2024-2025學年湖南省長沙市高二上學期9月月考數學學情檢測試題選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1．已知復數滿足，則（

）A． B． C． D．2.圖為某地2014年至2023年的糧食年產量折線圖，則下列說法不正確的是（）A.這10年糧食年產量的極差為15B.這10年糧食年產量的平均數為31C.前5年的糧食年產量的方差大于后5年糧食年產量的方差D.這10年糧食年產量的中位數為293．正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．4．已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．向量是空間的一個單位正交基底，向量在基底，，下的坐標為，則在基底的坐標為（

）A． B． C． D．6.某商場開展20周年店慶購物抽獎活動（100%中獎），凡購物滿500元的顧客均可參加該活動，活動方式是在電腦上設置一個包含1，2，3，4，5，6的6個數字編號的滾動盤，隨機按下啟動鍵后，滾動盤上的數字開始滾動，當停止時滾動盤上出現一個數字，若該數字是大于5的數，則獲得一等獎，獎金為150元；若該數字是小于4的奇數，則獲得二等獎，獎金為100元；若該數字出現其它情況，則獲得三等獎，獎金為50元.現某顧客依次操作兩次，則該顧客獎金之和為200元的概率為（）A. B. C. D.7.在銳角中，角A，B，C的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．在三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A．8π B．16π C．26π D．32π二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在平面直角坐標系中，下列說法不正確的是（）A．任意一條直線都有傾斜角和斜率B．直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大C．若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為D．與坐標軸垂直的直線的傾斜角是或10.一個不透明的盒子中裝有大小和質地都相同的編號分別為1，2，3，4的4個小球，從中任意摸出兩個球．設事件“摸出的兩個球的編號之和小于5”，事件“摸出的兩個球的編號都大于2”，事件“摸出的兩個球中有編號為3的球”，則（

）A．事件與事件是互斥事件 B．事件與事件是對立事件C．事件與事件是相互獨立事件 D．事件與事件是互斥事件11.如圖，在直三棱柱中，已知為的中點，過的截面與棱分別交于點，則下列說法正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．線段長度的取值范圍是C．當點為中點時，截面的周長為D．存在點，使得三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在平行六面體中，，，，則．13.已知，，三點，則到直線的距離為.14.如圖，已知為等邊三角形，點G是的重心.過點G的直線l與線段AB交于點D，與線段AC交于點.設，，且設的周長為，的周長為，設，記，則的值域為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．為了選拔培養有志于服務國家重大戰略需求且綜合素質優秀或基礎學科拔尖的學生，教育部啟動了“強基計劃”的招生改革工作.某校強基招生面試有兩道題，兩道題都答對者才能通過強基招生面試.假設兩題作答相互獨立，現有甲?乙?丙三名學生通過考核進入面試環節，他們答對第一題的概率分別是，答對第二題的概率分別是.(1)求甲?乙兩位考生中有且只有一位考生通過強基招生面試的概率；(2)求甲?乙?丙三人中至少有一人通過強基招生面試的概率.16.已知的內角所對的邊分別為，且（1）求角A；（2）若為邊上一點，為的平分線，且，求的面積.17．如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，為的中點.(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.18．對800名參加競賽選拔學生的成績作統計（），將數據分成五組，從左到右依次記為50,60，60,70，，80,90，90,100，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據頻率分布直方圖估計這800名學生成績的眾數和平均數（求平均數時同一組數據用該組區間的中點值作代表）；(2)現從以上各組中采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取40人.若分數在區間的學生實際成績的平均數與方差分別為78分和，第三組的學生實際成績的平均數與方差分別為72分和1，求第四組80,90的學生實際成績的平均數與方差.19．在空間直角坐標系中，己知向量，點.若直線以為方向向量且經過點，則直線的標準式方程可表示為；若平面以為法向量且經過點，則平面的點法式方程表示為.（1）已知直線的標準式方程為，平面的點法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；（2）已知平面的點法式方程可表示為，平面外一點，點到平面的距離；（3）（i）若集合，記集合中所有點構成的幾何體為，求幾何體的體積；（ii）若集合.記集合中所有點構成的幾何體為，求幾何體相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角的大小.數學答案9.ABC10.ACDABCC9.ABC10.D11.AC12.213.14.15．(1)(2)【詳解】（1）甲通過考核進入面試環節，答對第一題的概率分別是，答對第二題的概率分別是，甲考生通過某校強基招生面試的概率為.乙考生通過某校強基招生面試的概率為，甲?乙兩位考生中有且只有一位考生通過強基招生面試的概率為：.（2）丙考生通過某校強基招生面試的概率為，甲?乙?丙三人中至少有一人通過強基招生面試的概率為.16.（1）（2）【小問1詳解】因，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，又因為，則，可得，所以.【小問2詳解】因為為的平分線，則，因為，則，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.17.(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點，連接，因為為等邊三角形，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又平面，所以平面，因為平面，所以，因為是的中點，所以，因為平面，且，所以平面.（2）因為，由（1）知四邊形為矩形，則，又平面，所以平面，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，取平面的法向量為，設平面的法向量為，則，即，令，則，所以.，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．(1)眾數為；平均數為(2)平均數為；方差為【詳解】（1）解：根據頻率分布直方圖的眾數的定義，可得這800名學生成績的眾數為，這800名學生成績的的平均數為：（分）.（2）解：根據題意，采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取40人，各段抽取的人生分別為：12人，16人，6人，4人和2人，其中分數在區間的學生為10人，分別為，其中平均成績與方差分別為，則，設第三組學生實際成績分別為，其平均數和方差為，則，設第四組學生實際成績分別為，其平均數和方差為，由，可得，由，可得，解得，所以第四組的學生實際成績的平均數為與方差為.19.（1）（2）（3）（i）；（ii）（1）由題可知，直線的一個方向向量坐標為，平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，則有，所以，直線與平面所成角的余弦值為.（2）由題可知平面的法向量為，且過點，因為,所以，所以點到平面的距離為.（3）（i）建