32.1投影第2課時目錄課前導(dǎo)入新課精講學(xué)以致用課堂小結(jié)課前導(dǎo)入情景導(dǎo)入1．什么叫做中心投影、平行投影?2．下面兩個圖都是表示一塊三角板在光線照射下形成的投影，

它們的投影線與投影面的位置關(guān)系有什么不同?新課精講探索新知1知識點正投影的定義正投影法：投影線與投影面垂直的平行投影法，所得的投影，稱為正投影

.探索新知qQHPHp探索新知例1

如圖所示的圓臺的上下底面與投影線平行，圓臺

的正投影是（）

A、矩形

B、兩條線段

C、等腰梯形

D、圓環(huán)

根據(jù)正投影的定義及正投影形狀分析．根據(jù)題意：

圓臺的上下底面與投影線平行，則圓臺的正投影是

該圓臺的軸截面，即等腰梯形．故選C．分析：C探索新知總

結(jié)物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關(guān)．它分物體與投影面平行、傾斜、垂直三種情況.1投影線________于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影；它包含以下兩個要素：

(1)正投影是特殊的____________，它不可能是___________．

(2)正投影只要求________與________垂直，與物體位置無關(guān)．垂直平行投影中心投影光線投影面典題精講球的正投影是(

)A．圓B．橢圓C．點D．圓環(huán)正方形的正投影不可能是(

)A．線段B．矩形C．正方形

D．梯形23AD典題精講下列投影中，正投影有(

)A．0個B．1個C．2個D．3個4B典題精講典題精講如圖，水杯的杯口與投影面平行，投影線的方向如箭頭所

示，它的正投影是(

)D探索新知2知識點正投影的性質(zhì)如圖，把一根直的細鐵絲(記為線段AB)放在三個不同位置：

(1)鐵絲平行于投影面；(2)鐵絲傾斜于投影面；(3)鐵絲垂直于投影面（鐵絲不一定要與投影面有交點）.三種情形

下鐵絲的正投影各是什么形狀?探索新知通過觀察、測量可知：(1)當(dāng)線段AB平行于投影面時，它的正投影是線段A1B1，

它們的大小關(guān)系為AB=A1B1；(2)當(dāng)線段AB傾斜于投影面時，它的正投影是線段A2B2，

它們的大小關(guān)系為AB＞A2B2；(3)當(dāng)線段AB垂直于投影面時，它的正投影是一個點A3.探索新知如圖，把一塊正方形硬紙板P(記為正方形ABCD)放在三個不同位置：紙板平行于投影面；(2)紙板傾斜于投影面；(3)紙板垂直于投影面.三種情形下紙板的正投影各是什么形狀?探索新知通過觀察、測量可知：當(dāng)紙板P平行于投影面時，P的正投影與P的形狀、大小一樣；當(dāng)紙板P傾斜于投影面時，P的正投影與P的形狀、大小不完全一樣；(3)當(dāng)紙板P垂直于投影面時，P的正投影成為一條線段.探索新知總

結(jié)

當(dāng)物體的某個面平行于投影面時，這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全相同.探索新知例2

一根筆直的小木棒(記為線段AB)的正投影為線段CD，則下

列各式中一定成立的是(

)A．AB＝CD

B．AB≤CD

C．AB＞CDD．AB≥CDD當(dāng)AB平行于投影面時，AB＝CD；當(dāng)AB傾斜于投影面時，AB＞CD；當(dāng)AB垂直于投影面時，正投影是一個點.導(dǎo)引：探索新知總

結(jié)

物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關(guān)．畫一般立體圖形的正投影的關(guān)鍵是找出平行于投影面的立體圖形的最大截面．典題精講1A小樂用一塊矩形硬紙板在陽光下做投影實驗，通過觀察，發(fā)現(xiàn)這塊矩形硬紙板在平整的地面上不可能出現(xiàn)的投影是(

)A．三角形

B．線段C．矩形

D．平行四邊形2當(dāng)棱長為20cm的正方體的某個面平行于投影面時，這個正方體的正投影的面積為(

)A．200cm2

B．300cm2

C．400cm2

D．600cm2C典題精講幾何體在平面P的正投影，取決于(

)①幾何體的形狀；②投影面與幾何體的位置關(guān)系；③投影面P的大小．A．①②B．①③C．②③D．①②③3A易錯提醒如圖所示，把正方體一個頂點朝上立放，在它下面放一張白紙，使紙面與太陽光垂直，則正方體在紙上的正投影是(

)易錯點：對正方體的正投影的類型認識不全而致錯.C學(xué)以致用小試牛刀底面與投影面垂直的圓錐體的正投影是(

)A．圓B．三角形C．矩形

D．正方形1B小試牛刀把一個正六棱柱如圖擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時的正投影是(

)2A小試牛刀如圖，投影線的方向如箭頭所示，畫出下列各圖形的正投影．3解：如圖所示．小試牛刀4已知一根長為8cm的木棒

AB與投影面平行，投影線垂

直于投影面．(1)求此時的影子A1B1的長度；(2)如圖是將木棒繞其端點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°后的示意圖

(此時平面ABB2A2垂直于投影面)，求旋轉(zhuǎn)后木棒的影子A2B2的長．分析：(1)當(dāng)木棒平行于投影面時，其正投影的長度與木棒的長度一致；(2)當(dāng)木棒傾斜于投影面時，可轉(zhuǎn)化為解直角三角形來求解．小試牛刀(1)因為木棒平行于投影面，

所以A1B1＝AB＝8cm，

即此時的影子A1B1的長度為8cm.(2)過點A作AH⊥BB2于點H.

因為AA2⊥A2B2，BB2⊥A2B2，

所以四邊形AA2B2H為矩形，所以AH＝A2B2.

在Rt△ABH中，∠BAH＝30°，AB＝8cm，

所以A2B2＝AH＝AB·cos30°＝8×＝4(cm)．

即旋轉(zhuǎn)后木棒的影子A2B2的長為4cm.

解：小試牛刀5已知一紙板的形狀為正方形ABCD，且邊長為10cm.

如圖，四邊形A1B1C1D1是正方形ABCD在面β上的正

投影，AD，BC與投影面β平行，且AB，CD與投影

面β成30°角，求正方形ABCD的正投影的面積．小試牛刀解：規(guī)律總結(jié)：求投影的面積，先確定投影的形狀，再根據(jù)相

應(yīng)的面積公式，有針對性地求出相關(guān)線段的長．過點A作AH⊥BB1于點H.依題意，得∠BAH＝30°，四邊形A1B1C1D1是矩形，其中A1D1＝AD，A1B1＝AH.∵AH⊥BB1，∠BAH＝30°，∴AH＝AB·cos30°＝10×＝5(cm)，∴A1B1＝AH＝5cm.∵A1D1＝AD＝10cm，∴S四邊形A1B1C1D1＝A1B1·A1D1＝5×10＝50

(cm2)．則正方形ABCD的正投影的面積是50cm2.

小試牛刀一個圓錐的軸截面平行于投影面，圓錐的正投影是等腰三角形，

如圖所示，等腰三角形的腰長為13cm，高為12cm，求該圓錐

的體積及表面積．(提示：V圓錐＝

πr2h，其中r是底面圓的半

徑，h是圓錐的高)小試牛刀解：由于圓錐的軸截面平行于投影面，其正投影是等腰三角形，因此圓錐的高等于等腰三角形的高；圓錐底面圓的半徑等于等腰三角形底邊長的一半．如圖，作AD⊥BC于D，AB＝AC＝13cm，AD＝12cm，∴CD＝5cm，∴r＝CD＝5cm，h＝12cm.∴V圓錐＝

πr2h＝100πcm3，底面周長為l＝2πr＝10πcm，母線長R＝AC＝13cm，∴S表＝

lR＋πr2＝90πcm2.小試牛刀7操作與研究：

如圖，△ABC被平行光線照射，CD

⊥AB于D，CD與光線平行，AB在投

影面上．

(1)指出圖中AC的投影是什么，CD與BC的投影呢？

(2)探究：當(dāng)△ABC為直角三角形(∠ACB＝90°)時，易

得AC2＝AD·AB，此時有如下結(jié)論：直角三角形一直

角邊的平方等于它在斜邊上的射影與斜邊的乘積，這

一結(jié)論我們稱為射影定理．

通過上述結(jié)論的推理，請證明以下兩個結(jié)論：

①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD.小試牛刀(1)解：AC的投影是AD，CD的投影是點D，BC的投影

是BD.(2)證明：①易證得△BCD∽△BAC，可得BC2＝BD·AB；

②易證得△ACD∽△CBD，可得CD2＝AD·BD.課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.回顧正投影的含義及其性質(zhì)；2.反思作簡單幾何圖形的正投影的過程及自己作圖過程中失誤的原因，體會正投影的作圖方法與技巧；3.物體的正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置是否有關(guān)系？課堂小結(jié)平行投影與中心投影的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系都是物體在光線的照射下，在某個平面內(nèi)形成的影子，即都是投影

區(qū)

別

光線中心投影從一點發(fā)出的投射線平行投影平行的投射線物體與投影面平行時的投影中心投影

放大（位似變換）

平行投