人教版平行四邊形單元同步練習(xí)試卷

一、選擇題

1.如圖，菱形ABCD中，ZBAD=60°,AC與BD交于點(diǎn)。，E為CD延長線上的一點(diǎn)，且

CD=DE,連接BE,分別交AC、AD于點(diǎn)F、G,連接。G,則下列結(jié)論：①。G='AB；②

2

圖中與aEGD全等的三角形共有5個(gè)；③以點(diǎn)A、B、D、E為項(xiàng)點(diǎn)的四邊形是菱形；④S四

a?ODGF—Sz-sABF.其中正確的結(jié)論是（）

A.①③B.①③④C.①②③D.②②④

2.如圖，已知正方形ABC。的邊長為8,點(diǎn)E,『分別在邊BC、C7）上，

ZEAF=45°.當(dāng)EF=8時(shí)，AEF的面積是（）.

A.8B.16C.24D.32

3.如圖，在正方形ABCD中，CE=MN,ZMCE=35°,那么/ANM等于（）

4.將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺

（△ACD）的斜邊恰好重合.已知A8=4jLP、Q分別是AC、8c上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形DP8Q

為平行四邊形時(shí)，平行四邊形OP8Q的面積是（）

D

C

9

A.3后B.673c.一D.9

2

5.如圖，已知AA8c中，ZACB=90Q,AC=BC=2,將直角邊AC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至47,連

接8C,E為的中點(diǎn)，連接CE,則CE的最大值為（）.

A.75B.V2+1C.—+1D.但+1

22

6.如圖，在ABC,NC=90。，AC=8,BC=6,點(diǎn)P為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)

P作PE_LAC于點(diǎn)E,PFLBC于點(diǎn)F,連結(jié)EF,則線段EF的最小值為（）

A.1.2B.2.4C.2.5D.4.8

7.如圖，四邊形ABC。中，4。=4,8。=h4。_13。,順次連接四邊形48。。各邊中

點(diǎn)，得到四邊形A4GR，再順次連接四邊形AgGD各邊中點(diǎn)，得到四邊形

A282G2...如此進(jìn)行下去，得到四邊形44G2.則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）

①四邊形A與。1A是矩形；②四邊形AACA是菱形；③四邊形人&。5&的周長為

半;④四邊形的面積是黑.

C

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（8,0），點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)以1個(gè)單位長度/秒

的速度沿y軸正半軸方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)以1個(gè)單位長度/秒的速度沿x軸

負(fù)半軸方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為?0＜，＜8）秒.以PQ為斜邊，向第一象限內(nèi)作

等腰RtAPBQ,連接08.下列四個(gè)說法：

①OP+OQ=8；②3點(diǎn)坐標(biāo)為（4,4）；③四邊形尸3QO的面積為16；④其中

正確的說法個(gè)數(shù)有（）

9.如圖，在ABC中，AB=AC=6,ZB=45°,D是8C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD,以AD為邊

向右側(cè)作等腰ADE,其中AD=AE,/ADE=45°,連接CE.在點(diǎn)。從點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過程

中，△COE周長的最小值是（）

A.6及B.6及+6

c.95/2D.9&+6

10.如圖，NMON=90°,矩形ABC。在NMON的內(nèi)部，頂點(diǎn)A,8分別在射線

OM,ON上，AB=4,BC=2,則點(diǎn)。到點(diǎn)。的最大距離是（）

A.2夜-2B.272+2c.275-2D?亞+2

二、填空題

11.如圖，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則

PE+PB的最小值為.

DC

12.如圖，菱形ABC。的BC邊在x軸上，頂點(diǎn)C坐標(biāo)為(-3,0),頂點(diǎn)。坐標(biāo)為

(0,4),點(diǎn)￡在,軸上，線段族//x軸，且點(diǎn)F坐標(biāo)為(8,6),若菱形ABC。沿％軸左

右運(yùn)動(dòng)，連接AE、DF,則運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形AOFE周長的最小值是.

13.如圖，AA8C是邊長為1的等邊三角形，取邊中點(diǎn)E,作EDMAB,

EF//AC,得到四邊形EDA尸，它的周長記作G；取砥中點(diǎn)與，作E\D\〃FB,

E\F\UEF,得到四邊形它的周長記作G?照此規(guī)律作下去，則

。2020=--------

14.如圖，在平行四邊形A8CD中，AB=6,8c=4,ZA=120°,E是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)F在

平行四邊形ABCD的邊上，若△△￡下為等腰三角形，則EF的長為.

15.如圖，在矩形48CD中，AD=6，AB,N8AD的平分線交8c于點(diǎn)￡,DHLAE于點(diǎn)

H,連接BH并延長交CD于點(diǎn)F,連接。E交8F于點(diǎn)。，下列結(jié)論：(1)ZAED=ZCED；

②。E=OD；③BH=HF；@BC-CF=2HE；(5)AB=HF,其中正確的有.

16.如圖，正方形ABCD的邊長為6,點(diǎn)E、F分別在邊AD、8C上.將該紙片沿EF折疊，

使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在邊OC上，折痕EF與AG交于點(diǎn)Q,點(diǎn)K為G”的中點(diǎn)，則隨著折

痕EF位置的變化，AGOK周長的最小值為.

NB=90°,AB=BE,將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到

AA”。,過。作0CL8E交3E的延長線于點(diǎn)C，連接8”并延長交0c于點(diǎn)尸，連接

DE交BF于點(diǎn)、0.下列結(jié)論：①DE平分N”O(jiān)C；②DO=OE；③CD=HF；

④BC—CF=2CE；⑤”是8F的中點(diǎn)，其中正確的是

18.如圖，在菱形ABCD中，AC交BD于P,E為BC上一點(diǎn)，AE交BD于F,若AB=AE,

NEAD=2/BAE,則下列結(jié)論：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF.正確的是（填

序號(hào)）.

19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M為線段

AB的中點(diǎn).點(diǎn)D、E分別在x軸、y軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，且DE=AB=10.以DE為邊在第

三象限內(nèi)作正方形DGFE,則線段MG長度的最大值為

20.如圖，矩形紙片ABCD,AB=5,BC=3,點(diǎn)P在BC邊上，將4CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落

在點(diǎn)E處，PE,DE分別交AB于點(diǎn)。，F(xiàn),且OP=OF,則AF的值為

三、解答題

21.在四邊形ABCD中,ADIIBC,AB=8cm,AD=16cm,BC=22cm,ZABC=90°.點(diǎn)P從點(diǎn)A

出發(fā)，以lcm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，

其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）當(dāng)t=_時(shí)，四邊形ABQP成為矩形？

（2）當(dāng)t=_時(shí)，以點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A、B、C、D中的任意兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊

形？

（3）四邊形PBQD是否能成為菱形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由，并探究如

何改變Q點(diǎn)的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PBQD在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度.

22.如圖1,AABC是以NACB為直角的直角三角形，分別以AB,8C為邊向外作正方

^ABFG,BCED,連結(jié)AO,CF,AO與CF交于點(diǎn)M,AB與CF交于點(diǎn)N.

EE

(1)求證：M.BD=\FBC；

(2)如圖2,在圖1基礎(chǔ)上連接AF和FO,若AO=6,求四邊形AC。尸的面積.

23.已知正方形ABCD.

(1)點(diǎn)P為正方形ABCD外一點(diǎn)，且點(diǎn)P在AB的左側(cè)，ZAPB=45°.

①如圖(1),若點(diǎn)P在DA的延長線上時(shí)，求證：四邊形APBC為平行四邊形.

②如圖(2),若點(diǎn)P在直線AD和BC之間，以AP,AD為鄰邊作口4戶。。，連結(jié)AQ.求

ZPAQ的度數(shù).

(2)如圖(3),點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)且滿足BC=CF,連接BF并延長交AD邊于點(diǎn)E,過

Ap1

點(diǎn)E作EHLAD交CF于點(diǎn)H,若EH=3,FH=1,當(dāng)而=§時(shí).請(qǐng)直接寫出HC的長

24.如圖，在邊長為1的正方形ABCO中，E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AO上一點(diǎn)

(與點(diǎn)A、。不重合)，射線PE與的延長線交于點(diǎn)Q.

APD

BC0

(1)求證：kPDE三kQCE；

(2)若尸8=尸。，點(diǎn)尸是5尸的中點(diǎn)，連結(jié)EE、AF,

①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；

②求PE的長.

25.如圖1,己知四邊形ABCD是正方形，E是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，連接AE,CE.

圖1圖2

（1）求證：AE=CE；

（2）如圖2,點(diǎn)P是邊CD上的一點(diǎn)，且PELBD于E,連接BP,。為8P的中點(diǎn)，連接

E0.若/PBC=30。，求/POE的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，若。￡=&,求CE的長.

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知口0ABe的頂點(diǎn)A（10,0）、C（2,4）,點(diǎn)。是

0A的中點(diǎn)，點(diǎn)P在8c上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).

（1）求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長度，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)四邊形PCDA是平

行四邊形時(shí)，求t的值；

E是8c的中點(diǎn)，AE^ZBAD

的平分線，則線段AB,AD,DC之間的等量關(guān)系為；

（2）方法遷移：如圖②，在四邊形ABCD中，AB//CD,AF與DC的延長線交于點(diǎn)F,E是

BC的中點(diǎn)，AE是/BAF的平分線，試探究線段A8,AF,CF之間的等量關(guān)系，并證明你的

結(jié)論；

（3）聯(lián)想拓展：如圖③，AB//CF,E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段AE上，NEDF=NBAE,

CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

28.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是AC的一點(diǎn)，連接EB,過點(diǎn)

A做AM_LBE,垂足為M,AM與BD相交于點(diǎn)F.

（1）猜想：如圖（1）線段0E與線段OF的數(shù)量關(guān)系為；

（2）拓展：如圖（2）,若點(diǎn)E在AC的延長線上，AM_LBE于點(diǎn)M,AM、DB的延長線相

交于點(diǎn)F,其他條件不變，（1）的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)僅就圖（2）給出證明；

如果不成立，請(qǐng)說明理由.

29.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E、口是正方形內(nèi)兩點(diǎn)，BE//DF,EF上BE,為

探索這個(gè)圖形的特殊性質(zhì)，某數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)歷了如下過程：

圖1

（1）在圖1中，連接5。，且BE=DF

證：E尸與8。互相平分；

空證：（BE+Off+E/2=2.2；

（2）在圖2中，當(dāng)BE力DF,其它條件不變時(shí)，（8E+Of）2+Ef2=2A82是否成

立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)說明理由.

圖2

(3)在圖3中，當(dāng)A3=4,ZDPB=135°,08P+2PZ)=46B時(shí)，求之長.

AD

BC

圖3

30.在四邊形A8CD中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。的直線EF,GH分別交邊

AB、CD,AD,BC于點(diǎn)E、F、G、H.

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①，若四邊形A8CD是正方形，且EF_LG”，易知S"O￡=S“OG，又因

為St.AOB——S科邊彩A8C。，所以SWMAEOG—_____S正方般ABCD：

4

（2）類比探究：如圖②，若四邊形ABCD是矩形，且S叫邊彩A￡OG=近彩48c。，若AB=a,

4

AD=b,BE=m,求AG的長（用含a、b、m的代數(shù)式表示）；

（3）拓展遷移：如圖③，若四邊形A8CD是平行四邊形，且S四邊心4￡06=—S,：ABCD,若AB=

4

3,AO=5,BE=1,則AG=.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.A

解析：A

【解析】

【分析】

由AAS證明△ABGgZ\DEG,得出AG=DG,證出OG是4ACD的中位線，得出OG=1

2

CD=-AB,①正確；先證明四邊形ABDE是平行四邊形，證出AABD、4BCD是等邊三

2

角形，得出AB=BD=AD,因此OD=AG,得出四邊形ABDE是菱形，③正確；由菱形的性

質(zhì)得得出4ABG也△BDG絲4DEG,由SAS證明4ABG絲△DCO,得出

△ABO^ABCO^ACDO^AAOD^AABG^ABDG^ADEG,得出②不正確；證出OG

是AABD的中位線，得出OG//AB,OG=-AB,得出△GODs^ABD,

2k

△ABF-AOGF,由相似三角形的性質(zhì)和面積關(guān)系得出s四.。DGF=SAABF;④不正確；即可

得出結(jié)果.

【詳解】

解：四邊形ABCD是菱形，

AB=BC=CD=DA,AB//CD,OA=OC,OB=OD,AC1BD

ZBAG=ZEDG,ABOABCO三\CDO三MOD

CD=DE

AB=DE

在AABG和ADEG中，

ZBAG=ZEDG

<NAGB=ZDGE

AB=DE

.,?△ABG^ADEG(AAS),

；..AG=DG,

；.OG是4ACD的中位線，

.\OG=-CD=-AB,①正確；

22

VAB//CE,AB=DE,

四邊形ABDE是平行四邊形，

AZBCD=ZBAD=60°,

.?.△ABD、4BCD是等邊三角形，

；.AB=BD=AD,NODC=60°,

；.OD=AG,四邊形ABDE是菱形，③正確；

AAD1BE,

由菱形的性質(zhì)得：4ABG絲AliDG絲ZXDEG,

在4ABG和△DCO中，

OD=AG

<ZODC=NBAG=60"

AB=DC

.,.△ABG^ADCO

.,.△ABO^ABCO^ACDO^AAOD^AABG^ABDG^ADEG,則②不正確。

：OB=OD,AG=DG,

：.OG是△ABD的中位線，

1

...OG〃AB,OG=-AB,

2

-?.△GOD^AABD,AABF^AOGF,

AGOD的面積=-AABD的面積，AABF的面積=Z\OGF的面積的4倍，AF:0F=2:1,

4

AAFG的面積=4OGF的面積的2倍，

XVAG0D的面積=Z\AOG的面積=AB0G的面積，

S四邊彩ODGF=SAABF;④不正確；

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三

角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大.

2.D

解析：D

【分析】

如圖：ZXADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABH,可得AH=AF,/BAH=NDAF,進(jìn)

一步求出/EAH=NEAF=45°,再利用"邊角邊"證明4AEF和4AEH全等，再根據(jù)全等三

角形的面積相等，即可解答.

【詳解】

解：如圖，將4ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得至l」Z\ABH,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AH=AF,ZBAH=ZDAF,

VZEAF=45°,ZBAD=90°

；.NEAH=NEAF=45°

在aAEF和△AEH中

AF=AHZEAH=ZEAF=45°,AE=AE

.,.△AEF^AAEH(SAS),

；.EH=EF=8,

SAFE=SAAEH=--x8X8=32.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形和全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記并靈活應(yīng)用它們的性質(zhì)并利用旋轉(zhuǎn)作

輔助線、構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

3.C

解析：C

【分析】

過B作BF〃MN交AD于F,則根據(jù)正方形的性質(zhì)得出NA=/EBC=

90°,AB^BC,AD//BC,推出四邊形8F/VM是平行四邊形，得出BF=MN=CE,證

R3ABF也RtABCE,推出NECB即可.

【詳解】

過B作BF//MN交AD于F,

則NAFB=/ANM,

:四邊形A8CD是正方形，

NA=/EBC=90°,AB=BC,AD//BC,

：.FN//BM,BF//MN,

：.四邊形BFNM是平行四邊形，

Z.BF=MN,

*：CE=MN,

：.CE=BF,

在R3ABF和RtABCE中

BF=CE

AB=BC

；.RSA8F絲RS8CE(HL),

ZABF=ZMCE=35°,

：.ZANM=ZAFB=55",

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形全等的判定即性質(zhì)，還涉及正方形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與

性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

4.D

解析：D

【解析】

【分析】

由于四邊形DP8Q為平行四邊形，則BC〃DP,即DP_LAC,P為AC中點(diǎn)，作出平行四邊

形，再利用平行線的距離相等可知：PC就是CJDPBQ的邊PD所對(duì)應(yīng)的高，代入面積公式求

出面積即可.求得面積.

【詳解】

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AC中點(diǎn)（如圖），即CP=3時(shí)，

以D,P,B,Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn)Q恰好在邊BC上.

?.?四邊形DPBQ為平行四邊形，

.".BC//DP,

：.ZDPC=90°,GPDPLAC.

而在R3ABC中，ABM0,8c=26，

根據(jù)勾股定理得：AC=6,

???△OAC為等腰直角三角形，

I

DP=CP=~AC=3,

2

'：BC//DP,

：.PC是平行四邊形DPBQ的高，

?.STtrBlii?DPBQ—DP*CP—3x3=9.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形的綜合題，考查了一副三角板所形成的四邊形的邊和角的關(guān)系；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)路線確定其所形成的邊和角的關(guān)系，利用三角函數(shù)和勾股定理求邊和角的大小，得

出結(jié)論.

5.B

解析：B

【分析】

取AB的中點(diǎn)M,連接CM,EM,當(dāng)CE=CM+EM時(shí)，CE的值最大,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到

AC=AC=2,由三角形的中位線的性質(zhì)得到EM=-AC'=1,根據(jù)勾股定理得到

2

AB=2&,即可得到結(jié)論.

【詳解】

取AB的中點(diǎn)/W,連接CM,EM,：.當(dāng)CE=CM+EM時(shí)，CE的值最大.

:將直角邊4：繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,.IAC=AC=2.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線

是解題的關(guān)鍵.

6.D

解析：D

【分析】

連接PC,當(dāng)CPJLAB時(shí)，PC最小，利用三角形面積解答即可.

【詳解】

解：連接PC,

PE±AC,PF±BC,

ZPEC=ZPFC=ZC=90°,

四邊形ECFP是矩形,

EF=PC,

.,.當(dāng)PC最小時(shí)，EF也最小,

即當(dāng)CP_LAB時(shí),PC最小，

AC=8,BC=6,

AB=10,

??.PC的最小值為:

pc=A￡BC=6x8=48

AB10

???線段EF長的最小值為4.8.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是矩形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答.

7.A

解析：A

【分析】

首先根據(jù)題意，找出變化后的四邊形的邊長與四邊形ABCD中各邊長的長度關(guān)系規(guī)律，然

后對(duì)以下選項(xiàng)作出分析與判斷：

①根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)作出判斷；

②根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)作出判斷；

③由四邊形的周長公式：周長=邊長之和，來計(jì)算四邊形AsB5c5D5的周長；

④根據(jù)四邊形AnBnCnDn的面積與四邊形ABCD的面積間的數(shù)量關(guān)系來求其面積.

【詳解】

解：如下圖，連接連接A1C1,B1D1,

C

???在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形AiBiJDi,

AAiDiZ/BD,BiCi〃BD,CiDi〃AC,AiBi/ZAC；

.".AiDi/7BiCi,AiBi/ZCiDi,

四邊形AiBiCiDi是平行四邊形，

VAC±BD,

四邊形AiBiJDi是矩形，故①正確；

.".BiDi=AiCi（矩形的兩條對(duì)角線相等）：

；.A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位線定理），

四邊形AzB2c2D2是菱形；

依次類推，可知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)四邊形AnBnCnDn是矩形，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)四邊形AnBKnDn是菱

形，故②正確；

根據(jù)中位線的性質(zhì)可知,

&B5=；A3B3=；ABi=；AC,B5C5=；BC3=；BCi=gBD,

24o24o

，四邊形AsBsCsDs的周長是2x1(a+h)="2,

84

故③正確；

:四邊形ABCD中，AC=a,BD=b,且AC_LBD,

?,?S叫邊彩ABCD=ab+2；

由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

四邊形AnBnCnDn的面積是空，

2

故④正確；

綜上所述，①②③④正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查中點(diǎn)四邊形，中位線定理，菱形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定.理解三角形

的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半是解題關(guān)鍵.

8.B

解析：B

【分析】

根據(jù)題意，有OP=AQ,即可得到OP+OQ=Q4=8,①正確；當(dāng)，=4時(shí)，OP=OQ=4,

此時(shí)四邊形PBQO是正方形，則PB=QB=OP=OQ=4,即點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,4),②正確；

四邊形PBQO的面積為：4x4=16,在P、Q運(yùn)動(dòng)過程面積沒有發(fā)生變化，故③正確；由

正方形PBQO的性質(zhì)，則此時(shí)對(duì)角線PQ=OB,故④錯(cuò)誤；即可得到答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時(shí)以1個(gè)單位長度/秒的速度運(yùn)動(dòng)，

，OP=AQ,

：0Q+AQ=0A=8,

.,.OQ+OP=8,①正確；

由題意，點(diǎn)P與點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B的位置沒有變化，四邊形PBQO的面積沒有變化，

當(dāng)r=4時(shí)，如圖：

則AQ=0P=4,

.,.OQ=8-4=4,

.??點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4,4）,②正確；

此時(shí)四邊形PBQO是正方形，則PB=QB=0P=0Q=4,

...四邊形PBQO的面積為：4x4=16,③正確；

???四邊形PBQO是正方形，

/.PQ=OB,

即當(dāng)f=4時(shí)，PQ=OB,故④錯(cuò)誤；

...正確的有：①②③，共三個(gè)；

故選擇：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵

是根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)情況，進(jìn)行討論分析來解題.

9.B

解析：B

【分析】

如圖（見解析），先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得

ABAC=NZX￡=90°,BC=6&DE^^AD，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)

可得3￡>=CE,從而可得△CDE周長為+然后根據(jù)垂線段最短可求出AD

的最小值，由此即可得.

【詳解】

在ABC中，AB=AC=6,NB=45。，

ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BC=\/AB2+AC2=672>

在ADE中,AD=AE,ZADE=45°,

:NADE是等腰直角三角形，ZDAE=90°,DE=yjAD2+AE2=收AD,

NBAD+ACAD=ZCAE+ZCAD=90°,

/.NBAD=NCAE,

AB=AC

在△A3。和△ACE中，=

AD=AE

ABDxACE（SAS）,

:.BD=CE,

???CDE周長為CD+CE+DE=CD+BD+DE=BC+DE=6無+叵AD，

則當(dāng)AD取得最小值時(shí)，△COE的周長最小，

由垂線段最短可知，當(dāng)ACJ.BC時(shí)，AD取得最小值，

AO是BC邊上的中線（等腰三角形的三線合一），

：.AD=LBC=3也（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

2

COE周長的最小值為6垃+及x3夜=6夜+6，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線、三角形全等的判定

定理與性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，正確找出兩個(gè)全等三角形是解題關(guān)鍵.

10.B

解析：B

【分析】

取DC的中點(diǎn)E,連接OE、DE、OD,根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知當(dāng)。、

E、D三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)。的距離最大，再根據(jù)勾股定理求出DE的長，根據(jù)直角三角

形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE的長，兩者相加即可得解.

【詳解】

取48中點(diǎn)E,連接OE、DE、OD,

NMON=90°,

OE^-AB=2.

2

在RtADAE中，利用勾股定理可得￡）￡=2血.

在AOOE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知。E+0E>0。，

OD最大為OE+DE=2V2+2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，矩形

的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出點(diǎn)。、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)。

的距離最大是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.2君

【詳解】

由于點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，所以如果連接DE,交AC于點(diǎn)P,那PE+PB的值最小.在

RtACDE中，由勾股定理先計(jì)算出DE的長度，即為PE+PB的最小值.連接DE,交AC于點(diǎn)

P,連接BD.

:點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，

DE的長即為PE+PB的最小值,

AB=4,E是BC的中點(diǎn)，

CE=2,

在RtACDE中，DE=2G

考點(diǎn)：（1）、軸對(duì)稱-最短路線問題；（3）、正方形的性質(zhì).

12.18

【分析】

由題意可知AD、EF是定值，要使四邊形AOFE周長的最小，AE+DF的和應(yīng)是最小的，運(yùn)

用"將軍飲馬"模型作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)Ei,同時(shí)作DF〃AFi,此時(shí)AE+DF的和即為

EiFi,再求四邊形ADFE周長的最小值.

【詳解】

在Rtz^COD中，0C=3,0D=4,

C0=7oc2+OD2=5'

；ABCO是菱形，

；.AD=CD=5,

???尸坐標(biāo)為（8,6）,點(diǎn)E在y軸上，

AEF=8,

作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)Ei,同時(shí)作DF〃AFi,

則Ei(0,2),Fi(3,6),

則EiFi即為所求線段和的最小值,

在RtAAEiFi中，E1F1=JEE；+E—=J(6-2)2+(8-5)2=5,

四邊形AOFE周長的最小值=AD+EF+AE+DF=AD+EF+EIFI=5+8+5=18.

本題考查菱形的性質(zhì)、"將軍飲馬”作對(duì)稱點(diǎn)求線段和的最小值，比較綜合，難度較大.

13-^―

工」,02018

【分析】

根據(jù)幾何圖形特征，先求出G、Q、C3,根據(jù)求出的結(jié)果，找出規(guī)律，從而得出G02O-

【詳解】

:點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，ED〃AB,EF〃AC

；.DE、EF是AABC的中位線

?.?等邊4ABC的邊長為1

，AD=DE=EF=AF=-

2

則G=3x4=2

同理可求得：C2=\,C?=；

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：規(guī)律為依次縮小為原來的,

2

故答案為：^^一

【點(diǎn)睛】

本題考查找規(guī)律和中位線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是求解出幾組數(shù)據(jù)，根據(jù)求解的數(shù)據(jù)尋找規(guī)

律.

14.3有或3或^—

2

【分析】

△AEF為等腰三角形，分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和30°直角三角形性質(zhì)、平

行四邊形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：當(dāng)AE=A尸時(shí)，如圖，過點(diǎn)A作于H,

AE=-Afi=3,

2

AE^AF,AH1.EF,NA=120。，

NAEF=ZAFE=30°,FH=EH,

AH=-AE=~,EH=43AH=—,

222

:.EF=2EH=34，

當(dāng)AP=E尸時(shí)，如圖2,

過點(diǎn)A作ANd.CO于N,過點(diǎn)/作FMJ.AB于M,

在平行四邊形ABC。中，AB=6,BC=4,NA=120°,

/.AD=BC^4,ZADC=60°,

ZDAN=30°,

:.DN=^AD=2,AN=WDN=2。

AB//CD,ANrCD,FM1.AB,

:.AN=MF=26，

AF=EF,FMA.AB,

3

AM=ME=-,

2

:.EF=4ME2+MF-=.12+-=^-；

V42

當(dāng)AE=E/=3時(shí)，如圖3,

/.EF=3,

綜上所述：E尸的長為3方或3或4亙.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問

題是本題的關(guān)鍵.

15.①②?④

【分析】

①根據(jù)角平分線的定義可得/BAE=/DAE=45°,可得出aABE是等腰直角三角形，根據(jù)等

腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=&A8,從而得到AE=AD,然后利用“角角邊”證明AABE

和△AMD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DH,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求

出NAOE=NAED=67.5°,根據(jù)平角等于180°求出NCED=67.5°,從而判斷出①正確；

②求出NAH8=67.5°,ZDHO=ZODH=22.5Q,然后根據(jù)等角對(duì)等邊可得。￡=。。=。“，判斷

出②正確；

③求出NE8”=NCWD=22.5°,ZAEB=ZHDF=45°,然后利用“角邊角”證明△8E”和

△HDF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得8H=HF,判斷出③正確；

④根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=HE,然后根據(jù)HE=AE-AH=BC-CD,BC-CF=BC-

(CD-DF)=2HE,判斷出④正確；

⑤判斷出△△8H不是等邊三角形，從而得到A8W8”，即得到⑤錯(cuò)誤.

【詳解】

:在矩形ABC。中，AE平分N8AD,：.ZBAE=ZDAE^45°,，/VIBE是等腰直角三角形，

：.AE=yf2AB.

?:AD=yfiAB,：.AE^AD.

ZBAE=NDAE

在△A8E和△AH。中，V?ZABE=ZAHD=90°,AAABE^/XAHD(AAS),

AE=AD

：.BE=DH,：.AB=BE=AH=HD,：.ZADE=ZAED=-(180°-45°)=67.5°,

2

NCED=180°-45°-67.5°=67.5°,AZAED=ZCED,故①正確；

；NAHB=g(180°-45°)=67.5°,ZOHE=ZAHB(對(duì)頂角相等),

：.NOHE=NAED,：.OE=OH.

?.?/DOH=90°-67.5°=22.5°,/ODH=67.5°-45°=22.5°,；.NDOH=NODH,

：.OH=OD,：.OE=OD=OH,故②正確；

；NEBH=90°-67.50=22.5°,：,ZEBH=ZOHD.

NEBH=NOHD

在△BE"和中，BE=DH,：./\BEH^/\HDF(ASA),；.BH=HF,

ZAEB=NHDF

HE=DF,故③正確；

由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE,CF=CD-DF,：.BC-CF=(CD+HE)-(CD-

HE)=2HE,所以④正確；

'：AB^AH,NBAE=45°，,ZiABH不是等邊三角形，.MBWBH,...即ABWHF,故⑤錯(cuò)

誤；

綜上所述：結(jié)論正確的是①②③④.

故答案為①②③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定

與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并仔細(xì)分析題目條件，根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角

形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

16.3+3逐.

【分析】

取AB的中點(diǎn)M,連接DQ,QM,DM.證明QM=QK,QG=DQ,求出DQ+QM的最小值

即可解決問題.

【詳解】

取A8的中點(diǎn)連接。Q,QM,DM.

???四邊形ABC。是正方形,

：.AD=AB=6,ZDAM=ZADG=90°,

DM-AB2+AM2=762+32=3亞,

?：GK=HK,AB,GH關(guān)于EF對(duì)稱,

；.QM=QK,

?；NADG=90°,AQ=QG,

：.DQ=AQ.=QG,

「△QGK的周長=GK+QG+QJ=3+0Q+QM.

又?:DQ+QM2DM,

DQ+QMZ3百，

，△QGK的周長的最小值為3+375，

故答案為3+3石.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、最值問題，解題的關(guān)鍵是取AB的中

點(diǎn)M,確定QG+QK=QD+QM,屬于中考常考題型.

17.①②④⑤

【分析】

根據(jù)/B=90。，AB=BE,AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，得到AAHD,可得AABEmAAHD,并且

△ABE和AAHD都是等腰直角三角形，可證AD〃BC,根據(jù)DC_LBC,可得NHDE=NCDE,根

據(jù)三角形的內(nèi)角和可得/HDE=NCDE,即DE平分/HDC,所以①正確；

利用NDAB=NABC=NBCD=90°,得到四邊形ABCD是矩形，有NADC=90。，ZHDC=45°,由

①有DE平分NHDC,得/HDO=22.5°,可得NAHB=67.5°,/DHO=22.5°,可證OD=OH,

利用AE=AD易證NOHE=NHEO=67.5°,則有OE=OH,OD=OE,所以②正確;

利用AAS證明ADHEmADCE,則有DH=DC,ZHDE=ZCDE=22.5",易的NDHF=22.5°,

ZDFH=112.5°,則ADHF不是直角三角形，并DHHHF,即有：CDwHF,所以③錯(cuò)誤；

根據(jù)AABE是等腰直角三角形，W_LJE,：J是BC的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn)，得到2M=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易證BC-CF=2CE,所以④正確；

過H作HJ1.BC于J,并延長HJ交AD于點(diǎn)I,得L)J_AD,I是AD的中點(diǎn)，J是BC的中點(diǎn)，

H是BF的中點(diǎn)，所以⑤正確；

【詳解】

?.,RtAABE中，ZB=90°,AB=BE,

/BAE=NBEA=45",

又?.?將4ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到ZiAHD,

.,.△ABE-AAHD,并且4ABE和AAHD都是等腰直角三角形，

/EAD=45。，AE=AD,ZAHD=90°,

AZADE=ZAED,

AZBAD=ZBAE+ZEAD=450+45°=90°,

.*.AD//BC,

NADE=/DEC,

AZAED=ZDEC,

XVDC1BC,

.,.ZDCE=ZDHE=90"

由三角形的內(nèi)角和可得/HDE=NCDE,

即：DE平分NHDC,所以①正確；

VZDAB=ZABC=ZBCD=90°,

二四邊形ABCD是矩形，

，/ADC=90°,

，NHDC=45°,

由①有DE平分NHDC,

ZHDO=—ZHDC=—X45°=22.5°,

22

；/BAE=45°,AB=AH,

11

，NOHE=NAHB=—(18CT-NBAE)=—x(180°-45°)=67.5°,

AZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.5°=22.5°

.,.OD=OH,

在AAED中，AE=AD,

ZAED=y(1800-ZEAD)=yx(180°-45°)=67.5°,

，NOHE=NHEO=67.5°,

，C)E=OH,

.\OD=OE,所以②正確；

在ADHE和ADCE中，

ZDHE=ZDCE

<ZHDE=ZCDE,

DE=DE

.".ADHESADCE(AAS),

1

；.DH=DC,/HDE=NCDE=—X45°=22.5°,

2

：OD=OH,

/.ZDHF=22.5°,

ZDFH=180o-ZHDF-ZDHF=1800-45o-22.5o=112.5o,

...△DHF不是直角三角形，并DHWHF,

即有：CDXHF,所以③不正確；

如圖，過H作HJJ_BC于J,并延長HJ交AD于點(diǎn)I,

???△ABE是等腰直角三角形，JHLJE,

，JH=JE,

又是BC的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn),

，2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有:BC-CF=2CE,所以④正確；

VAD//BC,

AIJ1AD,

又???△AHD是等腰直角三角形，

二1是AD的中點(diǎn)，

:四邊形ABCD是矩形，HJ±BC,

AJ是BC的中點(diǎn)，

；.H是BF的中點(diǎn)，所以⑤正確：

綜上所述，正確的有①②④⑤，

故答案為：①②④⑤.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

18.②③

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AC_LBD,所以在RtZ\AFP中，AF一定大于AP,從而判斷①；設(shè)

ZBAE=x,然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出/ABE,再根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)求出

ZABE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程，求出x的值，求出NBFE和/BE的度數(shù)，從而

判斷②③.

【詳解】

解：在菱形ABCD中，AC1BD,

...在RtZXAFP中，AF一定大于AP,故①錯(cuò)誤；

?.?四邊形ABCD是菱形，

，AD〃BC,

，ZABE+ZBAE+ZEAD=180°,

設(shè)NBAE=x",

則NEAD=2x°,ZABE=180o-x°-2x°,

：AB=AE,ZBAE=x°,

ZABE=ZAEB=180°-x°-2x°,

由三角形內(nèi)角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180,

解得:x=36,

即/BAE=36°,

ZBAE=180°-36°-2x36°=70°,

?.?四邊形ABCD是菱形，

1

.,.ZBAD=ZCBD=—ZABE=36°,

2

NBFE=NABD+NBAE=36°+36°=72°,

/BEF=180°-36°-72°=72°,

；.BE=BF=AF.故③正確

；NAFD=NBFE=72°,ZEAD=2x°=72°

AZAFD=ZEAD

；.AD=FD

又；AD=AB=AE

，AE=FD,故②正確

正確的有②③

故答案為：②③

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并列出關(guān)于/BAE的方程是解題

的關(guān)鍵，注意：菱形的對(duì)邊平行，菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角.

19.10+5逐

【分析】

取DE的中點(diǎn)N,連結(jié)。N、NG、OM.根據(jù)勾股定理可得NG=5百.在點(diǎn)M與G之間總

有MGWMO+ON+NG（如圖1）,M、。、N、G四點(diǎn)共線，此時(shí)等號(hào)成立（如圖2）.可得

線段MG的最大值.

【詳解】

如圖1,取DE的中點(diǎn)N,連結(jié)ON、NG、OM.

.?.0M=-AB=5.

2

同理0N=5.

?.?正方形DGFE,N為DE中點(diǎn)，DE=10,

?*-NG=ylDN2+DG2=7102+52=545■

在點(diǎn)M與G之間總有MGWMO+ON+NG（如圖1）,

如圖2,由于NDNG的大小為定值，只要NDON=g/DNG,且M、N關(guān)于點(diǎn)0中心對(duì)稱時(shí),

2

M、0、N、G四點(diǎn)共線，此時(shí)等號(hào)成立,

線段MG取最大值10+575.

故答案為：10+56.

【點(diǎn)睛】

此題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，四點(diǎn)共線的最值問題，得出M、。、N、G四點(diǎn)

共線，則線段MG長度的最大是解題關(guān)鍵.

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DC=DE、CP=EP,由"AAS"可證ZiOEF嶺△OBP,可得出OE=OB、

EF=BP,設(shè)EF=x,則BP=x、DF=5-x、BF=PC=3-x,進(jìn)而可得出AF=2+x,在R3DAF中,利用

勾股定理可求出x的值，即可得AF的長.