專題07三角形的有關(guān)計(jì)算與證明

目錄

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

題型01三角形的三邊關(guān)系

題型02與三角形有關(guān)的線段的綜合問題

題型03三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合問題

題型04線段垂直平分線的性質(zhì)與判定

題型05角平分線的性質(zhì)與判定

題型06等腰三角形的性質(zhì)與判定

題型07等邊三角形的性質(zhì)與判定

題型08全等三角形的性質(zhì)與判定

題型09勾股定理、勾股定理定理逆定理與網(wǎng)格問題

題型10趙爽線圖

題型11利用勾股定理解決實(shí)際問題

題型12比例線段

題型13相似多邊形的性質(zhì)

題型14相似三角形的性質(zhì)和判定

題型15相似三角形的實(shí)際應(yīng)用

中考逆襲?高效集訓(xùn)

第1頁共92頁

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

題型01三角形的三邊關(guān)系

1.（2024?賀州一模）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.5,6,12B.4,4,8C.2,3,4D.2,3,5

【答案】C

【解析】解:4、5+6<12,長度是5、6、12的線段不能組成三角形，故A不符合題意；

B、4+4=8,長度是4、4、8的線段不能組成三角形，故B不符合題意；

C、2+3>4,長度是2、3、4的線段能組成三角形，故C符合題意：

D、2+3=5,長度是2、3、5的線段不能組成三角形，故。不符合題意.

故選：C.

2.（2024?天河區(qū)校級一模）現(xiàn)有3。〃，6cm,9的，10枷長的四根木棒，任取其中三根組成一個(gè)三角形,

那么可以組成的三角形的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】解:四條木棒的所有綱合:3,6,9和3,6,10和3,9,10和6,9,10；

只有3,9,10和6,9,10能組成三角形.

故選:B.

3.（2024?新華區(qū)一模）為估計(jì)池塘兩岸A、B間的距離，如圖，小明在池塘一側(cè)選取了一點(diǎn)O,測得OA

=16〃?，08=12機(jī)，那么的距離不可能是（）

【答案】。

【解析】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：16-12VA8Vl6+12,

即4VA8V28,

30m不可能.

故選：

第2頁共92頁

題型02與三角形有關(guān)的線段的綜合問題

1.（2023?豐潤區(qū)模擬）如圖，在AA8c中，Z1=Z2=Z3=Z4,則下列說法中，正確的是（）

A.是△A8E的中線B.AE是△48C的角平分線

C.AF是△ACE的高線D.AE是△D4F的中線

【答案】B

【解析】解：?.?N1=N2=N3=N4,

/.Z1+Z2=Z3+Z4,

即NB4E=NCAE,

???AE是△ABC的角平分線,

故選:B.

2.（2023?橋東區(qū)模擬）用一塊含30°角的透明直角三角板畫已知AABC的邊BC上的高，下列三角板的擺

C.D.

【答案】D

【解析】解：A，B,C都不是的邊BC上的高.

故選：D.

3.（2024?武漢模擬）如圖，將△A8C的邊AC沿4c邊上的高AO折疊到AE,E在邊BC上,若N6=56°,

N84￡=22°,則NC的度數(shù)為（）

第3頁共92頁

A

A.78°B.56°C.34°D.22°

【答案】A

【解析】解：:4。是△4AC的8C邊上的高，

.??NAOB=N4OC=90°,

???/84。=90°-N8=90°-56°=34°,

：.ZEAD=ZBAD-ZBAE=3e?22°=12°.

由折疊的性質(zhì)，可知：ZCAD=ZEAD=\2°,

AZC=900-ZCAD=90°-12°=78°.

故選：A.

4.(2024?沐陽縣校級模擬)已知：如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)。，E,尸分別為BC,A。，CE的中點(diǎn)，且

S"8c=4c〃P,則陰影部分的面積為1cm2.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解析】解：???。為8C中點(diǎn)，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，

S.\ABD=SMCD=X4=2(cm2)>

22

同理SABDE=S*CDE=X&BCE=LX2=1(cm2),

22

.*.5ABC￡=2(c/n2),

???尸為石。中點(diǎn)，

2

S^BEF=-isABCE=—X2=1(cni).

22

故答案為1.

5.(2023?鯉城區(qū)校級模擬)如圖，AD是△A8C的中線，48=8.AC=6.若△ACO的周長為16,則△ABQ

周長為18.

第4頁共92頁

A

【答案】18.

【解析】解：TAD是△48C的中線，

/.BD=DC,

???△4CO的周長為16,

：,AC+AD+CD=\f),

???AC=6,

AAD+CD=16-6=10,

：.AD+BD=\O,

?二△AB。周長為：A8+8D+AD=10+8=18,

故答案為：18.

題型03三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合問題

1.(2024?陽谷縣一模)如圖，在△4BC中，NABC=50°,N4CB=100°,點(diǎn)M是射線A8上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN〃BC交射線AC于點(diǎn)N,連結(jié)BN.若△8MN中有兩個(gè)角相等，則NA/NB的度數(shù)不可

能是()

A.25°B.30°C.50°D.65°

【答案】B

【解析】解：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)N在線段AC上時(shí)，如果MN=BM,

圖1

第5頁共92頁

則ZMNB=/MBN,

,:MN〃BC,

AZAMN=ZABC=50Q,

???NMNB=25°.

如圖2中，當(dāng)8M=BN時(shí)，/BNM=/BMN=50°,

當(dāng)時(shí)，ZRNM=1.(180°-50°)=65°,

2

綜上所述，選項(xiàng)8符合題意,

故選：B.

2.（2024?瑤海區(qū)一模）如圖，在AABC中，Zfi+ZC=110°,AM平分NBAC,交BC于點(diǎn)、M,MN//AB,

交AC于點(diǎn)N,則NAMN的大小是（）

【答案】B

【解析】解：VZB/1C+ZB+ZC=18O°,

???NR4C=180°-(N8+NC)=180°-110°=70°,

???AM平分/R4C,

?'-z^=yZBAC=35"?

,:MN〃AB,

第6頁共92頁

.?.N/U/N=N8AM=35",

故選：B.

3.(2024?天長市一模)如圖，分別過△ABC的頂點(diǎn)A,B作AD//BE.若NC4O=25°,NEBC=80°,

【答案】B

【解析】解：???AO〃8E,

???NAOC=/E8C=8（T,

VZCAD+ZADC+ZACB=\SQ°,ZCAD=25°,

???N4C8=180°-25°-80°=75°,

故選：B.

4.（2024?鳳陽縣一模〉將直角三角板〃用和直角三角板CO。按如圖方式擺放（直角頂點(diǎn)重合），已知NAOC

=45°,則NDfA的度數(shù)是（）

A.20°B.30°C.45°D.60°

【答案】。

【解析】解???/AOC=45°,ZC=45°,

ZAFD=ZCFO=9(r,

在中，

VZA=30°,NA尸E=9(T：

???NAEF=60°,

第7頁共92頁

：.NDEB=NAEF=60.

故選：D.

D

5.（2024?鹽城模擬）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則/a的大小為（）

【答案】B

【解析】解：由三角形的外角性質(zhì)可知：Za=30°+45°=75°,

故選：B.

題型04線段垂直平分線的性質(zhì)與判定

1.（2024?賀州一模）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)。為圓心，大于工AC的長為半徑作弧（弧所在

2

國的半徑都相等），兩弧相交于M,N兩點(diǎn)，直線MN分別與邊3C,AC相交于點(diǎn)。，E,連接AQ.若

AC=8,AQ=5,則的長為（）

【答案】。

【解析】解：由題意得：MN是4c的垂直平分線,

?"E=LC=4,DE1AC,

2

VDA=5,

第8頁共92頁

AD￡=VAD2-AE2=V52-42=3*

故選：D.

2.（2024?安徽一模）如圖，在△A8C中，QM、EN分別垂直平分AB和4G垂足為M,N.且分別交8c

于點(diǎn)。，E.若/D4E=20°,則/84C的度數(shù)為（）

【答案】A

【解析】解：???QM，EN分別垂直平分和AC,

:,DB=DA,EA=EC,

???/3=NOA3,ZC=ZEAC.

,：ZDAE=20°,/8+NC+N8AC=180°,

VZ5+Z5A￡>+ZC+ZE4C=180o-20°=160°,

??.2NR40+2NE4C=I60°,

???NB人O+NC4E=80°,

：,ZBAC=ZBAD+ZCAE+ZDAE=^+20°=100°.

故選:A.

3.（2024?雁塔區(qū)校級三模）如圖，在△/13c中，NAC8=90°,NA6C=67.5°,。為A3中點(diǎn)，且。E_L

,48交AC于點(diǎn)E,BC=2,則AC的長為（）

A.272B.4C.2+272D.4^2

【答案】C

【解析】解：如圖，連接4E,

第9頁共92頁

B

D

CEA

???NACB=90°,NA8C=67.5°,

AZA=180°-90°-67.5°=22.5°,

???。為/W中點(diǎn)，且。上_LA%交AC于點(diǎn)上，

???OE垂直平分AN,???XB=E4,

AZA=ZABE=22.5°,

AZI3EC=ZA+ZABE=45°,

???NC8E=180°-90°-45°=45°=NBEC,

:,BC=CE=2,

：,BE=^2BC=2^2=EA,

AC=CE+EA=2+2V2，

故選：C.

4.（2023?武安市二模）如圖，在AABC中,加平分NBAC,B/平分NABC,點(diǎn)。是AC、BC的垂直平分

線的交點(diǎn)，連接AO、BO,若/4OB=a,則乙4小的大小為（)

C.Aa+90°D.180°+la

22

【答案】B

【解析】解:連接CO并延長至。，

???點(diǎn)。是AC、8c的垂直平分線的交點(diǎn),

：.OA=OC,OB=OC,

：.ZOCA=ZOAC,NOCB=/OBC,

,：ZAOD是△AOC的一個(gè)外角，

???ZAOD=ZOCA1ZOAC=2^OCA,

第10頁共92頁

同理，NB0D=2N0CB,

???ZAOB=ZAOD+ZBOD=2ZOCA+2ZOCB=a,

：,ZOCA+ZOCB=—,AZACB=—,

22

???A/平分N8AC,8/平分NABC,

???N/AB=a/C4B,ZIBA=1ZCBA,

22

AZ/AB+Z7^A=A(ZCA^+ZCTA)=-i(1800-ZACB)=90°-—,

224

??.NAm=180°-(ZIAB+ZIBA)=90°+—,

故選：B.

5.（2023?越秀區(qū)校級二模）如圖，在AABC中，N8AC=80°,邊的垂直平分線交4B于點(diǎn)D,交.BC

于點(diǎn)E,AC邊的垂直平分線交4。于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G,連接AE4G.則/E4G的度數(shù)為（）

【答案】B

【解析】解：TAB邊的垂直平分線交A8于點(diǎn)。，AC邊的垂直平分線交AC于點(diǎn)F,

.\AG=CG,AE=BE,

???/C=NC4G,/B=NBAE,

.??N8AE+NCAG=NB+NC=I8O°-ZB/1C=100°,

：,ZEAG=ZBAE+ZCAG-ZBAC=1（X）!>-80°=20°,

故選：B.

6.（2024?宿豫區(qū)一模）如圖，已知囿48CQ.

（1）尺規(guī)作圖；作對角線AC的垂直平分線，交AD于點(diǎn)E,交于點(diǎn)尸；（不寫作法，保留作圖痕跡）

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（2）連接ARCE.求證：四邊形AEC廠是菱形.

（2）證明過程見解答.

【解析】（1）解：如圖，石尸即為所求,

：.AD//BC,

；?NEAO=NFCO,

???石尸垂直平分AC,

：.AO=CO,

YZAOE=ZCOFt

：.^AOE^ACOF（ASA）,

:.EO=FO,

???四邊形AECF是平行四邊形，

???四邊形AECf是菱形.

題型05角平分線的性質(zhì)與判定

1.（2024?米東區(qū)一模）如圖，在△A4C,ZC=90°,40平分N8AC交C8于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作

垂足恰好是邊/W的中點(diǎn)￡,若AQ=3a〃，則8E的長為（）

第12頁共92頁

E

CD'B

A.丁B.4cmC.3yl~2cirD.6cm

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解析】解：???DE_LAB,E為AB的中點(diǎn),

:?AD=BD,:?NB=NBAD,

???AQ平分NB4C,

：.ZCAD=ZBADt

：.ZB=ZCAD=ZBAD,

VZC=90°,

???NB+NBAD+NCAQ=180°-ZC=90°,

???NB=NC4O=30°,

VZC=90°,AD=3cm,

.?.。。=工。=皂〃?，

22

22

由勾股定理得：AC=VAD-CD=^32-(y)2=V3(cm),

/.AB=2AC=3y[3cin,

I3E=AE=X\B=^^-(cm),

22

故選：A.

2.：2023?興寧區(qū)校級模擬)如圖，在四邊形A8C。中，N8=90°,AC=\0,AB//CD,AC平分ND4B.AB

第13頁共92頁

【答案】。

【解析】解：過。點(diǎn)作于點(diǎn)E.

，：AB〃CD,

:.ZACD=ZBAC,

???AC平分/D48,

：.ZBAC=ZCAD,

???N4CO=NC4。，貝iJCO=AO=)，，即△4C。為等腰三角形，

則DF垂直平分AC,

：.AE=CE=XAC=5,ZAED=9(r,

2

*：ZBAC=ZCAD,N“=/HE￡)=90°,

???XABCsXAED,

.ACAB

??—9

ADAE

???101~_~~x,

y5

???尸里

X

???在AA/C中，ABCAC,

Ax<10,

故選：D.

3.(2024?天府新區(qū)模擬)如圖，在RtZ\48C中，NA=90°,ZAC/i=62°,按以下步驟作圖：(1)以點(diǎn)

B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交線段84,BC于點(diǎn)、M,N：(2)以點(diǎn)C為圓心，8M的長為半徑畫

弧，交線段C8于點(diǎn)。；(3)以點(diǎn)。為圓心，MN的長為半徑畫弧，與(2)中所畫的弧相交于點(diǎn)￡；(4)

第14頁共92頁

過點(diǎn)E作射線CE,與AB相交于點(diǎn)凡則NAPC=56°.

【解析】解：由作圖知：NBCF=NB,

???/A=90",NACB=62°,

???N3=900-NAC4=28°,

：?4BCF=28”，

/.ZAFC=ZB+ZBCF=56°.

故答案為：56.

4.（2024?倉山區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，ZC=90°,4。平分NCAB,CD=1,AB=4,則△48。

的面積是2.

【答案】2.

【解析】解：過點(diǎn)D作OEU8于點(diǎn)E

VZC=90°,4。平分NCAB,DE1AB,

：,DC=DE=\,

??Y3=4,

，=2XX44=2X1X4=2.

22

故答案為：2.

第15頁共92頁

D

5.（2024?吐魯番市一模）如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZA=30°,以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長為半徑畫

弧，分別交*4、于點(diǎn)M、N,再分別以M、N為圓心，大于L/N的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P.

2

作射線交AC于點(diǎn)。，則&CM：SMRD=1：2.

【答案】I：2.

【解析】解：過點(diǎn)。作。&L/18于點(diǎn)區(qū)

在△A8C中，ZC=90°,ZX=30°,

則4C=工從

2

由作圖可知：BP平分NABC,

VZC=90°,DELAB,

：.DC=DE,

Q為C?CD

.SACBD_j______=BC=1

SAABDyAB*DE&2

故答案為：1：2.

第16頁共92頁

6.（2024?雁塔區(qū)校級二模）已知：為△A8C中，N8AC=90°,N4=30",請你用尺規(guī)在□△ABC的邊

A3上求作一點(diǎn)M,使得點(diǎn)M到5c的距離等于AM.（保留信圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析.

【解析】解，如圖，點(diǎn)M即為所求,

理由：過點(diǎn)M作MN_L8C于點(diǎn)N,

由作圖知：CM平分NACB,

又NB4C=90°，

：,AM=MN,

卻點(diǎn)”到“C的距離等于40

題型06等腰三角形的性質(zhì)與判定

1.（2023?廣西模擬）如圖，。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CO平分NACB,8D_LCO于點(diǎn)O./A8D=NA,若BD

=1,8c=3,則AC的長為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】解：延長3。交AC于E,如圖，

平分NAC8,BD1CD,

第17頁共92頁

???△8C七為等腰三角形，

：,DE=BD=\,CE=CB=3,

;ZA=ZABD,

：?EA=EB=2,

：.AC=AE+CE=2+3=5.

故選：。.

2.12023?新城區(qū)校級三模）如圖，在△A4C中，4。平分N84C,BDA.AD,垂足為Q,過點(diǎn)。作。七〃AC,

交AB于E,若A8=5,則線段。￡的長為（）

A.2B.苴C.3D.工

22

【答案】B

【解析】解：平分N3AC,

：,ZBAD=ZCAD,

?：DE//AC,

：.ZCAD=ZADE,

；?NBAD=NADE,

：.AE=DE,

*：ADLDB,

：.ZADB=9Q°,

：,ZEAEHZABD=90°,NADE+NBDE=NADB=90°,

???ZAI3D=ZBDEt

；,DE=BE,

第18頁共92頁

*：AB=5,

???DE=BE=AE=^AB=2.5,

2

故選：B.

3.（2024?利津縣一模）如圖，在△ABC中，AB=10,AC=8,/ABC、NAC8的平分線相交于點(diǎn)。，MN

過點(diǎn)O,RMN〃BC,分別交AB、AC于點(diǎn)M、N.則△AM"的周長為18.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解析】解：???在△A3。中，乙43。、/月。3的平分線相交于點(diǎn)O,

???ZABO=ZOBC,

:?/MOB=/OBC,

：.NABO=NMOB,

???8M=OM,

同理CN=ON,

:.△AMN的周長是：AM+MMMN=4M+OM+ON+AN=4M+3M+CN+AN=A4+AC=10+8=18.

故答案為：18.

4.（2023?振興區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，CG平分NACB,過點(diǎn)A作AH_LCG交8C于點(diǎn)〃，且〃

是BC的中點(diǎn).若A〃=4,CG=6,則4B的長為匹.

—2—

2

【解析】解：作HK〃CG交4B于點(diǎn)K,

第19頁共92頁

KGCHKGNH

是BC的中點(diǎn),

,BH=CH,

?二BK=KG,

?1

??HK=^€G=3-

?：AHA.CG,

AZANC=ZHNC=ZANG=90°.

???CG平分/ACB,

???ZACN=ZHCN.

，：CN=CN,

在△4CN與△HCN中，

[ZACN=ZHCN

CN=CN，

lZANC=ZHNC

:.XACNqXHCN(ASA),

:.AN=HN,

?AG=KG,

?AG=KG=BG,

'HK//CG,

?/KHA=/ANG=90°,

?AK-VAH2+HK2-5-

?AG今

二?AB有

故答案為：工

2

題型07等邊三角形的性質(zhì)與判定

第20頁共92頁

1.12023?廬陽區(qū)模擬）如圖，在邊長為2的等邊三角形A8C中，D為邊BC上一點(diǎn),且80=工CQ.點(diǎn)E,

F分別在邊48,AC上，且/以小=90°,M為邊所的中點(diǎn)，連接CM交。尸于點(diǎn)N.若AB、則

CM的長為（）

A.導(dǎo)行B.3Mc.aD.V3

【答案】c

【解析】解：???等邊三角形邊長為2,BD=lcD,

.?.50=2,CD=—,

33

丁等邊三角形ABC中，。/〃AB,

/.ZFDC=Z5=60°,

VZ￡DF=90°,

/.ZBDE=30°,

:.DE工BE,

??./BED=90°,

VZB=60°,

：,/BDE=30°,

：.BE=^BD=^

23

AZ)￡=VBD2-BE2=2V^

o

如圖，連接DM,則Rt△。律中，DM=LEF=FM,

VZFDC=ZFCD=60o,

???△CQ”是等邊三角形，

:?CD=CF=*,

3

???CM垂直平分。F,

第21頁共92頁

AZDC/V=30°,DN=FN,

.一△CON中，QN=2,CN=aZl,

33

???M為E尸的中點(diǎn)，

.?.MN=~1QE=返，

26

JCM=CN+MN=返=-§2^.

366

故選：C.

2.（2022?開遠(yuǎn)市二模）△ABC是等邊二角形，點(diǎn)F在△A〃C內(nèi)，PA=4,將△出，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋特得到

C.2D4

【答案】A

【解析】解：???△ABC是等邊三角形，

：,AC=AB,NC48=60°,

??,將△MB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△PAC

.,.△CPiA^ABBA,

：.AP\=AP,ZCAP\=ZBAP,

：.ZCAB=ZCAP+ZBAP=ZCAP+ZCAP]=60°,

即/%Pi=60°,??.△APPi是等邊三角形，

：.P\P=PA=4f

故選：A.

3.（2024?泗縣一模》如圖，ZSABC是等邊三角形，點(diǎn)。是3C下方的一點(diǎn)，ZBDC=120°,BD=CD,點(diǎn)

第22頁共92頁

E和點(diǎn)尸分別是AC和A/3上一點(diǎn)，Z￡DF=60°.若△A4C的周長為12，則尸的周長為（)

A.5B.6C.8D.9

【答案】C

【解析】解：如圖，延長AC至點(diǎn)P,使CP=3￡連接尸。，

是等邊三角形，的周長為12.

AZABC=ZACB=60°,AB=AC=BC=4.

°：BD=CD,N8QC=120°

：?NDBC=NDCB=30°,

：,ZFBD=ZDCE=90°,

???NOCP=NO8尸=90°,

在△B。/7和△C。/中，

BD=CD

ZDBF=ZDCP-

BF=CP

:.△BDF9ACDP(SAS),

:.DF=DP,NBDF=NCDP.

*：ZBDC=\20°,ZEDF=60°,

第23頁共92頁

/.ZBDF+ZCDE=60°，

???NCQP+NCOE=60",

：,ZEDF=ZPDE=60a

在△￡>￡尸和△OPE中，

DF=DP

,NEDF=NPDE?

DE=DE

:.△DE0ADPF(SAS),

：.EF=EP,

EF=EC+CP=EC+BF,

/.AAEF^]^=AE+EF+AF'=AE+CE+BF+AF=AB+AC=S,

故選：C.

4.(2024?順德區(qū)一模〉如圖所示A、B、C為正方體的二個(gè)頂點(diǎn)，則的度數(shù)為60°

【解析】解：???A,8、。為正方體的三個(gè)頂點(diǎn)，

???A6,AC,8c是正方體一個(gè)面的對角線，

?*?AB=AC=BCt

???△48。是等邊三角形，

/.ZACB=60°,

故答案為：60°.

5.（2024?望城區(qū)一模）已知：如圖所示，邊長為6的等邊△ABC,以邊所在直線為x軸，過B點(diǎn)且垂

直于4C的直線為），軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則4點(diǎn)坐標(biāo)為（3,3幅_.

第24頁共92頁

【答案】見試題解答內(nèi)容

?，.AO=34

，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（3,3心,

故答案為：（3,3?）

6.（2023?和平區(qū)校級三模）如圖，△A8C和aBOE均為等邊三角形，邊長分別為12和8,點(diǎn)。在直線48

上運(yùn)動(dòng)，C\E在直線A6上力，分別連接CD,它們相交于點(diǎn)尸，連接6尸，則8尸的長—著百

【答案】得布或-^\巧?

【解析】解：當(dāng)。點(diǎn)在射線AB上時(shí)，連接MM

???△A8C和△8。￡均為等邊三角形，

???NA8C=NQ8E=6(r,BD=BE,AB=BC,

VZABC+ZD5￡+ZC5E=180°,

???NCBF=60°,

AZABC+ZCBE=ZDBE+ZCBE=\20°,即NA8E=NQBC=120°,

在△ABE和△C8。中，

'AB=BC

'NABE=NDBC，

BE=BD

r.^ABE^/XCBD(SAS),

第25頁共92頁

；?NEAB=NDCB,

在△A4M和△CEV中，

rZNCB=ZMAB

BC=BA，

ZNBC=ZMBA

:.叢ABMm叢CBN(ASA),

:?BM=BN,

VZEAB+ZABC+^AMB=ZDCB+ZCFM+ZCMF=180°,ZAMB=ZCMF,

：.ZCFM=ZABC=6()Q,

AZAFD=\20°,

：,ZCBE+ZAFD=\20a+60°=180°,

???點(diǎn)M,B,N,尸四點(diǎn)共圓，

.?.ZMF5=Z5W=1OV，

乙ZAFD=6

???ZCFB=NCFM+NM/B=120°,

AZCBD=ZCFB=120°,

?；NBCD=NFCB,

:.△BCDS^FCB,

CD：CB=BD：FB,

過C作CG_LAB于G,

*：AB=\2,

；.BG=1AB=6,CG=V3BG=6V3?

2

VBD=8,

ADG=6+8=14,

=7(6V3)2+142=4匹,

???CD=5/CG24€D2

:.4V19：12=8：BF,

解得BF=

當(dāng)。點(diǎn)在線段A4上時(shí)，分別過點(diǎn)C、尸作CP_LA3于點(diǎn)P,CQ_L44于點(diǎn)Q,

???△A3C和△8。￡為等邊三角形，4?=12,

???NACB=/ABC=/BAC=NBDE=60",

第26頁共92頁

：,DE//AC,BP=』AB=6,CP=V3BP=6V3?

2

:.AAFCSAEFD,

VAC=12,DE=8,

?CF二gC二12二3

''DP=DE=-8~=I，

??DF=—2,

CD5

VCPA.AB,CQ1AB,

:.FQ//CP,

:.ADEQSADCP,

.FQDF

**CP=CD,

卻卑上，

6V35

解得/。=營氏,

在△ABE和△CBO中，

fAB=CB

ZABE=ZCBD-

IBE=BD

:.XABE迫△CBD(SAS),

:?/BAE=NBCD,

：,ZFAC=ZFCA,

：.AF=CFf

在△AF8和△CF8中，

fAF=CF

AB=CB，

IBF=BF

:.叢AFBQ叢CFB(555),

???NAB”=NC8產(chǎn)=30°,

：,BF=2FQ=

綜上8尸的長為

故答案為:

第27頁共92頁

6.（2023?南山區(qū)模擬）如圖，等邊三角形A/3C邊長為2,點(diǎn)、D在BC邊上,且8OVCO,點(diǎn)七在A8邊上

且4E=3。，連接A。，CE交于點(diǎn)、F,在線段FC上截取以，連接3G,則線段4G的最小值是2

\1-3-2.

【答案】2V3-2.

【解析】解：如圖所示，連接取人C的中點(diǎn)M連接2M延長4Q到M,使得月W=H?,則△/GW

是等邊三角形，

ZACB=ZFCM,

:.NACF=N8CM,

?：CA=CB、CF=CM,

:.叢BHMgAGHF(SAS),

:.FH=MH,即點(diǎn)”為的中點(diǎn),

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?：XFMC是等邊三角形，

：?CHLMF,即NAHC=90”，

???點(diǎn)”在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

???當(dāng)8、”、N三點(diǎn)共線時(shí)，8H有最小值,

???△ABC是等邊三角形，N是AC的中點(diǎn)，

/.RN1.AC,CN=1AC=\,

2

??.硒=g，2一0/=近，

坡小=?-1.

,:BG=2BH=2近-2.

故答案為：273-2.

題型08全等三角形的性質(zhì)與判定

1.(2024?玄武區(qū)校級模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C(4,4),點(diǎn)8、A分別在x軸正半軸和,，軸正

【答案】A

【解析】解：過C作CM_Ly粕于M,CN_Lx軸于M

則NCMA=NCNB=90°,

VC(5,5),:?CN=CM=5,

?:/MON=NCNO=NCMO=90°,

工NMCN=360°-90°-90°-90°=90°,

???NACB=90°,

???/ACB=/MCN,

/.NACM=/BCN,

在aACM和△8CN中，

第29頁共92頁

fZCMA=ZCNB

CM=CN，

IZACM=ZBCN

:?△ACMWABCN(ASA),

???OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=4+4=8.

2.（2024?杭錦后旗模擬）如圖，直線/上有三個(gè)正方形a,b,c,若。,c的面積分別為6和8,則的面

積為（）

A.6B.8C.10D.14

【答案】D

【解析】解：???』從c都是正方形，

：.AC=CE,ZACE=90°；

VZACB+ZDCE=ZACB+ZBAC=90°,

:?/BAC=/DCE,

VZ/4BC=ZCED=90°,AC=CE,

:.△ACBWlXCED(AAS),

：.AB=CDtBC=DE；

在心△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

即Sb=S+Sc=6+8=14,

故選：D.

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E

3.(2024?禹州市一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)A(-1,0),B(0,

-4).將△ABC向上平移一個(gè)單位長度后，點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

B.(3,1)C.(4,2)D.(3,2)

【答案】。

【解析】解：???點(diǎn)4(-1,0),8(0,-4),

???O4=I,OB=4,

???△ABC為等腰直角三角形,

：.AC=AB,NB4C=90°,

過C作C￡±.v軸于旦

ZAEC=ZAOB=90°，

AZCAE-^ZBAO=ZBAO+ZABO=^°，

：.ZCAO=ZABOf

在△CAE與△ABO中,

ZA0B=ZCEA

ZABO=ZCAD-

AB=AC

(AAS),

：，CE=AO=l.AE=OB=4,

：.0E=3,

：.C(3,1),

???將△ABC向上平移一個(gè)單位長度,

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???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,2).

4.(2024?涼州區(qū)校級模擬)如圖，在△ABC與△OCB中，AC與交于點(diǎn)石，且/A=NO,AB=DC.

(I)求證：△AAEg/kQCE；

(2)求證：NEBC=NECB.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析.

【解析】(1)證明：在和△OCE中，

rZA=ZD

'ZAEB=ZDEC

AB二DC

:.△ABE@4DCE(AAS)；

(2)?:MABE出△DCE、

:?EB=EC,

???△E8C是等腰三角形，

工/EBC=/ECB.

5.(2024?蓬江區(qū)校級一模)如圖，^ABCD,E、尸分別是邊4B、CD上一點(diǎn),且AE=C凡直線石尸分別交

AC.人。延長線、C8延長線于0、H、G.

(1)求證：△AHOqXCGO.

(2)分別連接AG、CH,試判斷AG與C"的關(guān)系，并證明.

第32頁共92頁

H

DC

A-ET/B

G

【答案】(1)見解析；

(2)AG//CH,AG=CH,理由見解析.

【解析】(1)證明：???四邊形A4CO是平行四邊形,

VZAOE=COF,ZFOC=ZAOE,AE=CF

:.XCOFmXAOE(A4S),

：.AO=CO,

：,AH//CG,AO=CO,

：,^CAH=ZACG,N”=NG,

:.△AHgXCGO(A45)；

(2)證明：如圖，連接AG、CH,

*：/\ZWgXCGO,

:.AH=CG,

*：AH//CG,

???四邊形AGCH是平行四邊形,

第33頁共92頁

:.AG"CH,AG=CH.

題型09勾股定理、勾股定理定理逆定理與網(wǎng)格問題

1.12024?元謀縣一模）如圖所示，在4X4網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長為1,頂點(diǎn)為格點(diǎn)，若△ABC

的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則△ABC的面積為（）

A.2y/5B.5C.3^5D.10

【答案】B

【解析】解：△ABC的面積=4X4--xIX2--X2X4~—X4X3=5，

222

故選：B.

2.（2024?涼州區(qū)校級模擬）如圖，在△A8C中，NAC8=90°,以△48C的各邊為邊作三個(gè)正方形，點(diǎn)G

落在，/上，若4C+BC=7,空白部分面積為13,則的長為（）

A.5B.V21C.V19D.V26

【答案】A

【解析】解：.??四邊形A8G廳是正方形，

：.AB=AF,NBAN=NF=90c,

：,ZMAF+ZBAC=9()°,

???/ACB=90°,

AZABN+ZBAC=90°,

???4ABN=/MAF,

第34頁共92頁

\*AB=AF,ZBAN=ZF,

:.XBAN出RAFM(ASA),

???△BAN的面積=Z\A^M的面積，

???四邊形FNCM的面積=Z\ABC的面積，

???空白部分的面積=正方形A8G產(chǎn)的面積?2X4ABC的面積，

：.AH2-2XLC?8C=I3①，

2

'：AC+BC=7,

:.(AC+8C)2=72,

.\AC2+BC2+2AC-BC=49,

\'AB2=AC2+BC2,

.??A82+2AC?8C=49②，

由①和②得4^2=25,

：.AB=5(舍去負(fù)值).

故選：A.

3.(2024?珠海校級一模)圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(ICME)的會(huì)徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相

鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形O4BC若/W=BC=I,乙408=30°,貝UOC

的值為()

【答案】A

【解析】解：在RtZXAOB中，AB=\,NAO8=30°,

08=2,

在RtZ\80C中，

OC=VBC2-H3B2=V12+22=V5.

第35頁共92頁

故選：A.

4.（2024?雁塔區(qū)校級模擬）學(xué)習(xí)了勾股定理后，老師給大家留了一個(gè)作業(yè)題，小華看了后，無從下手，請

你幫幫小華.如圖，△A8C的頂點(diǎn)都在邊長為I的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，CO_LA8于點(diǎn)。，則CZ）的長

是（）

B.4C.工D.2