f(x)在[0,D．把f(x)的圖象向左平移π1216．在平面直角坐標系xOy中，角θ以坐標原點O為頂點，以x軸的非負半軸為始邊，其終邊經過點M(a,b)，|OM|=m(m≠0)，定義f(θ)=b+aA．f(π6)+g(C．若f(θ)g(θ)=2，則sin2θ=3八、填空題217．已知cos(α+765°)=118．正五角星是一個非常優美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯系，在如圖所示的五角星中，以A,B,C,D,E為頂點的多邊形為正邊邊形，設反思提升：(1)誘導公式的兩個應用①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.②化簡：統一角，統一名，同角名少為終了.(2)含2π整數倍的誘導公式的應用由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2π的整數倍的三角函數式中可直接將2π的整數倍去掉后再進行運算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.【考點3】同角關系式和誘導公式的綜合應用九、單選題319．△ABC中，cosA=14，AB=2，BC=4A．153 B．154 C．15220．設α，β∈R，則“sinα=sinβ”是“α+β=(2k+1)π，k∈Z”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件十、多選題321．若0<α<β<π2，且A．cos(α+β)=16 C．cos2α=536 22．已知角?α?的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，P(?3,4)為其終邊上一點，若角?β?的終邊與角2α的終邊關于直線A．cos(π+α)=35 C．tanβ=724 D．角十一、填空題323．已知α,β∈(0,π2)，且sin24．已知函數f(x)滿足：f(tanx)=1cos反思提升：1.利用同角三角函數關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯系，靈活使用公式進行變形.注意角的范圍對三角函數值符號的影響.2.用誘導公式求值時，要善于觀察所給角之間的關系，利用整體代換的思想簡化解題過程.常見的互余關系有π3－α與π6＋α，π3＋α與π6－α，π4＋α與π4－α等，常見的互補關系有π6－θ與5π6＋θ，π3＋θ與2π3－【基礎篇】十二、單選題425．若?π4<α<β<π4，且cosA．116 B．?116 C．3526．若角α的終邊在第三象限，則下列三角函數值中小于零的是（）A．sin(π+α) B．C．cos(π227．已知cosθ?sinθA．?63 B．?34 C．28．已知函數f(x)=x?cosx，若f(xA．π?1 B．π+1 C．π D．0十三、多選題429．為了得到函數y=2cos2x的圖象，只要把函數y=2sin(2x?πA．向左平移π3個單位長度 B．向右平移πC．向左平移2π3個單位長度 D．向右平移2π30．計算下列各式的值，其結果為2的有（）A．tan15°+tan60°C．(1+tan18°31．若θ∈(0,π)，且A．tanB．cosC．f(x)=sin(x+θ)在D．當g(x)=cosθ十四、填空題432．已知tanα=6cosα7?sinα，則cos2α=33．已知函數f(x)=2cosπx(x≤0)f(x?2)+1(x>0)，則f(34．已知tanx=13，則sinx十五、解答題435．已知3π4<α<π（1）求tanα（2）求sinα+（3）求2si36．（1）已知角α終邊上一點P(?4,3)，求（2）化簡求值：(【能力篇】十六、單選題537．已知a∈(0,π)，且sina+cosa=1A．127 B．?127 C．24十七、多選題538．設α∈(0,A．cosB．若sin(α+πC．若tanα+tanD．若cos2α1+十八、填空題539．函數f(x)的定義域為R，對任意的x，y，恒有f(x+y)=f(十九、解答題540．已知函數f(x)=2cosx(sinx+3（1）若f(α+π4)=（2）設g(x)=f(x+π12)+f(x?【培優篇】二十、單選題641．已知α∈(0,π2A．42+18 B．42+116二十一、多選題642．已知函數f(x)=sin(2x+πA．若動直線x=m與f(x),g(x)的圖象的交點分別為A,BB．若動直線y=m與f(x),g(x)的圖象的交點分別為A,BC．若動直線y=±m與f(x),g(x)D．若f(m0二十二、填空題643．已知Sn為數列{an}的前n項和，若1S1

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】當sin2α+sin即sin2α+當sinα+cosβ=0即sinα+cosβ=0綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.故選：B

【分析】利用特殊法進行判斷，證明不出充分性；而乙可以推出甲，必要性成立，即可得到結果。2．【答案】A【解析】【解答】sinx=1，則x=π2+2kπ，k∈Z；cosx=0，則3．【答案】D【解析】【解答】因為cos2π12?cos【分析】由降冪公式，可以化成特殊角的三角函數求值。4．【答案】?【解析】【解答】∵θ∈0，π2，∴sinθ>0，cosθ>0，

∵tanθ=sinθcosθ=12，又sin2θ+5．【答案】2【解析】【解答】∵fx=x-12+ax+sinx+π2=x2+1+a-2x+cosx，

∵y=cosx6．【答案】31010【解析】【解答】∵3sinα?sinβ=10，α+β=π2，利用誘導公式可得3sinα?cosα=10，

變形可得cosα=3sinα?10，根據同角三角函數基本關系可得sin2α+（3sinα-10)27．【答案】A【解析】【解答】解：因為α∈(0,π2)，所以α+π所以sinα=sin[(α+=12故答案為：A.【分析】利用角的取值范圍和不等式的基本性質，再結合同角三角函數基本關系式和角之間的關系式以及兩角差的正弦公式，從而得出sinα的值.8．【答案】D【解析】【解答】解：因為α∈(0,π2)，則sinα>0由cos(α?π4)=3所以，cosα?所以，(cosα?sinα)2故答案為：D.【分析】利用角的取值范圍和三角函數值在各象限的符號，從而得出sinα+cosα的正負，再結合兩角差的余弦公式和二倍角的余弦公式，從而得出cos9．【答案】B,D【解析】【解答】解：因為角α的終邊過點P(1,?2)，所以所以sinα=?255，cosα=對于A，sinα?cosα2sinα+cosα對于B，sin對于C，cos2α=2cos對于D，tan(α+π故答案為：BD．【分析】利用三角函數的定義和同角三角函數基本關系式，則判斷出選項A和選項B；利用二倍角的余弦公式，則判斷出選項C；利用兩角和的正切公式，則判斷出選項D，進而找出正確的選項.10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因為csc5π因為cosα?secα=cosα?1因為函數f(x)=secx的定義域為{x|x≠kπ+π因為sec當sin2α=±1時，等號成立，所以D正確.故答案為：ABD.【分析】利用余割的定義，則判斷出選項A；利用正割的定義，則判斷出選項B；利用正割函數的定義域求解方法，則判斷出選項C；利用正割和余割的定義以及二倍角的正弦公式，則判斷出選項D，進而找出結論正確的選項.11．【答案】2【解析】【解答】設y=sinx+cosx，x∈[0設t=sinx+cosx，則sinx由于0≤x≤π2，π4≤x+π又由于y2=t+2t所以，當t=2時，y2的最大值為則y=sinx+cosx故答案為：23【分析】利用已知條件和平方法以及同角三角函數基本關系式，再利用x的取值范圍和輔助角公式，從而得出t的取值范圍，再結合函數的單調性得出函數的最大值，進而得出當x∈[0,π212．【答案】7【解析】【解答】解：由1+tanα1?tanα=3，可得cosα+sin故答案為：78【分析】根據切化弦可得cosα+sinα13．【答案】D【解析】【解答】解：設β=π4?θ，則θ=所以cos2θ=cos(π所以cos2θ故答案為：D.【分析】利用角之間的關系和誘導公式以及二倍角的正弦公式，再利用同角三角函數基本關系式，從而得出cos2θ14．【答案】D【解析】【解答】解：由已知可得，sin25π12則cos2α?故答案為：D．【分析】由二倍角的余弦公式和誘導公式，從而得出cos2α?15．【答案】A,C【解析】【解答】解：因為函數f(x)=sin(2x+π所以，f(x)=sin(2x+π對于A：因為f(x)=2sin(2x+π3)對于B：當x∈[?π8,π6對于C：當x∈[0,π]時，π3≤2x+π3≤7π3，可知當2x+π3對于D：將函數f(x)的圖象向左平移π12個單位長度，得到g(x)=2sin(2x+故答案為：AC．【分析】利用已知條件和誘導公式，從而化簡函數f(x)的解析式，利用換元法和正弦型函數的圖象求最值的方法，則判斷出選項A；利用x的取值范圍和不等式的基本性質，再結合正弦型函數的圖象判斷單調性的方法，則判斷出選項B；利用x的取值范圍和不等式的基本性質，再結合函數零點的定義，則判斷出選項C；利用函數的圖象變換和誘導公式，再結合奇函數的圖象的對稱性，則判斷出選項D，進而找出正確的選項.16．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由題意，得M(a,b)在角θ的終邊上，且|OM|=m，

所以cosθ=則f(θ)=b+am=sin對于A：f(π對于B：f(θ)+f2(θ)=sinθ+所以f(θ)+f對于C：由f(θ)g(θ)=sin又由sin2θ=2對于D：f(θ)g(θ)=(sinθ+cosθ)(sin故答案為：ACD.【分析】利用三角函數的定義和輔助角公式，從而得出函數f(θ)的解析式和函數g(θ)的解析式，再利用代入法得出函數的值，則判斷出選項A；利用輔助角公式和正弦型函數求值域的方法，再結合換元法和二次函數的圖象求最值的方法，則判斷出選項B；利用同角三角函數基本關系式和二倍角的正弦公式以及同角三角函數基本關系式，則判斷出選項C；利用平方差公式和二倍角的余弦公式，再結合余弦型函數的最小正周期公式，則判斷出選項D，進而找出正確的選項.17．【答案】24【解析】【解答】解：因為cos(α+765°)=cos(α+45°+2×360°)=cos(α+45°)=2所以cosα?sinα=2故答案為：24【分析】利用已知條件和誘導公式以及兩角和的余弦公式，則得出cosα?sinα的值.18．【答案】0；1【解析】【解答】解：正五角星可分割成5個3角形和1個正五邊形，五個3角形各自角度之和18正五邊形的內角和180°×(5?2)=18三角形是等腰三角形，底角是五邊形的外角，即底角為180因為三角形內角和為180°，那么三角形頂角，即五角星尖角即∠CAD=α=36所以cosα+cos2α+cos3α+cos4α=cos3=cos3=cos36因為cosαcos2αcos3αcos4α=cos3又因為cos3所以cosαcos2αcos3αcos4α=1故答案為：0；116【分析】正五角星可分割成5個3角形和1個正五邊形，五個3角形各自角度之和180°，再利用正五邊形的內角和，從而得出每個角的度數，再結合等腰三角形的定義和三角形內角和定理，則得出角α的值，再由誘導公式得出cosα+cos2α+cos3α+cos4α的值；再根據誘導公式和二倍角的正弦公式，從而得出19．【答案】C【解析】【解答】解：在△ABC中，設AB=c，BC=a，AC=b，

則c=2，a=4，∵cosA=14且cos∴b2?b?12=0，

∴(b?4)(b+3)=0，∵cosA=14設BC邊上的高為h，在△ABC中利用等面積法，

則S△ABC∴12×4×h=1故答案為：C.【分析】利用已知條件和余弦定理，從而解方程得出滿足要求的b的值，再結合同角三角函數基本關系式得出sin∠BAC的值，再由等面積法和三角形的面積公式，則得出BC20．【答案】B【解析】【解答】解：由sinα=sinβ可知，α=β+2kπ或α+β=π+2kπ，k∈Z，所以“sinα=sinβ”是“α+β=(2k+1)π，k∈Z”的必要不充分條件．故答案為：B．【分析】利用已知條件和誘導公式，再結合充分條件、必要條件的判斷方法，則找出正確的選項.21．【答案】A,D【解析】【解答】解：因為tanαtanβ=sinαsin所以sinα所以cos(α+β)=coscos(α?β)=cos又因為0<α<β<π2，所以所以sin(α?β)=?1?因為0<α<β<π2，所以所以sin(α+β)=cos2α==1因為0<α<β<π2，所以cosα>cosβ，

又因為cosαcosβ=12，所以cos2β<12，故答案為：AD.【分析】利用已知條件和同角三角函數基本關系式得出sinαsinβ的值，再結合兩角和的余弦公式，則判斷出選項A；利用已知條件和兩角差的余弦公式和角的取值范圍以及不等式的基本性質，再結合同角三角函數基本關系式，則判斷出選項B；利用角的取值范圍和不等式的基本性質，再結合同角三角函數基本關系式和角之間的關系，再由兩角和的余弦公式得出角2α22．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：根據題意可得：sinα=45,cosα=-35，則sin2α=2sinαcosα=-2425，cos2α=1-2sin2α=-725，所以θ-7，-24是2α終邊上一點，所以θ'24,7是?β?終邊上一點，所以sin23．【答案】8【解析】【解答】解；由題意可知sinα?sinβ=?cosα+cosβ，

所以sinα+cosα=sinβ+cosβ，所以2sin因為α,β∈(0,又因為α≠β，所以a+π4+β+所以sinα?兩邊平方后得sin2α?2所以tanα+故答案為：83【分析】利用已知條件和輔助角公式以及角的取值范圍和不等式的基本性質，從而得出角α+β的值，再結合誘導公式和平方法以及同角三角函數基本關系式，則得出tanα+tanβ的值.24．【答案】0【解析】【解答】解：因為f(tan所以f(tan則f=[f(2)+f(=0+0+?+0=0.故答案為：0.【分析】借助三角恒等變換公式化簡可得f(tan25．【答案】C【解析】【解答】解：因為tanαtanβ=23，則所以sin(α?β)=因為?π4<α<β<所以cos(α?β)=故答案為：C.【分析】利用已知條件和同角三角函數基本關系式以及兩角差的正弦公式，再結合角的取值范圍和不等式的基本性質，則由同角三角函數基本關系式得出cos(α?β)26．【答案】D【解析】【解答】因為角α的終邊在第三象限，

所以sinα<0對于A，sin對于B，cos對于C，cos(對于D，sin(故答案為：D.【分析】利用角所在的象限，從而判斷出三角函數值在各象限的符號，再利用誘導公式判斷出各選項，從而找出三角函數值中小于零的選項.27．【答案】D【解析】【解答】解：由cosθ?sinθcos2θ所以(cosθ+sinθ)2故答案為：D.【分析】利用已知條件和二倍角的余弦公式以及平方差公式，則得出cosθ+sinθ28．【答案】B【解析】【解答】解：因為f(x)=x?cosx，

所以所以f(x)在R上單調遞增，因為f(x所以f(=π?x再因為函數f(x)在R上單調遞增，

可知x1=π?x所以f(x故答案為：B.【分析】利用求導的方法判斷函數的單調性，從而得出x1+x29．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、把函數y=2sin(2x?π6)圖象上所有的點向左平移π3個單位長度，B、把函數y=2sin(2x?π6)可得函數y=2sin(2x?2πC、把函數y=2sin(2x?π6)可得函數y=2sin(2x+4πD、把函數y=2sin(2x?π6)可得函數y=2sin(2x?4π故答案為：AD.【分析】根據三角函數的圖象平移變換逐項判斷即可.30．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：對于A，因為tan15°對于B，因為12(1對于C，因為(1+=1+tan對于D，因為4=2cos7故答案為：ABC．【分析】利用已知條件和角之間的關系，再結合兩角差的正切公式，則判斷出選項A；利用輔助角公式和誘導公式，則判斷出選項B；利用兩角和的正切公式變形，則判斷出選項C；利用角之間的關系和誘導公式以及二倍角的正弦公式，則判斷出選項D，進而找出結果為2的選項.31．【答案】A,C【解析】【解答】解：由sinθ=?2cosθ，可得tanθ=?2<0，

所以對于A，tan(π?θ)=?對于B，cosθ=對于C，當x∈(0,π2)時，則x+θ∈(θ,π2所以f(x)=sin(x+θ)在對于D，因為g(x)=cosθcosx+sin故sinx=故答案為：AC.【分析】利用已知條件和同角三角函數基本關系式以及角的取值范圍，則得出角θ的正弦值和余弦值，從而判斷出選項B；再利用誘導公式，則判斷出選項A；利用x的取值范圍和不等式的基本性質以及正弦型函數的圖象判斷單調性的方法，則判斷出選項C；利用兩角差的余弦公式和余弦型函數的圖象求最值的方法，從而得出g(x)的最大值，再利用誘導公式得出g(x)取得最大值時的sinx32．【答案】7【解析】【解答】解：因為6cosα7?sinα則(7?sin解得sinα=35所以cos2α=1?2si故答案為：725【分析】利用已知條件和同角三角函數基本關系式，從而解方程得出滿足要求的sinα的值，再結合二倍角的余弦公式，從而得出cos2α33．【答案】5【解析】【解答】f(23故答案為：5.【分析】利用已知條件和分段函數的解析式，再結合代入法得出函數的值.34．【答案】10【解析】【解答】解：因為sinxcos3xcos2x=sin(3x?2x)cos3xcos2x=所以sinxcos3xcos2x因為tan3x=tan(2x+x)=tan2x+tanx因此，原式=13故答案為：109【分析】利用已知條件和角之間的關系，再結合兩角差的正弦公式和同角三角函數基本關系式，從而得出sinxcos3xcos2x+sinx35．【答案】（1）解：由于3π4<α<π，所以又因為tanα+1tan解得tanα=?13故tanα=?（2）解：sinα+（3）解：2【解析】【分析】（1）利用已知條件和角的取值范圍，再結合正切函數圖象求值域的方法，從而解方程得出滿足要求的角α的正切值.

（2）利用同角三角函數基本關系式和（1）中角α的正切值，從而得出sinα+cosαsinα?cosα36．【答案】（1）解：因為角α終邊上一點P(?4,所以cosα=所以cos=co（2）解：(=(=5【解析】【分析】（1）利用已知條件和三角函數的定義，從而得出角α的余弦值，再結合誘導公式和同角三角函數基本關系式，從而得出cos(π237．【答案】C【解析】【解答】解：因為sina+cosa=15，

則即sina又因為a∈(0,π)，故sina>0，cos故(sina?cosa)2=1?2sinacos再結合sina+cosa=15可得sina=45，cosa=?35，故答案為：C.【分析】利用已知條件和平方法以及同角三角函數基本關系式，從而得出sinacosa的值，結合角的取值范圍和三角函數值在各象限的符號，從而得出滿足要求的角α的取值范圍，再利用平方法和同角三角函數基本關系式以及角α的取值范圍，結合sina+cosa=1538．【答案】A,D【解析】【解答】解：對于A，因為α∈(0,π2)，β∈(0,π2所以cos(α+β)<對于B，因為sin(α+π4因為cos2α=1?2sin2α，所以sin2α=2所以tanα=對于C，由tanα+tanβ=1cosα得sinαcosα+sinβcosβ=則α+β=π2?β或α+β+π2?β=π，對于D，cos2α因為cos2α1+sin即cosαsinβ?所以2sin(α+β+π因為α+β∈(0,所以α+β+π4=π故答案為：AD.【分析】利用α∈(0,cos(α+β)<cos(α?β)，從而判斷出選項A；利用已知條件和二倍角的正弦公式、誘導公式、二倍角的余弦公式得出sin2α的值，再利用α∈(0,π2)和三角函數的值在各象限的符號以及同角三角函數基本關系式，從而得出tanα的值，則判斷出選項B；由tan39．【答案】f(x)=sin【解析】【解答】解：依題意，不妨令f(x)=sin則f(x+y)=sin又因為f=sin所以f(x+y)=f(同理可證明f(x)=sin5x，f(x)=sin故答案為：f(x)=sin【分析】利