各種矢量還有它們不同的線性，例如：位置、速度、力、電磁勢

等等，是1-線的。動量矩、力矩、電磁場強度等等，是2-線的，2-線矢又是兩個不同1-線矢的叉乘積。而3個不同1-線矢的叉乘積，就是3-線矢。兩個不同

2-線矢的叉乘積，就是22-線矢。…等等，通稱為：各種多線矢。

在3維空間，1-線矢是3維的。2-線矢也是3維的，它可由與其正交的1-線矢表達，是贗1-線矢。3-線矢是1維的，已沒有方向性，是贗標量。22-線矢、22，22-線矢、…等等，也都是3維的，也都可由與其正交的1-線矢表達，而都是贗1-線矢。222-線矢、22，22，22-線矢、…等等，也都是1維的，也都沒有方向性，也都是贗標量。因而所有的各種多線矢。都可由標量、贗標量與1-線矢、贗1-線矢表達，而不必定義其它的各種多線矢。但仍須注意標量、1-線矢與贗標量、贗1-線矢，在矢算中的差別

但是，要特別注意：在4維和大于4維的時空的各類多線矢，就與3維空間的多線矢有顯著的差別。在n維空間，

各1-線矢有n維。各m(m小于或等于n)

線矢的維數(shù)=從n個中取m個的組合數(shù)c(m,n)。

在4維時空，1-線矢有4維。

2-線矢的維數(shù)=從4維中取2個的組合數(shù)，即：有c(2,4)=6維。22-線矢的維數(shù)=從2-線矢的6維中取2個的組合數(shù)，即：有c(2,c(2,4))=c(2,6)=15維。還有22,1-線矢，它的維數(shù)=從3維中取2個的組合數(shù)個中取2個的組合數(shù)再乘以4，即：有c(2,c(2,4-1))

乘4=c(2,3)

乘4==3乘4=12維，…等等,

它們分別有各自確定的，不同的，維數(shù)。

這就還具體表明：4維時空的各類多線矢，均具有不同的、確定的維數(shù)，而且，高次、線的多線矢確實可以具有遠大于4維的維數(shù)。可以明確、具體地回答：4維時空中確實可以存在遠大于4維的各類多線矢。在3維空間，各類多線矢都可表達為標量、贗標量、1-線矢或贗1-線矢。其中1-線矢或贗1-線矢的“正方向”均可僅由各1-線軸矢的方向，以及其組成的軸矢，按123順序作右手螺旋確定。

在4維時空，各類多線矢的正方向，就須按：1-線軸矢的0123順序，各“多線軸矢”中以“含0序者”在前；含0序多者，更在前；其它，按123順序作右手螺旋確定。例如：1-線矢：0,1,2,3,2-線矢：01,02,03,23,31,12,3-線矢：023,031,012,123,4-線矢：0123,

22-線矢：02,03;03,01;01,02;01,23;01,31;01,12;02,23;02,31;02,12;03,23;03,31;03,121;23,31;31,12;12,23;

22,1-線矢：(02,03)1;(03,01)2;(01,02)3;(23,31)0;(31,12)0;(12,23)0;(02,23)1;(03,23)1;(03,31)2;(01,31)2;(01,12)3;(02,12)3;…等等。

“足標排列順序”是P的多線軸矢[軸矢p]=(-1)^n(p)[軸矢p+]。其中[軸矢p+]是“足標排列順序”為如上“正序”的相應多線軸矢；n(p)是“足標排列順序”由P變?yōu)槿缟舷鄳罢颉表毥?jīng)交換相鄰順序的次數(shù)。

與通常各相應維數(shù)矢量的完全一樣，都是由各同類多線矢，按各相同分量相加減的“矢量和”。

但是，要特別注意：4維和大于4維的時空的各類多線矢都各有各自不同的相應維數(shù)。因而，就與3維空間的多線矢的加減法也有顯著的差別。定義任意兩個多線矢[矢(A)]和[矢(B)]間的夾角為：[角(A)(B)]。

任意兩個1線矢[矢A]和[矢B]間的夾角，[角AB]，都與通常的矢量間的夾角一樣定義。在任何兩個不完全相重合的多線矢[矢(A)]和[矢(B)]的內(nèi)部，都至少各有一個與相重合的子空間彼此線性無關(guān)的1線矢。因而，可分別在[矢(A)]和[矢(B)]內(nèi)各選一個與相重合的子空間彼此線性無關(guān)、且彼此之間夾角最小的1線矢，而由這兩個1線矢間的夾角定義[角(A)(B)]；如果[矢(A)]和[矢(B)]完全相重合，則分別在其間各選的一個夾角最小的1線矢，必然是同一個1線矢，即：其間的夾角[角(A)(B)]必=0。

任意兩個1線矢[矢A]和[矢B]間的夾角，[角AB]，都與通常的矢量間的夾角一樣定義。

在任何兩個不完全相重合的多線矢[矢(A)]和[矢(B)]的內(nèi)部，都至少各有一個與相重合的子空間彼此線性無關(guān)的1線矢。因而，可分別在[矢(A)]和[矢(B)]內(nèi)各選一個與相重合的子空間彼此線性無關(guān)、且彼此之間夾角最小的1線矢，而由這兩個1線矢間的夾角定義[角(A)(B)]；如果[矢(A)]和[矢(B)]完全相重合，則分別在其間各選的一個夾角最小的1線矢，必然是同一個1線矢，即：其間的夾角[角(A)(B)]必=0。

這樣，就定義了各種情況下，各類多線矢間的夾角。并有：當[矢(A)]和[矢(B)]完全重合：[角(A)(B)]=0；sin[角(A)(B)]=0;cos[角(A)(B)]=1,當[矢(A)]和[矢(B)]彼此正交：[角(A)(B)]=/2；sin[角(A)(B)]=1;cos[角(A)(B)]=0。例如：

若多線矢[矢(A)]=2線矢[矢AB]、[矢(B)]=1線矢[矢C]，其間的夾角為：[角(AB)C]。當[矢AB]和[矢C]完全重合：[角(AB)C]=0。當[矢AB]和[矢C]彼此正交：[角(AB)C]=派/2。若多線矢[矢(A)]=2線矢[矢AB]、[矢(B)]=2線矢[矢CD]，其間的夾角為：[角(AB)(CD)]。當[矢AB]和[矢CD]完全重合：[角(AB)(CD)]=0。當[矢AB]和[矢CD]

彼此正交：[角(AB)(CD)]=派/2，…，等等。若多線矢[矢(A)]=22線矢[矢AB,BC]、[矢(B)]=1線矢[矢D]，其間的夾角為：[角(AB,BC)D]。當[矢AB,BC]和[矢D]完全重合：[角(AB,BC)D]=0。當[矢AB,BC]和[矢D]彼此正交：[角(AB,BC)D]=派/2，…，等等。類似地，還可定義任意更多個多線矢其間的夾角。但是，4維時空中，僅有4個彼此線性無關(guān)的1線軸矢，因而，也僅有6個不同的兩個1線軸矢間的夾角；僅有6個彼此線性無關(guān)的2線軸矢，因而，僅有15個不同的兩個2線軸矢間的夾角；以及相應的各類多線矢間相應數(shù)目的不同夾角。(1)任意兩個多線矢[矢(A)](=(A)[單位矢(A)])和[矢(B)](=(B)[單位矢(B)])的叉乘積是完全含有[矢(A)]和[矢(B)]為其子空間的高次、線多線矢[矢(A)(B)]。其方向為：單位叉乘多線矢[單位矢(A)(B)]=[單位矢(A)])叉乘[單位矢(B)])/sin[角(A)(B)]。其模長為：模([矢(A)]叉乘[矢(B)])=(A)(B)sin[角(A)(B)]，即：[矢(A)]叉乘[矢(B)]=(A)(B)sin[角(A)(B)][單位矢(A)(B)]。

當[矢(A)]和[矢(B)]中有1個的全部子空間與另1個的部分或全部子空間完全重合時，即：sin[角(A)(B)]=0；[單位矢(A)(B)]無意義；[矢(A)]叉乘[矢(B)]=0將此定義用于3維空間的1線矢，其結(jié)果與通常3維空間矢算的數(shù)值相同；但方向不同。后者的方向是定義為：與[矢(A)]和[矢(B)]正交的另1個線矢。但是，在4維和更多維時空的1線矢，就因它們的叉乘積根本不是這樣的1線矢，而只能采用本文這樣的定義。

(2)任意兩個多線矢[矢(A)](=(A)[單位矢(A)])和[矢(B)](=(B)[單位矢(B)])的點乘積是[矢(A)]點乘[矢(B)]。它包含[矢(A)]和[矢(B)]中，消去兩者中彼此完全相同的子空間后，剩余的全部其它子空間。其方向為：相應的“單位點乘多線矢”[單位矢(A)點乘(B)]=[單位矢(A)]點乘[單位矢(B)]/cos[角(A)(B)]。其“模長”為：模([矢(A)]點乘[矢(B)])=(A)(B)cos[角(A)(B)]，即：[矢(A)]點乘[矢(B)]=(A)(B)cos[角(A)(B)][單位矢(A)點乘(B)]。當[矢(A)]和[矢(B)]沒有彼此完全相同的子空間，cos[角(A)(B)]=0；[單位矢(A)點乘(B)]無意義；[矢(A)]點乘[矢(B)]=0。當[矢(A)]中全部含有[矢(B)]，[矢(A)]點乘[矢(B)]是[矢(A)]中去掉[矢(B)]的全部子空間后，所剩余的部分。當[矢(A)]和[矢(B)]中僅有部分彼此完全相同的子空間，[矢(A)]點乘[矢(B)]是[矢(A)]和[矢(B)]中去掉那些彼此完全相同的子空間后，的剩余部分，而形成相應的“纖維叢矢”。時空可變系多線矢物理學的創(chuàng)建、作用與發(fā)展（12）4．4．4．4維時空各類多線基矢(單位軸矢)叉、點乘積的具體化（接（11））[基矢a]點乘[基矢b]=0(a不=b);=1(a=b),[基矢a]叉乘[基矢b]=0(a=b);=sin[角ab][基矢ab](a不=b),[基矢ab]點乘[基矢c]=0(c不=a或b);=-[基矢b](c=a);=[基矢a](c=b),[基矢ab]叉乘[基矢c]=sin[角ab,c][基矢abc](c不=a或b);=0(c=a或b),

…

…

…

[基矢ab]點乘[基矢cd]=0(cd不=ab);=1(cd=ab);=cos[角ab,bd][纖維叢矢a,d](c=b,a不=d);=-cos[角ab,ad][纖維叢矢b,d](c=a,b不=d);=-cos[角ab,bc][纖維叢矢a,c](d=b,a不=c);=cos[角ab,ac][纖維叢矢b,c](d=a,b不=c),[基矢ab]叉乘[基矢cd]=sin[角ab,cd][基矢ab,cd](cd不=ab);=0(cd=ab);[基矢ab]叉乘[基矢ac]=sin[角ab,ac][基矢ab,ac](c不=b);=0(c=b);[基矢ab]叉乘[基矢bc]=sin[角ab,bc][基矢ab,bc](c不=a);=0(c=a),…

…

…

[基矢ab,ac]點乘[基矢d]=0(d不=a,b,c);

=cos[角(ab,ac)a][纖維叢矢b,c](d=a);=cos[角(ab,ac)b][纖維叢矢a,ac](d=b);

=cos[角(ab,ac)c][纖維叢矢ab,a](d=c),[基矢ab,ac]叉乘[基矢d]=sin[角(ab,ac)d][基矢(ab,ac)d](d不=a,b,c);=0