專題突破練16立體幾何中的翻折問題、探究性問題2025年高考總復習優化設計二輪專題數學課后習題專題突破練含答案專題突破練(分值:90分)學生用書P178主干知識達標練1.(15分)(2024安徽池州模擬)如圖,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,△EAB與△FAD是兩個全等的直角三角形,且FA=4,FC與AD交于點G,將Rt△EAB與Rt△FAD分別沿AB,AD翻折,使E,F重合于點P,連接PC,得到四棱錐P-ABCD.(1)證明:BD⊥PC;(2)若M為棱PC的中點,求直線BM與平面PCG所成的角的正弦值.(1)證明由題可知PA⊥AD,PA⊥AB,且AB⊥AD.又AB∩AD=A,AB,AD?平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD.又BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.連接AC,則AC⊥BD.又PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以BD⊥平面PAC.又PC?平面PAC,所以BD⊥PC.(2)解以點A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.由題可得△PAG∽△CDG,所以AGGD=PA又AD=2,所以AG=43,則B(2,0,0),C(2,2,0),G0,43,0,P(0,0,4),所以GC=2,23,0,PC=(2,2,-4),BP=(-2,0,4).又點M為PC的中點,所以PM=12PC=(1,1,-2),所以BM=設平面PCG的一個法向量為n=(x,y,z),則n令y=3,得x=-1,z=1,所以平面PCG的一個法向量為n=(-1,3,1).設直線BM與平面PCG所成的角為θ,則sinθ=|cos<n,BM>|=|n·BM||n||2.(15分)如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都等于2,且∠ABC=∠A1AC=60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求平面DAA1與平面C1CAA1所成角的余弦值.(2)在棱CC1所在直線上是否存在點P,使得BP∥平面DA1C1?若存在,求出點P的位置;若不存在,說明理由.解(1)如圖,取AC中點O,連接A1O,A1C,BD.因為棱柱各棱長均為2,且∠ABC=60°,所以四邊形ABCD是菱形,△ABC是等邊三角形,所以BD過點O,AC=2,AC⊥BD.又因為AA1=2,∠A1AC=60°,所以△A1AC是等邊三角形,所以A1O⊥AC.又平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,A1O?平面AA1C1C,所以A1O⊥平面ABCD.又AC,BD?平面ABCD,所以A1O,AC,BD兩兩垂直.以點O為原點,分別以OB,OC,OA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(-3,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,3),所以DA=(3,-1,0),DA1=(3,0,3設平面DAA1的一個法向量為m=(x,y,z),則m取x=1,則y=3,z=-1,所以平面DAA1的一個法向量為m=(1,3,-1).易知平面C1CAA1的一個法向量為n=(1,0,0),則cos<m,n>=m·n|m||n|=15=(2)存在.因為C1(0,2,3),C(0,1,0),B(3,0,0),所以DC1=(3,2,3),CC1=(0,1,3),BC=(因為點P在CC1上,可設CP=λCC1=(0,λ,3λ),所以BP=BC+CP=(-設平面DA1C1的一個法向量為s=(a,b,c),則s取a=1,則b=0,c=-1,所以平面DA1C1的一個法向量為s=(1,0,-1).因為BP∥平面DA1C1,所以BP⊥s,所以s·BP=-3-3λ=所以CP=-CC1,即點P在C1C的延長線上,且CP=C3.(15分)(2024河北張家口模擬)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=2.將△ABD沿對角線BD折起,形成一個四面體A-BCD,此時AC=m.(1)是否存在實數m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同時成立?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.(2)求當二面角A-CD-B的正弦值為多少時,四面體A-BCD的體積最大?解(1)不存在,理由如下:假設存在實數m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同時成立.因為AB⊥CD,AB⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ACD,所以AB⊥平面ACD.因為BC⊥AD,BC⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ACD,所以BC⊥平面ACD,所以AB∥BC,或AB與BC重合.又AB∩BC=B,矛盾,所以不存在實數m,使得AB⊥CD,AD⊥BC同時成立.(2)因為△BCD的面積為定值,要使四面體A-BCD的體積最大,所以只需讓平面BCD上的高最大即可,易知此時平面ABD⊥平面BCD.過點A作AO⊥BD于點O,連接OA.因為AO?平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面BCD.以點O為原點,以在平面BCD中過點O且垂直于BD的直線為x軸,分別以OD,OA所在直線為y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.在Rt△ABD中,BD=AB2+AD2=6,所以AO=AB·ADBD=233,所以BO=AB2-AO2=63.過點C作CE⊥BD,交BD于點E,則CE=AO=233,DE=BO=63,OE=BD-BO-DE=63,則A0,0,233,C23設平面ACD的一個法向量為n=(x,y,z),則n取x=1,得y=2,z=2,所以平面ACD的一個法向量為n=(1,2,2).易知平面BCD的一個法向量為m=(0,0,1),所以cos<m,n>=m·n|m||n|=2關鍵能力提升練4.(15分)(2024湖南長沙模擬)如圖,在直角梯形ABGH中,AB∥GH,AB⊥BG,AB=5,HG=1,∠BAH=60°,C,D分別為線段BG與AH的中點,現將四邊形CDHG沿直線CD折成一個五面體AED-BFC.(1)在線段BF上是否存在點M,使CM∥平面ADE?若存在,找出點M的位置;若不存在,說明理由.(2)若二面角F-DC-B的大小為60°,求平面ADE與平面DEFC的夾角的余弦值.解(1)存在,M為BF的中點,證明如下:如圖,令M為BF的中點,取AE中點N,連接MN,DN,則MN∥AB,MN=EF+AB2因為C,D分別為BG,AH的中點,所以CD∥AB,CD=GH+AB所以CD∥MN,CD=MN,所以四邊形CMND為平行四邊形,所以CM∥DN.又CM?平面AED,DN?平面ADE,所以CM∥平面ADE.(2)因為FC⊥CD,BC⊥CD,FC∩BC=C,FC,BC?平面FCB,所以CD⊥平面FCB.又CD?平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面FCB.因為平面EFCD∩平面ABCD=CD,所以∠FCB為二面角F-DC-B的平面角,所以∠FCB=60°.又FC=CB,所以△FCB為等邊三角形.在直角梯形ABGH中,AB∥GH,AB⊥BG,AB=5,HG=1,∠BAH=60°,可得BG=43,所以FC=BC=BF=23.過點F作FO⊥BC交BC于點O,則點O為BC的中點取AD中點P,連接OP,OF.易知OP∥CD,所以OP⊥平面FCB.又FO,BC?平面FCB,所以OP,BC,FO兩兩垂直.以點O為原點,分別以OP,OB,OF所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(5,3,0),D(3,-3,0),E(1,0,3),C(0,-3,0),所以DE=(-2,3,3),DC=(-3,0,0),DA=(2,23,0).設平面DEFC的一個法向量為m=(x1,y1,z1),則DE·m=-2x1+3y1+3z1=0,DC·m=-3x1=0.設平面ADE的一個法向量為n=(x2,y2,z2),則DE取x2=3,則y2=-1,z2=3,所以平面ADE的一個法向量為n=(3,-1,3),則cos<m,n>=m·n|m||n|=-25.(15分)(2024山西運城一模)如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=2,沿AC將△ADC折起,使點D到達點P的位置,點P在平面ABC上的射影H落在AB上.(1)求AH的長度;(2)若M是PC上的一個動點,是否存在點M,使得平面AMB與平面PBC的夾角的余弦值為34?若存在,求CM的長度;若不存在,說明理由解(1)如圖,作PE⊥AC,交AC于點E,連接EH.因為點P在平面ABC上的射影H落在AB上,所以PH⊥平面ABC.又AC?平面ABC,所以PH⊥AC.又PH∩PE=P,PH,PE?平面PHE,所以AC⊥平面PHE.又EH?平面PHE,所以AC⊥EH,由題可知AP=2,PC=4,所以AC=25,所以PE=AP·PCAC=455,所以AE=AP2所以AH=AE·ACAB(2)存在.因為PH⊥平面ABC,AB,BC?平面ABC,所以PH,AB,BC兩兩垂直.以點H為坐標原點,以過點H且平行于BC的直線為y軸,分別以HB,PH所在直線為x軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.則A(-1,0,0),P(0,0,3),B(3,0,0),C(3,2,0),所以AB=(4,0,0),BC=(0,2,0),PC=(3,2,-3).設PM=λPC=(3λ,2λ,-3λ),λ∈[0,1],則MB=PB-PM=(3-3λ,-2λ設平面AMB的一個法向量為m=(x1,y1,z1),所以AB令y1=3λ-3,則x1=0,z1=2λ,所以平面AMB的一個法向量為m=(0,3λ-3,2λ設平面PBC的一個法向量為n=(x2,y2,z2),所以PC取x2=1,則y2=0,z2=3,所以平面PBC的一個法向量為n=(1,0,3).因為平面AMB與平面PBC的夾角的余弦值為34,所以cos<m,n>=m·n|m||n|=23λ27λ2-6λ+3=-核心素養創新練6.(15分)(2024陜西西安一模)如圖,在三棱錐P-ABC中,側面PAC是邊長為1的正三角形,BC=2,AB=5,E,F分別為PC,PB的中點,平面AEF與平面ABC的交線為l.(1)證明:l∥平面PBC;(2)若三棱錐P-ABC的體積為36,在直線l上是否存在點Q,使得直線PQ與平面AEF所成的角為α,異面直線PQ與EF所成的角為β,且滿足α+β=π2?若存在,求出線段AQ(1)證明因為E,F分別為PC,PB的中點,所以EF∥BC.又BC?平面ABC,EF?平面ABC,所以EF∥平面ABC.又EF?平面AEF,平面AEF∩平面ABC=l,所以EF∥l,所以l∥BC.又BC?平面PBC,l?平面PBC,所以l∥平面PBC.(2)解存在.取AC的中點D,連接PD.因為△PAC是邊長為1的正三角形,所以AD=12,PD=由題可得AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC,所以△ABC的面積為12AC·BC=12×1×2設點P到平面ABC的距離為h,則13×h=36,所以所以PD⊥平面ABC.取AB的中點M,連接DM,則DM∥BC,所以DM⊥AC.又AC,DM?平面ABC,所以PD,AC,DM兩兩垂直.以點D為坐標原點,分別以DA,DM,DP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A12,0,0,P0,0,32,E-14,0,34,F-14,1,34,所以AE=-34,0,34,EF=(0,1,0).設Q12,t,0,則AQ=(0,t,0),PQ=12,t,-32.設平面AEF的一個法向量為n=(x,y,z),則AE取z=3,則x=1,y=0,所以平面AEF的一個法向量為n=(1,0,3),所以cos<n,PQ>=n·PQ|所以sinα=|cos<PQ,n>|=1又cos<PQ,EF>=所以cosβ=|cos<PQ,EF因為α+β=π2,所以sinα=cosβ,即121+t當t=12時,AQ=0,12,0,所以AQ=|AQ|=12當t=-12時,AQ=0,-12,0,所以AQ=|AQ|=1綜上所述,這樣的點Q存在,且有AQ=1專題突破練(分值:102分)學生用書P185主干知識達標練1.(2023北京,5)(2x-1x)A.-80 B.-40 C.40 D.80答案D解析(2x-1x)5的展開式的通項為Tk+1=C5k(2x)5-k-1xk=(-1)k,25-kC5kx5-2k,令5-2k=1,得k=2,所以(2x-1x)5的展開式中含2.(2024山東聊城模擬)三名男同學和兩名女同學隨機站成一列,則兩名女同學相鄰的概率是()A.16 B.25 C答案B解析五名同學排成一列的排法有A55=120(種),其中兩名女同學相鄰的排法有A22A44=48(3.(2024廣東湛江二模)已知(1-2x)9=a0+a1x+…+a9x9,則a0+∑i=29ai=A.-2 B.-19 C.15 D.17答案D解析令x=1,得a0+a1+…+a9=(1-2)9=-1.(1-2x)9的展開式的通項為Tk+1=C9k(-2x)k=(-1)kC9k2kxk(k=0,1,…,9),所以a1=(-1)1×C91×2=-18,所以a0+∑i=29ai=-14.(2024遼寧沈陽二模)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化,每一“重卦”由6個爻組成,爻分為陽爻“”和陰爻“”,如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,記事件A=“取出的重卦中至少有1個陰爻”,事件B=“取出的重卦中至少有3個陽爻”,則P(B|A)=()A.516 B.1132 C答案C解析P(A)=26-126=6364,事件AB=“取出的重卦中有3陽3陰或4陽2陰或5陽1陰”,則P(AB)=C63+5.有5名志愿者參加社區服務,共服務星期六、星期日兩天,每天從中任選2人參加服務,則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為()A.120 B.60 C.40 D.30答案B解析(方法一)先在5名志愿者中安排1名在這兩天都參加社區服務,有5種安排方法,再在星期六、星期日,每天從剩下的4名志愿者中安排1名不同的志愿者參加社區服務,有4×3=12(種)安排方法.由分步乘法計數原理得恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有5×12=60(種).(方法二)在5名志愿者中安排2名在星期六參加社區服務,有C52=10(種)安排方法.再從星期六參加社區服務的2名志愿者中安排1名及從剩下的3名志愿者中安排1名在星期日參加社區服務,有2×3=6(種)安排方法.由分步乘法計數原理得恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有10×6=60(種(方法三)從5名志愿者中,在星期六、星期日兩天各安排2名參加社區服務,有C52×C52=100(種)安排方法,星期六、星期日兩天的志愿者全不相同的安排方法有C52×C32=30(種),全相同的安排方法有C52=10(種),所以恰有16.(多選題)(2024河北衡水模擬)對于(x-1A.常數項是15B.各項系數的和是64C.第4項的二項式系數最大D.奇數項的二項式系數的和是32答案ACD解析x-12x6的展開式的通項為Tk+1=C6k·(x)6-k(-12x)k=C6令x=1,得1-126=164,所以各項系數的和是164,故第4項的二項式系數最大,故C正確;奇數項的二項式系數的和為12×26=32,故D故選ACD.7.(多選題)某班星期一上午要安排語文、數學、英語、物理4節課,且該天上午總共4節課,下列結論正確的是()A.若數學課不安排在第一節,則有18種不同的安排方法B.若語文課和數學課必須相鄰,且語文課排在數學課前面,則有6種不同的安排方法C.若語文課和數學課不能相鄰,則有12種不同的安排方法D.若語文課、數學課、英語課按從前到后的順序安排,則有3種不同的安排方法答案ABC解析對于A,先安排數學課,有3種排法,再安排其他3節課,有A33種排法,故總共有3A33=18(種)排法,故A正確;對于B,采用捆綁法,有A33=6(種)排法,故B正確;對于C,先排英語課和物理課,有A22種排法,再采用插空法排語文課和數學課,有A32種排法,故總共有A22A32=12(種)排法,故C正確;對于D,4節課共有A44種排法,語文課、數學課、英語課的排列順序共有A8.(5分)(2024甘肅定西一模)已知某廠甲、乙兩車間生產同一批衣架,且甲、乙兩車間的產量分別占全廠產量的60%,40%,甲、乙車間的優品率分別為95%,90%.現從該廠這批產品中任取一件,則取到優品的概率為.(用百分數表示)

答案93%解析從該廠這批產品中任取一件,設A1=“取到的產品由甲車間生產”,A2=“取到的產品由乙車間生產”,B=“取到的產品為優品”.由題可得P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.95,P(B|A2)=0.9,故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%.9.(5分)(2023新高考Ⅰ,13)某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課,學生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有種(用數字作答).

答案64解析(方法一直接法)若選2門課,只需體育類和藝術類各選1門,有C41×C4若選3門課,則需體育類選1門、藝術類選2門,或體育類選2門、藝術類選1門,有C41×C42+C42×C4(方法二間接法)由題意可知,從8門課中選擇2門或者3門共有C82+C83=84(種)不同的選課方案,只選擇體育類或藝術類的選課方案有C21C42+C2關鍵能力提升練10.(2024山東臨沂一模)將1到30這30個正整數分成甲、乙兩組,每組各15個數,使得甲組的中位數比乙組的中位數小2,則不同的分組方法數是()A.2(C137C.2C146C答案B解析因為甲組、乙組均為15個數,所以其中位數也均為從小到大排列的第8個數,即各組小于中位數的有7個數,大于中位數的也有7個數.因為甲組的中位數比乙組的中位數小2,所以甲組的中位數和乙組的中位數中間有1個數,所以小于甲組的中位數的數至少有7×2-1=13(個),至多有7×2=14(個),所以甲組的中位數為14或15.若甲組的中位數為14,則乙組的中位數為16,15一定在乙組,此時從1~13中選7個數放到甲組,剩下的6個數放到乙組,再從17~30中選7個數放到甲組,剩下的7個數放到乙組,此時有C137若甲組的中位數為15,則乙組的中位數為17,16一定在甲組,此時從1~14中選7個數放到甲組,剩下的7個數放到乙組,再從18~30中選6個數放到甲組,剩下的7個數放到乙組,此時有C147綜上可得不同的分組方法數是C137C147+11.(多選題)(2024廣東廣州一模)甲箱中有3個紅球和2個白球,乙箱中有2個紅球和2個白球(兩箱中的球除顏色外沒有其他區別),先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱,分別用事件A1和A2表示從甲箱中取出的球是紅球和白球;再從乙箱中隨機取出兩球,用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球,則()A.P(A1)=35B.P(B)=11C.P(B|A1)=950D.P(A2|B)=2答案ABD解析依題意可得P(A1)=35,P(A2)=若從甲箱中取出紅球,則乙箱中有3個紅球和2個白球,所以P(B|A1)=C3若從甲箱中取出白球,則乙箱中有2個紅球和3個白球,所以P(B|A2)=C22C52=110,所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=P(A2|B)=P(A2B)故選ABD.12.(2024山東濟南一模)某公司現有員工120人,在榮獲“優秀員工”稱號的85人中,有75人是高級工程師,既沒有榮獲“優秀員工”稱號又不是高級工程師的員工共有14人,公司將隨機選擇一名員工接受電視新聞節目的采訪,被選中的員工是高級工程師的概率為()A.38 B.1724 C答案C解析由題意得,試驗的樣本空間Ω的樣本點總數為120,即n(Ω)=120.每個樣本點都是等可能的,所以這是一個古典概型.設事件A=“被選中的員工是高級工程師”,則n(A)=120+75-85-14=96,所以所求概率為P=n(A)13.(多選題)(2024山東日照一模)從標有1,2,3,…,8的8張卡片中有放回地抽取兩次,每次抽取一張,依次得到數字a,b,記點A(a,b),B(1,-1),O(0,0),則()A.∠AOB是銳角的概率為7B.∠ABO是直角的概率為1C.△AOB是銳角三角形的概率為7D.△AOB的面積不大于5的概率為43答案ACD解析由題可知點A位于第一象限.用圖表表示點A的坐標,如圖.ab123456781(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)(1,8)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)(3,8)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(5,7)(5,8)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(6,7)(6,8)7(7,1)(7,2)(7,3)(7,4)(7,5)(7,6)(7,7)(7,8)8(8,1)(8,2)(8,3)(8,4)(8,5)(8,6)(8,7)(8,8)可以得到,試驗的樣本空間包含的樣本點的個數為n(Ω)=C81C81=對于A,如圖,設直線l過點O,且與OB垂直,因為kOB=-1,所以l:y=x,所以當a<b時,∠AOB是銳角.設A=“∠AOB是銳角”,則n(A)=28,所以P(A)=n(A)n(對于B,如圖,設直線m過點B,且與OB垂直,所以l:y+1=x-1,即l:y=x-2,所以當b=a-2時,∠ABO是直角.設B=“∠ABO是直角”,則n(B)=6,所以P(B)=n(B)n(對于C,如圖,若△AOB為銳角三角形,則點A位于直線l和m之間,由題易知點A位于直線y=x-1上,所以當b=a-1時,△AOB為銳角三角形.設C=“△AOB為銳角三角形”,則n(C)=7,所以P(C)=n(C)n(對于D,如圖,|OB|=2,直線OB:y=-x,即x+y=0.設直線n:y=-x+c,即x+y-c=0,c>0,直線OB與直線n的距離為d,則d=|c若△AOB的面積為5,則12|OB|d=5,即22·22c=5,解得c=10,即n:y=-x+10,所以當b≤-a+10,即a+b≤10時,設D=“△AOB的面積不大于5”,則n(D)=43,所以P(D)=n(D)n(Ω)=14.(多選題)(2024山東濟南一模)下列等式中正確的是()A.∑k=18C8C.∑k=28k-1答案BCD解析對于A,因為(1+x)8=C80+C81x+C82x2+…+C88x8,令x=1,得28=1+C81+C82+…+C對于B,因為Cn2+Cn3=Cn+13,所以∑k=28Ck2=C22對于C,因為1(所以∑k=28k-1k!=∑k=281(k對于D,(1+x)16=(1+x)8(1+x)8,對于(1+x)16的展開式,其含有x8的項的系數為C168,對于(1+x)8(1+x)8的展開式,要得到含有x8的項的系數,須從第一個式子的展開式中取出含xk(k=0,1,…,8)的項,再從第二個式子的展開式中取出含x8-k的項,它們對應的系數相乘后求和,得∑k=08C8kC815.(5分)(2024廣東佛山模擬)已知a=1+C2012+C20222+C20323+…+C20答案1解析a=1+C2012+C20222+C20323+…+C2020220=(1+2)20=320=910=(10-1)10=C1001010-C101109+…+C108102-C10910+C1010=故a除以10所得的余數為1.16.(5分)(2024河北邢臺模擬)將1,2,3,…,9這9個數填入如圖所示的格子中(要求每個數都要填入,每個格子中只能填一個數),記第1行中最大的數為a,第2行中最大的數為b,第3行中最大的數為c,則a<b<c的填法共有種.

答案60480解析由題可知,c=9,c可選的位置有3個,第3行其余2個位置任取2個數,共有C31A82種情況;第2行,取剩下6個數中最大的數為b,可選的位置有3個,其余2個位置任取2個數,共有C31A52種情況;第1行,剩下3個數任意排列,則有A33核心素養創新練17.(17分)(2024江蘇蘇州模擬)在一個抽獎游戲中,主持人從編號為1,2,3,4的四個外觀相同的空箱子中隨機選擇一個,放入一件獎品,再將四個箱子關閉.主持人知道獎品在哪個箱子里.游戲規則是主持人請抽獎人在這四個箱子中選擇一個,若獎品在此箱子里,則獎品由獲獎人獲得.現有抽獎人甲選擇了2號箱,在打開2號箱之前,主持人先打開了另外三個箱子中的一個空箱子.按游戲規則,主持人將隨機打開甲的選擇之外的一個空箱子.(1)計算主持人打開4號箱的概率;(2)當主持人打開4號箱后,現在給抽獎人甲一次重新選擇的機會,請問他是堅持選2號箱,還是改選1號或3號箱?(以獲得獎品的概率最大為決策依據)解(1)設Ai=“i號箱里有獎品”(i=1,2,3,4),B=“主持人打開4號箱”,則Ω=A1∪A2∪A3∪A4,且A1,A2,A3,A4兩兩互斥.由題意可知,P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=14,P(B|A1)=12,P(B|A2)=13,P(B|A3)=12,P(B|A4)=0.由全概率公式,得P(B)=∑i=14P(Ai)P(B|Ai)(2)在主持人打開4號箱的條件下,1號箱、2號箱、3號箱里有獎品的條件概率分別為P(A1|B)=P(P(A2|B)=P(P(A3|B)=P(所以甲應該改選1號或3號箱.專題突破練(分值:58分)學生用書P187主干知識達標練1.(多選題)某學校共有2000名男生,為了解這部分學生的身體發育情況,學校抽查了其中100名男生的體重情況.根據所得樣本數據繪制的頻率分布直方圖如圖所示,則()A.樣本數據的眾數的估計值為67.5B.樣本數據的80%分位數的估計值為72.5C.樣本數據的平均數的估計值為66D.該校男生中低于60kg的人數大約為300答案ABD解析對于A,在頻率分布直方圖中,體重在區間[65,70)內的學生最多,所以樣本數據的眾數的估計值為67.5,故A正確;對于B,因為(0.03+0.05+0.06)×5=0.7,0.7+0.04×5=0.9,所以80%分位數落在區間[70,75)內.設80%分位數為x,則0.7+0.04(x-70)=0.8,解得x=72.5,所以樣本數據的80%分位數的估計值為72.5,故B正確;對于C,樣本數據的平均數的估計值為5×57.5×0.03+62.5×0.05+67.5×0.06+72.5×0.04+77.5×0.02=66.75,故C錯誤;對于D,被抽到的100名男生中體重低于60kg的頻率為0.03×5=0.15,故可估計該校男生體重低于60kg的概率為0.15,所以該校男生中低于60kg的人數大約為2000×0.15=300,故D正確.故選ABD.2.(多選題)(2024甘肅隴南一模)某廠近幾年陸續購買了幾臺A型機床,該型機床已投入生產的時間x(單位:年)與當年所需要支出的維修費用y(單位:萬元)有如下統計資料:x/年23456y/萬元2.23.85.56.57根據表中的數據可得到經驗回歸方程為y=1.23x+a^,則(A.a^=0B.y與x的樣本相關系數r>0C.表中維修費用的第60百分位數為6D.該型機床已投入生產的時間為10年時,當年所需要支出的維修費用一定是12.38萬元答案ABC解析根據表中的數據可得x=4,y=2.2+3.8+5.5+6.5+75=5,所以經驗回歸直線過點(4,5).將(4,5)代入經驗回歸方程y=由表中數據可得y隨著x增大而增大,x與y正相關,所以相關系數r>0,故B正確;維修費用從小到大依次為2.2,3.8,5.5,6.5,7,因為5×60%=3,所以第60百分位數為5.5+6.52故選ABC.3.(多選題)(2024山東德州模擬)進入冬季,哈爾濱旅游火爆全網,下圖是一周內哈爾濱冰雪大世界和中央大街日旅游人數的折線圖,則()A.中央大街日旅游人數的極差是1.2萬B.冰雪大世界日旅游人數的中位數是2.3萬C.冰雪大世界日旅游人數的平均數比中央大街大D.冰雪大世界日旅游人數的方差比中央大街大答案BC解析中央大街日旅游人數的最大值為2.8萬,最小值為0.9萬,所以極差為1.9萬,故A錯誤;冰雪大世界日旅游人數由小到大依次為1.7,1.8,1.9,2.3,2.4,2.6,2.9,所以其中位數為2.3,故B正確;冰雪大世界日旅游人數的平均值為1.7+1.中央大街日旅游人數的平均值為2.8+2.8+2.4+2.7+1.1+0.冰雪大世界日旅游人數的方差為1.72+1.82+1.92+2.32+2中央大街日旅游人數的方差為2.82+2.82+2.故冰雪大世界日旅游人數的方差比中央大街小,故D錯誤.故選BC.4.(17分)(2023全國乙,理17)某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應,進行10次配對試驗,每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品,隨機地選其中一個用甲工藝處理,另一個用乙工藝處理,測量處理后的橡膠產品的伸縮率,甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為xi,yi(i=1,2,…,10),試驗結果如下:試驗序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536記zi=xi-yi(i=1,2,…,10),記z1,z2,…,z10的樣本平均數為z,樣本方差為s2.(1)求z,s2;(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高如果z≥2s210,則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高,否則不認為有顯著提高解(1)∵zi=xi-yi,∴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12,∴z=110×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,∴s2=110×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=110×(4+25+9+361+16+0+64(2)∵2s210=26.1<11,∴可判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高.關鍵能力提升練5.(多選題)(2024廣東汕頭一模)某次考試后,為分析學生的學習情況,某校從某年級中隨機抽取了100名學生的成績,整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析學生的成績分布情況,計算得到這100名學生中,成績位于[80,90)內的學生成績的方差為12