九江市2025年第一次高考模擬統一考試數學本試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號，考場號和座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解絕對值不等式和一元二次不等式求出集合和，再由交集定義求解即得.【詳解】因，則故.故選：C．2.若復數，則（）A.2 B.4 C.5 D.【答案】A【解析】【分析】應用復數除法求復數，再求共軛復數，進而求復數的模.【詳解】，，.故選：A3.已知角的終邊在直線上，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正切的定義及正切二倍角公式即可求解；【詳解】解：依題意，在直線上任取一點（），可得，故選：A．4.新華社北京2024年9月8日電，中共中央黨史和文獻研究院編輯的習近平同志《論教育》，由中央文獻出版社出版，在全國發行．這部專題文集，收入習近平同志關于教育的重要文稿47篇．九江市教育局準備了9個相關問題（含問題A）到某校調研教職員工的學習情況，從該校隨機抽取了6名教師，每名教師相互獨立地隨機抽取3個問題并作答，且每個問題被抽取的可能性相等．記表示抽到問題A的教師人數，則（）A. B.4 C. D.2【答案】D【解析】【分析】確定服從二項分布，由二項分布期望公式即可求解；【詳解】解：每名教師抽到問題的概率為，由題意可知，，故選：D．5.已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計算出，從而得到，得到答案.【詳解】由題意得，在上投影向量為.故選：B．6.將函數圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于軸對稱，則的值可能是（）A.5 B.8 C.11 D.13【答案】D【解析】【分析】根據左加右減得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求出，得到答案.【詳解】依題意，得為偶函數，則，即，當時，，D正確，其他選項均不正確.故選：D．7.在棱長為的正方體中，點在正方體內（包含邊界）運動．若直線與所成角為，則動點所圍成的圖形的面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據直線與所成角為，得直線與直線所成角為，動點所圍成的圖形是圓錐側面的四分之一，根據圓錐的表面積公式求出即可.【詳解】解：如圖，在正方體中，，直線與所成角為，即直線與直線所成角為，故動點所圍成的圖形是：高為，底面半徑為1，母線長為2的圓錐側面的四分之一．即動點所圍成的圖形的面積為，故選：B．8.定義在上的函數滿足：①對任意，都有；②的圖象關于直線對稱：③則下列說法正確的是（）A.是奇函數 B.是偶函數C. D.【答案】C【解析】【分析】根據對稱性可得的圖象關于對稱，直線對稱，且以以4為周期的周期函數，即可根據函數圖象的平移，結合奇偶性的定義求解.【詳解】令，得，即，故函數的圖象關于對稱．又的圖象關于直線對稱，故，的圖象關于直線對稱．，是以4為周期的周期函數．對于A，的圖象是將的圖象向左平移2個單位，故的圖象關于軸對稱，是偶函數，故A錯誤；對于B，的圖象是將的圖象向左平移1個單位，故的圖象關于原點對稱，是奇函數，故B錯誤；對于C，由，得；由，得，，故C正確；對于D，依題意，得，，，故D錯誤．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某校高三年級第一次聯考后，為分析該年級1200名學生的物理學習情況，通過分層抽樣的方法對該年級200名學生的物理成績進行統計，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．則（）A.B.估計該年級學生物理成績的均值為72C.估計該年級學生物理成績的中位數為72.5D.估計該年級物理成績在80分及以上的學生人數為240【答案】BCD【解析】【分析】A選項，根據頻率之和為1得到方程，求出；B選項，利用中間值作代表，求出平均值；C選項，先確定學生物理成績的中位數所在區間，利用公式計算出答案；D選項，結合80分及以上的學生人數頻率，得到答案.【詳解】A選項，，解得，故A錯誤；B選項，由頻率分布直方圖可知，估計該年級學生物理成績的均值為，故B正確；C選項，的頻率為，的頻率為，估計該年級學生物理成績的中位數為，故C正確；D選項，估計該年級物理成績在80分及以上的學生人數為，故D正確．故選：BCD．10.已知函數，則下列說法正確的是（）A.是偶函數 B.有3個零點C.的最大值為1 D.的最小值為【答案】AC【解析】【分析】根據偶函數定義判斷A，零點定義計算判斷B，根據余弦函數的有界性得出最大值判斷C，D.【詳解】，且定義域關于原點對稱，是偶函數，故A正確；由，得有2個零點，故B錯誤；，即，等號成立的條件，當不能同時成立取不到，得，故C正確，D錯誤．故選：AC．11.天文學家在研究某行星時，發現其運行軌道與圖中曲線極其相似．已知過坐標原點，且上的點到與兩點的距離之積為常數，則下列說法正確的是（）A.B.上點的縱坐標的最大值為C.若雙曲線與交于點，則的面積為D.若直線與有三個交點，則【答案】ABD【解析】【分析】A選項：對于已知曲線的性質求參數值的問題，通過將特殊點代入曲線所滿足的條件來求解參數.B選項：方法一：利用圓與曲線的交點性質以及三角形面積公式，結合三角函數的性質來求解曲線上點的縱坐標的最大值.方法二：通過對關于的表達式求導，分析函數的單調性來求最大值.C選項：方法一：根據雙曲線的定義和勾股定理逆定理判斷三角形的形狀，再利用三角形面積公式求解.方法二：通過聯立方程組求解交點坐標，進而求出三角形的高，再根據三角形面積公式求解.D選項：將直線方程代入曲線方程，轉化為關于的方程，根據方程根的情況確定參數的取值范圍.【詳解】設上的點為，則過坐標原點，，故A正確；以為直徑的圓與必有交點存在點滿足，設為上的點，則的面積，又，故B正確；雙曲線的焦點為，，而，，為直角三角形，故的面積，故C錯誤；的方程為，化簡得（*）．將代入（*）得，要使得方程有三個不等的實根，則，故D正確．B選項另解：由對稱性，不妨設上點在第一象限，由（*）得，令，則．由，得；由，得．在上單調遞增，在上單調遞減，，即．故B正確．C選項另解：聯立方程組得，又，故的面積，故C錯誤．故選：ABD．【點睛】思路點睛：A選項：遇到求曲線中參數值的問題，優先考慮利用曲線所過的特殊點或已知條件來建立方程求解.B選項：求曲線上點的縱坐標的最大值，可以從幾何角度（如三角形面積與曲線的關系）或代數角度（如求函數的最值）入手，根據具體情況選擇合適的方法.C選項：對于涉及雙曲線和曲線交點以及三角形面積的問題，可以從雙曲線的定義、勾股定理等幾何性質出發，也可以通過聯立方程組求解交點坐標來解決.D選項：處理直線與曲線交點個數問題，一般將直線方程代入曲線方程，轉化為關于一個變量的方程，然后根據方程根的個數來確定參數的取值范圍.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數，則______．【答案】0【解析】【分析】根據分段函數先求，再求即可.【詳解】．故答案為：0.13.已知拋物線，，過點的直線與及自上而下依次交于四點，則的最小值為______．【答案】6【解析】【分析】拋物線的焦點，則，要的最小值只需最小即可.【詳解】如圖，因為拋物線的焦點，所以．故的最小值為拋物線的通徑長8，故的最小值為6．故答案為：6.14.如圖，有一個觸屏感應燈，該燈共有9個燈區，每個燈區都處于“點亮”或“熄滅”狀態，觸按其中一個燈區，將導致該燈區及相鄰（上、下或左、右相鄰）的燈區改變狀態．假設起初所有燈區均處于“點亮”狀態，若從中隨機先后按下兩個不同燈區，則燈區最終仍處于“點亮”狀態的概率為______．【答案】【解析】【分析】根據相鄰原則把9個燈區分為三類：第一類燈區，第二類燈區，第三類燈區，然后由題意分別按各類中的兩個保持燈區最終仍處于“點亮”狀態，由此求得方法數，再求得總的方法數，最后由概率公式計算概率．【詳解】從9個燈區中隨機先后按下兩個燈區，共有種按法．與相鄰的燈區為；與相鄰的燈區為，故將9個燈區分為三類：第一類燈區，第二類燈區，第三類燈區．若要使得燈區最終仍處于“點亮”狀態，則需在同類燈區中隨機先后按兩個不同燈區．①若先后按下的是兩個燈區，則燈區最終仍處于“點亮”狀態，共有種按法；②若先后按下的是燈區中的兩個，則燈區最終仍處于“點亮”狀態，共有種按法；③若先后按下的是燈區中的兩個，則燈區最終仍處于“點亮”狀態，共有種按法．故燈區最終仍處于“點亮”狀態的概率為．故答案：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.記的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據所給的條件，結合余弦定理，可求的值，再結合角的取值范圍，可得角.（2）利用正弦定理，可求邊，利用三角形內角和求角，再利用三角形的面積公式求解.【小問1詳解】由及余弦定理，得又【小問2詳解】由正弦定理得，所以.的面積.16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，平面，分別為線段的中點，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先由線面垂直的判定定理得到面平面，再由線面垂直的判定定理證明平面即可；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，代入空間二面角的余弦公式求解即可；【小問1詳解】在菱形中，，知為正三角形，又為線段的中點，則，即，平面平面，又平面平面，又平面，為線段中點，，又平面平面.【小問2詳解】如圖，以分別為軸建立空間直角坐標系，則，設為平面的法向量，由得令，則，即，易知為平面的法向量，，由圖可知二面角銳二面角，故其余弦值為.17.已知橢圓的左右焦點為，是橢圓上不同的三點，四邊形是邊長為的正方形．（1）求橢圓的標準方程：（2）在軸上是否存在一點，使得為等邊三角形？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）利用四邊形是邊長為的正方形，得到，再結合對稱性求得橢圓的標準方程;（2）設直線的方程為聯立橢圓方程求解出點的坐標，然后為等邊三角形的幾何關系求解出的值從而得到直線的方程，求得結果.【小問1詳解】四邊形是邊長為的正方形，，由對稱性可知，為短軸端點．橢圓的標準方程為【小問2詳解】假設在軸上存在一點，滿足條件．由對稱性，不妨設，設直線的方程為代入橢圓方程中，整理得設線段中點為，則．線段的中垂線方程為為等邊三角形，在線段的中垂線上，令，得，即，,又，，解得．在軸上存在一點，使得為等邊三角形，且18.已知函數，曲線在處的切線經過點（1）求；（2）若，判斷的單調性：（3）當時，，求的取值范圍．【答案】（1）（2）函數在上單調遞增（3）【解析】【分析】（1）由導數的幾何意義求得斜率，再結合斜率公式列出等式求解即可；（2）通過二次求導，結合導數與單調性的關系即可判斷；（3）由，得，再由時，原不等式等價于構造函數求導，確定最值即可求解；【小問1詳解】，切線斜率．又切線經過點解得．【小問2詳解】由（1）知，，令，則當時，在上單調遞減，當時，在上單調遞增在上單調遞增【小問3詳解】由題意得對任意的成立．①當時，②當時，原不等式等價于設，則由（2）知，當時，對任意的成立，即．當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故的取值范圍是19.已知是由不全相同的正整數組成的有窮數列，其前項和為，．集合，中元素個數為，將中所有元素取出，并按從小到大排列，記為數列．若，則稱數列為數列．（1）若，寫出一個數列（2）若是公比為偶數的等比數列，證明：為數列：（3）若數列是等差數列，求的最小正整數．【答案】（1）1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8（2）證明見解析（3）2【解析】【分析】（1）由數列的概念即可求解；（2）由等比數列求和公式確定恒為奇數，進而得到，再通過等比數列求和即可求證