專題08奇偶性、對稱性與周期性（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 12【考點1】函數(shù)的奇偶性 12【考點2】函數(shù)的周期性及應(yīng)用 16【考點3】函數(shù)的對稱性 22【考點4】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 28【分層檢測】 33【基礎(chǔ)篇】 33【能力篇】 40【培優(yōu)篇】 42考試要求：1.理解函數(shù)奇偶性的含義.2.了解函數(shù)的最小正周期的含義.3.會利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.知識梳理知識梳理1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.1.函數(shù)周期性的常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).2.對稱性的四個常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱.(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱；特別地，當(dāng)a＝b時，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱.特別地，當(dāng)b＝0時，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，0)對稱.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．22．（2023·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．13．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．14．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．5．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點8．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．三、填空題9．（2023·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則．10．（2021·全國·高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)．①；②當(dāng)時，；③是奇函數(shù)．11．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則.考點突破考點突破【考點1】函數(shù)的奇偶性一、單選題1．（2024·重慶·三模）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．（2024·廣東佛山·一模）已知為奇函數(shù)，則在處的切線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若均為奇函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對任意的，，都有，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．的圖象關(guān)于對稱 D．三、填空題5．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的值為.6．（2024·廣東佛山·二模）已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的實數(shù)x的取值范圍為.反思提升：1.判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.2.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.3.畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.【考點2】函數(shù)的周期性及應(yīng)用一、單選題1．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．22．（21-22高三上·四川攀枝花·階段練習(xí)）定義在R上的函數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．的值域為B．圖象的對稱軸為直線C．當(dāng)時，D．方程恰有5個實數(shù)解二、多選題3．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，及其導(dǎo)函數(shù)，的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對稱，，，且，則（

）A．為偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于點對稱C． D．4．（2024·廣西·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關(guān)于點對稱，且，則（

）A．的圖象關(guān)于點對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的周期為2D．三、填空題5．（2024·山東棗莊·一模）已知為偶函數(shù)，且，則．6．（2024·寧夏銀川·一模）若定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，，，則．反思提升：1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數(shù)，且a≠0)，則2a為函數(shù)f(x)的一個周期.2.利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題.【考點3】函數(shù)的對稱性一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知定義在R上的函數(shù)滿足．若的圖象關(guān)于點對稱，且，則（

）A．0 B．50 C．2509 D．24992．（22-23高三上·遼寧營口·期末）設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2020·山東淄博·一模）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，對于任意，都有成立，當(dāng)時，，給出下列結(jié)論，其中正確的是（

）A．B．點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上有3個零點4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則是的極值點B．，使得C．若是的極小值點，則在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象是中心對稱圖形三、填空題5．（23-24高三下·河南濮陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域為，且的圖象關(guān)于點中心對稱，若，則.6．（2024·寧夏固原·一模）已知定義在R上的函數(shù)滿足對任意實數(shù)都有，成立，若，則．反思提升：對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))對稱.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))對稱.【考點4】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用一、單選題1．（2024·遼寧撫順·一模）函數(shù)滿足：當(dāng)時，，是奇函數(shù)．記關(guān)于的方程的根為，若，則的值可以為（

）A． B． C． D．12．（2024·安徽合肥·一模）已知函數(shù)的定義域為，且，記，則（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·河南開封·三模）已知函數(shù)的定義域為，且，，則（

）A． B．C．是周期函數(shù) D．的解析式可能為4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B．恒成立C． D．滿足條件的不止一個三、填空題5．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)滿足，.則.6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則方程的所有解的和為.反思提升：1.比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；2.對于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1<x2(或x1>x2)求解.3.周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.4.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關(guān)系時不要混淆.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2023·福建福州·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．2．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．（2024·廣東茂名·一模）函數(shù)和均為上的奇函數(shù)，若，則（

）A． B． C．0 D．24．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)，則（

）A．2024 B． C．e D．二、多選題5．（2021·江蘇連云港·模擬預(yù)測）函數(shù)的定義域為，且與都為奇函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù) B．為周期函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)6．（23-24高一上·云南昆明·期中）函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的值域為C．是偶函數(shù) D．，7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A．將的圖象向左平移個單位長度可以得到的圖象B．將的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象C．的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱D．的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱三、填空題8．（23-24高一下·內(nèi)蒙古·期中）已知，函數(shù)是奇函數(shù)，則，．9．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則.10．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）函數(shù)，若，則.四、解答題11．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）已知奇函數(shù)在處取得極大值2.(1)求的解析式；(2)求在上的最值.12．（2020·廣東中山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，且對任意滿足．（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性，并加以說明；（3）當(dāng)時，試比較與的大小．【能力篇】一、單選題1．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)的定義域為R，若，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，且的圖象關(guān)于點對稱，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的最小正周期為4D．若，則三、填空題3．（2024·全國·模擬預(yù)測）寫出一個同時滿足下列三個條件的函數(shù)的解析式．①；②；③的導(dǎo)數(shù)為且．四、解答題4．（2024·上海徐匯·二模）已知函數(shù)，其中.(1)求證：是奇函數(shù)；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍.【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為R，對于任意實數(shù)x，y滿足，且，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．為偶函數(shù)C．是周期函數(shù) D．二、多選題2．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的定義域都是，若與均為偶函數(shù)，則（

）A．B．關(guān)于點對稱C．D．三、填空題3．（2024·山西呂梁·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，也關(guān)于點中心對稱，則的中位數(shù)為.專題08奇偶性、對稱性與周期性（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 12【考點1】函數(shù)的奇偶性 12【考點2】函數(shù)的周期性及應(yīng)用 16【考點3】函數(shù)的對稱性 22【考點4】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 28【分層檢測】 33【基礎(chǔ)篇】 33【能力篇】 40【培優(yōu)篇】 42考試要求：1.理解函數(shù)奇偶性的含義.2.了解函數(shù)的最小正周期的含義.3.會利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.知識梳理知識梳理1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.1.函數(shù)周期性的常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).2.對稱性的四個常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱.(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱；特別地，當(dāng)a＝b時，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱.特別地，當(dāng)b＝0時，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，0)對稱.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．22．（2023·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．13．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．14．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．5．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（

）A． B． C． D．二、多選題7．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點8．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．三、填空題9．（2023·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則．10．（2021·全國·高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)．①；②當(dāng)時，；③是奇函數(shù)．11．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則.參考答案：1．D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得.故選：D.2．B【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出值，再檢驗即可.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，解得，當(dāng)時，，，解得或，則其定義域為或，關(guān)于原點對稱.，故此時為偶函數(shù).故選：B.3．A【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為，求出函數(shù)一個周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.4．D【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因為的圖像關(guān)于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯(lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，所以因為，所以.所以.故選：D【點睛】含有對稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.5．B【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.故選：B.6．D【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進(jìn)而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案．【詳解】[方法一]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．【點睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時候，我們通常可以借助一些二級結(jié)論，求出其周期性進(jìn)而達(dá)到簡便計算的效果．7．ABC【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故錯誤.方法二：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，當(dāng)時，對兩邊同時除以，得到，故可以設(shè)，則，當(dāng)肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時是的極大值，故D錯誤.故選：.8．BC【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關(guān)系研究對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對稱，則，故C正確；對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關(guān)于對稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對稱，因為其定義域為R，所以，結(jié)合關(guān)于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為，均為偶函數(shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.【點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．9．2【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗即可得解.【詳解】因為為偶函數(shù)，定義域為，所以，即，則，故，此時，所以，又定義域為，故為偶函數(shù)，所以.故答案為：2.10．（答案不唯一，均滿足）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.【詳解】取，則，滿足①，，時有，滿足②，的定義域為，又，故是奇函數(shù)，滿足③.故答案為：（答案不唯一，均滿足）11．1【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】因為，故，因為為偶函數(shù)，故，時，整理得到，故，故答案為：1考點突破考點突破【考點1】函數(shù)的奇偶性一、單選題1．（2024·重慶·三模）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．（2024·廣東佛山·一模）已知為奇函數(shù)，則在處的切線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若均為奇函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對任意的，，都有，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．的圖象關(guān)于對稱 D．三、填空題5．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的值為.6．（2024·廣東佛山·二模）已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的實數(shù)x的取值范圍為.參考答案：1．A【分析】首先推導(dǎo)出，即函數(shù)的對稱中心為，再根據(jù)函數(shù)的平移只需將函數(shù)向右平移個單位，向上平移個單位，得到函數(shù)，則該函數(shù)關(guān)于對稱，即可判斷.【詳解】因為定義域為，則，所以函數(shù)的對稱中心為，所以將函數(shù)向右平移個單位，向上平移個單位，得到函數(shù)，該函數(shù)的對稱中心為，故函數(shù)為奇函數(shù).故選：A.2．A【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義求出函數(shù)表達(dá)式，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)和切線相關(guān)知識求解切線方程即可.【詳解】因為，所以，因為為奇函數(shù)，所以對恒成立，所以，代入函數(shù)表達(dá)式得，所以，則，所以在處的切線方程為，即.故選：A3．BC【分析】利用是定義域為的奇函數(shù)，進(jìn)而可得，求導(dǎo)可得，結(jié)合為奇函數(shù)，計算可判斷B；進(jìn)可可得函數(shù)的周期為4，計算可判斷C；的圖象關(guān)于點成中心對稱，取可判斷AD.【詳解】因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，即，所以，即，所以．又因為為奇函數(shù)，所以，當(dāng)時，，即，所以選項B正確．又因為，所以，即函數(shù)的周期為4，所以．因為，所以，所以選項C正確．由為奇函數(shù)可知，即的圖象關(guān)于點成中心對稱，不妨取，則滿足周期為4，關(guān)于成中心對稱的條件，因為，可知選項A，D錯誤．故選：BC．【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)的考查，注意合理運用題中的條件，如本題中，由函數(shù)為奇函數(shù)，可得函數(shù)的對稱中心，判斷結(jié)論不成立，可舉反例，是一種有效的方法.4．BC【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和題設(shè)條件，推得是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合周期函數(shù)的性質(zhì)求值，利用單調(diào)性比較大小，逐項判定即可求解.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以,即函數(shù)關(guān)于對稱，C正確;由函數(shù)關(guān)于對稱可知,又因為為偶函數(shù)，所以，即函數(shù)關(guān)于對稱，則,所以,即,所以,所以是周期為4的周期函數(shù)，所以,又,所以,所以,所以,B正確;是偶函數(shù)，A錯誤;對任意的,且,都有,不妨設(shè),則,由單調(diào)性的定義可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)關(guān)于對稱，所以在上單調(diào)遞增又,,所以,得，D錯誤.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查抽象函數(shù)，解題關(guān)鍵是合理利用抽象函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性周期性分析題意，然后逐個選項分析即可．5．4【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可求得的值，結(jié)合計算即可.【詳解】由題得，解得，所以當(dāng)時，，所以.故答案為：4.6．【分析】結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得，再結(jié)合單調(diào)性計算即可得.【詳解】由為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)，可得，又，故等價于，故x的取值范圍為.故答案為：.反思提升：1.判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.2.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.3.畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.【考點2】函數(shù)的周期性及應(yīng)用一、單選題1．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．22．（21-22高三上·四川攀枝花·階段練習(xí)）定義在R上的函數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．的值域為B．圖象的對稱軸為直線C．當(dāng)時，D．方程恰有5個實數(shù)解二、多選題3．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，及其導(dǎo)函數(shù)，的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對稱，，，且，則（

）A．為偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于點對稱C． D．4．（2024·廣西·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關(guān)于點對稱，且，則（

）A．的圖象關(guān)于點對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的周期為2D．三、填空題5．（2024·山東棗莊·一模）已知為偶函數(shù)，且，則．6．（2024·寧夏銀川·一模）若定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，，，則．參考答案：1．C【分析】先根據(jù)得出函數(shù)的周期；再根據(jù)為奇函數(shù)得出，利用賦值法求出；最后利用的周期即可求解.【詳解】因為，所以，所以的周期為6.又因為為奇函數(shù)，所以，即，即，令，則，即所以，故選：C.2．C【分析】由給定條件可得的周期為4，并探討函數(shù)的奇偶性，舉例說明判斷A；由是對稱軸判斷B；求出時的解析式判斷C；畫出函數(shù)的部分圖象判斷D作答.【詳解】因，則的值域為不正確，A不正確；R上的函數(shù)滿足，即，又，則函數(shù)是最小正周期為4的周期函數(shù)，，當(dāng)時，，有，當(dāng)時，，且，，于是有，，即函數(shù)在上是偶函數(shù)，又周期為4，則是R上的偶函數(shù)，由知，直線是函數(shù)的圖象對稱軸，不滿足，B不正確；當(dāng)時，，則，C正確；，在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)的部分圖象與直線，如圖，觀察圖象知，直線與函數(shù)的圖象有4個公共點，即方程有4個實根，D不正確.故選：C【點睛】方法點睛：圖象法判斷函數(shù)零點個數(shù)，作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).3．BC【分析】首先根據(jù)抽象函數(shù)的對稱性，判斷函數(shù)的對稱性，以及周期，并結(jié)合條件轉(zhuǎn)化，判斷函數(shù)的對稱性，利用抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，以及周期性，求，最后利用函數(shù)與的關(guān)系求和.【詳解】由的圖象關(guān)于直線對稱，可得的圖象關(guān)于直線對稱，即的圖象關(guān)于直線對稱，則由，可得，又，所以，所以的圖象關(guān)于點對稱，即為奇函數(shù)，所以，即，即函數(shù)的周期為4，由，可得，因為的周期為4，所以，則，即，所以的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；因為的圖象關(guān)于直線對稱，則，所以，所以，因為的周期為4，所以的周期也為4.由，可得，所以，故C正確；由，可得，所以，即，故D錯誤.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)運算問題，本題的關(guān)鍵是以條件等式為橋梁，發(fā)現(xiàn)函數(shù)與的性質(zhì)關(guān)系，以及解析式的關(guān)系.4．ABD【分析】對A，根據(jù)函數(shù)圖象的變換性質(zhì)判斷即可；對B，由題意計算即可判斷；對C，由A可得，由B可得，進(jìn)而可判斷C；對D，由結(jié)合與的對稱性可得，進(jìn)而，結(jié)合C中的周期為4求得，進(jìn)而可得.【詳解】對A，因為的圖象關(guān)于點對稱，則的圖象關(guān)于點對稱，故的圖象關(guān)于點對稱，故A正確；對B，，，又，故.即，故的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對C，由A，，且，又因為，故，即，故，即.由B，，故，故的周期為4，故C錯誤；對D，由，的圖象關(guān)于點對稱，且定義域為R，則，，又，代入可得，則，又，故，，，，又的周期為4，.則.即，則，故D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷D選項的關(guān)鍵是得出，結(jié)合周期性以及的定義即可順利得解.5．【分析】由條件結(jié)合偶函數(shù)定義可得，由結(jié)合周期函數(shù)定義證明為周期函數(shù)，利用周期性及賦值法求結(jié)論.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，又，所以，因為，所以，所以，所以函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，所以，由，可得，由，可得，所以，所以，故答案為：.6．【分析】由是奇函數(shù)，可得，由可得，進(jìn)而得到，從而得出函數(shù)的周期為，根據(jù)條件賦值可求得，從而得解.【詳解】因為是奇函數(shù)，所以，用替換上式中的，可得，在中，用替換，可得，所以，用替換該式中的，可得，所以，所以函數(shù)的周期為，在中，令，得，在中，令，得，在中，令，得，所以，所以.故答案為：.【點睛】結(jié)論點睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：（1）關(guān)于對稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對稱，則，若函數(shù)關(guān)于點中心對稱，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.反思提升：1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數(shù)，且a≠0)，則2a為函數(shù)f(x)的一個周期.2.利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進(jìn)而解決問題.【考點3】函數(shù)的對稱性一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知定義在R上的函數(shù)滿足．若的圖象關(guān)于點對稱，且，則（

）A．0 B．50 C．2509 D．24992．（22-23高三上·遼寧營口·期末）設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2020·山東淄博·一模）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，對于任意，都有成立，當(dāng)時，，給出下列結(jié)論，其中正確的是（

）A．B．點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上有3個零點4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則是的極值點B．，使得C．若是的極小值點，則在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象是中心對稱圖形三、填空題5．（23-24高三下·河南濮陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域為，且的圖象關(guān)于點中心對稱，若，則.6．（2024·寧夏固原·一模）已知定義在R上的函數(shù)滿足對任意實數(shù)都有，成立，若，則．參考答案：1．D【分析】由圖象的對稱中心得圖象的對稱中心，由，構(gòu)造函數(shù)，求出圖象的對稱性和周期，由求值即可.【詳解】因為的圖象關(guān)于點對稱，所以，即，從而，則的圖象關(guān)于點對稱．由，可得．令，得，則的圖象關(guān)于直線對稱．，則的圖象關(guān)于點對稱，則有，所以，，兩式相減得，故是以4為周期的函數(shù)．因為，，，，所以．故選：D.【點睛】方法點睛：關(guān)于函數(shù)圖象對稱性的幾個結(jié)論：1、函數(shù)滿足(T為常數(shù))的充要條件是的圖象關(guān)于直線對稱.2、函數(shù)滿足(T為常數(shù))的充要條件是的圖象關(guān)于直線對稱.3、函數(shù)滿足的充要條件是圖象關(guān)于直線對稱.4、若滿足，則的圖象關(guān)于原點對稱.5、若滿足，則的圖象關(guān)于點對稱.6、若滿足，則的圖象關(guān)于點對稱.2．B【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可得函數(shù)的周期，且為偶函數(shù)，根據(jù)時，，求的值得此時解析式，即可求得的值.【詳解】為奇函數(shù)，，所以關(guān)于對稱，所以①，且，又為偶函數(shù)，，則關(guān)于對稱，所以②，由①②可得，即，所以，于是可得，所以的周期，則，所以為偶函數(shù)則，所以，所以所以，解得，所以當(dāng)時，所以.故選：B.3．AB【分析】由，賦值，可得，故A正確；進(jìn)而可得是對稱中心，故B正確；作出函數(shù)圖象，可得CD不正確.【詳解】在中，令，得，又函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以，，故是一個周期為4的奇函數(shù)，因是的對稱中心，所以也是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，故A、B正確；作出函數(shù)的部分圖象如圖所示，易知函數(shù)在上不具單調(diào)性，故C不正確；函數(shù)在上有7個零點，故D不正確.故選：AB【點睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題目.4．BD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時，有兩解，列表表示出導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)以及函數(shù)的單調(diào)情況，當(dāng)時，，即可判斷A，B，C；證明等式成立即可判斷D.【詳解】A：因為，所以，當(dāng)時，，則在R上單調(diào)遞增，不是極值點，故A錯誤；B：由選項A的分析知，函數(shù)的值域為，所以，使得，故B正確；C：由選項A的分析知，當(dāng)時，在上單調(diào)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以若為的極小值點時，在上先遞增再遞減，故C錯誤；D：，而，則，所以點為的對稱中心，即函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，故D正確.故選：BD．5．【分析】先根據(jù)條件證明，然后由證明，再由此證明，最后由得到結(jié)果.【詳解】對任意，由于，且函數(shù)的定義域為，故點在曲線上，且曲線關(guān)于點中心對稱，故點也在曲線上，從而，從而對任意有.從而對任意，由知，即.根據(jù)條件又有，即.現(xiàn)在對任意的整數(shù)，我們有：，所以，從而有：.故有：.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是對函數(shù)方程的處理，通過其中取值的任意性，代入合適的值得到關(guān)鍵條件.6．【分析】由可得函數(shù)的對稱性，再對中的進(jìn)行賦值，依次得到，，，，即可求出.【詳解】由可得函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，因，故，在中，令，代入可得，再令，代入可得，再令，代入可得，，故令，代入可得，故.故答案為：.反思提升：對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))對稱.(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))對稱.【考點4】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用一、單選題1．（2024·遼寧撫順·一模）函數(shù)滿足：當(dāng)時，，是奇函數(shù)．記關(guān)于的方程的根為，若，則的值可以為（

）A． B． C． D．12．（2024·安徽合肥·一模）已知函數(shù)的定義域為，且，記，則（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·河南開封·三模）已知函數(shù)的定義域為，且，，則（

）A． B．C．是周期函數(shù) D．的解析式可能為4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B．恒成立C． D．滿足條件的不止一個三、填空題5．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)滿足，.則.6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則方程的所有解的和為.參考答案：1．C【分析】首先判斷函數(shù)關(guān)于點對稱，再畫出函數(shù)和的圖象，結(jié)合函數(shù)的對稱性，判斷交點的個數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】若函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，則函數(shù)關(guān)于點對稱，所以而也關(guān)于點對稱，恒過點，方程根，即為函數(shù)與交點的橫坐標(biāo)，因為兩個函數(shù)都關(guān)于點對稱，所以交點也關(guān)于點對稱，且其中一個交點是，如圖畫出兩個函數(shù)的圖象，若，根據(jù)對稱性可知，軸左側(cè)和右側(cè)各有3個交點，如圖，當(dāng)直線過點時，軸右側(cè)有2個交點，此時，當(dāng)直線過點時，軸右側(cè)有3個交點，此時，所以滿足條件的的取值范圍是，選項中滿足條件的只有.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是正確分析出函數(shù)的圖象，尤其是，并且會利用數(shù)形結(jié)合，分析臨界直線，即可求解.2．A【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的表達(dá)式以及，利用賦值法即可計算出的大小.【詳解】由可得，令，代入可得，即，令，代入可得，即，令，代入可得，即；由可得，顯然可得.故選：A【點睛】方法點睛：研究抽象函數(shù)性質(zhì)時，可根據(jù)滿足的關(guān)系式利用賦值法合理選取自變量的取值，由函數(shù)值或范圍得出函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)，進(jìn)而實現(xiàn)問題求解.3．ABC【分析】利用賦值法求判斷A；賦值法可得函數(shù)奇偶性即可判斷D；利用賦值法求得，化簡得，即可判斷C,由周期性和奇偶性即可求解B.【詳解】由，令，，有，可得,故A正確；令，則，則，函數(shù)是偶函數(shù)，而為奇函數(shù)，故D錯誤，，令，則，所以，則，，所以，則周期為6，C正確．由于為偶函數(shù)且周期為6，故，B正確，故選：ABC4．ABC【分析】令即可判斷A；令即可判斷B；令即可判斷C；令即可判斷D.【詳解】A：令，得．又，所以，故A正確．B：令，得，即，所以，令，得，即函數(shù)，所以，故B正確，D錯誤；C：令，得，代入，可得，則，故C正確；故選：ABC．5．.【分析】根據(jù)題意，取，求得，再令，得到，結(jié)合，利用等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由函數(shù)滿足，取，可得，令，可得，即則.故答案為：.6．【分析】由函數(shù)在上的解析式可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，求出最值，并利用求出其他區(qū)間內(nèi)函數(shù)的表達(dá)式為，又可得出時關(guān)于的方程，利用韋達(dá)定理即可求得所有解的和.【詳解】當(dāng)時，，易知在上的圖象可由函數(shù)的圖象先向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度得到，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，又，且，∴.∵，∴當(dāng)時，，，∴，，∴，，此時的最小值為，最大值為..易知，∴當(dāng)時，，，∴，整理得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且在上的最小值為，最大值為，，，∴方程必有2個解；由韋達(dá)定理可知方程的所有解的和為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)在上的解析式判斷出其單調(diào)性求出最值，再結(jié)合求出其他區(qū)間內(nèi)函數(shù)的表達(dá)式，即可構(gòu)造關(guān)于的方程，即可實現(xiàn)問題求解.反思提升：1.比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；2.對于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1<x2(或x1>x2)求解.3.周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.4.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關(guān)系時不要混淆.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2023·福建福州·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．2．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．3．（2024·廣東茂名·一模）函數(shù)和均為上的奇函數(shù)，若，則（

）A． B． C．0 D．24．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)，則（

）A．2024 B． C．e D．二、多選題5．（2021·江蘇連云港·模擬預(yù)測）函數(shù)的定義域為，且與都為奇函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù) B．為周期函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)6．（23-24高一上·云南昆明·期中）函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的值域為C．是偶函數(shù) D．，7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A．將的圖象向左平移個單位長度可以得到的圖象B．將的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象C．的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱D．的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱三、填空題8．（23-24高一下·內(nèi)蒙古·期中）已知，函數(shù)是奇函數(shù)，則，．9．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則.10．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）函數(shù)，若，則.四、解答題11．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）已知奇函數(shù)在處取得極大值2.(1)求的解析式；(2)求在上的最值.12．（2020·廣東中山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，且對任意滿足．（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性，并加以說明；（3）當(dāng)時，試比較與的大小．參考答案：1．A【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域以及奇偶性即可求得答案．【詳解】因為函數(shù)的定義域為，排除CD，又，即為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，排除B．故選：A．2．D【分析】根據(jù)是偶函數(shù)，且，得到，再根據(jù)在上單調(diào)遞減求解.【詳解】因為是偶函數(shù)，且，，所以，又在上單調(diào)遞減，所以，即或解得，或故選：D3．A【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出的周期為4，利用周期性、奇偶性求函數(shù)值.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以關(guān)于對稱，即，又關(guān)于原點對稱，則，有，所以的周期為4，故.故選：A4．D【分析】根據(jù)給定的函數(shù)解析式，利用對數(shù)運算可得，再代入計算即得.【詳解】函數(shù)中，，即函數(shù)定義域為R，有，于是，所以．故選：D5．ABC【分析】由題設(shè)可得，進(jìn)而可得、，即可判斷A、B、D的正誤，又可判斷C的正誤.【詳解】由題意知：且，∴，即，可得，∴是周期為2的函數(shù)，且、為奇函數(shù)，故A、B正確，D錯誤；由上知：，即為奇函數(shù)，C正確.故選：ABC.6．AC【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，逐項判斷即可.【詳解】，，，A正確；，則的值域為，B錯誤；時，，，，所以，時，，，，，所以為偶函數(shù)，C正確；時，取，此時，，則，D錯誤.故選：AC7．BD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換及對稱性可判斷各項.【詳解】因為的圖象向左平移個單位長度得到，所以A錯誤，因為的圖象向右平移個單位長度得到，故B正確；與的圖象關(guān)于直線對稱的函數(shù)為，故C錯誤；與的圖象關(guān)于直線對稱的函數(shù)為，所以D正確；故選：BD．8．【分析】由，可求，由，結(jié)合奇函數(shù)可求．【詳解】由，解得，所以，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以或，所以1或，解得(舍去)．故答案為：①-1；②1．9．【分析】利用函數(shù)的奇偶性與周期性計算即可.【詳解】由已知可得，所以，所以，即是函數(shù)的一個周期，所以.故答案為：10．【分析】利用和的關(guān)系求解即可.【詳解】，，.故答案為：11．(1)(2)最大值為52，最小值為【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性可得，再由在上取得極大值2可求得，可得解析式；（2）由（1）中解析式求導(dǎo)可得其在上的單調(diào)性，得出極值并比較端點處的函數(shù)值即可求出其最值.【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域為，因為是奇函數(shù)，所以，則.由，得.因為在上取得極大值2，所以解得經(jīng)經(jīng)檢驗當(dāng)時，在處取得極大值2，故.（2）由（1）可知，，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)和時，單調(diào)遞減；即函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值；又因為，所以在上的最大值為52，最小值為.12．（1）；（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析；（3）.【分析】（1）