考研數學（數學三）模擬試卷11（共9

套）

（共213題）

考研數學（數學三）模擬試卷第1套

一、選擇題（本題共8題，每題1.0分，共8分。）

1、

以一種檢驗方法診斷癌癥，真患癌癥和未患癌癥被診斷正確的概率分別為0.95

和0.90.今對一批患癌癥比率為2%的人用此方法進行檢驗，則其中某人被診斷

為患有癌癥時，他真的患有癌癥的概率為【】

(A)0.462(B)0.362(C)0.262(D)0.162

A、

B、

C、

D、

標準答案：D

知識點解析：

【解】設4="他患有癌癥"，&="他未患癌癥"，8="診斷為癌癥”，則

P(4)=0.02,P(42)=0.98,P(8lA,)=0.95,

P(B\A2)=1-0.90=0.10,

根據貝葉斯公式可得

3修________P(4)P(8I4)________

p(4)p(8l4)+P(4)P(8I&)

0?02xO95_6

0.02x0.95+0.98x0.10''

故選（D）.

設X1,X2,-,X9為來自NQd)的簡單隨機樣本.記環=孑￡x.,得=/￡x；,W=

*￡(X,-FT/一/￡(Xj-久凡則D(W)y

(A)[(B)興(C)(D)常

0bo

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

知識點解析：

=vwi一去憶

乙J

其中士(勺呼,％=士(王

i=l'/i*a4''

由簡單陵機樣本的定義知W1與w2獨立.

且可知W】?于(2),Wz?/(5).

由X2(n)分布性質知,D[yGO[=In.

=m)+/ww2)

=+X4+/X1O=學

=>D(W)=嗒

J/

故選(B).

函數/(%)=cos力￡在點4二。處

(A)不可導且/(0)#8(B)不可導且，(0)=8

(C)可導且/(0)=0(D)可導且/(0)=y[]

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：

【詳解】lim純'三」=0即/，(0)=0.

知識點解析：

【分析】利用引導函數的單調性與其導函數的符號的對應關系來解決本題.

從函數y=/(x)的圖形可知，當z<0時隨著*增大，/?)首先是單調減少,接著是單調增

加，然后再單調減少,與此相應的是，其導函數尸(工)的符號當4<0時隨著*增大，首先應為

負，接著由負變正，然后再由正變負，因為(A),(B)中的函數當“<0時隨％增大，其值從非

負變為正后不再由正變負.故它們不可能是y=/'(%)的圖形.

當x>0時f(4)是單調減少的函數，與此相應的是其導函數((*)應始終不能取正值.

由此可見(C)不可能是y=/'(*)的圖形.

故應選(D).

5、設(Pi(x),(P2(x)為一階非齊次線性微分方程y，+P(x)y=Q(x)的兩個線性無關的特

解，則該方程的通解為()

A、C[(pi(x)+(p2(x)]o

B、C[(pi(x)-(p2(x)]o

C、C[(pi(x)-*(P2(X)]+(P2(X)O

D、[(p|(x)—(P2(X)]+C(P2(X)O

標準答案：c

知識點解析：因為(Pi(x),(P2(x)為一階非齊次線性微分方程y'+P(x)尸Q(x)的兩個線

性無關的特解，所以必(x)—s(x)為對應齊次方程y'+P(x)y=0的一個解，因此

y'+P(x)y=Q(x)的通解為C[(pj(x)~(p2(x)]+q)2(x)。故選C。

:]imS-2.T-/cos2.r

6、若…/l+x*-l=a#)，則().

A、k=2,a=-2

B、k=-2,a=-2

C、k=2,a=2

D、k=-2.a=2

標準答案：A

知識點解析：

當x—0時.+—-I=(1+/戶一1~十"‘

COS2T—COS2J-=(1/cos2.r)—(1-cos2.r).

因為1-Jcov2/----=,r?.1—cos2.z?I-2x'.

所以cos2.r-/cos2.r=(1—X/COS2J)—(1—cos2.r)-----JT'，

oxK-/，a—

一2,選(A).

(x+1)arctan」,x#±1?

<丁一1

7、設f(x);°，”=±八則().

A、f(x)在x=l連續，在x=-I間斷

B、f(x)在x=l間斷，在x=-1連續

C、f(x)在x=l,x=-1都連續

D、f(x)在x=l,x=-1都間斷

標準答案：B

知識點解析：由媽(x+l)arclan/—1=0,f(—1)=0,得f(x)在x=-I處連續.由f(l

lim-―^--lim—

-0)=L「(x+l)arctan爐一】二一兀，f(1+0)=r*r(x+1)arctanJr-1=兀，褥x=l為f(x)的

跳躍間斷點，選(B).

8、設A,B及A*都是n(佗3)階非零矩陣，且人T8=0,則r(B)等于().

A、0

B、1

C、2

D、3

標準答案：B

知識點解析：因為ATB=0且B為非零矩陣，所以方程組ATX=U有非本解，從而

r(AT)=r(A)*)=0或r(A*)=L又因為A"為非零矩陣，所以r(A*)=l.由r(A*)=l

得r(A)=n—1,從而r(AT)=n-1.由人18=0得r(Ar)+r(B)Wn,于是r(BKl,又

B為非零矩陣,所以r(B巨1,于是r(B)=l,選(B).

二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)

9、

設A是正負慣性指數均為1的三階實對稱矩陣,且滿足IE+AI=1E-AI=0,則行

列式I2E+3AI=.

標準答案：-10

知識點解析：

【分析】三階矩陣的正負慣性指數均為1,說明必有一零特征值.

【詳解】由I￡+41=1E-4I=0知/有特征值兒=-l,A2=1,又4的正負慣性指數均為1,因

此其另一特征值必為入3=0.效行列式

I2E+3Al=(2+3At)(2+3A,)(2+3A,)=-10.

；【評注】設儲，M是n階矩降A的n個轉征值，

則"(4)1=/(A.)/(AJ)-^Aj.

將io雙鞋隨意分成10堆，每堆2只，以X表示10堆中恰好配成一雙鞋的堆數,則EX

標準答案：10/19

知識點解析：

【詳解】記入｛:,堆兩臂恰成一雙一=一…/。.則X=k

M否則，白

將10雙鞋（20只鞋）隨意排成一行,1,2為第一堆,3,4為第二堆?如此下去,19、20為第10

堆.我們將任意一種排列作為一個基本事件，其總數為20!.半件4="第i堆兩只鞋恰成一

雙’等價于“從10雙鞋中任選一雙隨意放在第位置上（共有c：°x2!種不同放法）.

余下的18只鞋隨意排放在其他位置上（共有18!種放法），由索法原理知對事件人的有利

基本事件數為C；Qx2xl8!,所以

PM,=l|=P（Q⑸-8!

EX、=P（X,=1）=/

一加T.

????????????????????????????????-****************,***-***,**,e*,e,e**-e******ee*************"*-**--**

【評注】計算隨機支。?數字特征常用的方法是定義法與性質法?無論用什么方法，都需要知道新

應筮機變量的分布（或應用已知結果）.如果隨機變量X是某個事件發生的次數，例如：

“鼠對數”，“停車次數”等，我他常常是想辦法將X分解為若干個較為簡單的曲機變量*口

??

的和/=Z%,而后應用性質計算EX,DX.

11、

設曲線y=一;在點（1，」）處的切線與1軸的交點為（部，0）（〃=1,2,…），則

5-x"2-8

標準答案：-4

知識點解析：

分析切線斜率力7⑴=工點…=發

于是切線方程成為y=++管包-1）

令y=0可知&滿足&=1——（?=12…）

ln（l-

故limnln??=limnln（l----）=-4lim-----7---=-4.

1r-8H-Rfl刁―8__上

n

1

12^J1ixA3.arcsinJ*dx=.

標準答案："8

知識點解析：

f1.1.

J(j7arcsin-dr=-'LrcsinL內

iJTx\JC)

，匚，r“2

=-/arcsin/d/arcsinrd/=~Jarcsin/d(/)

=-1/-arcsin/1\——

e_d/=A._L一J.

nv/l-/242°/H77

2X1

=—?——n1f才

-*?cosudw=手.2i

44JnCOSU42?sinudu=

三一J?工=工

42228,

l(：)(100)的弧長為

13、曲線9=2'r+

J_ln3

標準答案：2+5”

/=rsin

知識點解析：曲線的參數方程為"(l<r<3),根據弧長公式,

(4"(r)+y"⑺dr

dr

=((尹副#=2+/電

3〃-1

s3"

14、無窮級數?=?

7_

標準答案:T

知識點解析:

因，1="佶)-卜令S(z)=±丘|,7￡(-1,1),

則

于是

而

根據級數的運算性質得

8

3n—117

—=—.

3-冬嗚)二冬5424

三、解答題(本題共9題，每題1?0分，共9分。)

15、

設/(〃,/具有二階連續偏導數，且滿足g+#=1，又g(NO)=

fg方父一力】,求奈+靜.

標準答案：

［解】設吁=yCx*一力，由復合函數求導法?則

需=*3幾+就-也'，=端+粽

同理,=燃7黑

因此奈=個小卬匕+繇［*-，+］+累+工［繇〃"+篝［+叱-也，］

“學+2秒施+，3+為

同理'券=/考-2個怒+y學一案?

從而言+教=”+V〉誓+"+式)翳="+已

知識點解析：暫無解析

16、設函數f(x)在口，+8)上連續，若由曲線y=f(x),直線x=l,x=t(t>l)與x軸所

圍成的平面圖形繞X軸旋轉一周所成的旋轉體積為V⑴=M3［t2f(i)_f(l)］.試求y=f(x)

所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件yIx=2=2/9的解.

標準答案：由題設，旋轉體體枳應為兀j￥(X)dx,則加tf2(X)dx=W3[t2f(t)_f(l)],從

而J]if2(x)dx=l/3[Ff⑴兩邊對I求導，得〉f2⑴=1/3[21跳)+*「⑴],即Ff'⑴一

3f2(t)+2tf(t)=0.令

4P■=%則號=3”(“-1).分離變量得下■生彳y=義?市，積分得七4=c/

/⑴=??1，=1%?又由已知/(2)=卷，則可解出。=-1.「廣

1-cr1-u9從而

/(<)s7~j?所以>=/(*)=產K

I4-11+4

知識點解析：暫無解析

17、假設X],X2，…，Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，已知EW)=ak(k=l,

z.=：￡r

2,3,4),證明：當n充分大時，隨機變量n3近似服從正態分布，并

指出其分布參數.

2

標準答案：依題意X|,X2,…，Xn獨立同分布，可知X[2,X2...,X，也獨立同

分布，由E(xk尸ak(k=l,2,3,4)有

瓜片)=02,1)(X^)=初片)-爐(片):%-4,1=1.2,???，兒

■

于是E(Z.)=E(-i-5x')=7Z￡(￥)=%?

D(Z”哈￡￥)號￡D(加手

因此根據獨立同分布的(列維―林德伯格)中心極限定理，當〃充分大時，

U.=^=^~N(0.1).

故當〃充分大時,么=}i尤近似服從參數為卜2,的正態分布?

知識點解析：暫無解析

/(I)=3￡e'-y(x)dx

18、設f(x)在區間[0,1]上連續，在(0,1)內可導，且滿足

證明：存在龔(0,1),使得rg=2軟切。

標準答案：由積分中值定理，存在一點々61°'于］使得

/（I）=

令則/"）在上連續，在（々，口內可導，且

尸（I）=/（D==F（白）。

由羅爾定理，在（帛，1）內至少存在一點乙使得

F'（f）=-涉（6）］=0,

于是有

/'⑷=鄧公，WeJ）C（0,1）。

知識點解析：智無解析

19、設常數a＞0,討論曲線丫=2乂與曲線y=21nx的公共點的個數.

標準答案：曲線y=21nx的定義域為x＞0,故只要考慮右半平面x＞0上曲線y=21n

x與y=ax的公共點即可.令f（x）=ax—21nx,

有lim/(J)=+oo,limfQ)=4-oo,//(j)=a-----

T+X

令/（力=0.得唯一駐點工=2,/仔）=2—2山2,且當工＜2時/（/）＜0,當1＞2時.

aQ'aaa

/（x）＞0.

討論零點個數如下：

若2—21n2V0,即0VaV2,由在工=2的左、右人力的嚴格單調性及連續函數介值定理

aea

知,在區間（0，看）與（子，+8）內/（X）分別各有唯一零點,

若2—21n看=0,即a=!,/（浸）=0,此時f（工）恰有1個零點,

若2-2ln看＞0?即a＞看,/（看）＞0,/（x）無零點.

知識點解析：暫無解析

20、已知二維非零向量X不是二階方陣A的特征向量.口）證明X,AX線性無

關；（2）若A2x+AX—6X=0,求A的特征值，并討論A可否對角化.

標準答案：（1）用反證法證之.若X與AX線性相關，則存在不全為零的常數匕，

k2使kiX+k2AX=0.為方便計，設k2,0,則AX=廄X,于是X為A的特征向

量，與題設矛盾.（2）由題設有A?X+AX—6X=（A+3E）（A—2E）X=0.①下證

A—2E,A+3E必不可逆，即IA—2EI=IA+3EI=0.事實上，如A+3E

可逆，則由方程①得到（A—2E）X=AX—2X=0,即AX=2X.這說明X為A

的特征向量，故IA+3EI=0.②同法可證A—2E也不可逆，即IA-2EI

=0.③由式②、式③即知，2與一3為A的特征值，所以A能與對角陣相似.

知識點解析：A為抽象矩陣，則AX,X均為抽象的向量組.討論其特征值、特征

向量的有關問題常用有關定義及其性質證明.也常用反證法證之.

；二二黃量X?N2,在X=x（x€R）的條件下，Y的條件概率密度為fYix（yIX尸

Ae廠

?yGR.

71求常跖A.

標猛答案：利而規范性

1=1fY\x（yIx）d>=

知識點解析：暫無解析

22、求Y的概率密度fY（y）;

/（z,y）=/x（x）/nx（yI］）二！e.N,Y￡R

/r（y）=「一〃”，y）dr=-e-^rL'才一dx

—e?>/2n,-y=-rl=e片,yGR

標準答案：X2伍

知識點解析：暫無解析

23、求概率I33I.

/vx卜I｝）=產（T）［￡R

P（y4」|x-"I?卜，Je-（T）'dy?1-e"?d?-=y

標準答案：*“打J-G—A2

知識點解析：暫無解析

考研數學（數學三）模擬試卷第2套

一、選擇題（本題共8題，每題1.0分，共8分。）

1、

設隨機變星序列1“，>“、心,，心，&2，???，占2,???,北，/尸，人.“「?相互獨立，都服從

1"■

參數為1的泊松分布，令Y,==1.2,…，則隨機變量序列匕，匕，…，匕，…一定

m>>=?

（A）滿足切比直夫大數定律.（B）滿足伯努利大數定律.

（C）滿足辛欽人數定律?（D）滿足獨立同分布中心極限定理.

A、

B、

C、

D、

標準答案：A

知識點解析：

【分析】依題意匕，為，…，匕，…相互獨立，期望、方差都存在且

E匕=1,DY,=；WI.

滿足切比雪夫大數定律的三個條件，因此匕，丫2.…，匕，…一定滿足切比雪夫大數定律,故

應選(A).

由于m-m0…不一定全相同,因此不能確定匕，丫2,…，匕，…是否同分布，即不能確定

其是(要求f，=m[=???=mn=….此時匕，匕,…，匕，…同分布)否(叫，如，…不全相

同，匕，八，…不能同分布)一定滿足辛欽大數定律與獨立同分布的中心極限定理，顯然因匕

不服從0/分布，因此匕，丫2，“'匕，…也不滿足伯努利大數定律，應選(A).

2、

以下命題正確的是

(A)1陛門卒arctan-=-y.(B)limp^y-arctan=三.

i1*1x2*-oIxI|%I2

(C)1im-1X*arctan=-y-(D)lim1arctan—=J.【]

彳IxI2?-oIzIx21

A、

B、

C、

D、

標準答案：A

知識點解析：

【分析】函數關系式中包含絕對值，應作為分段函數處理，在分段點的極限要通過左右極限進行

分析.

【詳解】lim『量arctan-=limarctan-=-1?(-等)=多，

2.IxIxx-4—xx22

■■sinx.1..sinx.1、/八ir

nm：—rarctan—=lim----arctan-=1?(―)=

—?ladxizx'2'2

于是有lim?普mctan-=y-.(B),(C),(D)均可檢驗極限是不存在的,故應選(A).

)【評注】一效來說，形如1/(#)I,max|/(x),g(#)],min{/(w),g(%)|的函數，均應當作分段?

：函數處理.\

3、設n維向量ai，a2……痣的秩為r，則下列命題正確的是

A、ai，a?.......如任何r—1個向必必線性無關.

B、ai，a2.......as中任何r個向量必線性無關.

C、如果s>n,則a必可由ai，a2.......線性表示.

D、如果r=n,則任何n維向量必可由ai，a2......as線性表示.

標準答案：D

知識點解析：r(ai，a2.......as)=r?ai，a2......as中一定存在r個向量線性無關，而

任意r+1個向量必線性相關.當向量組的秩為I?時，向量組中既可以有「一1個向

量線性相關，也可以有I?個向量線性相關，故A、B均錯誤.例如向量ai,a2,a3,O4

分別為(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(3,0,0,0),其秩為3,其

中(11,04線性相關，⑺,(12,04也線性相關.該例說明，4維向量可以有2個向量線性

相關，也可以有3個向量線性相關.但肯定有3個向量線性無關.當s>n時，表明

a]，a2......Os必線性相關,此時有理由可以由a1，…，a>],ai+j...?...?as線性表

示，但如不一定能由cq,…，as/線性表示.故C不正確.若r(ai，

a2.......as)=n,則對任何n維向量。必有r(ai,a?.......as?f)=n故D正確.因此應選

D.

4、設X,Y為兩個隨機變量，其中E(X尸2,E(Y尸一1,D(X)=9,D(Y)=16,且

X,Y的相關系數為。一一萬’由切比雪夫不等式得P{IX+Y-lI<10}>().

⑴蓋⑻蓋(0)1(嗚

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

知識點解析：^Z=X+Y,則E(Z尸E(X)+E(Y)=1,D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)

?D(Z)87

+2Cov(X,Y)=13,則P(IX+Y-lI<10)-P(IZ-E(Z)I<10)>100

選B.

[(1—e^)cos—,mRO

5、函數f(x)=I°，N一°在點x=0處().

A、極限不存在

B、極限存在，但不連續

C、連續，但不可導

D、可導

標準答案：C

知識點解析：分段困數在分段點處的連續性和可導性通常用連續和可導的定義來討

論.因

f(z)—/(0)_r1—e”1/e數一11\

11mz---------5-----=hm-----------cos—=hm-----------cos—

LO0x-oxxLO\xx/

1「於1

——=lim—cos—

Xx-*0Xx9

顯然上述極限不存在，故f(x)在x=0處不可導.但口這是因為為無窮小量

(x—0),而cos()為有界變量.因而f(x)在x=0處連續，但不可導.僅(C)入選.

6、設隨機變量X服從正態分布N(山o2),則隨著。的增大，概率P{Ix—pdV

。}()?

A、單調增大

B、單調減小

C、保持不變

D、增減不定

標準答案：C

知識點解析：暫無解析

7、設A是mxn矩陣，則下列4個命題①若r(A)=m,則非齊次線性方程組Ax=b

必有解；②若r(A)=m,則齊次方程組Ax=0只有零解；③若r(A尸n,則非齊次線

性方程組Ax=b有唯一解；④若r(A尸n,則齊次方程組Ax=0只有零解中正確的

是①

A、①?.

B、②?.

C、②@④.

D、

標準答案：B

知識點解析：因為A是mxn矩陣，苞r(A尸m,說明A的行電量組線性無關，那么

它的延伸組必線性無關.所以必有r(1)=m.從而r(A)=r(3),故線性方程組

Ax二b必有解，①正確.下面只需判斷③或④正確即可.若r(A尸n,說明A的列

向量組線性無關，亦即Ax=0只有零解.，所以④正確，故應選(B).當r(A)=m

時，必有畦m.如果m=n,則Ax=0只有零解，而mVn時,Ax=0必有非零解,

所以②不正確.當r(A尸n時，r(A)有可能是n+1,方程組Ax=b可以無解.所以

③不正確，你能舉例說明嗎？

設n個隨機變盤X，&X.是獨立同分布,且〃（乂）=。2,]=；￡X,S2=

則（）.

（A）S是。的無偏估計量（B）S是"的最大似然估計量

（C）S是。的一致估計址（D）S與X相互獨立

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：暫無解析

二、填空題（本題共6題，每題上0分，共6分。）

9、

設+D=一%.則/（o）=.

標準答案：-1

知識點解析：

Z（x+1）=（2*+2）2/+2”成-1,以1=-1代人得尸（0）=-1,

10、

巳知&=[0,0,1了，&=[1,1,iy是線性方程組

ar?-X2—2x3=-2,

bx1—4x2+3x3=3,（I）

5+工2+X3=d

的兩個解，則方程組（I）的通解為.

[0,0,l]T4-<-1,-1?0」，其中/為任意常

數.答案不唯一，例如也可以是口，1J了+匯一1，-1，

標準答案：。了，其中￡為任意常數?

知識點解析：

解由&K&知，（I）的解不唯一，故（I）的系

數矩陣A的秩V3.因A有一個2階子式

-1-2

=-11H0,

-43

故rank（A）=2,從而（I）的導出組Ar=0的基礎解系

由

3-rank（A）=3-2=1

個非零的解向量組成,而

g=&-&=[-1,—1，。了

就是Ar=0的一個非零解，故可作為一個基礎解系，若

取&為（I）的特解，則（I）的通解為

&+:=[0,0/丁+1一1,一

其中￡為任意常數.若取而為（I）的特解，則（I）的通

解為

蒞+埼=口，1,1]丁+—-1,-1,0]丁，

其中1為任意常數.

11、

』（1--v）2（tan（.r-y）sinl>-,y）jd.rdj=.其中D=｛（^,,y）l1<.r<2,

I）

標準答案：0

知識點解析:

分析法一注意到該區域關于y=x對稱，且被積函數是關于(才-⑴的奇函數,故積分

為零.

法二『1-j?)2[tan(x-y)+sin(x-_y)]drd_y

D

=jjdi(z->)2[tan(x—y)+sin(x-“dy

2

+j]dzj(x-^)[tan(x-_y)+sin(x-_y)]d1y

/2

而12—j[d;rj(工一j>)2Ltan(.r-y)+sin(x-y)Jdy

=/盧!：("-，)2[tan(1-，)+sin(.r-，)]dr

=(dij](y-z)2：tan(y-x)+sin(j-x)]dj>

=4聞(y-x)2[tan(x-j?)+sin(x-3/)]d>=

其中第一個等號利用變換枳分順序，第二個等號是改變i,.y.

從而得到JJ(x->y)2(tan(j：-y)+sin(x-y)]ckrdy=0.

D

12、

甲袋中有5個白球,5個紅球,15個黑球；乙袋中有10個白球,5個紅球，10個黑球.

從兩袋中各取一球，則兩球顏色相同的概率為?

標準答案：9/25

知識點解析：

【解析】設4G=】，2,3)表示從甲袋取出的球的顏色依次為白、紅、黑的事件；

8,G=1,2,3)表示從乙袋中取出的球的顏色依次為白、紅、黑的事件；

C表示取出的球顏色相同的事件，則

C—A\B\+4282+4383.

故P(C)=P(A區+AtBt+A3)=尸(兒耳)+尸(4鳥)+口(4&)

=尸(A)尸(5)+P(A')P(B)

22+P(AS)P(B3)

510..5_5_,1510=

=/*25十25*25十25?25—25，

13、已知向量組cq=(l,2,-1,I),(12=(2,0,t,0),<13=(。，-4,5,-2)的

秩為2,則t=.

標準答案：3.

/=「?——--

14、設a是一個常數，則J。(1+丁)(1+/)=

標準答案：彳

令X=工,則dx=-3山，且,：?8—0.于是

*r

=arctan：

知識點解析:

三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)

15、

設/(X)在［0,1］上連續，在(0.1)內可導，且當0wxW1時有03)W*(l-X).求證：至少存

在一個fe(0,1),使得/'(f)=1-2f.

標準答案：

【證明］由/(力)在工=注續以及(l-x=limx(lx)-0,從而利用央

0±jx-1himfx)▲一

逼定理可得

/(0)=lim/(x)=0,/(I)==0.

i-*0411

引入函數F(x)=/(》)-*(1-，)，于是廣(X)在［0,1］上連續，在(0,1)內可導，且尸(0)

=F(1)=0成立.由羅爾定理知，至少存在一個f6(0/),滿足F，(《)=0,

即/'(f)-1+2f=0,移項即得/(f)=l-21

知識點解析：暫無解析

16、設z=z(x,y)是由9x2—54x),+90、2-6yz-z2+18=0確定的函數，求

z=z(x,y)的極底點和極值.

標準答案：利用一階全微分形式不變性，將方程求全微分即得I8xdx一

54(ydx+xdy)+180ydy-6zdy—6ydz-2zdz=0,即(18x—54y)dx+(180y—54x一

6z)dy-(6y+2z)dz=0.從而

加!8x二_9x-27y加_180y-54i-6;_90y-Tlx-

瓦=6y+2z=3y一’后=一方二云■-—一方二一為求隱函數Z=Z(X,y)的

駐點，應解方程組

9x2-54xy?90尸_6yg-J+18=0.①

9x-27y=0.②

90)-27x-3:=0.③②可化簡為

x=3y.由⑧可得z=30y-9x=3y,代入①可解得兩個駐點x=3y=l,z=3與x=-

3,y=~1,z=-3.為判定z=z(x,y)在兩個駐點處是否取得極值，還需求z=z(x,

y)存這兩點的二階偏導數：

,9(3y+z)-(9x-27y)李-27(3y?s)-(9r-270H?

trzoxn2z'

Ax1(3y?z)2'dxdy(3yr)‘

在二(90?3款3)-她-27*?3川3書

'(3y+:)2記P^3,1,

3).Q=(—3,—1,一3),即可得出在P點處

814593

8-C1了?丁?彳(0,旦一彳＞。故在點(3,1)處z=z(x,y)取得極小值z(3,

一4I?-1,8M業|?4-.c.學IX-15

1)=3.類似可知在Q點處2力打1〃2機(故

,"?北=丁彳=?彳＜。且A-T＜0故在點(一3,—I)處z=z(x,y)收得極大

值z(-3,—*1)=一3.

知識點解析：暫無解析

17、設甲袋中有2個白球，乙袋中有2個紅球，每次從各袋中任取一球，交換后放

入另一袋，這樣交換3次，求甲袋中白球數X的數學期望.

標準答案：為求數學期望的先求出甲袋白球數X的概率分布.經過第一次交換

后，甲、乙兩袋中都各有一白一紅，故我們從第二次交換開始討論.設Ai={第二

次交換后甲袋有i個白球},i=0,1,2.由于經過第一次交換，甲、乙兩袋中各有

一個紅球，一個白球，故，(右)-4，-2，尸"?)4又設(x=k}表示

1

三次交換后甲袋中的白球數,k=0,1,2.則P(X=O|Ao}=O,P{X=0|Ai)=4*

1

P{X=0|A2}=0,P{X=1|AO)=1,P{X=1|A|)=^*P{X=1|A2}=1,P{X=2|A0}=0,

JL.ii.i

4

P{X=2|A1}=*P{X=2|A2}=0,所以P{X=O}=P{X=O}A]}P(AO)=428

P{X=1}=P{X=l|Ao)P(Ao)-P{X=1|A|}P(A|)+P{X=1|A2}P(A2)

L

111,13—?4

42244P{X=2}=P{X=2|A|}.P(Ai)=*'8,故X的概

X0I2

131

PT7G

分布為

知識點解析：暫無解析

18、計算I,區域D由直線y=x、由線3々）切=2任刈

以及x軸圍成。

標準答案：圓x?+y2=4將區域D分成兩部分，圓x?+y2=4內的部分記作D”

圓外的部分記作D2,則原積分化為

/rr2

/=|，/+八2|加=ff(2-Vx+y)da+J(y/x+/-2)dat

?A采用極坐標計

算積分，其中

廣/

/(2-7%2+/)da=I*de￡(2-r)rdr=￡^r2-yr3的=(

A°°o3

[(*/x2+y2-2)da=de(r-2)rdr

o

二產4\

co83^-8cos2^^ylde

3

T1+cos2。,-74

(1-sin2d)dsin(一8——de+。丁麗

o2

222

故/=f1^+7-2l^=y-j^o

知識點解析：本題考查二重積分的計算。根據被積函數的形式，當

，，心2和G+F<2時，去掉絕對值對應的被積函數不同，相應選取的積分

區域也有所不同。因此需要分兩部分計算，然后再相加。

19、過坐標原點作曲線y=e'的切線，該切線與曲線y=e'及x軸圍成的向x軸負向

無限伸展的平面圖形記為D.(1)求口的面積人；(1)求D繞直線x=l旋轉所成

的旋轉體的體積V.

標準答案：設切點坐標為P(xo,yo),于是曲線丫=?*在點P的切線斜率為y=，，

切線方程為y—yo=e，0(x—xo).它經過點(0,0),所以一yo二-x()

又因g=e\代入求得xo=l,從而yo=^=e,切線方程為y=ex.(I)取水平

A=UTny)dy=(笠-ylny+y)=4->=-7.

條面積元素，2eI。2-2(積

lim

分Joinydy為反常積分，I,ylny=0來自洛必達法則)(口)D繞直線x=l旋轉一周所

成的旋轉體的體積微元為

dV—［“(1-Iny):—x(1—卜y,

從而U=-2lny+g-￡|dy

二A(yln2y_41ylny+4y+?g]

知識點解析：暫無解析

20、設函數f(x)在［0,+00)上連續、單調不減且f(0)K),試證函數

(-rx>o,

A(x)=xJo

°，X=°，在［0,+8)上連續且單調不減(其中n>0).

標準答案:由題設知f(x)在［0,+8)上連續、單調不減且f(0)K),此外F(0)=0,而

。了(，)也

limF(x)=lim-----------==0,國

當X>0時，1?Xf月-以當x>0時，由積

分中值定理知，存在一點差(0,x),使得因此由前述知f(g)vf(x),則F'(X)X),因

此F(x)在［0,+oo)上單調不減.綜上，F(x)在［0,+00)上連續且單調不減.

知識點解析：暫無解析

2_

設隨機變量X?N彳，在X=x(x€R)的條件下，Y的條件概率密度為fYix(yIx尸

Ae"一,

21、求常數A；

標準答案：利用規范性

1=1fy\x(yIx)d>=d_y=A4,得到A=工

知識點解析：暫無解析

22、求Y的概率密度fY（y）；

f（工,y）=/x<x）/rix（y|工）=*z,y￡R

/y（>）=「7（"，》）業=，由dx

J—穴Jf>K

=c-^?>/2”,-y=J-e—,3￡R

標準答案：Kz后

知識點解析：暫無解析

P(Y"XT卜

23、求概率*

/“x(yI劫=六《+"沙SR

h撲=撲上尸t尸力-

Pe"市《=J

4

標準答案：

知識點解析：暫無解析

考研數學（數學三）模擬試卷第3套

一、選擇題（本題共8